2-9第九节 函数与方程练习题(2015年高考总复习)
2015高三理科数学二轮复习函数与方程总复习答案
数学高三（理）系列之函数与方程1、二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”2．函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．题型一：函数零点问题例1、设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点审题破题 可以通过计算f ⎝⎛⎭⎫1e ，f (1)，f (e)判断，也可利用函数图象． 答案 D解析 方法一 因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13·1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13－ln 1＝13>0，f (e)＝e 3－ln e ＝e 3－1<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫1e ·f (1)>0，f (1)·f (e)<0，故y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，1内无零点(f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．方法二 在同一坐标系中分别画出y ＝13x 与y ＝ln x 的图象．如图所示．由图象知零点存在区间(1，e)内．反思归纳 函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题．解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．拓展变式练习1、(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．2、在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)答案 C解析 因为f ′(x )＝e x ＋4>0，f ⎝⎛⎭⎫－14<0，f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫14<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，f ⎝⎛⎭⎫34>0，由零点存在性定理知f (x )在⎝⎛⎭⎫14，12上存在一零点．故选C.题型二：函数与方程的综合应用例2、已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．审题破题 (1)g (x )＝m 有实根，可以分离参数转化为求函数最值．(2)利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于m 的不等式求解．解 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根． 故m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数 g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．反思归纳 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．拓展变式练习1、已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为______________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.题型三：函数模型及其应用例3、为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？审题破题 f (x )为分段函数，要分x ≤6和x >6两种情况分别寻求函数关系，x 应为整数． 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115>0，解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *. 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115， 令[50－3(x －6)]x －115>0,3x 2－68x ＋115<0. 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)． ∴6<x ≤20(x ∈N *)．故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6<x ≤20，x ∈N *). 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}． (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)， 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)． 当x ＝11时，y max ＝270(元)． ∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．反思归纳 解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上．拓展变式练习1、里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 答案 6 10 000解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.∴A 1A 2＝104＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．2、省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 规范解答解 (1)当x ＝0时，t ＝0； [1分]当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12， 即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.[4分] (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23， 则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.[8分]∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M (a )＝⎩⎨⎧ g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.[10分]由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．[12分]评分细则 (1)第(1)步没有作答“t 的取值范围是……”扣1分；(2)M (a )没有写成分段函数不扣分；(3)第(2)步没有作答“……超标，……不超标”扣1分．阅卷老师提醒 (1)本题是利用基本不等式求最值的实际应用，一定要注意“一正二定三相等”；(2)对于应用题，最后的作答要牢记．真题训练1、(2012·全国)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e ＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .2． (2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.3． (2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c和A 的值分别是 ( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25D ．60,16答案 D解析 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 4． (2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.－125． (2013·辽宁)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16答案 B解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)． ∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ， H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ， 因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.巩固训练1． 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(0,1)答案 D解析 因为f (0)＝e 0－2＝1－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是(0,1)，选D.2． 已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1) (n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 B解析 a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点．所以n ＝－1.3． (2012·湖北)函数f (x )＝x cos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 分别判断y ＝x 和y ＝cos 2x 的零点．y ＝x 在[0,2π]上的零点为x ＝0，y ＝cos 2x 在[0,2π]上的零点为x ＝π4，3π4，5π4，7π4，所以f (x )在区间[0,2π]上的零点个数为5.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 C解析 当x >0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 是减函数， 又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0.5． 设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 B解析 由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.6． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为 ( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23＞4，所以f (2＋log 23)＝(12)3＋log 3＝18×(12)log 3＝18×13＝124. 7． 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x ＋1)＝x ＋1.因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根．令y＝m (x ＋1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．2 28． (2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为 ( ) A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )． 当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．二、填空题 9． 若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 令f (x )＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|， ∵|x －1|≥0，∴0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，即0<m ≤1.10．若函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的值域为R ，则函数g (x )＝x 2＋ax ＋1的值域为________．答案 [1，＋∞)解析 要使f (x )的值域为R ，必有a ＝0，于是g (x )＝x 2＋1，值域为[1，＋∞)． 11．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点．12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时， f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2. 三、解答题13．云南彝良抗震指挥部决定建造一批简易房(房型为长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内．(1)设房前后墙的长均为x ，两侧墙的长均为y ，所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ；(2)简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？解 (1)p ＝2x ·450＋2y ·200＋xy ·200＝900x ＋400y ＋200xy .(2)S ＝x ·y ，且p ≤32 000，由题意，可得p ＝200S ＋900x ＋400y≥200S ＋2900×400S⇒200S ＋1 200S ≤p ≤32 000⇒(S )2＋6S －160≤0⇒0<S ≤10⇒S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧900x ＝400y xy ＝100⇒x ＝203时取最大值． 故简易房面积S 的最大值为100平方米，此时前面墙的长度设计为203米． 14．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12. (2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根． 令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3. 若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12； ③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0， 解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。
2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——函数(共29张PPT)
∴ab＝2b∈(20，
2
1 2
]＝(1，
2]，故应选 A.
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5．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，
f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点
的个数为
得最小值 b，则函数 g(x)＝1a|x＋b|的图象为
()
解析
由基本不等式得
f(x)
＝
x
＋
1
＋
9 x＋1
－
5≥2 x＋1×x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，
即 x＝2 时取得最小值 1，故 a＝2，b＝1，
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B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
9
10
(C )
解析
由已知得l2oxg＋11>20x，＋1≠0，
2
∴x>－12， 2x＋1≠1，
即 x>－12且 x≠0，∴选 C.
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2．已知函数 f(x)＝x－4＋x＋9 1，x∈(0,4)，当 x＝a 时，f(x)取
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2015届高考数学二轮复习专题训练试题：集合与函数(9).pptx
的解为
.(1 分)由方程组用代入法消去 y 化简得 k x2＋(2ak －n)x＋
k a2＝0，(*)有Δ＝(2ak －n)2－4k ·k a2＝－4ank ＋n2＝0，∴k ＝ .(2 分)代入方程
(*)，得 x2＋(2a· －n)x＋ ·a 2＝0，即 x2－2a·x＋a2＝0，
∴x＝a，即有 xn＝a，yn＝
)、
C(3,
)，ΔABC 的外接圆圆心为
()
A.15 个 B.20 个 C. 25 个
，且
,则满足条件的函数
有
D. 30 个
29、.已知函数
，在定义域 [-2，2]上表示的曲线过原点，且在 x＝±1 处的
切线斜率均为 ．有以下命题：①
是奇函数；②若
在
内递减，则
③
的最大值为 ，最小值为 ，则
； ④若对
＝
>x>ln(x＋1)，以下类似给分. 39、（本小题满分 14 分）
，即 P1，P2，…，Pn 在同一直线 x＝a 上.(4 分)(2)先证：0<x<1 时
解：（1）
，当
时，
，即
，
函数
在区间
当
时，
上是增函数，在区间
上是减函数
，函数
是区间
上的增函数当
时，
即
，函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.…7 分
，试探究函数
界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.
与函数
是否存在“ 分
学海无涯
40、已知函数
和
．其中
．（1）若函数
与
的
图像的一个公共点恰好在 轴上，求 的值；（2）若 和 是方程
.9 函数与方程(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(精品解析版)
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第09节 函数与方程（文科） 一、课前小测摸底细 1.【课本典型习题改编，P119B 组第1题】方程2ln 0x x -=的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2. 【2014高考北京卷文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 3. 【陕西省西北工业大学附属中学2014届高三第六次模拟】“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”，的充要条件是“0m ≤”，∴充分不必要条件.4.【基础经典试题】设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。
5. 【改编自2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）】已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定二、课中考点全掌握考点 方程的根与函数零点【1-1】函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,10【1-2】方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5【1-3】下列说法，正确的是（ ）A. 对于函数()1f x x =，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点 D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点 【答案】C【解析】函数()1f x x=的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内无零点，故选项A 错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，【1-4】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[],a b 内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[],a b 内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[],a b 内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[],a b 内的精确解；【1-5】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．【1-6】已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0[ B.)1,(-∞ C ．),1(]0,(+∞⋃-∞ D ．),2(]1,(+∞⋃-∞【答案】C【解析】考察函数()()h x f x x =+，当0x ≤时，()h x x =是增函数，取值范围是(,0]-∞，当0x >时，()x h x e x =+是增函数，取值范围是(1,)+∞，即()h x 的值域是(,0](1,)-∞+∞，函数()()g x f x x m =+-有零点，即方程()0f x x m +-=有解，也即方程()m f x x =+有解，故m 取值范围是(,0](1,)-∞+∞． 综合点评：函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.【基础知识重温】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2015年高考数学总复习专题训练函数与方程
函数与方程[典型例析]例1函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为____（1）1 （2） （3）1, （4）例2已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设k>1，解关于x 的不等式；xk x k x f --+<2)1()(例3已知,a R ∈函数2().f x x x a =-（Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.例4已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，(Ⅰ)求t 的取值范围.（Ⅱ）当t 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．随堂训练：1、两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于2、求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．3、已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t -（2t >-）,设(2),()f m f t n -==.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数； （Ⅱ）试判断,m n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.。
2015高考理科数学《曲线与方程》练习题
2015高考理科数学《曲线与方程》练习题2015高考理科数学《曲线与方程》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．答案：A4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →， ∴⎩⎨⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y .∴⎩⎨⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y .又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.答案：A6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.x29＋y24＝1 B.y29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1 解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)， ∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.① ∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.② 由①②解得x 0＝9x，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.答案：C 二、填空题7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|B F |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)8．(2014年成都模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝ 2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )， 则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b2＝19．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是________．解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB 垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径．又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题10.如图所示，直线l1与l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解析：以l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A(x A，y A)，B(x B，y B)，N(x N,0)．依题意有x A＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，y＝|DM|＝|AM|2－|DA|2＝2 2.A∵△AMN是锐角三角形，∴x N＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋|AN|2－|AE|2＝4，x＝|BF|＝|BN|＝6.B设P(x，y)是曲线段C上任一点，则P∈{(x，y)|(x－x N)2＋y2＝x2，x A≤x≤x B，y>0}．∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y>0)．11．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d >0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1. ∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．12．(能力提升)(2014年恩施模拟)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，ON →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A (5,0)、B (1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q (点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |，并说明理由．解析：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)， ON →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，0，所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C是椭圆．(2)点A (5,0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k x －5得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0，得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为R (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k25k 2＋4.又|BP |＝|BQ |⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |.[B 组 因材施教·备选练习]1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以点P 的轨迹是以M 、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内，且到A 1D 1到DC 的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．答案：D3．由抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，则点R 的轨迹方程是________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202，y 0，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0∴OP 的方程y ＝2y 0x ①QF 的方程为：y ＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12② 由①、②消去y 0得y 2＝－2x 2＋x . 答案：y 2＝－2x 2＋x======*以上是由明师教育编辑整理======。
2015届高考数学(文)一轮复习提能训练2-8《函数与方程》(人教A版)word版含详析
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：因为函数 f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝1>0，所以f (－1)·f (0)<0，故函数零点所在一个区间是(－1,0)故选B.答案：B2．(2014年福建六校联考)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析：原函数f (x )＝x －cos x 可理解为幂函数x 12与余弦函数cos x 的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增且余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图象，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x ＝2π，且2π >1＝cos 2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.答案：B3．函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x ＋1的图象的交点个数，作出函数图象可得到交点有2个．答案：C4．(2014年福州模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1－kx 2，x ≤0ln x ，x >0有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－∞，0]C ．(－4,0]D ．(－∞，0)解析：取k ＝0，可知函数f (x )的2个零点是x ＝0或x ＝1，故可排除A 、D ；取k ＝－4，可知函数f (x )的2个零点是x ＝0或x ＝1，故可排除C ，选B.答案：B5．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4]解析：f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，故函数f (x )在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，在[－2,0]上也存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f ⎝⎛⎭⎫5π－24＝4sin 5π2－5π－24>0，而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.答案：A6．设函数f (x )的零点为x 1，函数g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|>14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x －12B ．f (x )＝－x 2＋x －14C ．f (x )＝1－10xD ．f (x )＝ln(8x －2)解析：依题意得g ⎝⎛⎭⎫14＝2＋12－2<0， g ⎝⎛⎭⎫12＝1>0，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12.若f (x )＝1－10x ， 则有x 1＝0，此时|x 1－x 2|>14，因此选C.答案：C 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0－x 2－2x ，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0－x 2－2x ，x <0的图象，由图象可知，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则0<m <1，因此m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)8．已知f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．解析：f 4(x )＝|2f 3(x )－1|的零点，即f 3(x )＝12的零点，即|2f 2(x )－1|＝12的零点，即f 2(x )＝14，34的零点，即|2f (x )－1|＝14，34的零点，即f (x )＝38，58，18，78的零点，显然对上述每个数值各有两个零点，故共有8个零点．答案：89．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点c ＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝5.625>0，由于f (2)f (2.5)<0，故下一个有根的区间是[2,2.5]．答案：[2,2.5] 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，求实数a 的取值范围．解析：依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x ＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a >03a >0a >0，由此解得a >49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1a >49，即49<a ≤1.11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．解析：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0.解得－1913<m <0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1913，0. 12．(能力提升)(2014年浏阳一中高三阶段考试)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，又f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，∴a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x －4ln x －2(x >0)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.∴x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：g (x )在(3，＋∞)上单调递增，g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．。
高考数学一轮总复习 29函数与方程课后强化作业 北师大
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-9函数与方程课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副[答案] D[解析] 利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4000)≥0. 解得x ≥800.2．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 2 [答案] D[解析] y ＝12·x ·x ·sin60°＝34x 2.(理)2010年7月1日某人到银行存入一年期款a 元，若年利率为x ，按复利计算，则到2015年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )6元C ．a ＋(1＋x )5元D ．a (1＋x 5)元[答案] A[解析] 因为年利率按复利计算，一年后可取回a (1＋x )元，二年后可取回a (1＋x )2元，…，所以到2015年7月1日可取款a (1＋x )5.3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 [答案] A[解析] 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．(文)(原创题)《走向高考》系数丛书2014年的销量比2012的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年的销量确定 [答案] B[解析] (1＋x )2＝1＋44%，解得x ＝0.2<0.22.故选B.(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51 [答案] B[解析] 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆， ∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 由图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－x －25x ＋12，故x ＝5时yx最大．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min ，组装第A 件产品用时15min ，那么c和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[答案] D[解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解． 依题意：当x ≤A 时，f (x )单调递减；当x ≥A 时，f (x )恒为常数．因此，c 4＝30，c A＝15，解得：c ＝60，A ＝16，故选D.二、填空题7．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择.________(只需写出项目的代号)．[答案] A 、B 、E 或B 、D 、E 、F[解析] 当投资为13亿元且利润大于1.6亿元时，有以下两种投资选择方案： f (A ，B ，E )＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(亿元)； f (B ，D ，E ，F )＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(亿元)．8．(2014·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案] 4[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.9．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2 500[解析] 总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元． 三、解答题10．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．[解析] 设每个提价为x 元(x ≥0)，利润为y 元，每天销售总额为(10＋x )(100－10x )元，进货货款总额为8(100－10x )元，显然100－10x >0，即x <10，则y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x ) ＝(2＋x )(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10)．当x ＝4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.能力强化训练一、选择题1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14[答案] A[解析] 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.2．对函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 作代换x ＝g (t )，则总不改变f (x )值域的代换是( ) A ．g (t )＝log 12 tB ．g (t )＝(12)tC ．g (t )＝(t －1)2D ．g (t )＝cos t[答案] A[解析] 只有A 中函数的值域与f (x )中x 的取值范围一致，即R ，所以只有A 中函数代换后f (x )值域不变．二、填空题3．如图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．[答案] 30cm,20cm[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[答案] 6 10 000[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力． (1)M ＝lg1 000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A 9，A 5，则9＝lg A 9－lg A 0,5＝lg A 5－lg A 0，两式相减得4＝lg A 9－lg A 5＝lg A 9A 5，即A 9A 5＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．三、解答题5.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系． [解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t－550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650. ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．6．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由．[解析] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．。
2017届高考数学(理)一轮复习同步基础训练第2章-第9课时《函数与方程》(通用版含解析)
第二章 第9课时【A 级】 基础训练1．(2015·山东淄博模拟)若方程xlg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z)上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2015·北京海淀模拟)函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f(12)＝log 212－2＝－3＜0，f(1)＝log 21－1＝－1＜0，f(2)＝log 22－12＝12＞0，∴函数f(x)＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．(2013·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出两个函数的图像，利用数形结合思想求解．g(x)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝ln x 与g(x)＝(x －2)2的图像(如图)．由图可得两个函数的图像有2个交点．答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为________．解析：作出函数f(x)的图像，从图像中可知函数f(x)的零点有4个． 答案：45．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a<3<b<4，当x ＝2时，f(2)＝log a 2＋2－b<0；当x ＝3时，f(3)＝log a 3＋3－b>0，∴f(x)的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．(2014·高考天津卷)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R.若方程f(x)－a|x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像，将方程根的个数问题转化为两图像交点的个数问题求解．设y 1＝f(x)＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x|，y 2＝a|x －1|的图像如图所示．由图可知f(x)－a|x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x|与y 2＝a|x －1|的图像有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝－有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a)x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a<1或a>9.又由图像得a>0，∴0<a<1或a>9. 答案：(0,1)∪(9，＋∞)7．(2015·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2015·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：－.由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝e a＋2因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a·(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】 能力提升1．(2015·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f(x)为R 上的单调递增函数，又f(－1)＝1a －1－b＜0，f(0)＝1－b ＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B.答案：B2．(2015·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x)＝1，f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x)＝0，f(x)＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x)＝－1，f(x)＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln 2x 的零点个数为2.答案：B3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：作出函数的图像，用数形结合思想求解．先作出函数f(x)＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：B4．若函数f(x)的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)间．答案：③④⑤5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．解析：∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f(x)＝x 2－x －6. ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x<1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x<16．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f(x)与y ＝a 的图像，根据图像交点个数得出a 的取值范围． 作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图像，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图像可得0<a<12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．已知函数f(x)＝|x|x ＋2，如果关于x 的方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x ＋2，∴原方程即|x|x ＋2＝kx 2.(*)①x ＝0恒为方程(*)的一个解．②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx ＋1＝0.当k ＝0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0无解； 当k≠0时，Δ＝4k 2－4k≥0，即k<0或k≥1时， 方程kx 2＋2kx ＋1＝0有解．设方程kx 2＋2kx ＋1＝0的两个根分别是x 1、x 2， 则x 2＋x 2＝－2，x 1x 2＝1k.当k>1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个不等的负根； 当k ＝1时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有两个相等的负根； 当k<0时，方程kx 2＋2kx ＋1＝0有一个负根． ③当x>0时，若方程(*)有解， 则x x ＋2＝kx 2，kx 2＋2kx －1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋2kx －1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k 2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时， 方程kx 2＋2kx －1＝0有解．设方程kx 2＋2kx －1＝0的两个根分别是x 3、x 4， 则x 3＋x 4＝－2，x 3x 4＝－1k.当k>0时，方程kx 2＋2kx －1＝0有一个正根； 当k≤－1时，方程kx 2＋2kx －1＝0没有正根．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx 2有四个不同的实数解．。
高中数学高考总复习----函数与方程的思想巩固练习题(含答案解析)
练习题（含答案解析）
【巩固练习】
1.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f (x) 为[0,1] 上的增函数”是“ f (x) 为[3,4] 上
的减函数”的（ ） （A）既不充分也不必要的条件 （C）必要而不充分的条件
（B）充分而不必要的条件 （D）充要条件
2
3.【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数 学能力.
【 解 析 】 解 法 1 ： 因 为 函 数 f (x) 2x x3 2 的 导 数 为 f '(x) 2x ln 2 3x2 0 ， 所 以 函 数
f (x) 2x x3 2 单调递增，又 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x)
1 a0
x2 是原方程的解当且仅当 x2
，即 a 1．
于是满足题意的 a 1, 2 ． 综上， a 的取值范围为 1, 2 3, 4 ．
（3）当 0
x1
x2
时，
1 x1
a
1 x2
a
log2
，
1 x1
a
log2
1 x2
a
，
所以 f x 在 0, 上单调递减．
函数 f x 在区间t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x
(D)y＜z＜x
5. (2016
上海高考)已知无穷等比数列{an}的公比为
q，前
n
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 函数的定义域和值域(含答案)
第二章 函数与导数第2课时函数的定义域和值域1. 设集合A ＝{x|y ＝11＋1x }，则A ＝________． 答案：{x|x ≠－1且x ≠0} 解析：由x ≠0，且1＋1x≠0可得答案． 2. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为_______________．答案：(0, 6]解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，1－2log 6x ≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 6x ≤12 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ≤612＝6 0<x ≤ 6. 3. 若集合M ＝{y|y ＝2－x }，N ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______________．答案：{y|y>0} 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝{y|y>0}，N ＝{y|y ≥0}， ∴ M ∩N ＝{y|y>0}∩{y|y ≥0}＝{y|y>0}．4. 函数y ＝x －x(x ≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，因为x ≥1，所以y ≤0. 5. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________． 答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2. 6. 函数y ＝x 2x 2－x ＋1的最大值为________． 答案：43解析：若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43.7. 若函数f(x)＝2x 2－2ax ＋a －1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：0≤a ≤1解析：2x 2－2ax ＋a －1≥0，即x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，∴ Δ≤0，∴ 0≤a ≤1.8. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<0，－2－x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1 解析：x ＜0时，f(x)＝2x ∈(0，1)，12＜⎝⎛⎭⎫122x ＜1，f(f(x))＝－⎝⎛⎭⎫122x∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，同理可得x ＞0时，f(f(x))∈⎝⎛⎭⎫12，1，综上所述，函数y ＝f(f(x))的值域是⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.9. (1) 求函数f(x)＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4＋(5x －4)0的定义域．(2) 已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数y ＝f(x 2)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋43的定义域． 解：(1) ⎝⎛⎭⎫－1，45∪⎝⎛⎭⎫45，1. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤1，0≤x ＋43≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－43≤x ≤－13， 所以－1≤x ≤－13，即函数f(x)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，－13. 10. 已知a>1，函数f(x)＝ax ＋1x ＋1(x ∈[1，3])，g(x)＝x ＋9x ＋1＋4(x ∈[0，3])． (1) 求f(x)与g(x)的值域；(2) 若 x 1∈[1，3]， x 2∈[0，3]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，试求a 的取值范围． 解：(1) f(x)＝a （x ＋1）＋（1－a ）x ＋1＝a ＋1－a x ＋1.因为a>1，所以f(x)在[1，3]上是增函数，所以函数f(x)的值域为[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]．由g(x)＝(x ＋1)＋9x ＋1＋3≥2（x ＋1）·9x ＋1＋3＝9，当且仅当(x ＋1)＝9x ＋1，即x ＝2∈[0，3]时，取等号，即g(x)的最小值为9. 又g(0)＝13，g(3)＝374， 所以g(x)的最大值为13. 所以函数g(x)的值域为[9，13]． (2) 由题意知，⎣⎡⎦⎤12（a ＋1），14（3a ＋1） [9，13]， 即⎩⎨⎧12（a ＋1）≥9，14（3a ＋1）≤13，解得a ＝17. 因为a>1，所以a ＝17符合．11. 设函数f(x)＝1－x 2＋1＋x ＋1－x.(1) 设t ＝1＋x ＋1－x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数h(t)；(2) 求函数f(x)的最值．解：(1) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，∴ －1≤x ≤1，∴ t 2＝(1＋x ＋1－x)2＝2＋21－x 2∈[2，4]，∴ t ∈[2，2]．由1－x 2＝12t 2－1， ∴ h(t)＝12t 2＋t －1，t ∈[2，2]． (2) 由h(t)＝12t 2＋t －1＝12(t ＋1)2－32∈[2，3]， ∴ f(x)的最大值为3，最小值为 2.。
2015年高考数学理一轮复习精品资料-专题2.9-函数与方程含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第09节 函数与方程（理科）一、选择题1. 【陕西省西北工业大学附属中学2014届高三第六次模拟】“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2. 【陕西省西工大附中2014届高三下学期第七次适应性训练】已知函数4()f x x=与3()g x x t =+，若()f x 与()g x 的交点在直线y x =的两侧，则实数t 的取值范围是 （ ）Ａ．(6,0]- Ｂ．(6,6)- Ｃ．(4,)+∞ Ｄ．(4,4)-3. 【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考】若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间 ( )A. (),b c 和(),c +∞内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),a b 和(),b c 内 D.(),a -∞和(),c +∞内4. 【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】已知x x x f 3)(3-=，并设：:p R c ∈∀，c x f f =))((至少有3个实根； :q 当)2,2(-∈c 时，方程c x f f =))((有9个实根；:r 当2=c 时，方程c x f f =))((有5个实根.则下列命题为真命题的是（ ）A.r p ⌝∨⌝B. r q ∧⌝C. 仅有rD. q p Λ5. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷】函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】A【解析】因为()012000<-=-+=e f 、02322121>-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛e e f ，所以根据零点的存在性定理可得函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是1(0,)2.6. 【改编自北京市西城区2014届高三上学期期末考试】设函数2log , 0,()2, 0,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤ ，若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．0k <B. 01k <<C. 01k <≤D. 1k >7. 【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学】定义在R 上的奇函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点个数的情况为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少6个8. 【原创题】1(x)2cos x x 12f π=-+的零点个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99. 【陕西省宝鸡市2014届高三教学质量检测（三）】已知R x ∈，符号][x 表示不超过x 的最大整数，若函数)0(][)(>-=x a xx x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 （ ） A.]32,21( B. ]32,21[ C. ]54,43( D.]54,43[10. 【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试】已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,5,5+∞（]（）B. 10,[5,5+∞（））C. 11,]5,775（（）D. 11,[5,775（））【答案】A.【解析】根据题意()(1)f x f x =-+，则[]()(1)(11)(2)f x f x f x f x =-+=--++=+，即函数()f x 为周期函数，周期为2，又当11x -≤<时，3()f x x =，得函数()f x 的值域为[)1,1-，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，即函数()f x 和函数log a x 的图象至少6个交点，所以根据图象性质，当01a <<时，log 5(5)1a f ≥=-，得15a ≥，即15a ≤，则105a <≤；当1a >时，log 5(5)1a f <-=，得5a >，所以a 的取值范围是1(0,](5,)5⋃+∞.二、填空题11. 【福建省安溪一中、德化一中2014届高三摸底联考数学】若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如右表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到1.0）为 . f （1）=-2【解析】由题中参考数据可得根在区间（1.4056，1.438）内，又因为1.4056和1.438精确到小数点后面一位都是1.4符合要求．12. 【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程623(2)2x x x x +=+++的解集为 ．13. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】已知函数()|2|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间0+∞（，）上有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123++x x x 的取值范围是（ ）A ．(1,1+2)B ． (21+2)，C ．2)D ． 2) 【答案】D【解析】()|2|()f x x x x R =-∈即222,2()2,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，画出函数的图象（如图）. 不妨设三个互不三、解答题14. 【江西省百强中学2014届高三上学期第二次月考】设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．15. 已知函数()xax ln x f +=（0>a ）． （1）求()x f 的单调区间；（2）如果()00y ,x P 是曲线()x f y =上的任意一点，若以()00y ,x P 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）讨论关于x 的方程()()32122x bx a f x x++=-的实根情况．16. 【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学】定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91xxf x =+。
函数与方程训练题(含解析2015高考数学一轮)
函数与方程训练题（含解析2015高考数学一轮）函数与方程训练题（含解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．设f(x)＝x3＋bx＋c是－1,1]上的增函数，且f(－12)•f(12)＜0，则方程f(x)＝0在－1,1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：由f－12•f12＜0得f(x)在－12，12内有零点，又f(x)在－1,1]上为增函数，∴f(x)在－1,1]上只有一个零点，即方程f(x)＝0在－1,1]上有唯一的实根．答案：C2．(2014•长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x123456f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数f(x)存在零点的区间有()A．区间1,2]和2,3]B．区间2,3]和3,4]C．区间2,3]、3,4]和4,5]D．区间3,4]、4,5]和5,6]解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，∴f(x)在区间2,3]，3,4]，4,5]上都存在零点．答案：C3．若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的取值范围是()A．(3.5，＋∞)B．(1，＋∞)C．(4，＋∞)D．(4.5，＋∞)解析：令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，令logax＋x－4＝0得logax＝－x ＋4，在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由y ＝xy＝－x＋4，解得x＝2，所以n＋m＝4，因为(n＋m)1n＋1m＝1＋1＋mn＋nm≥4，又n≠m，故(n＋m)1n＋1m＞4，则1n＋1m＞1.答案：B4．(2014•昌平模拟)已知函数f(x)＝lnx，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝1x，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝lnx－1x.因为g(1)＝ln1－1＝－1＜0，g(2)＝ln2－12＞0，所以函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.答案：B5．已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析：画出f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0，的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．答案：(0,1)6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2014x＋log2014x 则在R上，函数f(x)零点的个数为________．解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝2014x ＋log2014x在区间0，12014内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.答案：37．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．解析：令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，设y＝lnx，y＝－x.在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1＜0＜x2＜1，令x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52＞1，所以x1＜x2＜x3答案：x1＜x2＜x38．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14.综上，当a＝0或a＝－14时，函数仅有一个零点．9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间0,2]上有解，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈0,2]，①若f(x)＝0在区间0,2]上有一解，∵f(0)＝1＞0，则应用f(2)＜0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－32.②若f(x)＝0在区间0,2]上有两解，则Δ≥0，0＜－m－12＜2，，∴－－4≥0，－3＜m＜1，4＋－＋1≥0.∴m≥3或m≤－1，－3＜m＜1，m≥－32∴－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围(－∞，－1]．B组能力突破1．函数f(x)＝x－cosx在0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图象，如图，由于x＞1时，y＝x＞1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.答案：B2．(2014•吉林白山二模)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m的取值范围是()A.－38，18B.－38，18C.－38，18D.－18，38解析：当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f(－2)•f(2)＜0，或－＝0，－2＜14m＜0，或＝0，0＜14m＜2.解①得－18＜m＜0或0＜m＜38；解②得m∈∅，解③得m＝38.综上可知－18＜m≤38，故选D.答案：D3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈0,1]时，f(x)＝x，若在区间－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈2,3]时，f(x)＝x－2.在区间－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y ＝kx＋k的图象在区间－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图形易知k∈，14].答案：，14]4．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．解：(1)①函数f(x)有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.②设f(x)有两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1•x2＝3m＋4.由题意，有Δ＝4m2－＋＞＋＋＞0⇔＋＋＋＞0m2－3m－4＞03m＋4－2m＋1＞0－2m＋2＞0⇔m＞4或m＜－1，m＞－5，m＜1，∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象．由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．。
高三数学一轮总复习 29函数与方程同步练习 北师大版
2-9函数与方程基础巩固一、选择题1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( ) A．a<－1 B．a>1C．－1<a<1 D．0≤a<1[答案] B[解析]f(x)＝2ax2－x－1，∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2，∴由f(1)>0得a>1.故选B.2．(2011·陕西文，6)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根[答案] C[解析]本题考查了方程、函数图像、性质．可用数形结合解决．画出函数图像，易知有两个交点，即|x|＝cos x有两个根．(理)(2011·陕西理，6)函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内( ) A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图像，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图像只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(2012·湖北文，3)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] D[解析] 本题考查了零点的定义及余弦函数零点的求法．在区间[0,2π]，令f (x )＝0，即x ＝0或cos2x ＝0.x ＝0满足条件，当cos2x ＝0时x ＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0,1,2,3时x 分别对应值为π4，3π4，5π4，7π4均满足条件，故共有5个．4．(2013·济南外国语学校第一学期质检)函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为( ) A ．1,2 B ．±1，－2 C ．1，－2 D ．±1,2[答案] C[解析] 由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，∴(x －1)(x 2＋x －2)＝0，∴(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2，选C.5．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m <a <b <nB ．a <m <n <bC ．a <m <b <nD ．m <a <n <b[答案] A[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，结合图形知，选A.6．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．二、填空题7．(2012·抚州高考调研卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，，则函数f (x )的零点为________．[答案] 0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0.8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1[解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2·3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0， 解得－32<x <1.三、解答题9．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m 的取值范围． [解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －12－4≥0－3≤m ≤14＋m －1×2＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.能 力 提 升一、选择题1．(2012·天津理，4)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x ＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图像的公共点个数．2．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4][答案] A[解析] 本题判断f (x )＝0在区间内是否成立，即 4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A. 二、填空题3．(2012·江苏卷，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识． ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0即b ＝a 24.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9. 4．(2011·辽宁文，16)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，2ln2－2][解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力． 函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，即方程 也就是a ＝－e x＋2x 有解，令g (x )＝－e x＋2x ，g (x )的值域就是a 的取值范围．∵g ′(x )＝－e x＋2＝0的根为x ＝ln2，且当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数， 当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， ∴g (x )max ＝g (ln2)＝2ln2－2， ∴a 的取值范围是(－∞，2ln2－2]． 三、解答题5．判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．[分析] 借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断． [解析] ∵f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝133>0，∴f (x )在区间[－1,1]上有零点． 又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2(x －12)2，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤92，∴f (x )在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f (x )在[－1,1]上有且只有一个零点．6．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．[解析] ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0. 所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0， 即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.7．(文)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝x 2－x －3，因为x 0为不动点， 因此有f (x 0)＝x 20－x 0－3＝x 0，所以x 0＝－1或x 0＝3. 所以3和－1为f (x )的不动点． (2)因为f (x )恒有两个不动点，f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)＝x ， ax 2＋bx ＋(b －1)＝0，由题设知b 2－4a (b －1)>0恒成立， 即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0.所以0<a <1.(理)定义域为R 的偶函数f (x )，当x >0时，f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，方程f (x )＝0在R 上恰有5个不同的实数解．(1)求x <0时，函数f (x )的解析式； (2)求实数a 的取值范围． [解析] (1)设x <0，则－x >0， ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋ax (x <0)． (2)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝0的根关于x ＝0对称，又f (x )＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，∴原命题可转化为：当x >0时，f (x )的图像与x 轴恰有两个不同的交点． 下面就x >0时的情况讨论． ∵f ′(x )＝1x－a ，∴当a ≤0，f ′(x )>0，f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)上为增函数， 故f (x )＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．a >0时，令f ′(x )＝0，x ＝1a.当0<x <1a时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x >1a时，f ′(x )<0，f (x )递减，∴f (x )在x ＝1a处取得极大值－ln a －1，则要使f (x )在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．∴只要：－ln a －1>0，即ln a <－1， 得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。
高考数学二轮复习 函数与方程及函数的应用专题训练(含
【状元之路】2015版高考数学二轮复习 函数与方程及函数的应用专题训练（含解析）一、选择题 1．函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析 由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.故选B. 答案 B2．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 由f (0)＝20－0－2<0，f (1)＝2－1－2<0，f (2)＝22－2－2>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.答案 B3．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点．答案 C4．(2014·湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3解析 求出当x <0时f (x )的解析式，分类讨论解方程即可．令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．答案 D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0ln x ，x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．－1<k <0C ．－2≤k <－1D ．k ≤－2解析 由y ＝|f (x )|＋k ＝0得|f (x )|＝－k ≥0，所以k ≤0，作出函数y ＝|f (x )|的图象，要使y ＝－k 与函数y ＝|f (x )|有三个交点，则有－k ≥2，即k ≤－2，选D. 答案 D6．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1<x 2，则①x 0∈(1，e)；②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0；④f (x 1)－f (x 2)>0，其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析 因为f (1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f (e)＝2sine －π<0，所以x 0∈(1，e)，即①正确．f ′(x )＝2cos x －πx ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，πx >2，f ′(x )<0，当x ＝π2时，f ′(x )＝－2<0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，1<πx <2，cos x <0，f ′(x )<0.综上可知，f ′(x )<0，f (x )为减函数，f (x 1)>f (x 2)，即f (x 1)－f (x 2)>0，④正确． 答案 B 二、填空题7．已知0<a <1，函数f (x )＝a x－|log a x |的零点个数为________．解析 分别画出函数y ＝a x(0<a <1)与y ＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，图象有两个交点．答案 28．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解析 分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个． 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点． 综上，函数f (x )的零点个数为2. 答案 29．(2014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 如图所示，△ADE ∽△ABC ，设矩形的面积为S ，另一边长为y ，则S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 402.所以y ＝40－x ，则S ＝x (40－x )＝－(x －20)2＋202， 所以当x ＝20时，S 最大． 答案 20 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值． 解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程， 当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x＝1＋2， 即x ＝log 2(1＋2)．11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6， 因为x ∈R 时，f ′(x )≥m ， 即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，故m 的最大值为－34.(2)由(1)知，f ′(x )＝3(x －1)(x －2)，当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ；故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根． 解得a <2或a >52.∴实数a 的取值范围是(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. B 级——能力提高组1．(2014·湖南卷)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 20＋e x 0－12是函数f (x )图象上任意一点，该点关于y 轴的对称点⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20＋e x 0－12在函数g (x )的图象上，则x 20＋e x 0－12＝x 20＋ln(a －x 0)，即ln(a －x 0)＝e x 0－12，∴a ＝x 0＋e e x 0－ 12(x <0)．记h (x )＝x ＋ee x－12＝x ＋1e ee x ，则h ′(x )＝1＋1e ee x ·e x＝1＋1eee x ＋x >0， ∴h (x )在(－∞，0)上是增函数． ∴a <e 12＝e ，故选B.答案 B2．(2014·浙江名校联考)已知函数f (x )＝x 2＋1x2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a 在定义域上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2，x ≠0，令x ＋1x＝t ，则t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，由于f (x )有零点，则关于t 的方程t 2＋at ＋a －2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．∵t ≠－1，∴方程t 2＋at ＋a －2＝0可化为a ＝2－t2t ＋1，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a ＝2－t 2t ＋1＝－t ＋12＋2t ＋1＋1t ＋1＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a ＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t ≤－2时，a ≥2；当t ≥2时，a ≤－23，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)3．(2014·江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围(运算中2取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a 11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15， 列表如下：x 9 (9,10) 10 (10,15) 15 f ′(x ) － 0 ＋ 0f (x )↘极小值所以当x ＝即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．。
高考数学一轮复习 2.9函数与方程随堂训练 文
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 2.9函数与方程随堂训练文1．(2015·武汉模拟)“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点，则Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1，故“m <1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的充分而不必要条件．答案：A2．(2015·济南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －2，x <0，x －1，x ≥0，的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：令(12)x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1，所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0. 答案：C3．(2015·乌鲁木齐第一次诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝f (x )＋x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x >0的大致图象，观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0时，或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．故选D.答案：D4．(2014·郑州质量检测)已知函数f (x )＝12x －cos x ，则方程f (x )＝π4所有根的和为__________．解析：方程f (x )＝π4即12x －cos x ＝π4的根，也就是函数y ＝12x －π4与函数y ＝cos x交点的横坐标．两函数图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，所以方程f (x )＝π4所有根的和为π2. 答案：π2。
2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：函数与导数第9练
第9练 分段函数，剪不断理还乱[内容精要] 分段函数也是各省市考题中的一个热点，往往表现为求函数值，考查方式主要是选择题和填空题，有时借助函数图象考查函数零点问题．题型一 分段函数的值域问题例1 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．破题切入点 求各段值域，然后求并集． 答案 (－∞，2)解析 因为当x ≥1时，f (x )＝log 21x＝－log 2x ≤0，当x <1时，0<f (x )＝2x <2，所以函数f (x )的值域为(－∞，2)． 题型二 分段函数的零点问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( ) A ．b <－2且c >0 B ．b >－2且c <0 C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0破题切入点 分类讨论思想，结合函数图象解决． 答案 C解析 对比选项不难发现可以从c ＝0，c ≠0两种情形来考虑．若c ＝0，则x ＝0是方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0其中的一个根，且f (x )[f (x )＋b ]＝0，此时f (x )≠0，所以f (x )＋b ＝0，因此当－b >2时，f (x )＋b ＝0有四个根，满足题意，所以b <－2.综上可选C. 题型三 分段函数的综合性问题 例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．破题切入点 分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论． 解 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减； 当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增． 当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； 当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增． 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增． 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解之得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]．总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析 当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2] 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)答案 D解析 由x <g (x )得x <x 2－2， ∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)， 则下列函数的图象错误的是( )答案 D解析 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个长度单位即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0.若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 D解析 方法一 若m >0，则－m <0，f (m )＝12log m ＝－log 2m ，f (－m )＝log 2m ，由f (m )>f (－m )，得－log 2m >log 2m ，即log 2m <0,0<m <1；若m <0，则－m >0，f (－m )＝12log ()m -＝－log 2(－m )，f (m )＝log 2(－m )，由f (m )>f (－m )得log 2(－m )>－log 2(－m )，解得m <－1，故选D. 方法二 特殊值法，取m ＝2，则f (2)＝12log 2＝－1，f (－2)＝log 22＝1，f (2)>f (－2)不成立，排除B ，C.当m ＝－2时，f (－2)>f (2)成立．所以排除A ，故选D.6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(－1，32)B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)C ．(－1，14)∪(14，＋∞)D ．(－1，－34)∪[14，＋∞)答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋2)＋1，x ≤0，则f (－3)的值为________．答案 2解析 f (－3)＝f (－1)＋1＝f (1)＋2＝2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．答案 －1<a <3解析 由分段函数可得f (f (1))＝f (3)＝6a ＋9， 故f (f (1))>3a 2⇔6a ＋9>3a 2，解得－1<a <3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2013·四川)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 又当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2， 因为x 1<x 2<0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1， 即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)， 故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)， 即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋lnx 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)，因为h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0，所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．12．(2013·湖南)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a .(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ；当x >a 时，f (x )＝x －ax ＋2a.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a(x ＋2a )2<0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12.②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}． 而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求． 当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直． 则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3ax 2＋2a.(*)由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3ax 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1.故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅.综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.。
2015年高考数学一轮总复习配套课件：2.9函数与方程
解:(1)方法一:∵g(x)=x+ ≥2
x
2 =2e,等号成立的条件是 x=e,
故 g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有实数根.
考点一
考点二
第二十一页，编辑于星期五：十一点 十二分。
22
探究突破
方法二:作出
2
g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图:
.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0 ,那么函数 y=f(x)在区间
使得
f(c)=0
,这个
(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),
c 也就是方程 f(x)=0 的根.
第三页，编辑于星期五：十一点 十二分。
【例 3】设 f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于 x 的函数 F(x)=g(x)f(x)-m 在[1,2]上有零点,求 m 的取值范围.
x
x
解:令 F(x)=0,即 log2(2 -1)-log2(2 +1)-m=0,
∴m=log2(2x-1)-log2(2x+1)
关闭
D
解析
答案
第八页，编辑于星期五：十一点 十二分。
9
梳理自测
3.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(
)
关闭
能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有
f(a)·f(b)<0.A,B 中不存在 f(x)<0,D 中函数不连续,故选 C.
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第九节 函数与方程
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e)
D ．(3,4)
解析 ∵f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0， ∴f (1)·f (2)<0.故选B. 答案 B
2．函数y ＝f (x )在区间(－1,1)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－1,1)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．无法确定
解析 由题意知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，
∴f (－1)·f (1)符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x . 答案 D
3．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 f (x )＝2x
|log 0.5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝12x ，即|log 0.5x |＝(12)x ，所以问题转化为y ＝|log 0.5x |与y ＝(1
2)x 图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝(1
2)x 的图象，易知交点个数为2.
答案 B
4．(2014·厦门市质检)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x ， x ≥0，
log 12(－x )，x <0.
则函数y
＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 y ＝f (x )－(x 2＋1)的零点个数等于y ＝f (x )与y ＝x 2＋1的交点个数，由图可知，选B.
答案 B
5．(2014·河北质监)若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )
A ．y ＝f (－x )e x －1
B ．y ＝f (x )e －x ＋1
C ．y ＝e x f (x )－1
D ．y ＝e x f (x )＋1
解析
答案 C
6．(2014·乌鲁木齐第一次诊断)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，x ≤0，
e x ，x >0，则使
函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )
A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，
作出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤0，
e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)，观察它与直线y
＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，选D.
答案 D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．如果函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．
解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . g (x )＝－2ax 2
－ax ＝－2ax (x ＋1
2)，
则g (x )的零点是0，－1
2 答案 0，－1
2
8．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.
解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln2，由于ln2<lne ＝1，所以f (2)<0，
f (3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f (3)>0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.
答案 2
9．(2014·长春调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2 013]上的零点个数是________．
解析 由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数，在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x 在(－1，4]区间内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2 013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0，2 013]上的零点个数为3×201＋1＝604.
答案 604
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f (x )＝x 3
－x 2
＋x 2＋14.
证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明 令g (x )＝f (x )－x .
∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12<0.
又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 11．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值
范围．
解 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1
4.
综上，当a ＝0或a ＝－1
4时，函数仅有一个零点．
12．(2013·江西七校联考)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．
(1)求k 的值；
(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
解 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ， 即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12. (2)依题意有log 4(4x
＋1)－1
2x
＝log 4(a ·2x －a )，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4x
＋1＝(a ·2x －a )·2x ，a ·
2x －a >0， 令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1，t ＝－1时，不合题意． ②(*)式有一正一负根t 1，t 2，即
⎩⎨⎧
Δ＝a 2
－4(1－a )>0，t 1t 2＝11－a
<0，得a >1，经验证正根满足at －a >0，∴a >1.
③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a ＝±22－2， 此时t ＝a
2(a －1)，
若a ＝2(2－1)，则有t ＝
a
2(a －1)
<0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1
＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去；
若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a
2(a －1)
>0，且a ·2x －a ＝a (t －1)＝
a [a
2(a －1)－1]＝a (2－a )2(a －1)
>0， 因此a ＝－2(2＋1)．
综上所述，a >1或a ＝－2－2 2.。