湖南省永州市高一数学上学期期末考试新人教版
【解析版】永州市数学高一上期末提高卷(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12109]已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．(0分)[ID ：12093]设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,13．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+4．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<7．(0分)[ID ：12076]若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 8．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．(0分)[ID ：12066]下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x10．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．111．(0分)[ID ：12062]已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
2022-2023学年湖南省永州市双牌县第二中学高一数学第一学期期末经典试题含解析
在 中，令 可得 ，则
令 可得 ，可得
任取 且 ，则 ，所以
则
即 ，所以 是R上的增函数
【小问2详解】
（i）由 在 上是单减单减函数，又 单调递增
由复合函数的单调性规律可得 在 上是单减单减函数.
（ii）由 ，
所以 的解为
从而不等式 的解为
，即
即 ，整理可得
即 ，解得 或 ，所以 或
所以原不等式的解集为
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知点 ， ， ，且满足 ，若点 在 轴上，则 等于
A. B.
C. D.
9．如图是某班 名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在 区间内的学生人数为
A. B.
C. D.
10．函数 零点所在的区间是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为9
故答案为：9
12、
【解析】先求出半径，再用扇形 面积公式求解即可.
【详解】由已知半径为 ，
则这条弧所在的扇形面积为 .
故答案为： .
13、
【解析】函数 定义域为
故答案为 .
14、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子 ，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数 在 上是减函数
【详解】解：函数 的周期为 ，值域为 , ，
则 的值域为 , ，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ；
（2） .
【解析】(1)根据给定条件可得 ，再利用诱导公式化简计算作答.
湖南省永州市中和镇中学2019-2020学年高一数学理上学期期末试题含解析
湖南省永州市中和镇中学2019-2020学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为( )A． B．C．D．参考答案：B2. 设集合，则的取值范围是（）A． B.C. 或D. 或参考答案：A试题分析：因为，所以所以.故选A．考点：1、集合运算；2、绝对值不等式．【方法点睛】的几何意义是实数在数轴上对应的点离开原点的距离，所以的解集是；不等式的解集是．把不等式与中的替换成，就可以得到与型的不等式的解法．本题考查含有绝对值的不等式的解法和集合的运算，属于基础题．3. 已知偶函数f(x)在区间[0,＋∞)上单调增加,则满足<的x取值范围是()A. B. C. D.参考答案：B略4. 给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角.其中正确的命题有( ▲ )A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：C5. 若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先利用点到直线的距离，求得圆心到直线x0x+y0y=r2的距离，根据P在圆内，判断出x02+y02＜r2，进而可知d＞r，故可知直线和圆相离．【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=∵点P（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，故直线和圆相离．故选：C．【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查了直线与圆的位置关系．考查了数形结合的思想，直线与圆的位置关系的判定．解题的关键是看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．6. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．7. 若上的奇函数，则的值为 .参考答案：1略8. 已知x，y都是正数,且，则的最小值等于A. 6B.C. D.参考答案：C【详解】,故选C.9. 设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：示表中数据对应关系的函数是（）A．，t∈[0，24] B．，t∈[0，24]C．，t∈[0，24] D．，t∈[0，24]参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=K+Asin（ωx+φ）中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．【解答】解：排除法：∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，∴由T=12可排除C、D，将（3，15）代入排除B．故选A【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．10. 设定义域为R的函数满足且,则= ( )A. B.1 C. 2005 D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设2a＝5b＝m，且.则m＝________.参考答案：略12. 已知点A(－1,5)和向量=（2,3）,若=3,则点B的坐标为参考答案：(5,14)13. 函数f（x）=log（x2﹣4x﹣5）的单调递减区间为．参考答案：（5，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣4x﹣5＞0，即x＞5或x＜﹣1．设t=x2﹣4x﹣5，则当x＞5时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递增，当x＜﹣1时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递减．∵函数y=log t，在定义域上为单调递减函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x＞5时，函数f（x）单调递减，即函数f（x）的递减区间为（5，+∞）．故答案为：（5，+∞）14. 已知一个扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为_________________.参考答案：略15. 已知圆x2+y2=4，则圆上到直线3x﹣4y+5=0的距离为1的点个数为．参考答案：3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆x2+y2=4，得到圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个点．【解答】解：圆x2+y2=4，是一个以（0，0）为圆心，以2为半径的圆．圆心到3x﹣4y+5=0的距离为d==1，所以圆上到直线3x﹣4y+5=0的距离为1的点个数为3．故答案为：3．16. = .参考答案：17. 函数的单调减区间为__________；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
┃试卷合集4套┃2020年湖南省永州市数学高一(上)期末监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ） A.B.C.D.2．已知,m n 表示两条不同直线，,αβ表示两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A ．若,m n n α⊥⊂，则m α⊥ B ．若,m m αβ∕∕∕∕，则αβ∕∕ C ．若αβ∕∕，m β∕∕，则m α∕∕D ．若,m n αα⊥∕∕，则m n ⊥3．已知函数()f x 满足()()0f x f x --=且当0x ≤时，()()3ln 1f x x x =-+-，设()3log 6a f =，()4log 8b f =，()5log 10c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>4．函数()af x x b =+，不论a 为何值()f x 的图象均过点()0m ,，则实数b 的值为（ ） A.-1B.1C.2D.35．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r .若点,M N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（ ）A.20B.9C.15D.66．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为403m 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈3 1.73≈） A.15B.16C.17D.187．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦D ．2232⎡⎣9．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，则S 6＝ A ．92B ．5C ．－92D ．－510．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式2yx m 3m 4+<-有解，则实数m 的取值范围( )A ．()1,4-B ．()(),14,∞∞--⋃+C ．()4,1-D ．()(),03,∞∞-⋃+11．函数的一个零点所在区间为（ ） A ．B ．C ．D ．12．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π二、填空题13．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．过点P(t ，t ）作圆C ：（x 一2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，若直线AB 过点（2，18），则t ＝____.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.16．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________. 三、解答题17．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 18．已知函数f (x) = ax 2-4ax+1+b （a ＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设()()6103f x x g x x+-=．（1）求a ，b 的值；（2）若不等式g （2x ）-k•2x ≥ 0在x ∈[1，2]上恒成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数f （x ）=()()()33133(1)a x x a x x --≥⎧⎪-++<⎨⎪⎩（x ∈R ）．（1）证明：当a ＞3时，f （x ）在R 上是减函数； （2）若函数f （x ）存在两个零点，求a 的取值范围． 20．已知函数()()sin f x A x ωφ=+，其中0,0,02A πωφ>><<.()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离为4π，且图象上一个最高点为,212π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的解析式和单调递增区间；（Ⅱ）先把函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x ，求()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 21．如图，四棱锥P ABCD -的底面四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，2CD AB =，M 是PC 的中点.（1）证明：//BM 平面PAD ；（2）若PB BC =且平面PBC ⊥平面PDC ，证明：PA AD =.22．已知点，直线，且点不在直线上. （1）若点关于直线的对称点为，求点坐标；（2）求证：点到直线的距离；（3）当点在函数图像上时，（2）中的公式变为，请参考该公式，求的最小值.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A B B A A A B CC13．310 14．8 15．79-16．()()221125x y -+-= 三、解答题17．(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) 12；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由略 18．（1）3,12a b ==；（2）14k ≤ 19．（1）略；（2）()0,3 20．（Ⅰ）()2sin(4)6f x x π=+,增区间11,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）[]1,2-.21．（1）略；（2）略 22．（1）； （2）略； （3）.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．函数cos y x =的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．2π2．已知点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上，若存在满足该条件的,a b 使得不等式2128m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1][9,)-∞-⋃+∞ B ．(,9][1,)-∞-⋃+∞ C ．[]1,9-D ．[]9,1-3．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A.34k ≥或 4k ≤- B.34k ≥或 14k ≤- C.344k -≤≤D.344k ≤≤ 4．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A.24B.48C.56D.645．函数()f x 满足：()y f x 1=+①为偶函数：②在[)1,∞+上为增函数.若2x 1>-，且12x x 2+<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是( ) A ．()()12f x f x ->- B ．()()12f x f x -< C ．()()12f x f x -≤-D ．不能确定6．已知a ，b ，c R ∈，函数()2f x ax bx c =++，若()()f x f 2x =-，则下列不等关系不可能成立的是( )A ．()()()f 1f 1a f 12a <-<-B ．()()()f 1f 1a f 12a <-<+C ．()()()f 1a f 12a f 1-<-<D ．()()()f 12a f 1a f 1+<-<7．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥ B ．若m αγ=I，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥8．已知实数a 、b 、c 满足a b <且0c ≠，则下列不等式一定成立的是（ ） A.11a b> B.22a b > C.ac bc <D.22a b c c< 9．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．2π 10．将函数()()()sin 23cos 2(0)f x x x ϕϕϕπ=+++<<图象向左平移π4个单位后，得到函数的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )A ．12-B ．32-C ．22D ．1211．设函数，则是( )A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数 12．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+ B ．31+ C ．232- D ．31-二、填空题13．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为10π0，PA ⊥面0,4,30ABC PA BAC =∠=，则该三棱锥体积的最大值为____。
湖南省永州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
，
函数 是奇函数，排除AC；
当 时， ，
此时图像在 轴的上方，排除B.
故选：D
8.已知实数 ，且满足 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.3
【答案】C
【解析】
【分析】已知条件式变形为 ，构造函数 ，利用单调性得 ，从而 ，利用二次函数的性质即可求出最小值.
【详解】由 得 ，
【小问1详解】
解：因 ，
所以 ；
【小问2详解】
（2）因为 ，
所以 ，则 ，即 ，
设 ，因为 ，
当 时， ，则 在 上有且只有一个实根，
当 时， ，不成立；
当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，则 在 有且只有一个实根，
则 ，解得 ；
综上：实数 的取值范围是 .
22.已知函数 ，
（1）求函数 的单调递减区间；
，
，
有解，
，即 或 ，
是方程 的两个根，
即 是方程 的两个根，
故 ，即 ，
解得： ，
，
故选项C错误，选项D正确.
故答案选：BD.
【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知幂函数 的图象过点 ，则 _________.
5.已知 ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性以及中间值确定 的范围,进行比较即可.
【详解】根据指数函数、对数函数的性质,
由 单调递减可知:
由 单调递减可知:
由 单调递减可知:
湖南省永州市高一上学期期末数学试卷
湖南省永州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·桂林模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·长春期中) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A .B . y=ex+xC .D .3. （2分） (2019高二下·东莞期中) 已知，是的导函数，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·太原期中) 设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A . 若且，则B . 若且，则C . 若且，则D . 若且，则5. （2分）(2017·福州模拟) 设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae ， ea﹣1的大小关系为（）A . ea﹣1＜a＜aeB . ae＜a＜ea﹣1C . ae＜ea﹣1＜aD . a＜ea﹣1＜ae6. （2分） (2019高一上·绍兴期末) 以下运算正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）设方程log2x﹣（）x=0与log x﹣（）x=0的根分别为x1 ， x2 ，则（）A . 0＜x1x2＜1B . x1x2=1C . 1＜x1x2＜2D . x1x2≥28. （2分）已知x0是函数的一个零点．若，，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分） (2020高一下·忻州月考) 平面上有三点A ， B ， C ，设，，若与的长度恰好相等，则有（）A . 三点必在同一直线上B . 必为等腰三角形且为顶角C . 必为直角三角形且D . 必为等腰直角三角形10. （2分）一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为（）A . 3πB . 4πC . 6πD . 8π11. （2分） (2020高一下·沭阳期中) 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°12. （2分）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·金山期中) 函数f（x）= 的定义域为________．14. （1分）点P（x，y）在直线y=kx+2上，记T=|x|+|y|，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数k的取值是________15. （1分）已知M（﹣2，1），N（3，2），直线y=kx+1与线段MN有交点，则k的范围是________16. （1分） (2015高一上·福建期末) 两直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2020高一下·南宁期中) 在平面直角坐标系中，已知， .（Ⅰ）若，求实数k的值；（Ⅱ）若，求实数t的值.18. （10分）综合题。
湖南省永州市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 (解析版)
2020-2021学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3} 2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2 4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．45．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x| 10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝．14．已知sinα＝，则cos（）＝．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设全集U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，则∁U A＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3}，A＝{1，2}，∴∁U A＝{3}．故选：C．2．365°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为365°＝360°+5°，5°是第一象限角，所以365°是第一象限角．故选：A．3．命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是（）A．∃x∈R，x﹣1＜2B．∃x∈R，x﹣1≤2C．∀x∈R，x﹣1＜2D．∀x∈R，x﹣1≤2解：命题“∃x∈R，x﹣1＞2”的否定是∀x∈R，x﹣1≤2，故选：D．4．扇形的半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：扇形的半径为1，圆心角为2，扇形的弧长为2，所以扇形的面积为：故选：A．5．已知a＝log2，b＝（）﹣2，c＝2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c解：∵，∴a＝﹣1，∵＝4，∴b＝4，∵，∴c＝，∴a＜c＜b，故选：C．6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选：A．7．函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣）C．（0，）D．（）解：根据题意，f（x）＝x+cos x，则f（﹣1）＝﹣1+cos1＜0，f（﹣）＝﹣+cos＞﹣+cos＞0，则函数f（x）＝x+cos x的零点所在的区间为（﹣1，﹣），故选：A．8．设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若存在x∈[m，+∞），使得f（x）＝有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]解：f（x+1）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．当x∈（1，2]时，f（x）＝﹣（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（2，3]时，f（x）＝﹣（x﹣2）（x﹣3）．当x∈（3，4]时，f（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣4）．根据f（x）＝，结合图象可得，＝﹣（x﹣2）（x﹣3），所以x＝，所以m，所以m的取值范围为．故选：C．二、多项选择题（共4小题）.9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x2C．y＝x﹣2D．f（x）＝|x|解：对于A，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝x﹣2＝为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：BD．10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．＜解：对于A，因为a＜b，所以a+c＜b+c，故A正确；对于B，因为a＜b，所以﹣a＞﹣b，所以e﹣a＞e﹣b，故B正确；对于C，若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；对于D，取a＝﹣2，b＝﹣1，则＝2，＝，则＞，故D错误．故选：AB．11．将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数h（x）的图象，则下列结论中正确的有（）A．h（x）的图象关于点（，0）对称B．h（x）的图象关于x＝对称C．h（x）在[，]上的值域为[，]D．h（x）在[]上单调递减解：将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）（0＜φ＜）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数h（x）＝sin（2x+﹣φ）的图象，由于函数h（x）为偶函数，故﹣φ＝kπ，所以φ＝kπ+，由于0＜φ＜，所以当k＝0时，φ＝．所以h（x）＝sin（2x+）＝sin（2x+）＝cos2x，对于A：当x＝﹣时，h（﹣）＝0，故A正确；对于B：当x＝时h（）＝cos（﹣π）＝﹣1，故B正确；当x时，，所以，故C错误；对于D：，所以，根据函数的性质，函数在该区间上单调递减，故D正确．故选：AD．12．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x ＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（4）＝2．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，其图象过点（2，），∴2α＝，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（4）＝＝2．故答案为：2．14．已知sinα＝，则cos（）＝．解：∵sinα＝，∴cos（）＝sinα＝，故答案为：．15．若f（x）＝，则不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．解：x≥0时，由2x＞4，解得x＞2，x＜0时，由﹣2x+1＞4，解得x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N，现已知a＝log36，2b＝36，则（）×3＝．解：因为a＝log36，2b＝36，所以b＝log236，故，，所以，故（）×3＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}．（1）求A∪B；（2）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，求A﹣B．解：（1）∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A∪B＝{x|x≥2}；（2）∵M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3＜x≤5}，∴A﹣B＝{x|2≤x≤3或x＞5}．18．（12分）给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一个补充在下面问题中，并加以解答．问题：已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．（1）若a＝1，求实数x的取值范围；（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的_____条件，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为a＝1，解不等式x2﹣3x+2＜0，可得1＜x＜2，所以实数x的取值范围为（1，2）；（2）由x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0，可得a＜x＜2a，若选①：因为p是q的充分不必要条件，则有a≥2且2a≤3，不等式组无解，所以实数a的值不存在；若选②：因为p是q的必要不充分条件，则有a≤2且2a＞3，解得，所以实数a的取值范围为．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．（1）求sinα的值；（2）求α+β．解：（1）以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，．∴sinα＝，sinβ＝．（2）由题意可得cosα＝＝，cosβ＝＝．∵α+β∈（0，π），cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝0，∴α+β＝．20．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m（x∈[0，]）的最大值为1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使f（x）≥0成立时自变量x的集合．解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x+m＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x+m ＝cos2x﹣sin2x+m＝sim（﹣2x）+m，（x∈[0，]）．∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）∵x∈[0，]，∴（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）∈[﹣，]，∴sim（﹣2x）+m∈[m﹣1，m+1]，∵f（x）的最大值为1，∴m+1＝1，解得m＝0．使f（x）≥0成立，即sim（﹣2x）≥0，化为：sim（2x﹣）≤0，∴﹣≤2x﹣≤0，解得：0≤x≤，∴使f（x）≥0成立时自变量x的集合为[0，]．21．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．解：（1）设饮料每瓶售价最多为x元，则[9﹣0.5（x﹣14）]x≥14×9，即x2﹣32x+252≤0，解得：14≤x≤18，所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元．（2）当x＞14时，由题意可得，tx≥14×9++2，即当x＞14时，t，∵＝16，当且仅当即x＝16时，等号成立，∴t≥16，所以技术革新后，该饮料月销售量t至少达到16万个时，可使月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时每瓶饮料的售价为16元．22．（12分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021．（1）判断函数g（x）的奇偶性并证明；（2）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，求实数m 的取值范围．解：（1）g（x）＝ln（e x+e﹣x）+2021为偶函数．理由：g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝ln（e﹣x+e x）+2021＝g（x），所以g（x）为偶函数；（2）由e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝0时，取得等号，可得g（x）≥ln2+2021，由∀x1∈（0，+∞），∃x2∈R，使得f（2x1）+mf（x1）﹣g（x2）＞0成立，可得f（2x）+mf（x）＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，即为e2x+me x＞ln2+2021对x∈（0，+∞）恒成立，可令t＝e x（t＞1），则t2+mt＞ln2+2021对t∈（1，+∞）恒成立，可得m＞＝﹣t对t∈（1，+∞）恒成立，设h（t）＝﹣t，可得h（t）在t∈（1，+∞）递减，则h（t）＜h（1）＝ln2+2020，则m≥ln2+2020．即m的取值范围是[ln2+2020，+∞）．。
〖精选4套试卷〗湖南省永州市2020年高一(上)数学期末考试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．将函数()sin 2f x x =的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．12B ．32C ．12-D ．32-2．直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，如图所示，则（ ）A.321k k k <<B.231k k k <<C.123k k k <<D.213k k k <<3．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）A.B.C.D.4．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.95．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC 的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=06．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ） A.B.C.D.7．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6π C ．3π D ．2π8．设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则(2)f -，(π)f -，(3)f 的大小顺序是（ ）．A ．(π)(2)(3)f f f -<-<B ．(π)(3)(2)f f f ->>-C ．(π)(3)(2)f f f -<<-D ．(π)(2)(3)f f f ->->9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222()tan a c b B ac +-=，则角B 的值 A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.12πB.11πC.10πD.9π12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等 二、填空题13．已知(1,0,2)A ，(1,3,1)B -，点M 在Z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________．14．若不等式20x mx m ++≥在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________15．在数列{}n a 中，123n n n n a a a a ++++++为定值，且212324262a a a a +++=，前n 项和为n S ，则4n S =_.16．数列{}n a 中,111,32,n n a a a +==+则通项n a =____________. 三、解答题17．已知向量()3cos ,2cos a x x =r，向量()2sin ,cos b x x =r ，函数()3f x ka b k =+n rr ．()1当0k >时，求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；()2若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为6，求函数()f x 在x R ∈的最小值．18．已知函数()31log (1)1xf x m mx-=≠-是奇函数.（Ⅰ）设()11xg x mx-=-，用函数单调性的定义证明：函数()y g x =在区间(1,1)-上单调递减；（Ⅱ）解不等式(3)0f t +<.19．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：5125,i ii x===∑515.36,i ii y===∑51()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()i i ii i ii x x yy bx x ====--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 20．已知函数233()cos cos()36f x x x x π=-+ （1）求()f x 的最小正周期T ；（2）设()()g x af x b =+，若()g x 在[,]44ππ-上的值域为[]0,3，求实数,a b 的值； （3）若()1(1)?0n f x m ++->对任意的[,]44x ππ∈-和n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若为偶函数，求的值．22．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B C D D B B C B AD13．(0,0,3)- 14．12-15．2n 16．1231n -⨯- 三、解答题17．（1）11,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0 18．(Ⅰ)略；(Ⅱ)()3,2.--19．(1) $0.0640.752y x =+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米 20．（1）T π=;（2）42a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=⎩;（3）11(,)22-21．（1）（2）22．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，13n n S S +=对任意的正整数n 均成立，则5a =（ ） A.162B.54C.32D.162．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =o ，那么角A 等于（ ）A.135oB.45oC.135o 或45oD.90o3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，侧面对角线1AB ，1BC 上分别有一点E ，F ，且11B E C F =，则直线EF 与平面ABCD 所成的角的大小为（ ）A.0°B.60°C.45°D.30°4．已知m ，n 是两条不同的直线，，，αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若////m n m α，，则//n αC ．若n αβ=I ，//m α，//m β，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 6．已知函数2()(1cos 2)cos f x x x =-，x ∈R ，则()f x 是（ ）A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数7．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A ，B 两人的平均成绩分别是A x ，B x ，观察茎叶图，下列结论正确的是( )A ．AB x x <，B 比A 成绩稳定 B ．A B x x >，B 比A 成绩稳定C ．A B x x <，A 比B 成绩稳定D ．A B x x >，A 比B 成绩稳定8．已知a ，b 为非零向量，则“a·b>0”是“a 与b 的夹角为锐角”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．如图,三棱锥P ABC -中,PB ABC ⊥平面,BC CA ⊥,且22PB BC CA ===,则三棱锥P ABC -的外接球表面积为A.3πB.9πC.12πD.36π10．为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度 11．已知向量，，若与平行，则实数x 的值是 A ．B ．0C ．1D ．212．函数值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________. 14．函数2()log 1f x x =-________． 15．已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 16．函数()()f x Asin x ωϕ=+的部分图象如图，其中0A >， 0ω>，02πϕ<<．则 ω=____；tan ϕ= _____．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：123(1)(41)236n n n n a a a na +-+++⋯+=，*n N ∈（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <18．已知()f x 是定义在R 上且满足()()2f x f x +=的函数． （1）如果0≤x＜2时，有()f x x =，求()3f 的值；（2）如果0≤x≤2时，有()()21f x f x =-，若﹣2≤a≤0，求()f a 的取值范围；（3）如果()()g x x f x =+在[0，2]上的值域为[3，8]，求()g x 在[﹣2，4]的值域． 19．已知函数22()56()f x x ax a a R =-+∈. （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若关于x 的不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或，求实数a 的值.20．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：v0 1 2 3 Q0.71.63.3cv ，Q ＝0．5v＋a ，Q ＝klog a v ＋b ．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用．21．已知向量1(cos ,)2a x =-r ，3,cos 2)b x x =r ，x ∈R ，设函数()f x a b =⋅r r ．（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ==︒∠∠.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A C D B A B B A AB13．3-14．[2，+∞） 15．8 16．34三、解答题17．(1) 11a =；23a = ；(2) 21n a n =- (3)见证明； 18．（1）1；（2）[]0,1；（3）[]1,10 19．（1）①当0a =时，不等式的解集为∅；②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为(2,3)a a ； ③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为(3,2)a a ； （2）1a =20．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元. 21．（1）T π=（2）0x =时，()f x 取最小值12-；3x π=时，()f x 取最大值1． 22．（1）证明略；（2）623+.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（ ）A ．3324R πB ．338R πC ．3624R πD ．368R π 2．已知向量a r 、b r 的夹角为60o，2a =r ，1b =r ，则a b -=r r （ ）A ．5B ．3C ．23D ．73．已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和等于（ ） A.1B.2010C.4018D.4017 4．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A.15B.25C.40D.605．设x ∈R ，则“|x－2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6 7．已知奇函数()f x 是[0)+∞，上的减函数，2(log 3)a f =-，2(log 3)b f =，3(log 2)c f =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<8．要得到函数223cos sin 23y x x =+-的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 9．函数y=2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.10．函数221 ()xf xx+=（）．A.是奇函数且在区间2,2⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增B.是奇函数且在区间2,⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减C.是偶函数且在区间2,⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增D.是偶函数且在区间2,2⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减11．定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，212[0,)()x x x∈+∞≠，有2121()()f x f xx x-<-，则（）．A．(3)(2)(1)f f f<-<B．(1)(2)(3)f f f<-<C．(2)(1)(3)f f f-<<D．(3)(1)(2)f f f<<-12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．63B．65C．155D．105二、填空题13．幂函数2()(1)mf x m m x=+-的图象必不过第______象限.14．函数232x x--的定义域是 .15．在三棱柱111ABC A B C-中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面11BB C C的中心，则AD与平面11BB C C所成角的大小是 .16．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：ˆy=0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.三、解答题17．已知1a>，函数：11()x xf x a a+-=-（1）判断函数()f x的奇偶性，并证明；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明.18．如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A 为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ 为圆A 的一条直径.(1)请用,AP AB u u u r u u u r 表示BP u u u r,用,AP AC u u u r u u u r 表示CQ uuu r ;(2)记∠BAP=θ,求·BP CQ u u u r u u u r的最大值.19．已知,a b 为常数，且0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =．（1）若方程()0f x x -=有唯一实数根，求函数()f x 的解析式； （2）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值；20．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12． （1）求n 的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．①记“23a b ≤+≤”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[]0,2内任取2个实数,x y ，求事件“()222x y a b +>-恒成立”的概率． 21．数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使成立的实数m 最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为()2214x y -+=，M 点的坐标为()3,3-. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且圆C 交x 轴正半轴于点P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B A C D C D A AD13．四 14．[]3,1- 15．60° 16．245 三、解答题17．（1）()f x 是奇函数；证明略;2）()f x 在R 上单调递增,证明略.18．（1）BP AP AB CQ AP AC =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，；（2）22.19．(1)()212f x x x =+；(2)()max 3f x =，()min 1f x =-. 20．（1）3n ＝；（2）P ＝14π－．21．（1）；（2），32. 22．（1）3x =或512210x y ++=（2）详略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知函数()πf x sin ωx (ω0)4⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对于任意x R ∈，都有()()f f πx 0x +-=，且()f x 在()0,π有且只有5个零点，则ω(=)A ．112B ．92 C ．72D ．522．若直线l ：y kx =与曲线M ：2y 11(x 3)=+--有两个不同交点，则k 的取值范围是( )A.13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦B.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.15,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>4．若x y >，则下列不等式正确的是（ ） A.22x y >B.11x y< C.11()()99xy<D.ln ln x y >5．若命题“2000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A.][(),12,-∞-⋃+∞B.()(),12,-∞-⋃+∞ C .[]1,2-D.()1,2-6．在ABC V 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=u u u r u u u r，则ac 的值为 ()n nA ．12B ．11C ．10D ．97．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．38．老师给出了一个定义在R 上的二次函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(,0]-∞上函数()f x 单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数()f x 单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称； 丁：(0)f 不是函数()f x 的最小值．若该老师说：你们四个同学中恰好有三个人说法正确，那么你认为说法错误的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心10．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒， 1BC AC ⊥，则点1C 在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．ABC ∆内部 11．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,m n αα‖‖则m n ‖B ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C ．若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D ．若,,m n αα⊥⊥则m n ‖二、填空题13．若直线2l x my =+：与曲线2:1C y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取最大值时，实数m 的取值____．14．已知二次函数()2f x x mx 3=+-的两个零点为1和n ，则n =______；若()()f a f 3≤，则a 的取值范围是______．15．已知函数()2(0)xf x e x =-<与()ln()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是_________．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________．三、解答题17．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A .(Ⅰ)若2a =，求集合A ；(Ⅱ)若集合A 是集合{}41x x -≤≤的子集，求实数a 的取值范围. 18．已知函数，其中，，，其部分图象如图所示．（1）求函数的解析式与单调增区间； （2）当时，求函数的最大值与最小值及此时相应的值.19．（1）计算()131lg5lg5lg28-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（2）已知sin 2cos αα=，求2sin 3cos 4sin 9cos αααα--的值。
湖南省永州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
【详解】解：由 1 x 3 时,一定有 x 3 成立,故必要性成立。
但 x 3 时,不一定有 1 x 3 成立,如 x 0 ,故充分性不成立,
所以“ x 3 ”是“ 1 x 3 ”地必要不充分款件．
故选：B．Leabharlann 5. 为了得到曲线 y sin x
）
A. f 1 1
B. f x 是奇函数
C. f 3 f 9
D. f x 在 0, 上单调递增
【结果】AD
【思路】
【思路】选项 A. 令 x y 1 即可判断。选项 B. 令 x 1, y 1 ,求出 f 1 ,再令 y 1 可判断。选项 C.
A. 向左平移
C. 向右平移
,只需把曲线 y sin x 上所有地点（
3
个单位长度
6
3
B. 向左平移
个单位长度
D. 向右平移
3
）
个单位长度
个单位长度
6
【结果】C
【思路】
【思路】利用三角函数图象地平移规律可得结论.
【详解】为了得到曲线 y sin x
,只需把曲线 y sin x 上所有地点向右平移 个单位长度.
宠物,所以有“怀袖雅物”地别号.当折扇所在扇形地圆心角为
折扇所在扇形地弦长 AB 与弧长
AB 之比为（
A.
2 3
3
B.
2 3
3
2
时,折扇地外观看上去是比较美观地,则此时
3
）
C.
3 3
湖南省永州市高一上学期数学期末考试试卷
湖南省永州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一上·荆门期末) 设向量，，则 =________2. （1分） (2016高一上·无锡期末) 函数的最小正周期为________．3. （1分） (2016高一上·无锡期末) 若函数f（x）= ，则f（f（﹣2））=________．4. （1分） (2016高一上·无锡期末) 在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为________．5. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=________．6. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知向量与满足| |=2，| |=3，且• =﹣3，则与的夹角为________．7. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+ ）=________．8. （1分） (2016高一上·无锡期末) 函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣， ]的值域为________．9. （1分） (2016高一上·无锡期末) 在△ABC中，E是边AC的中点， =4 ，若 =x +y ，则x+y=________．10. （1分） (2017高一上·无锡期末) 将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=________．11. （1分） (2016高一上·无锡期末) 若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是________．12. （1分） (2016高一上·无锡期末) 若 =1，tan（α﹣β）= ，则tanβ=________．13. （1分） (2016高一上·无锡期末) 已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2 ，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是________．14. （1分） (2016高一上·无锡期末) 若函数f（x）=|sin（ωx+ ）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2015高二下·湖州期中) 已知一个分段函数可利用函数来表示，例如要表示一个分段函数，可将函数g（x）表示为g（x）=xS（x﹣2）+（﹣x）S（2﹣x）．现有一个函数f（x）=（﹣x2+4x﹣3）S（x﹣1）+（x2﹣1）S（1﹣x）．（1）求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；（2）若关于x的不等式f（x）≤kx对任意x∈[0，+∞）都成立，求实数k的取值范围．16. （5分） (2016高二上·赣州开学考) 已知向量 =（cosx，﹣1）， =（ sinx，cos2x），设函数f（x）= • + ．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．17. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 设向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈[0， ]（1）若| |=| |，求x的值；（2）设函数f（x）= • ，求f（x）的值域．18. （5分） (2019高一下·湖州期末) 在中，内角所对的边分别是．已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．19. （15分） (2016高一上·无锡期末) 已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20. （15分） (2016高一上·无锡期末) 已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函数f（x）= • ﹣m| + |+1，x∈[﹣， ]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ m2 ，x∈[﹣， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、。
湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷含解析
永州市2023年下期高一期末质量监测试卷数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，则U A =ð（）A.{}1,2 B.{}1,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】C 【解析】【分析】由集合补运算求集合.【详解】由{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，则U A =ð{}3,4.故选：C2.命题p ：x ∀∈R ，210x ->的否定是（）A.x ∀∈R ，210x -<B.x ∀∈R ，210x -≤C.x ∃∈R ，210x -≤D.x ∃∈R ，210x ->【答案】C 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的方法即可求解.【详解】命题p ：x ∀∈R ，210x ->的否定是：x ∃∈R ，210x -≤.故选：C.3.“02a <<”是“24a <”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解一元二次不等式求参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由24a <，可得22a -<<，故“02a <<”是“24a <”成立的充分不必要条件.故选：A4.已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（4，2），则f （2）＝（）A.14B.4C.2D.【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可.【详解】设f （x ）＝x a ，因为幂函数图象过（4，2），则有24a =，∴a 12=，即12()f x x =，∴f （2）122==故选：D【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，考查了求函数值，属于基础题.5.扇形的面积为4，周长为8，则扇形的圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用扇形的面积、弧长公式列方程求半径、弧长，即可求扇形的圆心角.【详解】令扇形半径为r ，弧长为l ，则1824228428rl r rl r l l r l ⎧===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==⎩⎩⎪+=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数为2lr=.故选：B6.已知2sin cos 0θθ-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（）A.1 B.32C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题设得1tan 2θ=，化弦为切求目标式的值.【详解】由题设1tan 2θ=，又cos sin 1tan 3cos sin 1tan θθθθθθ++==--.故选：D7.已知ln2ln5a =，1512b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.5log 0.2c =，则（）A.c b a << B.b<c<aC.a b c<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】由对数运算性质有1ac =，进而有1202c a >>>>，再由指数函数性质求b ，即可得答案.【详解】由5ln2log 2ln5a ==，0.52log 0.2log 5c ==，则1ac =，所以1202c a >>>>，又151(,1)122b ⎭∈⎛⎫= ⎪⎝，综上，a b c <<.故选：C8.已知函数()12141,211log ,22xx f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若方程()()0f f x a -=有5个不同的实数解，则a 的取值范围是（）A.()0,1 B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合指对数函数性质画出函数大致图象，令()t f x =并讨论t 判断对应方程根的个数，再由()f t a =有5个不同的实数解，讨论a 范围，结合对应t 的分布确定根的个数，即可得范围.【详解】由解析式得函数大致图象如下，由1211(1)log 122f =+=，令1|41|2x -=，可得12x =-或21(log 31)2x =-，令()t f x =，当0t <或312t <<时有1个解；当0=t 或1t =时有2个解；当01t <<时有3个解；当32t ≥时无解；要使()f t a =有5个不同的实数解，若a<0，则2t >，此时方程有1解；若0a =，则10t =有2个解，22t =有1解，此时方程共有3个解；若102a <<，则1102t -<<有1个解，2210(log 31)2t <<-有3解，312t <<有1解，此时方程共有5个解；若12a =，则112t =-有1个解，221(log 31)2t =-有3解，31t =有2解，此时方程共有6个解；若112a <<，则112t <-有1个解，2211(log 31)22t -<<有3解，3212t <<有3解，此时方程共有7个解；若1a =，则112t =有3个解，222t =有3个解，此时方程共有6个解；若312a <<，则1222t <<有3个解，此时方程共有3个解；若32a ≥，没有对应t ，此时方程无解；综上，102a <<.故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数图象研究()t f x =对应根的个数，再数形结合讨论()f t a =范围研究根的个数.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若a b c d >>>，则下列不等式成立的是（）A.a c b d +>+B.ad bc> C.33a c > D.22a b>【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式性质判断A 、B 、C ，根据指数函数单调性判断D.【详解】由a b c d >>>，则a c b d +>+，33a c >，A 、C 对；若2,1,0,2a b c d ====-，此时ad bc <，B 错；由2x y =单调递增，故22a b >，D 对.故选：ACD10.在下列函数中，既是偶函数又在区间()0,1上单调递增的有（）A.3y x =B.cos y x=- C.tan y x= D.2xy =【答案】BCD 【解析】【分析】根据指数、幂函数及三角函数性质判断函数奇偶性、区间单调性，即可得答案.【详解】由3y x =为奇函数，A 不符；由cos y x =-定义域为R ，且cos()cos x x --=-，为偶函数，在区间()0,1上单调递增，B 符合；由tan y x =定义域为π{|π},Z 2x x k k ≠+∈，且tan()|tan ||tan |x x x -=-=，为偶函数，在区间()0,1上单调递增，C 符合；由2xy =定义域为R ，且22x x -=，为偶函数，在区间()0,1上单调递增，D 符合；故选：BCD11.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且[]0,1x ∈时，()()21f x x =-，则（）A.3124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B.()()4f x f x +=C.()f x 的图象关于直线3x =对称D.()f x 在区间[]2023,2024上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】由题设关系得3122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合区间解析式求值判断A ；根据已知有()()f x f x -==()2f x --，即()(2)f x f x =-+，利用递推关系即可判断B ；由已知可得()(6)f x f x =--即可判断C ；根据周期性，区间[]2023,2024与区间[]1,0-的单调性相同，结合已知区间单调性及偶函数判断D.【详解】由33111222224f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 对；由题设()()f x f x -==()2f x --，即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，B 对；由()(2)f x f x =--，则()4(6)f x f x +=--，综上()(6)f x f x =--，即()f x 关于(3,0)对称，C 错；根据周期性，区间[]2023,2024上单调性与区间[]1,0-上单调性相同，又[]0,1x ∈时，()()21f x x =-，即在[]0,1上()f x 上递减，又()f x 是偶函数，所以()f x 在区间[]1,0-上递增，故()f x 在区间[]2023,2024上单调递增，D 对.故选：ABD12.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有两个不同的零点，则（）A.()f x 在区间[]0,π上有两条对称轴B.ω的取值范围是47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.若()()0πf f =，则53ω=【答案】BC 【解析】【分析】由题设有sin y t =在ππ[,π]33t ω∈--有且仅有两个不同的零点，结合正弦函数性质求得4733ω≤<，再由各项描述逐项判断各项正误.【详解】区间[]0,π上πππ[,π333t x ωω=-∈--且0ω>，故sin y t =在ππ[,π33t ω∈--有且仅有两个不同的零点，所以πππ2π3ω≤-<，可得4733ω≤<，B 对；当43ω=时π[,π]3t ∈-，此时sin y t =只有一条对称轴，即()f x 在[]0,π上可能只有一条对称轴，A 错；区间π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上()πππ,1333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，而ππ4π(1)[,399ω-∈，所以()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 对；由()()0πf f =，即ππsin πsin 332ω⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又πππ2π3ω≤-<，所以π4ππ33ω-=或π5ππ33ω-=，可得53ω=或2ω=，D 错.故选：BC【点睛】关键点点睛：应用换元法，将问题化为sin y t =在ππ[,π]33t ω∈--有且仅有两个不同的零点求参数范围为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()3348log 4log 3-+⋅=______.【答案】511-【解析】【分析】利用换底公式计算不同底数的对数运算，再与－8的立方求和即得．【详解】()334lg 4lg 38log 4log 35125121511lg 3lg 4-+⋅=-+=-+=- 故答案为：－511．14.函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点_____________.【答案】（1,3）【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.【详解】令10x -=，可得1x =，所以0(1)23f a =+=，即()f x 图象恒过定点（1,3）.故答案为：（1,3）15.已知0a >，0b >，则21b a a b++的最小值为______.【答案】【解析】【分析】两次应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由题设21112b a b a b b b ++≥=+≥，当且仅当2b a a=，即a b =时第一个等号成立，当且仅当12b b =，即2b =时第二个等号成立，综上，2a b ==时目标式有最小值为.故答案为：16.若函数()y f x =在定义域内存在实数x 使得()()f x kf x -=-，其中k ∈Z ，则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”，对于任意的实数(],3t ∈-∞，函数()22f x x x t =-+恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，则k 的取值集合是______.【答案】{}3,2,1---【解析】【分析】由题意，建立方程，利用分类讨论思想，结合一元二次方程有解问题，可得答案.【详解】由题意得，函数()22f x x x t =-+恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，即()()0f x k f x -+⋅=在R 上有解，则有()()22()220x x t k x x t ---++-+=，即()()()212210k x k x k t ++-++=有解，当1k =-时，0R x =∈，满足题意；当1k ≠-时，对于任意的实数(],3t ∞∈-，22Δ(22)4(1)0k k t =--+≥，变形可得224(1)3(22)0k k +⋅--≤，解可得：22k -≤≤-+，由Z k ∈，故{}3,2,1k ∈---.故答案为：{}3,2,1---.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()af x x x=+（1）若2a =，求()()1ff 的值；（2）若a<0，判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并用定义证明.【答案】（1）113；（2）()f x 在区间()0,∞+上递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）由()()1(3)ff f =，将自变量代入求值即可；（2）设120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 证明单调性.【小问1详解】由题设()2f x x x =+，则()13f =，故()()2111(3)333f f f ==+=；【小问2详解】()f x 在区间()0,∞+上递增，证明如下：令120x x >>，则()()1212121212()()()(1)a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=--，又a<0，则1210->ax x ，且120x x ->，所以()()12f x f x >，即()f x 在区间()0,∞+上递增.18.已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}2log 1B x x =>（1）求A B ⋂；（2）已知集合{}1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|23}x x <≤；（2）3a ≤.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合A ，解对数不等式求集合B ，再应用集合交运算求结果；（2）由包含关系，讨论C =∅、C ≠∅列不等式求参数范围.【小问1详解】由题设{}(1)(3)0{|13}A x x x x x =--≤=≤≤，{|2}B x x =>，所以{|23}A B x x ⋂=<≤；【小问2详解】由C A ⊆，若C =∅，则1a ≤满足题设；若C ≠∅，则13a a >⎧⎨≤⎩，即13a <£；综上，3a ≤.19.已知函数()π12sin cos 62f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）π；（2）单调递增区间为π[0,]6和5ππ[,]122.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数式得π()sin(2)6f x x =+，即可求最小正周期；（2）根据图象平移得π()sin(4)6g x x =-，由正弦函数性质，应用整体法求递增区间.【小问1详解】由题设()23111312sin (cos sin )3sin cos sin sin 2cos 2222222f x x x x x x x x x =-+=-+=+πsin(2)6x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】图象向右平移π6个单位长度，得ππ()sin(2)66f x x -=-，把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得π()sin(4)6g x x =-，在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上ππ11π4[,]666x -∈-，显然πππ4662x -≤-≤或3ππ11π4266x ≤-≤，所以π06x ≤≤或5ππ212x ≤≤，故()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π[0,]6和5ππ[,]122.20.为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额y （单位：万元）关于销售利润x （单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①()0y kx b k =+>②()20x y k m k =⋅+>③()3log 303x y k n k ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？【答案】（1）③,理由见解析（2）72万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解．（2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可.【小问1详解】对于模型①，y kx b =+，图象为直线，故①错误，由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③，【小问2详解】由（1）可知，选项模型③，所求函数过点(0,0)，(18,3)，则33log 30log (63)3k n k n +=⎧⎨++=⎩，解得3k =，3n =-，故所求函数为33log (3)33x y =+-，∴33log (3)363x +-≥，即3log (3)33x +≥，∴3273x +≥，∴72x ≥，∴至少应完成销售利润72万元．21.在平面直角坐标系xOy 中，角π4及锐角α的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.（1）若B 点的横坐标为35，求()()3πsin tan π2cos πααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭--的值：（2）设角π4α+的终边与单位圆交于点C ，AP ，BQ ，CR 均与x 轴垂直，垂足分别为P ，Q ，R ，请判断以线段AP ，BQ ，CR 为边能否构成三角形，并说明理由.【答案】（1）43（2）利用见解析【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，结合诱导公式化简计算即可；（2）由α，π4α+范围，得cos (0,1)α∈，πcos()4α+<于第三边．【小问1详解】已知α是锐角，则34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据三角函数的定义，得3cos 5α=，4sin 5α=，4tan 3α=，()()3πsin tan πcos tan 42tan cos πcos 3ααααααα⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭===---．【小问2详解】能构成三角形，理由如下：由三角函数的定义得，πsin 42AP ==，sin BQ α=，πsin()4CR α=+，因为π(0,)2α∈，所以cos (0,1)α∈，于是有ππππsin()sin cos cos sin sin sin 4444αααα+=+<+，①故CR AP BQ <+,又因为ππ3π(,444α+∈，所以πcos()4α<+<ππππππππsin sin(())sin()cos cos()sin sin(sin 44444444ααααα=+-=+⋅-+⋅<++，②故BQ AP CR<+同理，ππsin sin(sin 44αα<++，③，由①，②，③可得，以AP ，BQ ，CR 的长为三边长能构成三角形．22.已知函数()lg f x x =，()2e e x x g x a =-.（1）若对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()()h x g x g x =+-，求函数()h x 的零点个数.【答案】（1）2a ≥；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）将问题化为()()12max min f x g x ≤，令2[1,)e x t ∈=+∞，结合对数函数单调性求最值得21at t -≥在[1,)t ∈+∞上恒成立，进而化为max 211(a t t ≥+求参数范围；（2）令2e e x x μ-+=≥转化为研究22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上解的个数，求出右侧范围，再讨论参数a ，确定对应μ，结合e e x x μ-=+函数性质确定()h x 的零点个数.【小问1详解】对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，只需()()12max min f x g x ≤，由()11lg f x x =在[]11,10x ∈上递增，故()1max (10)1f x f ==，由()2222e e x x g x a =-，在[)20,x ∈+∞上有2[1,)e x t ∈=+∞，所以()22g x y at t ==-且[1,)t ∈+∞，故有21at t -≥在[1,)t ∈+∞上恒成立，所以2max max 211111([()]24a t t t ≥+=+-，而1(0,1]t ∈，即2a ≥.【小问2详解】由题设()2222e e e )e e e e ()(e x x x x x x x x h a x a a ----=--=+-++，令2e e x x μ-=≥=+，当且仅当0x =时等号成立，则2222()2e e e e x x x x μ--+=+=+，即2222e e x x μ-+=-，所以()2()2a a h x ϕμμμ==--且[2,)μ∈+∞，令2()20a a ϕμμμ=--=，则问题等价于2122a μμμμ==--在[2,)μ∈+∞上解的个数，又12y μμ=-在[2,)μ∈+∞上递减，故(0,1]y ∈，当1a >或0a ≤时，22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上无解，即()h x 无零点；当1a =时，22(1)(2)0μμμμ--=+-=在[2,)μ∈+∞上有2μ=，所以2e e x x μ-+==，即0x =，故()h x 有1个零点；当01a <<时，220a a μμ--=在[2,)μ∈+∞上有11822a μ+=>（负值舍），又e e x x μ-=+为偶函数，此时()h x 有2个零点；综上，1a >或0a ≤时，()h x 无零点；1a =时，()h x 有1个零点；01a <<时，()h x 有2个零点；【点睛】关键点点睛：第一问，问题化为()()12max min f x g x ≤，令2[1,)e x t ∈=+∞进一步化为max 211()a t t ≥+；第二问，令2e e x x μ-+=≥转化为研究22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上解的个数为关键.。
2023-2024学年湖南省永州市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖南省永州市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2670A x x x =--<，{}3,1xB y y x ==<，则()R A B ⋂=ð（）A ．[)3,7B ．(][)1,03,7-⋃C ．[)7,+∞D ．()[),17,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】先化简集合A 、B ，再去求R B ð，进而求得()R A B ð【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}()3,10,3xB y y x ==<=，所以(][)R ,03,B =-∞⋃+∞ð，所以()(][)R 1,03,7A B ⋂=-⋃ð．故选：B ．2．命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”的否定为（）A ．存在实数x ，使2220x x ++>B ．对任意一个实数x ，都有2220x x ++≤C ．对任意一个实数x ，都有2220x x ++>D ．存在实数x ，使2220x x ++≥【正确答案】C利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”为特称命题，该命题的否定为“对任意一个实数x ，都有2220x x ++>”.故选：C.3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O 为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）A ．22y x x =-B ．cos y x =C ．sin y x =D ．1y x x=-【正确答案】C【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A ，22y x x =-不是奇函数，A 选项错误；对于B ，cos y x =不是奇函数，B 选项错误；对于C ，sin y x =的定义域为R ，且是奇函数，C 项正确；对于D ，1y x x=-的定义域为{}0x x ≠，所以图像不经过坐标原点，D 选项错误；故选：C ．4．下列四个函数：①1y x =+，②133,01,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，③ln y x =，④212x y x -=-，其中定义域和值域相同的函数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【正确答案】B【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可求解.【详解】对于①：由一次函数的性质可知1y x =+定义域为R ，值域为R ；定义域和值域相同，故①符合题意；对于②：根据分段函数的性质可知：分段函数133,01,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的定义域为R ，当0x ≤时，13y x =的值域为(],0-∞，当0x >时，31y x=的值域为()0,∞+，因此分段函数的值域为R ；定义域和值域相同，故②符合题意；对于③：由0x >可得0x ≠，所以ln y x =的定义域为{}|0x x ≠，()ln ,0ln ln ,0x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，当0x >时，ln y x =在()0,∞+上单调递增，此时值域为R ，当0x <时，()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，此时值域为R ，所以ln y x =的值域为R ，定义域和值域不同，故③不符合题意；对于④：由20x -≠可得2x ≠，所以212x y x -=-的定义域为{}|2x x ≠，()2232132222x x y x x x -+-===+---，因为302y x =≠-，所以3222y x =+≠-，即2122x y x -=≠-，所以212x y x -=-的值域为{}|2x x ≠，定义域和值域相同，故④符合题意；定义域和值域相同的函数有①②④，有3个.故选：B.5．已知幂函数()()2N m f x x m -=∈的图象关于原点对称，且在()0,∞+上是减函数，若()()22132m m a a --+<-，则实数a 的取值范围是（）A ．23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()23,1,32⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式.【详解】根据幂函数()()2N m f x x m -=∈的图象关于原点对称，且在()0,∞+上是减函数可知20m -<且2m -为奇数，又N m ∈，故1m =，代入()()22132m m a a --+<-得，()()1122132a a --+<-，由12y x -=的单调性得10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：2332a <<故选：B6．函数2()(4)ln ||f x x x =--的图象是（）A．B．C ．D．【正确答案】B【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：()222(4)ln ,0()(4)ln (4)ln ,0x x x f x x x x x x ⎧->⎪=--=⎨--<⎪⎩，因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故排除AD ，当0x >时，令()0f x =，得1x =或2x =，当01x <<或2x >时，()0f x <，当12x <<时，()0f x >，故选：B7．已知函数()5cos 22sin f x ax ax =--在区间[]1,2-上的最小值为72，则a 的取值范围为（）A ．ππ,,612⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．ππ,,126⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．ππ,00,612⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．ππ,0,612⎡⎫⎡⎫-⋃+∞⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【正确答案】A【分析】根据二倍角得余弦公式化简，从而问题可转化为1sin 2ax =在区间[]1,2-上有解，再分0a >，0a =和a<0三种情况讨论即可得出答案.【详解】解：2217()5cos 22sin 2sin 2sin 42sin 22f x ax ax ax ax ax ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()5cos 22sin f x ax ax =--在区间[]1,2-上的最小值为72，所以1sin 2ax =在区间[]1,2-上有解，当0a >时，由[]1,2x ∈-，得[],2ax a a ∈-，则有0π26a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得π12a ≥，当0a =时，1sin 02ax =≠，与题意矛盾，当a<0时，由[]1,2x ∈-，得[]2,ax a a ∈-，则有0π6a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或07π26a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得π6a ≤-，综上a 的取值范围为ππ,,612⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：A.8．已知函数232,0()1log ,02x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，()g x x k =-，函数(())g f x 有4个不同的零点1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（）A ．(]462,9-B ．64(0,9C ．82(0,]9D ．(0,)+∞【正确答案】B【分析】令(())0g f x =，得()f x k =，问题转化为，()f x k =有4个不同的根，即函数()y f x =与函数y k =有4个不同的交点，分别作出()y f x =与y k =的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.【详解】(())g f x ()f x k =-，令(())0g f x =，得()f x k =，函数(())g f x 有4个不同的零点，即()f x k =有4个不同的根；根据题意，作出()f x的图像，如图明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有122x x +=-，341x x =，因为430x x >>，故342x x +>=，令31log 12x =，得19x =或9x =，故34199x x +<+，又因为1234x x x x +++342x x =-++，则34129209x x -++>-++>，整理得3464209x x >-++>故1234x x x x +++的取值范围为64(0,)9.故选：B 二、多选题9．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数sin()(0)y A x B ωϕϕπ=++<<，则下列说法正确的是（）A ．该函数的周期是16B ．该函数图象的一条对称轴是直线14x =C ．该函数的解析式是310sin 20(024)84⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭y x x ππD ．这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】ABC【分析】由题意以及函数的图象可求A ，B 的值，可求周期T 的值，即可判断A ，利用三角函数周期公式可求ω，由图象经过点(14,30)，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，得解函数解析式即可判断BC ，由题意判断D 选项即可得解．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，30A B +=，10A B -+=，解得10A =，20B =．1462T=-，16T ∴=，所以A 正确；2T πω=，8πω∴=，10sin()208y x πϕ∴=++．图象经过点(14,30)，3010sin(14)208πϕ∴=⨯++，sin(14)18πϕ∴⨯+=，0ϕπ<< ，34πϕ∴=，310sin()20(024)84y x x ππ∴=++，所以BC 正确；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，故D 错误．故选：ABC10．若105a =，1020b =，则（）A ．4a b +=B ．lg 4b a -=C ．22lg 5ab <D ．lg 5b a ->【正确答案】BC【分析】由105,1020a b ==，得lg5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg5lglg 4lg55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴，选项C 正确.故选：BC.11．已知()cos 5αβ+=-，5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（）A ．sin 21312α=B ．()cos 65αβ-=C ．cos cos 65αβ=D ．11tan tan 8αβ=【正确答案】AC【分析】根据同角关系可求()sin 2,sin ααβ+，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C ，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为cos()αβ+=，5cos 213α=-，其中α，β为锐角，故()0,παβ+∈所以：12sin 213α=，故A 正确；因为sin()αβ+=，所以cos()cos[2()]cos 2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++512()(1313=-⨯+，故B 错误；可得11cos cos [cos()cos()](22αβαβαβ=++-=-=C 正确；可得11sin sin [cos()cos()]()]22αβαβαβ=--+=-sin sin 21tan tan cos cos 8αβαβαβ==，故D 错误．故选:AC12．已知()y f x =奇函数，()(2)f x f x =-恒成立，且当01x 时，()f x x =，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(2021,2022)上单调递减D ．函数()y g x =的图像既有对称轴又有对称中心【正确答案】BCD【分析】由()g x 与()f x 的关系式及()f x 的周期性、奇偶性，即可求(2022)g 和判断()g x 的周期，进而判断A 和B ；利用奇函数性质求()f x 在22x -≤≤上的解析式，结合()g x 的周期性及()()(1)g x f x f x =++求(2021,2022)上的解析式判断C ，利用对称性判断(1)()g x g x -=、()(3)0g x g x +-=是否成立判断D.【详解】因为()(2)f x f x =-，所以，()(2)f x f x -=+，又()f x 为奇函数，故()()(2)(2)(2)f x f x f x f x f x -=-=--=-=+，利用(2)(2)f x f x -=+，可得()(4)f x f x =+，故()f x 的周期为4；因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；当01x 时，()f x x =，因为()f x 为奇函数，故10x -≤<时，()f x x =，因为()(2)f x f x =-恒成立，令021x ≤-≤，此时，(2)2f x x -=-，则21x ≥≥，()(2)2f x f x x =-=-，故02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；令23x <<，即32x -<-<-，120x -<-<，(2)2()f x x f x -=-=所以2,21(),112,13x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(2021,2022)x ∈上的图像与在(1,2)x ∈相同，所以，当12x ≤<，即213x ≤+<时，()()(1)22(1)32g x f x f x x x x =++=-+-+=-，故()g x 在(1,2)x ∈上单调递减，C 正确；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BCD 三、填空题13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【正确答案】120【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：1130812022S lr ==⨯⨯=，故12014．已知正实数,x y 满足23xy x y ++=，那么xy 的最大值为_________．【正确答案】7-7-【分析】由题意和基本不等式可得3xy ≥+，解不等式即可求出．【详解】∵23xy x y ++=，∴3xy ≥+整理可得25≤，≤∴7xy ≤-当且仅当2x y =即22x -+=且2y =-时取等号，∴xy 的最大值为7-，故7-15．已知函数f （x ）＝|sin x |﹣cos x ，给出以下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称；②f （x ）在[﹣π，0]上是减函数；③f （x ）是周期函数；④f （x ）在[﹣π，π]上恰有三个零点．其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）【正确答案】①③求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f （x +2π）＝f （x ）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数.【详解】解：对于①，函数f （x ）＝sin x ﹣cos x 的定义域为R ，且满足f （﹣x ）＝f （x ），所以f （x ）是定义域在R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，①为真命题；对于②，当x ∈[﹣π，0]时，sin x ≤0，()()4f x sinx cosx x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，对于4y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，3444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f （x ）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；对于③，因为f （x +2π）＝|sin （x +2π）|﹣cos （x +2π）＝|sin x |﹣cos x ＝f （x ），函数f （x ）是周期为2π的周期函数，③为真命题；对于④，当x ∈[﹣π，0]时，sin x ≤0，()()4f x sinx cosx x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，且3444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，f （x ）在[﹣π，0]上恰有一个零点是4π-，又由①知道f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是4π，则④为假命题．故答案为:①③.关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.16．已知函数()2f x ax =-，()222log 21x x g x +=-，若对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】()2,4-【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为()()max max f x g x <，利用复合函数单调性的判断方法可知()g x 在[]1,3上单调递减，由此得到()()max 12g x g ==；分别讨论0a =、a<0和0a >的情况，根据一次函数单调性确定()max f x ，由()max 2f x <可解不等式求得a 的范围.【详解】 对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，()()max max f x g x ∴<；()222222133log log log 1212121x x x x x g x +-+⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭，3121xt =+- 在[]1,3上单调递减，2log y t =单调递增，()g x ∴在[]1,3上单调递减，()()2max 1log 42g x g ∴===；当0a =时，()2f x =-，则()max 2g x -<，满足题意；当a<0时，()f x 在[]2,1-上单调递减，()()max 222f x f a ∴=-=--，222a ∴--<，解得：20a -<<；当0a >时，()f x 在[]2,1-上单调递增，()()max 12f x f a ∴==-，22a ∴-<，解得：04a <<；综上所述：实数a 的取值范围为()2,4-.故答案为.()2,4-四、解答题17．集合{}21|0,450,{2,R}3x A x B x x x C x m x m m x -⎧⎫=<=--<=<<-∈⎨⎬+⎩⎭∣∣.(1)求A B ⋂；(2)在①B C C = ，②B C =∅ ，③条件:,:,p x C q x B p ∈∈是q 的充分不必要条件，这三个条件中任选一个填到横线上，并解答.已知__________，求实数m 的取值范围.注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分.【正确答案】(1){}|11A B x x =-<< (2)答案见解析.【分析】（1）解不等式求得,A B ，由此求得A B ⋂.（2）根据所选条件，对m 分类讨论，列不等式来求得m 的取值范围.【详解】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+，解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<.()()245510x x x x --=-+<，解得15x -<<，所以{}1|5B x x =-<<.所以{}|11A B x x =-<< .（2）由（1）得{}1|5B x x =-<<.若选①B C C = ，则2m m ≥-或2125m m m m <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，解得m 1≥或11m -≤<，所以m 的取值范围是[)1,-+∞.若选②B C =∅ ，则2m m ≥-或221m m m <-⎧⎨-≤-⎩或25m mm <-⎧⎨≥⎩，解得m 1≥，所以m 的取值范围是[)1,+∞.若选③条件:,:,p x C q x B p ∈∈是q 的充分不必要条件，则CB ,则2m m ≥-或2125m m m m <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，且等号不同时成立解得m 1≥或11m -≤<，所以m 的取值范围是[)1,-+∞.18．已知函数()222sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求m 的最小值.【正确答案】（1）π；单调递减区间是()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由x 的取值范围，求出26x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由已知，有()()1cos 21cos 23f x x x π⎡⎤⎛⎫=-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 2cos 2222x x x ⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭12cos 22sin 22226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期.22T ππ==由()3222Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈，得()f x 的单调递减区间是()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以2,2626x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.即sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为1.所以262m ππ-≥.即3m π≥所以m 的最小值为3π.本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离x （km ）的关系式为45kp x =+（0≤x ≤15），若距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．（1）求()f x 的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求()f x 最小值．【正确答案】（1）()90010401545f x x x x =++≤≤+，；（2）宿舍应建在离工厂254km 处，可使总费用最小，()f x 最小值为65万元．（1）根据距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元，可求k 的值，由此，可得()f x 的表达式；（2）()90010445f x x x =+++，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元，则204105k=⨯+，解得k =900，所以90045p x =+，则()90010401545f x x x x =++≤≤+，；（2）因为()()9009001044555654545f x x x x x =++=+++≥=++，当且仅当9004545x x +=+，即254x =时取等号，此时总费用最小．答：宿舍应建在离工厂254km 处，可使总费用最小，()f x 最小值为65万元．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方20．已知函数()2sin(2)(||π)f x x ϕϕ=+<，将函数()f x 向右平移π3个单位得到的图像关于y 轴对称且当π6x =时，()f x 取得最大值.(1)求函数()f x 的解析式：(2)方程2()(2)()10f x a f x +-+=在π11[,π]612上有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)102a -<<【分析】（1）利用正弦函数的平移变换结合图像和性质求解即可；（2）利用正弦函数的图像和一元二次函数根与系数的关系求解即可.【详解】（1）函数()f x 向右平移π3个单位可得π2π()2sin 22sin 233g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 关于y 轴对称，所以2ππ20π,Z 32k k ϕ⨯+-=+∈解得7ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π<ϕ，所以π6ϕ=或5π6-，又因为当π6x =时，()f x 取得最大值，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+解得π2π6k ϕ=+，综上π6ϕ=，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()f x t =，由（1）得当π11π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图像可得当2()0f x -<≤时x 有两个解，所以要使方程2()(2)()10f x a f x +-+=有4个不相等的实数根，则关于t 的一元二次方程2(2)10t a t +-+=有两个不相等的实数根且两根都在区间(2,0]-内，所以2(2)40a ∆=-->，22021a--<-<⨯且2(2)(2)(2)10a -+-⨯-+>，解得102a -<<.21．设函数()22x x f x k -=⋅-是定义R 上的奇函数．（1）求k 的值；（2）若不等式()21x f x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x x g x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．【正确答案】（1）1；（2）54a <；（3）最小值为2-，此时2log (1x =.（1）根据题意可得()00f =，即可求得k 值，经检验，符合题意；（2）()21x f x a >⋅-有解，等价为2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意()()44422x x x xg x --=+--，令22x x t -=-，可得t 的范围，整理可得2()()42g x h t t t ==-+，32t ≥，利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）因为()22x x f x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=，解得1k =，所以()22x x f x -=-，当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解，所以211122x xa ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，所以只需2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为221111551222244x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立），所以54a <；（3）因为()444()x x g x f x -=+-，所以()()44422x x x xg x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t ≥，则2442x x t -=+-，可得函数2()()42g x h t t t ==-+，32t ≥，由()h t 为开口向上，对称轴为322t =>的抛物线，所以2t =时，()h t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，所以()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =+．解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若()a m x <，只需max ()a m x <，若()a m x >，只需min ()a m x >，处理恒成立问题时，若()a m x <，只需min ()a m x <，若()a m x >，只需max ()a m x >，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.22．如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α；（2）求()S α的最小值.【正确答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（2(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可.(2)由(1)有11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角1sin(230)2α︒+-再求最值即可.【详解】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥,在Rt ACF ∆中,tan nCF α=,060α︒<<︒,18060(90)30EAB αα︒︒︒︒∠=---=+,在Rt ABE ∆中,tan(30)tan(30)EB AE m αα︒︒=+=+.∴ACF ∆的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅,∴ABE ∆的面积2211tan(30)22S AE EB α︒=⋅=+,∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα︒⎡⎤=+⋅=+++⎢⎥⎣⎦.∴12()S S S S α=--221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα︒︒⎡⎤=+++-⋅-+⎢⎥⎣⎦11tan(30)2tan mn αα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.（2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα︒︒︒+=++=++sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)αααααα︒︒︒+++=+sin 22=⎝⎭sin 22︒=22=1sin(230)2α︒=+-.∴当23090α︒︒+=时,即30︒=α时,y取得最小值此时()S α.本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.。
湖南省永州市第二中学2023届数学高一上期末含解析
对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
故答案为：①③
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题
14、[-5，-3]
【解析】作出 的图象，如图，
A. B.
C. D.
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（）
A. B.
C. D.
6．已知三棱锥 的三条棱 , , 长分别是3、4、5，三条棱 , , 两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
故答案为：8
16、16
【解析】由零点定义,可得关于 的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数 的零点
即
所以
去绝对值可得 或
即 或
去绝对值可得 或 , 或
当 ,两边同时乘以 ,化简可得 ,设方程的根为 .由韦达定理可得
要使 ，
则有
解得 或 ，
要使对任意 ，都有 ，
则实数 的取值范围是
故选：A
8、C
【解析】根据零点存在性定理，若在区间 有零点，则 ，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】由题意得 为连续函数，且在 单调递增，
， ， ，
根据零点存在性定理， ，
所以零点一定位于区间 .
故选：C
9、D
【解析】根据题意，由函数 为偶函数分析可得函数 的图象关于直线 对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案
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永州市2009年下期期末质量检测试卷高 一 数 学考生注意：1．全卷分第I 卷和第II 卷，第I 卷为选择填空题，1~2页；第II 卷为解答题，3~6页．2．全卷满分120分，时量120分钟．3．考生务必．．将第I 卷的答案填入第．．．II ．．卷．卷首的答案栏内．公式：柱体体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式分别为24R S π=、334R V π=，其中R 为球的半径.第I 卷一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入第II 卷卷首的答题栏内．) 1． 直线0=+y x 的倾斜角为A ．45°B ．90°C ．135°D ．150° 2． 三个数3log ,3.0log ,3.0222===c b a 之间的大小关系是A ．a <c<bB ．a <b<cC ．b<a <cD ．b<c<a 3． 已知集合},23|{)},3(log |{2R x y y N x y x M x ∈+==-==，则M ∩N ＝A ．φB ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}4． 已知函数xx g x f x 1)(,3)(==，则函数)()(x g x f y -=的零点个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．35． 已知函数=)(x f 0,1210,21,1<+<≤-≥-x x x x x ，则)]}21([{f f f 的值是A ．－2B ．41 C ．45D ．896． 函数y ＝a x －2（a >0且a ≠1）的图象恒过定点P ，则过点P 且与已知直线4x +3y +1=0平行的直线方程为 A ．4x ＋3y ＋3＝0 B ．4x ＋3y ＋4＝0 C ．3x －4y ＋3＝0D ．3x ＋4y ＋4＝07． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥m ，α//n ，则n m ⊥ ②若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m ③若α//m ，α//n ，则n m //④若α⊥γ，β⊥γ，则βα//其中正确命题的序号是 A ．①和② B ．②和③ C ．③和④D ．①和④8． 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，若该塔形的表面积（含最底层正方体的下底面面积）超过36，则该塔形中正方体的个数至少是 A ．3 B ．4 C ．5D ．6二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填入II 卷卷首的答题栏内．)9．计算log 225·log 34·log 59＝ ．10．以点（1，2）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是 ．11．若一个正方体的顶点都在体积为34π的球面上，则这个正方体的内切球的表面积为 ． 12．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)1()(21x x x f +=，则=-)94(f ．13．已知圆C ：03222=-+++ay x y x (a 为实数)上任意一点关于直线02:=+-y x l 的对称点都在圆C 上，则=a ．14．如图，在三棱锥V —ABC 中，VA ＝VC ＝AB ＝BC ＝AC ＝2，VB ＝3，则直线VB 与AC 所成的角的大小为 ， 二面角V —AC —B 的大小为 ．15．用},,min{c b a 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设函数},14,2min{)(2x x x x f -+=)0(≥x ，则函数)(x f 的最大值为 ．CABV永州市2009年下期期末质量检测试卷高 一 数 学 答 卷第II 卷题号 一 二 三总分 合分人16 17 18 19 20 21 得分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知函数x x x f -+=22)(.（1）求)3(log 2f 的值； （2）若417)(=x f ，求x 的值. （参考公式：a N a log ＝N ）17．已知一个几何体的三视图如右图所示，求该几何体的表面积和体积.5正视图 2 4 俯视图2侧视图18．某市有甲、乙两家乒乓球馆，两馆设备和服务都很好，但收费方式不同．甲馆每张球台每小时收费10元；乙馆按月计费，若一个月在30小时以内(含30小时)，每张球台收费200元，超过30小时的部分每小时另收费5元. 小明准备于下个月开始从这两馆中的一馆租一张球台，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.（1）设在甲馆租一张球台活动x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙馆租一张球台活动x 小时的收费为)(x g 元)4015(≤≤x ，试求f (x )和g (x )的表达式;（2）请问小明选择哪家球馆比较合算，为什么?19．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点.（1）求证：直线AC 1//面BDE ； （2）求证：面BDE ⊥面ACC 1A 1；（3）求直线A 1E 与面BDE 所成的角的正切值.20．设二次函数)0(2)(2≠++=c c x x x f 的图像与两坐标轴共有三个不同交点．（1）求实数c 的取值范围；（2）当3-=c 时，求经过这三个交点的圆A 的方程;（3）求圆A 中过坐标原点的最短弦的长度及该弦所在的直线方程．21．已知:①函数xx x f 1)(1+=(x >0)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增;② 函数xx x f 4)(2+=(x >0)在(0，2)上单调递减，在[2，+∞)上单调递增;③函数xx x f 9)(3+=(x >0)在(0，3)上单调递减，在[3，+∞)上单调递增; 现给出函数f (x )=x +xa 2(x >0)，其中a >0.（1）根据以上规律，写出函数f (x )的单调区间(不要求证明);（2）若函数f (x )在区间[1，2]上是单调递增函数，求a 的取值范围;（3）若函数f (x )=x +xa 2≥4在区间[1，3]上恒成立，求a 的取值范围．D 1A 1C 1B 1EC BAD永州市2009年下期期末质量检测试卷高一数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分,共32分） 1~5 CCDBB 6~8 AAB二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分） 9．810．4)2()1(22=-+-y x11．34π 12．2720-13．2- 14． 60,90(每空2分) 15．8 三、解答题（本大题共6个小题，每小题10分, 共60分）16．解：(1) 310212)3(log 3log 3log 222=+=f . 5分(2) 令414,04174,4171,22或得即则==+-=+=t t t t t t x ， 8分则22,41242-====x x x x 或得或. 10分17．解：由几何体三视图可知,该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱, 其中直棱柱的高为5,底面等腰梯形的上,下底的长分别为2,4,高为2,从而等腰梯形的腰长为5， 2分 .30212)42(5,51042)42(2)5224(5,=⨯⨯+⨯=+=++++=V S 体积表面积所以 7分10分 18．解：(1) ),4015(,10)(≤≤=x x x f⎩⎨⎧≤<-+≤≤=,4030),30(5200,3015,200)(x x x x g 5分(2) 当2015<≤x 时,由20010<x ，知f (x )＜g (x ); 当20=x 时，)()(x g x f =；当3020≤<x 时，)()(x g x f >; 7分 当4030≤<x 时，0505)]30(5200[10)()(>-=-+-=-x x x x g x f 恒成立. 9分 所以,当2015<≤x 时，选择甲馆合算;当20=x 时, 选择甲，乙两馆都一样合算;当4020≤<x 时, 选择乙馆合算. 10分19．解：(1)设的中点和分别是线段点连结AC CC O E EO O BD AC 1,,, =,BDE AC BDE AC BDE EO EO AC 平面平面平面又//,,,//111∴⊄⊂∴； 3分(2)1111,,,CC AA BD BD AC BD AA ABCD AA 平面又平面⊥∴⊥⊥∴⊥ ，11,CC AA BDE BDE BD 平面平面平面又⊥∴⊂； 7分(3) 设正方体的棱长为连结,1O A ,a 则a E A a OE a O A 23,23,2611===， 由此得:,22121OE O A E A +=111)2(,CC AA BD OE O A 平面得又由⊥⊥∴，D 1A 1C 1B 1E,,11BDE O A O A BD 平面⊥∴⊥∴.22326tan ,111==∠∠∴a a EO A BDE E A EO A 故所成的角与平面是 10分。