弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
第七章板的弯曲
第七章板的弯曲工程结构中常应用较多的平板构件，如楼房的地板、桥面、箱型结构的板件等。
在线弹性分析范畴内，薄板弯曲问题应满足以下几个条件。
1.几何条件几何条件要求结构属于薄板。
工程中将厚度尺寸小于其他两个方面尺寸的结构称为板，平分板厚度的面称为板的中面，平板的中面为平面。
设t表示板的厚度，l表示板中面的最小边长（圆板为直径）。
在通常的计算精度要求下，当15tl时则认为板为薄板。
否则便认为是厚板，厚板的变形和应力较复杂，应按空间问题进行处理。
2.载荷条件载荷条件要求结构仅承受垂直于中面的横向载荷作用。
一般情况下，薄板即可承受横向载荷作用，也可承受平行于板中面的膜载荷作用。
在两种载荷作用下，板内将产生薄膜应力和弯曲应力。
前者是作用在中面内拉、压力和面内切力（剪力），它使板产生面内变形。
后者是指弯矩、扭矩和横向剪力，它使板发生弯扭变形。
在小挠度情况下可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
3.小挠度条件在横向载荷作用下，薄板中面上各个点沿垂直中面方向 的横向变形成为挠度，记为ω。
大挠度与小挠度之间没有显著的界限，一般认为15t ω≤时为小挠度板，15tω<<时为大挠度板，5tω≥时为特大挠度板。
在大挠度的情况下，薄板面内变形和弯曲变形之间要相互影响，及横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更为复杂的理论分析方法。
第一节 薄板弯曲弹性力学基础在受到垂直于板面的载荷后，薄板将会产生弯曲。
对于薄板弯曲问题，研究时一般以未变形的板的中面为xoy 平面，厚度方向为z 轴方向。
一、克希霍夫（Kirchhoff ）假设分析薄板弯曲问题时，采用克希霍夫（Kirchhoff ）假设：（1）法线假设在变形前，垂直于中面的法线，在变形后仍垂直于薄板弯曲了的中面，且法线线段没有伸缩，板的厚度没有变化。
《高等有限元方法-张年梅》第3章平板弯曲问题
101第三章 弹性平板弯曲问题弹性薄板在工程中应用很广。
对于一些比较简单的清况，如等厚、单跨、无大孔口、外形规则（矩形、圆形等）的薄板，已有一些理论解答及表格可资利用。
但对于在工程中经常出现的复杂情况，如变厚度、多垮度、大孔口、外形不规则以及受到弹性梁、柱支承的薄板，理论方法是无能为力的，现在利用有限单元法，可迅速求解。
由于板壳结构在几何上有一个方向的尺度比其它两个方向小的多的特点，在结构力学中引入了一定的假设，使之简化为二维问题。
这种简化不仅是为了便于用解析法求解，而且从数值求解角度考虑也是必要的。
这可以使计算费用得到很大的缩减，同时可以避免因求解系数矩阵的元素间相差过大而造成的困难。
按位移法求解薄板弯曲问题时，在相邻单元的公共边界上，不但要求挠度w 连续，而且要求w 的一阶导数连续。
但要做到这一点是很不容易的。
因此，在薄板弯曲的有限单元中，除了按位移求解的协调单元外，杂交单元和混合单元也颇受重视，后来又发展了挠度和转动分别独立插值的曲边板单元，效果较好。
第一节 弹性薄板的弯曲在受到垂直于板面的荷载后，薄板将产生弯曲。
如果板的挠度w 与其厚度相比是比较小的，在分析板的弯曲问题时可采用下列假定：（1）可忽略板厚度方向的正应力，并假定薄板的厚度没有变化， （2）薄板的法线，在产生弯曲后，仍保持为薄板弹性曲面的法线。
（3）薄板中面上的各点，没有平行于中面的位移。
利用上述假定，板的全部应力和应变分量都可用板的挠度w 表示。
取板的中面为xy 面，z 轴垂直于中面，如图 1.l 所示。
x图1.1由第（1）个假定可知0z w zε∂==∂ 从而可得w ＝w （x ，y ），也就是说，薄板中面每一法线上的所有各点都有相同的位移w 。
由第（2）假定，薄板弯曲后，板的法线与弹性曲面在x 方向或y 方向的切线都保持互相垂直，没有剪应变，即0yz γ=，0zx γ=，也就是1020v wz y∂∂+=∂∂，0w u x z ∂∂+=∂∂ 由上式可知v w z y∂∂=-∂∂， u w z x ∂∂=-∂∂ （a ） 但由w ＝w （x ，y ）可知w x ∂∂和wy∂∂都是不随z 变化，由式（a ）对z 积分，得 2(,)wv zf x y y∂=-+∂， 1(,)w u z f x y x ∂=-+∂ （b ） 式中，1(,)f x y 和2(,)f x y 是任意函数。
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
第12章薄板的小挠度弯曲问题[精心整理]
![第12章薄板的小挠度弯曲问题[精心整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/cc71d992ed3a87c24028915f804d2b160b4e86c5.png)
第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
板弯曲详细讲解
2 －t
2
Zdt
板上、下表面的边界条件变成
z zt 0 2
z z－t q 2
z z
2(1
E
v
2
)
t2 4
z2
2 w
z
Et 2(1
3
v
2
)
t2 4
z
z3 3
4w
f
(x,
y)
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0 2
z
Et 3 1
6(1
v
2
)
2
-
z 2 1 t
垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题
▪ 薄膜：
其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的轴向力 和板面内的剪切力来承担；
▪ 厚板：
其内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，应按照三维问 题处理；对于厚度比较小的薄板。
▪ 薄板的基本假定：
（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面 保持垂直；
力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由式求得 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求
即：
RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，
2w xy
xa,
y b
0
2w x 2
2w y 2
特点：
y
1
Ez
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，
在板的上、下板面达到最大。
zx x yx z x y
zy y xy z y x
弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
板壳理论 弹性薄板弯曲的基本理论(精编荟萃)
（3）注意计算中的错误。
精编荟萃
24
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.5 四边简支矩形板的一般解
薄板横向弯曲的微分方程是
D 2 2 w
4w
D
(1.3.5)
精编荟萃
4
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
图1.5 边精界编荟上萃的扭矩
5
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上：
内力Myxdx
在微段DE上：
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2 w
（2）边界条件
4w
D
x
4
2
4w x 2y 2
4w
y 4
q
设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准
面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是
x
x
w y, w x
xa b
yb a
(1.4.7)
在这两个边界上还有薄板弯矩的边界条件
M x xa M y yb 0
在OA边和OC边，边界条件是
(1.4.8)
w x0 0 , M x x0 0 w y0 0 , M精y 编y荟0萃 0
(1.4.9) 19
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（3）取满足边界条件挠度函数
取薄板的挠度曲线函数为
w x xy
《弹性力学》第十二章薄板弯曲
D点的挠度为 w w dy
y
由
xz
0和
yz
0 可知
u z
w x
0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
x
1
E
2
x y
y
1
E
2
y x
xy
E
21
xy
10
将应力分量用挠度w 表示，得：
x
1
E
2
2w x 2
2w y 2
z
y
E
1 2
2w y 2
2w x 2
与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板 的边界方程为:
x2 a2
y2 b2
1
ao x
b
y
25
设挠度的表达式为:
w
C 1
x2 a2
y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
2w x2
2w y 2
xa
0
3w x3
2
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
弹性力学-第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
第五章薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。
c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。
(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。
（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。
这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。
2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。
3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。
弹性力学第9章—薄板的弯曲
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
有限元薄板弯曲问题分析
第4章 弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。
象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。
故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。
在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。
平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和 薄板（Thin plate)两种。
当1<<at时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面内拉压荷载。
由面内拉压刚度承担, 属平面应力问题。
2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。
平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。
当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤t w 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。
) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。
（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度) ２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。
(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ∂∂=θ (B ’点绕度dx x w w ∂∂+) 沿y 方向倾角(绕x 轴) y wx ∂∂=θ (D ’点绕度dy yw w ∂∂+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw∂∂, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u∂∂-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y wzv ∂∂-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率 基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板内任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=εεε−−−→−代入将V U .{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
o q(x, y)
t2 t2
x b
z 图10-1 薄板的弯曲
两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚， 而平分厚度t的平面称为板的中面。当板的厚度t 远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8至b/5）, 这个板称为薄板，否则称为中厚板。
x
Mxz I
,
y
Myz I
,
xy
M xy z I
xz
6FQx t3
t2 4
z2
,
yx
6FQy t3
t2 4
z2
（10.12）
在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和 扭矩，横向剪力一般都无须计算。挤压应力 更是次要应力。
边界条件
现以图10.3所示的矩形薄 O 板为例，说明各种边界的边
C
x
a
界条件。假定该板的OA边固 b
y
v y
z
2w y 2
xy
u y
v x
2zBiblioteka 2wxy
（10.2）
2w x2
、
2w y 2
分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率
（3）、本构关系与主要应力
由假设（2）,即在本构关系中不考虑次要应力 z , zx , zy
即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同
x
E
1
2
x y
（10.4）
xz
z
Ez
1 2
3w x 3
3w xy 2
1
Ez
2
x
2w
yz
z
Ez
1 2
3w y 3
3w yx 2
1
Ez
2
y
2w
上式对z进行积分，注意到如下边界条件
xz z t 0, 2
yz z t 0 2
可得
xz
6D t3
x
2
w
t2 4
z 2
yz
6D t3
薄板弯曲的基本方程
（1）、位移函数
根据直法线（1），并结合几何方程有
z
w z
0
w w(x, y)
v z w , u w
y
x
可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问 题。只要中面挠度w确定，任何点的位移都确定。
⑴、几何方程与应变分量
薄板内不等于零的应变分量有如下三个
x
u x
z
2w x 2
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
（3）、板中面只发生弯曲变形，没有面内伸缩。
以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线 假设。如图10-1所示，作用在板上的荷载垂 直于板面时，薄板发生弯曲变形，当薄板弯 曲时，中面所弯成的曲面，称为弹性曲面， 而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称 为挠度w。
薄板弯曲问题采用位移法求解，基本思路 是确定位移函数的形式，使其满足位移表示的 平衡方程，然后再满足位移分量表示的应力边 界条件即得问题解答。基于以上基本假设，可 由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的 基本方程。
z
z3 3
f3 (x, y)
在薄板的下面，有边界条件
z zt 0 2
（a） （b）
将式（a）代入式（b），求出 f3 (x, y) 后再代入式（a）得
z
6D t3
4
w
t2 4
z
t 2
1 3
z
3
t3 8
(5)、薄板的挠曲微分方程
在薄板的上边界有
z z t q 2
将式(10.7)代入式(c)得
薄板横截面上的内力和边界条件
薄板内力
在绝大多数的情况下， 都很难使得应力分量在薄 板的侧面边界上精确地满 足应力边界条件，而只能 应用圣维南原理，即由这 些应力分量组成的内力整 体地满足边界条件。 因 此，首先来考察这些应力 分量和组成内力的关系。
qdxdy
t 2
tz 2 dz
My
FQy M
M
yx
E
1
2
2w x 2
2w y 2
y
E
1 2
y x
E
1
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
（10.3）
（4）、平衡方程与次要应力
次要应力即 z , zx , zy 是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。
x
x
xy
y
xz
z
0
xy
x
y
y
yz
z
0
将式(10.3)代入上式得
定，OC边简支，AB边和BC
A
B
边自由。
y
（1）、固定边（几何边界条件）
图10-3 矩形薄板
w 0, w 0
x0
x x0
（10.13）
（2）、简支边（混合边界条件）, 沿着简支边OC，薄板 的挠度等于零。如果有分布弯矩作用，则
w 0, y0
M y y0 M y
FQx
xy
Mx
y
yx xy xz x yz
dy
dx
图10-2 薄板的内力
在x为常数的横截面上，
t2
t2
t2
Mx
t
2
x zdz
,
Mxy
t
2
xyzdz
,
FQx
t
2
xz zdz
在y为常数的横截面上，
（10.9）
t2
t2
t2
My
t
2
y zdz
,
M yx
t
2
yxzdz
,
FQy