弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法

x
Mxz I
,
y
Myz I
,
xy
M xy z I
xz
6FQx t3
t2 4
z2
,
yx
6FQy t3
t2 4
z2
（10.12）
在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和 扭矩，横向剪力一般都无须计算。挤压应力 更是次要应力。
边界条件
现以图10.3所示的矩形薄 O 板为例，说明各种边界的边
C
x
a
界条件。假定该板的OA边固 b
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
z
z3 3
f3 (x, y)
在薄板的下面，有边界条件
z zt 0 2
（a） （b）
将式（a）代入式（b），求出 f3 (x, y) 后再代入式（a）得
z
6D t3
4
w
t2 4
z
t 2
1 3
z
3
t3 8
(5)、薄板的挠曲微分方程
在薄板的上边界有
z z t q 2
将式(10.7)代入式(c)得
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
（10.4）
xz
z
Ez
1 2
3w x 3
3w xy 2
1
Ez
2
x
2w
yz
z
Ez
1 2
3w y 3
3w yx 2
1
Ez
2
y
2w
上式对z进行积分，注意到如下边界条件
xz z t 0, 2
yz z t 0 2
可得
xz
6D t3
x
2
w
t2 4
z 2
yz
6D t3
y
v y
z
2w y 2
xy
u y
v x
2z
2
w
xy
（10.2）
2w x2
、
2w y 2
分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率
（3）、本构关系与主要应力
由假设（2）,即在本构关系中不考虑次要应力 z , zx , zy
即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同
x
E
1
2
x y
薄板弯曲的基本方程
（1）、位移函数
根据直法线（1），并结合几何方程有
z
w z
0
w w(x, y)
v z w , u w
y
x
可见，薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问 题。只要中面挠度w确定，任何点的位移都确定。
⑴、几何方程与应变分量
薄板内不等于零的应变分量有如下三个
x
u x
z
2w x 2
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
o q(x, y)
t2 t2
x b
z 图10-1 薄板的弯曲
两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚， 而平分厚度t的平面称为板的中面。当板的厚度t 远小于中面的最小尺寸b（如小于b/8至b/5）, 这个板称为薄板，否则称为中厚板。
E
1
2
2w x 2
2w y 2
y
E
1 2
y x
E
1
2
2w y 2
2w x 2
xy
Ez
1
2w xy
（10.3）
（4）、平衡方程与次要应力
次要应力即 z , zx , zy 是平衡所必须的，且可根据平衡条件来确定。
x
x
xy
y
xz
z
0
xy
x
y
y
yz
z
0
将式(10.3)代入上式得
FQx
xy
Mx
y
yx xy xz x yz
dy
dx
图10-2 薄板的内力
在x为常数的横截面上，
t2
t2
t2
来自百度文库x
t
2
x zdz
,
Mxy
t
2
xyzdz
,
FQx
t
2
xz zdz
在y为常数的横截面上，
（10.9）
t2
t2
t2
My
t
2
y zdz
,
M yx
t
2
yxzdz
,
FQy
定，OC边简支，AB边和BC
A
B
边自由。
y
（1）、固定边（几何边界条件）
图10-3 矩形薄板
w 0, w 0
x0
x x0
（10.13）
（2）、简支边（混合边界条件）, 沿着简支边OC，薄板 的挠度等于零。如果有分布弯矩作用，则
w 0, y0
M y y0 M y
薄板横截面上的内力和边界条件
薄板内力
在绝大多数的情况下， 都很难使得应力分量在薄 板的侧面边界上精确地满 足应力边界条件，而只能 应用圣维南原理，即由这 些应力分量组成的内力整 体地满足边界条件。 因 此，首先来考察这些应力 分量和组成内力的关系。
qdxdy
t 2
tz 2 dz
My
FQy M
M
yx
（3）、板中面只发生弯曲变形，没有面内伸缩。
以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线 假设。如图10-1所示，作用在板上的荷载垂 直于板面时，薄板发生弯曲变形，当薄板弯 曲时，中面所弯成的曲面，称为弹性曲面， 而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称 为挠度w。
薄板弯曲问题采用位移法求解，基本思路 是确定位移函数的形式，使其满足位移表示的 平衡方程，然后再满足位移分量表示的应力边 界条件即得问题解答。基于以上基本假设，可 由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的 基本方程。