多项式的根
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2.6 多项式的根
2.6.1 多项式函数与多项式的根
定义 设 f x a0 a1x L anxn F x. 对于
c F, 数 f c a0 a1c L ancn F 称为当
x c 时 f x 的值.
现在，设f (x)是数域F上的一个多项式.对于
那么f (x)在F中最多有n个根(k重根按k个计).
推论2.12.1设f ( x) F[ x]. f ( x) 0当且仅当f ( x)在 F中有无穷多个根.
推论2.12.2 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x) g( x)当且 仅当它们确定的两个多项式函数相等.
推论2.12.3 设f ( x), g( x)是数域F上两个次数 n 的多项式. 如果对于F中n 1个不同的数c1,L ,cn1,有
定理2.11(因式定理) 设f ( x) F[x], c F . c是f ( x)的根当且仅当x - c是f ( x)的因式.
定义 设f ( x) F[x], c F .如果(x c)是f ( x)
的k重因式,则称c是f ( x)的k重根. 当k 1时，c称为 f ( x)的一个单根; k 1时，c 称为f ( x)的重根, k称为 c 的重数.
解之，得 a 7 , b 3 , c 2 . 因此
6
2பைடு நூலகம்
3
f (x) 7 x2 3 x 2 . 6 23
f (ci ) g(ci ) (i 1, 2,L , n 1), 那么f ( x) g( x).
问题： 设 a1, a2 ,L , an 是F中n个不同的数，
b1,b2,L ,bn 是F中任意n个数，能否找到一个n-1次多项
式 f x，使得
f ai bi , i 1, 2,L , n.
若
f x g x,
则 f (c) g (c).
2.6.2 余式定理和因式定理
定理2.10（余式定理） 一次多项式x c
除多项式f x所得余式为f (c).
定义2.1 设f (x) F[x], c F . 如果 f (c) 0, 则称c是f (x)在F中的一个根.
说明：由. 推论2.12.3，数域F上满足以上条 件的多项式至多存在一个.事实上，利用拉格朗 日插值公式或待定系数法可以确定一个多项式.
拉格朗日(Lagrange)插值公式
f (x) n1 bi (x a1)L (x ai1)(x ai1)L (x an1) .
i1 (ai a1)L (ai ai1)(ai ai1)L (ai an1)
例2 求一个次数小于3的多项式 f x, 使得
f 2 7, f 1 2, f 2 1.
解（待定系数法） 设所求的多项式为
f x ax2 bx c.
由已知条件得线性方程组
4a 2b c 7,
a b c 2,
4a 2b c 1.
F中的每个数c,在F中有唯一确定的数f (c)与之对
应.这样，f (x)就定义了数域F上的一个函数，称
为 F上的一个多项式函数.
当F 是实数域时， f就(x是) 数学分析中讨论的多项
式函数（有理整函数）.
容易验证： 若
ux f x gx,vx f xgx,
则
uc f c gc,vc f cgc.
例2.10 验证2是不是多项式 f (x) 2x4 8x3 9x2 4x 4
的根.如果2是f ( x)的根，试确定其重数k,并把f ( x) 表示成f ( x) ( x - 2)k g( x)的形式.
2.6.3 多项式的根的个数
定理2.12 设f (x) F[x].如果0 f (x) n n 0，
2.6.1 多项式函数与多项式的根
定义 设 f x a0 a1x L anxn F x. 对于
c F, 数 f c a0 a1c L ancn F 称为当
x c 时 f x 的值.
现在，设f (x)是数域F上的一个多项式.对于
那么f (x)在F中最多有n个根(k重根按k个计).
推论2.12.1设f ( x) F[ x]. f ( x) 0当且仅当f ( x)在 F中有无穷多个根.
推论2.12.2 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x) g( x)当且 仅当它们确定的两个多项式函数相等.
推论2.12.3 设f ( x), g( x)是数域F上两个次数 n 的多项式. 如果对于F中n 1个不同的数c1,L ,cn1,有
定理2.11(因式定理) 设f ( x) F[x], c F . c是f ( x)的根当且仅当x - c是f ( x)的因式.
定义 设f ( x) F[x], c F .如果(x c)是f ( x)
的k重因式,则称c是f ( x)的k重根. 当k 1时，c称为 f ( x)的一个单根; k 1时，c 称为f ( x)的重根, k称为 c 的重数.
解之，得 a 7 , b 3 , c 2 . 因此
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f (x) 7 x2 3 x 2 . 6 23
f (ci ) g(ci ) (i 1, 2,L , n 1), 那么f ( x) g( x).
问题： 设 a1, a2 ,L , an 是F中n个不同的数，
b1,b2,L ,bn 是F中任意n个数，能否找到一个n-1次多项
式 f x，使得
f ai bi , i 1, 2,L , n.
若
f x g x,
则 f (c) g (c).
2.6.2 余式定理和因式定理
定理2.10（余式定理） 一次多项式x c
除多项式f x所得余式为f (c).
定义2.1 设f (x) F[x], c F . 如果 f (c) 0, 则称c是f (x)在F中的一个根.
说明：由. 推论2.12.3，数域F上满足以上条 件的多项式至多存在一个.事实上，利用拉格朗 日插值公式或待定系数法可以确定一个多项式.
拉格朗日(Lagrange)插值公式
f (x) n1 bi (x a1)L (x ai1)(x ai1)L (x an1) .
i1 (ai a1)L (ai ai1)(ai ai1)L (ai an1)
例2 求一个次数小于3的多项式 f x, 使得
f 2 7, f 1 2, f 2 1.
解（待定系数法） 设所求的多项式为
f x ax2 bx c.
由已知条件得线性方程组
4a 2b c 7,
a b c 2,
4a 2b c 1.
F中的每个数c,在F中有唯一确定的数f (c)与之对
应.这样，f (x)就定义了数域F上的一个函数，称
为 F上的一个多项式函数.
当F 是实数域时， f就(x是) 数学分析中讨论的多项
式函数（有理整函数）.
容易验证： 若
ux f x gx,vx f xgx,
则
uc f c gc,vc f cgc.
例2.10 验证2是不是多项式 f (x) 2x4 8x3 9x2 4x 4
的根.如果2是f ( x)的根，试确定其重数k,并把f ( x) 表示成f ( x) ( x - 2)k g( x)的形式.
2.6.3 多项式的根的个数
定理2.12 设f (x) F[x].如果0 f (x) n n 0，