2-9第九节 函数与方程练习题(2015年高考总复习)

第九节 函数与方程

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2

x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e)

D ．(3,4)

解析 ∵f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0， ∴f (1)·f (2)<0.故选B. 答案 B

2．函数y ＝f (x )在区间(－1,1)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－1,1)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )

A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．无法确定

解析 由题意知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，

∴f (－1)·f (1)符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x . 答案 D

3．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析 f (x )＝2x

|log 0.5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝12x ，即|log 0.5x |＝(12)x ，所以问题转化为y ＝|log 0.5x |与y ＝(1

2)x 图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝(1

2)x 的图象，易知交点个数为2.

答案 B

4．(2014·厦门市质检)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

2－x ， x ≥0，

log 12(－x )，x <0.

则函数y

＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析 y ＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数等于y ＝f (x )与y ＝x 2＋1的交点个数，由图可知，选B.

答案 B

5．(2014·河北质监)若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )

A ．y ＝f (－x )e x －1

B ．y ＝f (x )e －x ＋1

C ．y ＝e x f (x )－1

D ．y ＝e x f (x )＋1

解析

答案 C

6．(2014·乌鲁木齐第一次诊断)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

0，x ≤0，

e x ，x >0，则使

函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )

A ．[0,1)

B ．(－∞，1)

C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)

D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)

解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，

作出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ，x ≤0，

e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)，观察它与直线y

＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，选D.

答案 D

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．如果函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．

解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . g (x )＝－2ax 2

－ax ＝－2ax (x ＋1

2)，

则g (x )的零点是0，－1

2 答案 0，－1

2

8．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.

解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln2，由于ln2

f (3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f (3)>0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.

答案 2

9．(2014·长春调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2 013]上的零点个数是________．

解析 由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数，在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在(－1，4]区间内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2 013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0，2 013]上的零点个数为3×201＋1＝604.

答案 604

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f (x )＝x 3

－x 2

＋x 2＋14.

证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明 令g (x )＝f (x )－x .

∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12<0.

又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 11．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值