2020浙江高考数学二轮专题强化训练：专题一第4讲不等式 Word版含解析

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2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题二函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

限时规范训练五不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四一元二次不等式及其解法含解析

课时跟踪检测（四）一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·浙江名校联考)已知集合＝{＝＋}，＝{－－＞}，则∩∁＝( )．[] ．[]．[) ．[)解析：选由题意知＝[，＋∞)，＝(－∞，－)∪(，＋∞)，故∁＝[－]，∩∁＝[]．．(·台州模拟)不等式－＋≥－对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )．[－] ．(－∞，－]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[，＋∞) ．[－]解析：选－＋＝(－)＋的最小值为，所以－＋≥－对任意实数恒成立，只需－≤，解得－≤≤.．(·镇海中学月考)不等式＋＋＞的解集为{＜＜}，则不等式－＋＞的解集为．解析：令()＝＋＋，其图象如下图所示，再画出(－)的图象即可，所以不等式－＋＞的解集为{－＜＜－}．答案：{－＜＜－}．(·金华十校联考)若不等式－＞(－)对满足≤的所有都成立，则的取值范围为．解析：原不等式化为(－)－(－)＜.令()＝(－)－(－)(－≤≤)．则(\\(－＝－－－－＜，＝－－－＜.))解得＜＜，故的取值范围为.答案：．(·湖州五校联考)已知实数，满足＋＋≤(＋)，则＝，＝，＋＝.解析：法一：由已知得＋－－＋≤，即(－)＋(－)≤，所以(\\(－＝，－＝，))解得＝，＝，＋＝＋＝－＝.法二：由已知得，关于的不等式－(＋)＋＋≤(*)有解，所以Δ＝[－(＋)]－≥，即Δ＝－(－)≥，所以－＝，即＝，此时不等式(*)可化为－＋≤，即(－)≤，所以＝＋＝＋＝－＝.答案：．已知不等式－－＜的解集为，不等式＋－＜的解集为，不等式＋＋＜的解集为∩，则＋等于( )．－．．．－解析：选由题意得，＝{－＜＜}，＝{－＜＜}，∴∩＝{－＜＜}，由根与系数的关系可知，＝－，＝－，则＋＝－.．若＜，则关于的不等式－－＞的解集是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，)∪(－，＋∞)．(，－)．(，－)解析：选由－－＞，得(－)(＋)＞，∵＜，∴＜或＞－.．(·丽水五校联考)设函数()＝(\\(－，＞，＋＋，≤，))若(－)＝()，(－)＝，则关于的不等式()≤的解集为( )．(－∞，－]∪[－，＋∞)．[－，－]．[－，＋∞)．[－，－]∪(，＋∞)解析：选因为(－)＝()，所以当≤时，()的对称轴为＝－，又(－)＝，则()＝(\\(－，＞，,＋，≤，))不等式()≤的解为[－，－]∪(，＋∞)，故选.．(·宁波四校联考)设二次函数()＝－＋(＞)，若()＜，则(－)的值为( )．正数．负数．非负数．正数、负数和零都有可能解析：选设()＝－＋＝的两个根为α，β，由()＜，则α＜＜β，由于二次函数()＝－＋的对称轴为＝，且()＝＞，则α－β＜，(－)＞，故选.．若不等式－(＋)＋≤的解集是[－]的子集，则的取值范围是( )．[－]．[－]．[]．[－]解析：选原不等式为(－)(－)≤，当＜时，不等式的解集为[]，此时只要≥－即可，即－≤＜；当＝时，不等式的解为＝，此时符合要求；当＞时，不等式的解集为[，]，此时只要≤即可，即＜≤.综上可得－≤≤.．不等式＋＋＜的解集不是空集，则实数的取值范围是．解析：∵不等式＋＋＜的解集不是空集，∴Δ＝－×＞，即＞.∴＞或＜－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)．若关于的不等式＞的解集为，则关于的不等式＋－＞的解集为．解析：由已知＞的解集为，可知＜，且＝，将不等式＋－＞两边同除以，得＋－＜，即＋－＜，即＋－＜，解得－＜＜，故所求解集为.答案：．(·萧山月考)不等式＋＋＞(，∈)的解集为，若关于的不等式＋＋＜的解集为(，＋)，则实数的值为．解析：因为不等式＋＋＞(，∈)的解集为，所以＋＋＝＝，那么不等式＋＋＜，即＜，所以≥，所以－－＜＜－，又＜＜＋，－－＝＋－，即＝，所以＝.答案：．已知()＝－＋(－)＋.()解关于的不等式()＞；()若不等式()＞的解集为(－)，求实数，的值．解：()∵()＝－＋(－)＋，∴()＝－＋(－)＋＝－＋＋，∴原不等式可化为－－＜，解得－＜＜＋.∴原不等式的解集为{－＜＜＋}．()()＞的解集为(－)等价于方程－＋(－)＋－＝的两根为－，等价于(\\(－＋＝(－)，,－×＝－(－)，))解得(\\(＝±()，＝－.))．关于的不等式(\\(－－＞，＋＋＋＜))的整数解的集合为{－}，求实数的取值范围．解：由－－＞可得＜－或＞.∵(\\(－－＞，＋＋＋＜，))的整数解为＝－，又∵方程＋(＋)＋＝的两根为－和－.①若－＜－，则不等式组的整数解集合就不可能为{－}；②若－＜－，则应有－＜－≤.∴－≤＜.综上，所求的取值范围为[－)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．若关于的不等式－－－＞在区间()内有解，则实数的取值范围是( )．(－，＋∞)．(－∞，－)．(－∞，－)．(－，＋∞)解析：选不等式－－－＞在区间()内有解等价于＜(－－)，令()＝－－，∈()，∴()＜()＝－，∴＜－.．设()＝＋＋，若()＝，问是否存在，，∈，使得不等式＋≤()≤＋＋对一切实数都成立，证明你的结论．解：由()＝，得＋＋＝.令＋＝＋＋，解得＝－.由()≤＋＋推得(－)≤，由()≥＋推得(－)≥，∴(－)＝.∴－＋＝.故＋＝且＝.∴()＝＋＋－.依题意＋＋－≥＋对一切∈都成立，即(－)＋＋－≥对一切∈都成立．∴≠且Δ＝－(－)(－)≤.即(－)≤，∴(－)＝，由－＞得＝.∴()＝＋＋.证明如下：＋＋－－－＝－－－＝－(＋)≤.∴＋＋≤＋＋对∈都成立．＋＋－－＝＋＋＝(＋)≥，∴＋≤＋＋对∈都成立．∴存在实数＝，＝，＝，使得不等式＋≤()≤＋＋对一切∈都成立．。

2020年高考数学二轮三轮总复习专题学案专题3-不等式、数列、推理与证明课件 (浙江文科专用) 精品

专题三 │ 考情分析预测
(2)数列定位于考查数列的基本问题和两类基本数列，试题的难度得到了有效的控制，基本上是属于中等难度试题，这是数列考查的大方向，虽然仍有部分省市把数列试题作为压轴题，但数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．
(1)A (2)3或4 【解析】 (1)令f(x)＝34x2－3x＋4＝34(x－2)2＋1.
若a≥2，则a，b是方程f(x)＝x的两个实根，解得a＝
4 3
，b＝4，矛
盾，排除D；若b≤2，则f(a)＝b，f(b)＝a，相减得a＋b＝
8 3
，代入
可得a＝b＝
4 3
，矛盾，排除C；若a<2<b，因为f(x)min＝1，所以a＝
第8讲 │ 主干知识整合
4．二元一次不等式组和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：约束条件、目标函数、可行域、最优解等． (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．
第8讲 │ 要点热点探究
x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品
的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
(2)[2011·浙江卷] 若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y

2020年高考数学真题试题(浙江卷)(Word版+答案+解析)

2020年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P ＝{x|1＜x ＜4}，Q ＝{x|2＜x ＜3}，则P∩Q ＝（） A. {x|1＜x≤2} B. {x|2＜x ＜3} C. {x|3≤x ＜4} D. {x|1＜x ＜4}2.已知a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，则a ＝（） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣23.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +1≤0x +y −3≥0 ，则z ＝x+2y 的取值范围是（）A. （﹣∞，4]B. [4，+∞）C. [5，+∞）D. （﹣∞，+∞） 4.函数y ＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A. 73B. 143 C. 3 D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d≠0， a 1d≤1．记b 1＝S 2 ， b n+1＝S n+2﹣S 2n ， n ∈N*，下列等式不可能成立的是（）A. 2a 4＝a 2+a 6B. 2b 4＝b 2+b 6C. a 42＝a 2a 8D. b 42＝b 2b 88.已知点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，则|OP|＝（）A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a ，b ∈R 且ab≠0，若（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣2a ﹣b ）≥0在x≥0上恒成立，则（） A. a ＜0 B. a ＞0 C. b ＜0 D. b ＞0 10.设集合S ，T ，S ⊆N*，T ⊆N*，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意x ，y ∈T ，若x ＜y ，则 yx ∈S ；下列命题正确的是（）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素二、填空题：本大题共7小题，共36分。

2020浙江高考数学二轮专题强化训练：专题一第2讲函数图象与性质Word版含解析

专题加强训练1．(2019 ·华十校调研金)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故 f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2 C．－ 1 D．－ 3分析：选 A. 由于 f(x)＝x＋11 1x－ 1，所以 f( a)＝ a＋a－ 1＝ 2，所以 a＋a＝ 3，所以 f(－ a)＝－ a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是 ( )1A ． y＝x B． y＝ |x|－ 11 |x|C． y＝ lg x D． y＝2分析：选 B.A 中函数 y＝1A 错误；B 中函数满x不是偶函数且在 (0，＋∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x－a的图象对于原点对称，g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b 4．已知函数 f(x)＝ 2 x＝ ( )A ． 1 B．－ 11 1C．－2 D.4分析：选 B.由题意得f(0) ＝ 0，所以 a＝ 2.1由于 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e＋ 1)－ b＝ ln e＋ 1 ＋ b，1 1所以 b＝2，所以 log a b＝ log 22＝－1. 5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x2＋a(a∈ R )的图象不行能是 ( ) |x|分析：选 A. 直接利用清除法：①当 a＝ 0 时，选项 B 建立；②当 a＝ 1 时， f(x)＝ x2＋1 ，函数的图象近似D；|x|③当 a＝－ 1 时， f(x)＝ x2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x 在区间 [3，4]上的最大值和最小值分别为M，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝x－2m2m，则M＝( )2 3A. 3B.83 8C.2D.3分析：选 D. 易知 f(x)＝2x ＝ 2＋ 4 ，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M＝ f(3)x－ 2 x－ 24 4 m2 16 8＝ 2＋3－2＝ 6，m＝ f(4)＝ 2＋4－2 ＝4，所以M＝ 6 ＝3.7．(2018 高·考全国卷Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y＝ ln x 的图象对于直线x＝ 1 对称的是 ( )A ． y＝ ln(1 － x) B． y＝ ln(2 － x)C． y＝ ln(1＋ x) D． y＝ ln(2 ＋ x)分析：选 B. 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x， y)，则其对于直线x＝ 1 的对称点的坐标为 (2－ x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上，所以 y＝ ln(2 － x)．故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除A，C， D，选 B.8．(2019 浙·江台州市书生中学高三月考 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）分析：选 D. 由于函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?≥ 0.又因 f(x)在 (0，5xx＋ ∞ ) 上为单一递减函数，且 f (2) ＝ 0 ，所以得，函数 f ( x) 在 ( － ∞ ， 0) 上单一递减且f(－ 2)＝ 0.所以， x ∈ (－ ∞ ，－ 2)∪ (0， 2)时， f(x)>0； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f( x)<0 ，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. －1， 1 B.－ 6，66 6 6 6C. － 1，1D.－ 3，33 333分析：选 B. 由于当 x ≥ 11 (a0 时，f(x) ＝ (|x － a 2|＋ |x － 2a2|－ 3a 2) ，所以当0≤ x ≤ a2时，f(x)＝ 222－ x ＋ 2a 2－ x － 3a 2) ＝－ x ；当 a 2＜ x ＜ 2a 2时， f(x)＝ 1(x － a 2＋ 2a 2－x － 3a 2)＝－ a 2；21当 x ≥ 2a 2 时， f(x)＝ 2(x － a 2＋ x － 2a 2－ 3a 2)＝ x － 3a 2.综上，函数 f(x) ＝ 12 (|x － a 2| ＋ |x － 2a 2 | － 3a 2) 在x ≥ 0 时的解析式等价于f(x) ＝－ x ， 0≤ x ≤a 2 ，－ a 2， a 2＜ x ＜ 2a 2，x － 3a 2， x ≥ 2a 2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，226 ≤a ≤ 6察看图象可知，要使 ? x ∈ R ，f(x － 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－t恒建立，则实数t的取值范围是()18 tA ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3]B． (－∞，－3]∪ (0，3]C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞ )D． [－3， 0)∪ [ 3，＋∞ )分析：选 C.由于 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，由于 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1 2故 f(x)＝9(x ＋ 6x＋ 8)，1 3 1 1 3由于 x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥18 t－t 恒建立，所以－9 ＝f(x)min≥18 t－ t ，解得 t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝2则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (12)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0.若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (12)x－ 2≥ 2 得 (12)x≥ 4，则 2－x≥ 4，得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：由于 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，由于 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3，5]．1 1答案：1 [－， ]14．定义新运算“⊕”：当a≥b 时， a⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝b2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x －(2⊕ x)， x∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x－ 2， x∈ [－2， 1]，分析：由题意知f(x)＝x3－ 2， x∈（ 1，2]，当 x∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x∈ [－ 2， 2] 时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]x>0 时， h(x)＝－x215．已知函数 h(x)(x≠ 0)为偶函数，且当 4 ，0<x≤4，若h(t)>h(2)，则4－ 2x， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x2－4，0<x≤ 4，分析：由于 x>0 时， h(x)＝4－ 2x， x>4.易知函数h(x)在 (0，＋∞)上单一递减，由于函数h(x)(x≠ 0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，t ≠0，t≠0，所以即解得－2< t<0 或0<t<2.|t|<2，－ 2<t<2，综上，所务实数t 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析：对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x≥ 2 时， (x＋a)|x＋a|＋ (ax)x≤0 恒建立 .①若 x＋ a≥ 0，即 a≥ －2 时，则有 (x＋ a)2＋ax2≤ 0,所以 ( a＋ 1)x2＋2ax＋ a2≤ 0.a＋ 1＜ 0令 f(x)＝ (a＋ 1)x2＋ 2ax＋ a2，则有 a＋1＝ 0 或2a＜ 2－，2（ a＋1）f（ 2）＝ 4（ a＋1）＋ 4a＋ a2≤ 0求得 a＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a＜－ 1，综合可得－ 2≤ a≤ － 1；②若 x＋ a＜ 0，即 a＜－ 2 时，则有－ (x＋ a)2＋ ax2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为a＜－ 2；③若 x＋ a＝ 0，即 a＝－ x≤ － 2 时，则由题意可得ax2≤0，知足条件 . 综合①②③可得， a≤－ 2 或－ 2≤ a≤ －1，故 a 的最大值为－ 1.答案：－117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x，y} ＝x（ x<y），则不等式 min{ x＋4，4} ≥ 8min{ x，1} y（ x≥ y）x x的解集是 ________．分析：①当 x>0 时，由基本不等式可知x＋4≥ 2 x＋4x x＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.11x ≤ 2x ≥2或，1≥ 11≤ 1x 2x 2②当 x<0 时，(ⅰ )当－ 1<x<0 时，1x <x ，原不等式化为 x ＋4x ≥ 8x ，即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．1综上不等式的解集为 (－ ∞， 0)∪ (0， 2]∪ [2，＋ ∞ )．答案： (－∞， 0)∪ 1，＋∞ )(0， ]∪ [2218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 由于函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3所以b，－2＝1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3，所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m＜ 1 时， f(x)min＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3，所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m＜－ 1 时， f(x)min＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，2－ 2m，maxf(x) ＝ f(m)＝m所以 f(x)的值域为 [－ 1， m2－ 2m] ．x2－ 2ax＋ a2＋ 1， x≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考) 已知函数 f(x)＝2－ a，x＞ 0.x2＋x(1)若对于随意的x∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为M(a)，解对于实数 a 的不等式M(a－ 2)＜M(a)．解： (1) 当 x≤ 0 时， f(x)＝ (x－ a)2＋ 1，由于 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在(1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，由于 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为f(0) ＝ a2＋1，当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为f(a)＝ 1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得a≥ 00≤ a≤1，解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，由于 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。

浙江2020版高考数学第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)

高考专题突破一高考中的不等式问题题型一含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )．解对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________．答案 3解析由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________．答案 2 1解析如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意．综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析方法一作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．答案 30 95解析作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22，当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立．综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析由xy ＝1且0<y <22，可知x >2，所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4，当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案233解析由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________．答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1，即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2，且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号．思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，3]解析当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3；当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a 1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析由a 0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3，所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________．答案 34解析设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．答案 911－32 解析将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________．答案 15解析方法一设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )，可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________．答案1＋172解析由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。

2020版高考数学二轮复习专题限时集训不等式选讲文

专题限时集训(十六) 选修4－5 不等式选讲(建议用时：40分钟)1．(20xx·咸阳三模)设函数f (x )＝|2x －4|＋1.(1)求不等式f (x )≥x ＋3的解集；(2)关于x 的不等式f (x )－2|x ＋2|≥a 在实数范围内有解.求实数a 的取值范围． [解] (1)f (x )≥x ＋3.即|2x －4|＋1≥x ＋3. 则2|x －2|≥x ＋2. 当x ≥2时.解得x ≥6. 当x <2时.解得x ≤23.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[6.＋∞)． (2)由不等式f (x )－2|x ＋2|≥a 在实数范围内有解可得：a ≤2|x －2|－2|x ＋2|＋1在实数范围内有解.令g (x )＝2|x －2|－2|x ＋2|＋1.则a ≤g (x )min .因为g (x )＝2|x －2|－2|x ＋2|＋1≥2|(x －2)－(x ＋2)|＋1＝9. 所以a ≤g (x )min ＝9.即a ∈(－∞.9]．2．(20xx·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a >0).g (x )＝x 2－x . (1)当a ＝1时.求不等式g (x )≥f (x )的解集； (2)已知f (x )≥2恒成立.求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时.g (x )≥f (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，x2－x≥－x －1－x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<1，x2－x≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x2－x≥x＋1＋x －1，解得x ≤－1或x ≥3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1x －1＋a ，x≤－1a ，a －1x ＋1＋a ，－1a <x<a ，a ＋1x ＋1－a ，x≥a.当0<a ≤1时.f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1≥2.a ＝1；当a >1时.f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝a ＋1a ＞2.a >1. 综上.a 的取值范围是[1.＋∞)．即t ∈(－∞.－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 4．(20xx·全国卷Ⅲ)设x .y .z ∈R .且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立.证明：a ≤－3或a ≥－1.[解] (1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2].所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43.当且仅当x ＝53.y ＝－13.z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]. 所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥2＋a 23. 当且仅当x ＝4－a 3.y ＝1－a 3.z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为2＋a 23. 由题设知2＋a 23≥13.解得a ≤－3或a ≥－1.(2)当a >1时.设g (x )＝f (x )＋|x ＋1|.若g (x )的最小值为12.求实数a 的值．[解] (1)当a ＝1时.f (x )＋2x >2.即|x ＋1|>2－2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋1>2－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－x －1>2－2x ，解得x >13.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)当a >1时.－1<－1a.g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1x －2，x<－1，1－a x ，－1≤x≤－1a ，a ＋1x ＋2，x>－1a，由于函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 上递减.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上递增.则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－1a .从而1－1a ＝12.得a ＝2.。

2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第4讲不等式(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第4讲不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．考点一不等式的性质与解法核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <mnC ．m －p<n －pD ．log m p >log n p答案 D解析方法一设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<m n<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝p －m n －m p －n n p －n ＝p n －m n p －n >0，所以p －m p －n >mn，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p>n －p，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( ) A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0，即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．易错提醒求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练 1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________．答案 {x |－1≤x ≤1} 解析由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65. 考点二基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag x＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a＋2－a≥22a ·2－a＝2 答案 D解析由于b a ，a b的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4a≤－2－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.易错提醒运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________．答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 45解析方法一由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1，所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－45舍去.故x 2＋y 2的最小值为45.专题强化练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |1<x <3} C ．{x |x <－1或x >3} D ．{x |x <1或x >3}答案 D解析不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}．2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误．当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c 3}，则f (10x)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg3} B ．{x |－2<x <lg3} C ．{x |x >lg3} D ．{x |x <lg3}答案 D解析一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x)>0可化为－2<10x<3，解得x <lg3，所以所求不等式的解集为{x |x <lg3}．4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )1,0log 22ab ＝1， 12a b+>a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B.7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2a ＋1b ＋2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为( ) A ．3B.94C ．1D ．0答案 C解析由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c，当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b 24＝1，当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题9．设f (x )＝ln x,0<a q 答案 BC解析 r ＝12(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab <q ＝ln a ＋b 2.10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 ABC解析方法一设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.方法二分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5<a ≤8.11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1bB ．ln a >ln bC ．a ln a b >0，所以1a <1b，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，所以a >b >0⇔ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a 0)，则g ′(x )＝1－e x.因为x >0，所以e x>1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a )<g (b )，即a －e a0，b >0，且a －b <e a －e b 时，易证得a >b ，必要性成立，故D 正确．12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b>12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b＝22a －1＝12×22a，因为a >0，所以22a>1，即2a －b>12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2，得a ＋b ≤2，故D 正确．三、填空题13．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a1＋a<11aa+；④a1＋a>a 1＋1a.其中正确的是________．(填序号)答案 ②④解析由于0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a <1＋1a，所以②④是正确的．14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴m >xx 2－x ＋1恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1≤121－1＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．∴m >1.15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1ex ＝－f (x )，又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x·1ex＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以f (x )在R 上单调递增，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________．答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ，又⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9，当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9，令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9，即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，∴1x－1＋1y的最大值为9.11。

2020浙江高考数学二轮讲义：专题一第4讲不等式Word版含解析

第 4讲不等式不等式的解法[ 核心提炼 ]1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋ bx＋c>0( a≠ 0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠0) 的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法f（ x）(1)g（x）>0(<0) ? f( x)g(x)>0(<0) ；(2)f（x）≥ 0(≤ 0)? f(x)g( x)≥ 0(≤0) 且 g(x)≠0.g（ x）[ 典型例题 ](1)已知函数 f(x)＝ (ax－ 1)(x＋ b)，若不等式 f(x)＞ 0 的解集是 (－ 1，3)，则不等式 f(－2x)＜ 0 的解集是 ()A. －∞，－32∪12，＋∞3 1B.－，C. －∞，－12∪32，＋∞1 3D.－，(2)不等式 (a－ 2)x2＋2(a－ 2)x－ 4<0 的解集为 R ，则实数a 的取值范围是 ________．【分析】(1)由 f(x)＞ 0，得 ax2＋ (ab－ 1)x－ b＞ 0，又其解集是 (－ 1， 3)，1－ ab＝ 2，a因此 a＜ 0，且b－a＝－ 3，1解得 a＝－ 1 或3(舍去 )，因此 a＝－ 1， b＝－ 3，因此 f(x)＝－ x2＋ 2x＋ 3，因此 f(－ 2x)＝－ 4x2－ 4x＋ 3，由－ 4x2－ 4x＋ 3＜0，得 4x2＋ 4x－3＞ 0，解得1x＞ 2或3x＜－ 2，应选 A.(2)当 a ＝ 2 时，不等式化为－ 4<0，恒建立；当 a ≠ 2 时，a － 2<0由条件知，＝ 4（a － 2） 2＋ 16（ a － 2） <0解得－ 2< a<2.综上所述， a 的取值范围是 (－ 2， 2]．【答案】 (1)A (2)( －2， 2]不等式的求解技巧(1)对于和函数相关的不等式，可先利用函数的单一性进行转变．(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 得出不等式的解集．(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类议论．[ 对点训练 ]x1．不等式 2x －1>1 的解集为 ( )A. 1， 1 B ． (－∞， 1)2C. －∞， 1∪ (1，＋∞ )D. 1，222分析：选 A. 原不等式等价于 xx －（ 2x － 1） x － 1<0，－ 1>0，即 >0，整理得2x － 1 2x － 1 2x － 11不等式等价于 (2x － 1)(x － 1)<0 ，解得 2<x<1.应选 A.2．(2019 ·北八校联考湖 )已知对于 x 的不等式 ax 2－ ax － 2a 2>1( a>0 ， a ≠1)的解集为 (－a ，1x 2 ＋ 2mx －m2a)，且函数 f(x)＝－1的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围为 ________．a分析：当 a>1 时，由题意可得 x 2－ ax － 2a 2>0 的解集为 (－ a ，2a)，这明显是不行能的．当1x 2＋ 2mx － m10<a<1 时，由题意可得 x 2－ax － 2a 2<0 的解集为 (－ a ，2a)，且 a≥ a ，即 x 2＋2mx －m ≥0 恒建立，故对于方程x 2＋ 2mx － m ＝ 0，有＝ 4m 2＋ 4m ≤ 0，解得－ 1≤ m ≤ 0.答案： [－1，0]绝对值不等式[ 核心提炼 ]1．含绝对值不等式的解法(1)|ax＋ b|≤c，|ax＋ b|≥ c 型不等式的解法①若 c>0，则 |ax＋ b|≤ c? － c≤ ax＋ b≤ c，|ax＋ b|≥ c? ax＋b≥ c，或 ax＋ b≤－ c，而后根据 a， b 的取值求解即可；②若 c<0，则 |ax＋ b|≤ c 的解集为 ?， |ax＋ b|≥ c 的解集为 R.(2)|x－ a|＋ |x－b|≥ c， |x－ a|＋ |x－ b|≤ c 型不等式的解法①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；③在所分区间上，依据绝对值的定义去掉绝对值符号，议论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．2．绝对值不等式的性质(三角不等式 )(1)对绝对值三角不等式定理|a|－ |b|≤ |a±b|≤ |a|＋ |b|中等号建立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可加强为||a|－ |b||≤ |a±b|≤ |a|＋ |b|，它常常用于证明含绝对值的不等式．[ 典型例题 ](1)(2019 绍·兴市诸暨市高考二模)已知f(x)＝ x2＋ 3x，若 |x－ a|≤ 1，则以下不等式一定建立的是 ()A． |f(x) － f(a)|≤ 3|a|＋ 3B． |f( x)－ f(a)|≤ 2|a|＋ 4C． |f( x)－ f(a)|≤ |a|＋ 5D． |f(x) － f(a)|≤ 2(|a|＋ 1)2(2)(2019 ·新高考研究结盟第一次联考)已知函数f(x) ＝ |x2－a|＋ |x－ b|(a，b∈ R )，当 x∈ [ －2， 2]时，记 f(x)的最大值为M(a， b)，则 M( a，b)的最小值为 ________．【分析】(1)由于 |x－ a|≤ 1，因此 a－ 1≤ x≤ a＋ 1，由于 f(x)是二次函数，因此 f(x)在区间 [a－ 1， a＋ 1]上单一时， |f(x)－ f(a)|获得最大值为|f(a＋ 1)－ f(a)|或 |f(a－ 1)－f(a)|，而 |f(a＋ 1)－ f(a)|＝ |(a＋ 1)2＋ 3(a＋1) －a2－ 3a|＝ |2a＋ 4|≤ 2|a|＋ 4，|f(a － 1)－ f( a)|＝ |(a － 1)2＋ 3(a － 1)－ a 2－ 3a|＝ |－ 2a －2|＝ |2a ＋ 2|≤2|a|＋ 2.因此 |f(x)－ f(a)|≤2|a|＋ 4，应选 B.(2)法一：依据对称性，不如设 b ≤ 0，x ∈ [0，2]，因此 f(x)＝ |x 2－ a|＋ x － b ，因此 M (a ，b)≥ |x 2－ a|＋ x －b ≥ |x 2－ a|＋ x.令 g(x)＝ |x 2－ a|＋ x ， x ∈ [0， 2]①当 a ≤ 0 时， g(x)＝ x 2＋ x － a ， g(x)max ＝ 6－a ≥ 6；－x 2 ＋x ＋ a ， x ∈ [0， a]，②当 0＜ a ＜4 时， g(x)＝x 2＋ x － a ， x ∈ [ a ， 2]123因此当 0＜ a ＜ 4时， g(x)max ＝ max{ a ，6－ a} ＝6－ a ＞ 4 ；当1≤ a ＜ 4 时，41g(x)max ＝ max 4＋ a ， 6－ a123≤ a ＜ 4，4＋ a ，8＝1236－ a ，4＜ a ＜ 8.25因此 g(x) max ≥ 8 .117③当 a ≥ 4 时， g(x)＝－ x 2＋ x ＋ a ， g(x)max ＝ 4＋ a ≥ 4 ；综合 ①②③ 得 M( a ， b) min ＝ 25 ，当且仅当 a ＝ 23 ， b ＝ 0 时取到． 8 8法二： f(x)＝max{| x 2＋ x － a － b|， |x 2－ x － a ＋ b|}，令 f 1(x) ＝|x 2＋ x － a － b|， f 2(x)＝ |x 2－ x －a＋ b|，g 1(x)＝ x 2＋ x － a －b ， g 2(x)＝x 2－ x － a ＋ b ，依据图象可知：f 1 (x)max1＝max |6－ a － b|，－ 4－ a － b，2 max＝ max |6－ a＋ b|，－1 － a＋ b.f (x) 41 1 25 因此 2f 1(x)max≥ |6－ a－b|＋－4－ a－ b ≥（ 6－a－ b）－－4－a－ b ＝4，1 1 25 同理： 2f2 (x)max≥ |6－a＋ b|＋－4－a＋ b ≥（ 6－ a＋ b）－－4－ a＋ b ＝4，123（ 6－ a－ b）＝－－4－ a－ b a＝当且仅当，即8 时取等号，1（ 6－ a＋ b）＝－－4－ a＋ b b＝ 025因此 M(a， b)min＝8 .25【答案】(1)B(2)(1)研究含有绝对值的函数问题时，依据绝对值的定义，分类议论去掉绝对值符号，将原函数转变为分段函数，而后利用数形联合解决是常用的思想方法．(2)对于求y＝ |x－ a|＋ |x－ b|或 y＝ |x－ a|－ |x－ b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如 y＝ |x－ a|＋ |x－ b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．[ 对点训练 ]1．(2019 ·波市六校结盟模拟宁)已知函数 f(x)＝|x＋ a|＋ |x－ 2|.当 a＝－ 4 时，则不等式 f(x) ≥6 的解集为 ________；若 f(x)≤ |x－ 3|的解集包括 [0， 1]，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：当 a＝－ 4 时， f(x)≥ 6，即 |x－ 4|＋ |x－ 2|≥ 6，x≤ 2 2<x<4即或4－ x＋ x－ 2≥ 64－ x＋ 2－ x≥6x≥ 4或，x－4＋ x－ 2≥6解得 x≤ 0 或 x≥ 6.因此原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．由题可得f(x) ≤|x－ 3|在 [0， 1]上恒建立．即|x＋ a|＋ 2－ x≤ 3－ x 在 [0， 1]上恒建立，即－ 1－ x≤ a≤1－ x 在 [0，1] 上恒建立．即－ 1≤ a≤0.答案： (－∞， 0]∪ [6，＋∞ )[－ 1， 0]2．(2019 ·州学军中学高三模拟杭)已知 a 和 b 是随意非零实数．(1)求 |2a＋b|＋ |2a－ b|的最小值；|a|(2)若不等式 |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥ |a|(|2＋ x|＋ |2－ x|)恒建立，务实数x 的取值范围．解： (1) 由于|2a＋ b|＋ |2a－ b| |2a＋ b＋2a－ b| |4a| |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥|a| ＝|a|＝ 4，因此|a| 的最小值为|a|4.(2)不等式 |2a＋ b|＋ |2a－ b|≥ |a|(|2＋x|＋ |2－ x|)恒建立，即 |2＋ x|＋ |2－ x|≤|2a＋ b|＋ |2a－b||a|恒建立，故|2＋ x|＋ |2－ x|≤|2a＋b|＋|2a－b|.|a| min由(1) 可知，|2a＋ b|＋ |2a－ b|4，|a|的最小值为因此 x 的取值范围即为不等式|2＋x|＋ |2－ x|≤ 4 的解集．解不等式得－ 2≤ x≤ 2，故实数 x 的取值范围为 [ －2， 2]．简单的线性规划问题[ 核心提炼 ]1．平面地区确实定方法平面地区确实定方法是“直线定界、特别点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的地区的交集．2．线性目标函数z＝ ax＋by 最值确实定方法线性目标函数z＝ ax＋by 中的 z 不是直线ax＋ by＝ z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为y＝－ax＋z可知z是直线 ax＋ by＝ z 在 y 轴上的截距，要依据 b 的符号确立目标函数在什么状况b bb下获得最大值、什么状况下获得最小值．[ 典型例题 ]x－3y＋ 4≥ 0，(1)(2019 高·考浙江卷 )若实数 x， y 知足拘束条件3x－ y－ 4≤ 0，则 z＝ 3x＋2y 的最x＋y≥ 0，大值是()A．－ 1 B． 1C． 10 D． 12x－ y≥ 0，(2)(2018 高·考浙江卷) 若 x ， y 知足拘束条件2x＋ y≤ 6，则 z＝ x ＋ 3y 的最小值是x＋ y≥ 2，____________ ，最大值是 ____________．(3)(2019 宁·波高考模拟)已知A(1， 1)， B(－ 2，1)， O 为坐标原点，若直线l： ax＋ by＝2与△ ABO 所围成地区 (包括界限 ) 没有公共点，则a－b 的取值范围为 ________．【分析】(1)作出可行域如图中暗影部分所示，数形联合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2，2)时， z 获得最大值，z max＝ 6＋ 4＝ 10.应选 C.(2)由题可得，该拘束条件表示的平面地区是以(2， 2)， (1 ， 1)， (4，－ 2)为极点的三角形及其内部地区(图略 )．由线性规划的知识可知，目标函数z＝ x＋ 3y 在点 (2， 2)处获得最大值，在点 (4，－ 2)处获得最小值，则最小值z min＝ 4－ 6＝－ 2，最大值z max＝ 2＋ 6＝ 8.(3)A(1， 1)， B(－ 2， 1)， O 为坐标原点，若直线l： ax＋ by＝ 2 与△ ABO 所围成地区 (包括界限 )没有公共点，a＋ b＜ 2得不等式组，－ 2a＋ b＜ 2令 z＝a－ b，画出不等式组表示的平面地区，判断知，z＝ a－ b 在 M 获得最小值，a＋ b＝ 2，由－2a＋ b＝ 2解得 M(0， 2)，a－b 的最小值为－ 2.a－b 的取值范围是(－ 2，＋∞ )．故答案为 (－ 2，＋∞ )．【答案】(1)C (2) － 2 8(3)( － 2，＋∞ )解决线性规划问题应关注的三点(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点)，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要联合图形剖析．[ 对点训练 ]x－ 3≤01．(2019 嘉·兴市高考模拟 )已知实数 x， y 知足 y－ 1≥ 0 ，若 ax＋ y 的最大值为10，则x－ y＋ 1≥ 0实数 a＝( )A ． 4 B． 3C． 2 D． 1分析：选 C.画出知足条件的平面地区，如下图：x＝ 3由，解得A(3， 4)，x－y＋ 1＝ 0令 z＝ax＋ y，由于 z 的最大值为10，因此直线在y 轴上的截距的最大值为10，即直线过(0 ，10)，因此 z＝ ax＋ y 与可行域有交点，当 a＞ 0 时，直线经过 A 时 z 获得最大值．即 ax＋ y＝ 10，将 A(3， 4)代入得：3a＋ 4＝ 10，解得 a＝2，当 a≤ 0 时，直线经过 A 时 z 获得最大值，即 ax＋ y＝ 10，将 A(3， 4)代入得： 3a＋ 4＝ 10，解得： a＝ 2，与 a≤ 0 矛盾，综上 a＝ 2.2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由地区x－ 2≤0，x＋ y≥ 0，中的点在直线x＋ y－ 2＝ 0 上的投影组成的线段记为AB，则|AB |＝ ( )x－ 3y＋4≥ 0A．2 2 B． 4C．3 2 D． 6分析：选 C.作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示，过点 C， D 分别作直线x＋y－ 2＝ 0 的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC 为矩形，又C(2，－ 2)，D (－ 1， 1)，2 2因此 |AB|＝ |CD |＝（2＋1）＋（－2－1）＝3 2.y－ x＋ 1≥03．(2019 温·州市高考模拟)若实数 x，y 知足x＋ y－ 2≤ 0，则 y 的最大值为y＋1________，x＋ 2x， y≥ 0的取值范围是________．y－ x＋1≥ 0分析：作出不等式组x＋ y－ 2≤ 0，对应的平面地区如图：x， y≥ 0可知 A 的纵坐标获得最大值： 2.y＋ 1由于 z＝，则z的几何意义为地区内的点到定点D(－2，x＋ 2－ 1)的斜率，由图象知 BD 的斜率最小， AD 的斜率最大，则z 的最大为 2＋ 1 3 0＋ 1＝ 2，最小为1＋ 20＋ 21＝ 3，13即 3≤ z ≤ 2，则 z ＝ y ＋ 11，3 ]．的取值范围是 [x ＋ 2 3 21 3答案： 2 [3，2]基本不等式及其应用[ 核心提炼 ]利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法例是： (1) 假如 x>0， y>0， xy ＝ p(定值 )，当 x ＝ y 时， x ＋y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)； (2) 假如 x>0，y>0，x ＋ y ＝s(定值 )，1当 x ＝ y 时， xy 有最大值 4s 2(简记为：和定，积有最大值 )．[ 典型例题 ]a 4＋ 4b 4＋ 1(1) 若 a ， b ∈ R ， ab>0，则 ab 的最小值为 ________．(2)(2019 金·丽衢十二校高考二模 )设 A ＝ {( x ，y)|x 2 －a(2x ＋ y) ＋4a 2＝ 0} ，B ＝ {( x ，y)||y|≥ b|x|} ，对随意的非空实数 a ，均有 A? B 建立，则实数 b 的最大值为 ________．【分析】 (1) 由于 ab ＞ 0，因此 a 4＋ 4b 4＋ 1 2 4a 4b 4＋ 14a 2b 2＋ 11≥21≥ ＝ ab＝ 4ab ＋ ab 4ab ·ababab＝ 4，a 2＝2b 2，a 4＋ 4b 4＋1当且仅当1 时取等号，故 ab的最小值是 4.ab ＝ 2221 2(2)由 x － a(2x ＋ y)＋ 4a ＝0 得 y ＝a x －2x ＋ 4a ，|y| x 4a则 |x|＝ |a ＋ x － 2|，当 ax ＞ 0 时， a x ＋4ax ≥ 2 4＝ 4，因此 |x a ＋ 4a x － 2|≥ |4－ 2|＝ 2，即 |y||x|≥ 2，x4a当 ax＜ 0 时，a＋x≤ －2 4＝－ 4，x 4a |y|≥6，因此 |a＋x－ 2|≥ |－ 4－ 2|＝ 6，即|x|由于对随意实数a，均有 A? B 建立，|y|即|y|≥ b|x|恒建立，即|x|≥ b 恒建立，因此 b≤ 2，故答案为 2.【答案】(1)4 (2)2利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：经过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若没法直接运用基本不等式求解，能够经过凑系数后获得和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，往常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分A开再利用不等式求最值．即化为y＝ m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，g（ x）而后运用基本不等式来求最值．(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，经过变形结构和或积为定值的代数式求其最值．[ 对点训练 ]1．(2019 温·州市瑞安市高考模拟)若 x＞ 0，y＞ 0，则x ＋y的最小值为 ________．x＋ 2y x分析：设y＝ t＞ 0，则x ＋y＝ 1 ＋ t＝ 11(2t＋ 1)－1≥ 2 11＋2t＋×－1＝x x＋ 2yx1＋ 2t 1＋ 2t 2 2 1＋ 2t 2212－2，2－ 1y当且仅当t＝2＝x时取等号．1故答案为：2－2.答案： 2－122．(2018 高·考江苏卷 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC ＝ 120°，∠ ABC 的均分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝1，则 4a ＋ c 的最小值为 ________．分析：由于 ∠ ABC ＝ 120°，∠ABC 的均分线交 AC 于点 D ，因此∠ ABD ＝ ∠CBD ＝ 60°，由三角形的面积公式可得11 12 acsin 120°＝ asin 60 °＋ csin 60°，化简得 ac ＝ a ＋ c ，又 a>0，c>0，所221 1 1 ＋ 1 c 4a≥5＋2 c 4a 以＋＝ 1，则 4a ＋c ＝ (4a ＋ c)a c ＝5＋＋c · ＝9，当且仅当 c ＝ 2a 时取等号，a caa c故 4a ＋c 的最小值为 9.答案： 9专题加强训练1．(2019 ·华十校联考金 )不等式 (m － 2)(m ＋3)＜ 0 的一个充分不用要条件是 ( )A ．－ 3＜ m ＜0B ．－ 3＜ m ＜ 2C ．－ 3＜m ＜ 4D ．－ 1＜ m ＜ 3分析：选 A. 由 (m － 2)(m ＋ 3)＜ 0 得－ 3＜m ＜ 2，即不等式建立的等价条件是－ 3＜ m ＜ 2，则不等式 (m － 2)(m ＋ 3)＜ 0 的一个充分不用要条件是 (－ 3， 2)的一个真子集，则知足条件是－ 3＜ m ＜ 0.应选 A.2．已知对于 x 的不等式 (ax － 1)( x ＋1)<0 的解集是 (－∞，－1)∪ －1，＋∞ ，则 a ＝ ()2A ． 2B ．－ 21 1C ．－ 2D.21分析：选 B. 依据不等式与对应方程的关系知－1，－ 2是一元二次方程 ax 2＋ x(a － 1)－ 1＝01 1的两个根，因此－ 1× －2 ＝－ a ，因此 a ＝－ 2，应选 B.3．已知 x>0，y>0， lg 2 x＋lg 8 y＝ lg 2，则 1＋ 1的最小值是 ()x 3yA ． 2B ． 2 2C ． 4D ． 2 3分析：选 C.由于 lg 2x ＋ lg 8 y ＝ lg 2 ，因此 x＋ 3y＝ 1，因此1x＋3y1＝1x＋3y1(x＋ 3y)＝ 2＋3yx＋3yx≥ 4，3y x当且仅当x ＝3y，1 1即 x＝2， y＝6时，取等号．4．若平面地区x＋ y－ 3≥ 0，2x－ y－ 3≤0，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间x－ 2y＋ 3≥0的距离的最小值是( )3 5A. 5B. 23 2C. 2D. 5x＋ y－ 3≥ 0分析：选 B.不等式组2x－ y－ 3≤0表示的平面地区如图中暗影部分所示，此中A(1， 2)、x－ 2y＋ 3≥0B(2， 1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点 A 与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，因此线段AB 的长度就是过A、B 两点的平行直线间的距离，易得 |AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，应选 B.2x2－ a5．(2019 金·丽衢十二校高三联考)若函数 f(x)＝x－1 (a<2)在区间 (1，＋∞ )上的最小值为6，则实数 a 的值为 ()3A ． 2 B.21C． 1 D.22x2－ a 2（ x－1）2＋ 4（ x－1）＋ 2－a－1)＋2－ a分析：选 B. f(x) ＝＝x－ 1 ＝ 2(x ＋x－ 1 x－ 12－ a4－ 2a＋ 4，当且仅当 2(x－ 1)＝2－a 2－ a4≥ 22（ x－ 1）·＋4＝2 ? x＝ 1＋2 时，等x－ 1 x－ 13号建立，因此 2 4－ 2a＋ 4＝ 6? a＝2，应选 B.x2－ 2x－3≤ 0，的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 ( ) 6．若不等式组x2＋ 4x－（ 1＋ a）≤ 0A ． (－∞，－ 4] B． [－4，＋∞ )C． [－ 4， 20] D． [－ 4， 20)分析：选 B.不等式 x2－2x－ 3≤ 0 的解集为 [ － 1， 3]，x2－ 2x－ 3≤0，x2＋ 4x－ (a ＋ 1)≤ 0 的解集为会合假定的解集为空集，则不等式x2＋ 4x－（ a＋ 1）≤ 0{ x|x<－1 或 x>3} 的子集，由于函数 f(x)＝ x2＋ 4x－ (a＋1) 的图象的对称轴方程为x＝－ 2，因此必有 f(－ 1)＝－ 4－a>0? a<－ 4，则使x2－ 2x－3≤ 0，的解集不为空集的 a 的取值范围是x2＋ 4x－（ 1＋ a）≤ 0a≥ － 4.x－ 2y≥－ 2 7．(2019 浙·江“七彩阳光”结盟高三联考 )已知变量 x， y 知足拘束条件x－ y≤0 ，若x≥－ 4不等式 2x－ y＋ m2≥ 0 恒建立，则实数m 的取值范围为 ( )A．[－ 6， 6]B． (－∞，－6]∪[ 6，＋∞ )C． [－ 7， 7]D． (－∞，－7] ∪[ 7，＋∞ )x－ 2y≥ － 2分析：选 D. 作出拘束条件x－ y≤ 0 所对应的可行域 (如图中x≥ － 4暗影部分 )，令 z＝－ 2x＋ y，当直线经过点A(－ 4，－ 1)时， z 获得最大值，即 z max＝ (－ 2)× (－ 4)＋ (－ 1)＝ 7.因此 m 2≥ 7，即实数 m 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 7]∪ [ 7，＋ ∞ )，应选 D. 8．已知 b>a>0， a ＋ b ＝ 1，则以下不等式中正确的选项是 ( )a －b1A ． log 3a>0B ．3 < 3b a≥ 6C ． log 2a ＋ log 2b<－ 2D ． 3 a ＋b 分析：选 C.对于 A ，由 log 3 a>0 可得 log 3a>log 31，因此 a>1，又 b>a>0， a ＋ b ＝ 1，因此 a<1，二者矛盾，因此A 不正确；a b1ab对于B ，由3－<可得3－ <3－1，3因此 a － b<－1，可得 a ＋ 1a>0， a ＋ b ＝ 1 矛盾，因此 B 不正确；1对于 C ，由 log 2 a ＋ log 2b<－ 2 可得 log 2(ab)<－2＝ log 24，1因此 ab<4，又 b>a>0 ，a ＋ b ＝ 1>2ab ，因此 ab<14，二者一致，因此 C 正确；对于 D ，由于 b>a>0， a ＋b ＝ 1，b a >3×2b ×a＝ 6，因此 D 不正确．应选 C.因此3 ＋baa b9．(2019 绍·兴市柯桥区高三期中 )已知 x ，y ∈ R ， ( )A ．若 |x －y 2|＋ |x 2＋ y|≤1，则 (x ＋1 132 )2＋ (y － )2≤22 B ．若 |x － y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，则 (x － 1)2＋ (y －1)2≤32 22 C ．若 |x ＋ y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，则 (x ＋1 132 )2＋ (y ＋ )2≤22D ．若 |x ＋y 2|＋ |x 2＋ y|≤1，则 (x －11 32 )2＋ (y ＋ )2≤221 1 )2≤ 3分析：选 B.对于 A ， |x － y 2|＋ |x 2＋ y|≤ 1，由 (x ＋ ) 2＋ (y －化简得 x 2＋ x ＋ y 2－ y ≤ 1，222二者没有对应关系；对于B ，由 (x 2－ y)＋ (y 2－ x)≤ |x 2－ y|＋ |y 2－ x|＝ |x － y 2|＋ |x 2－ y|≤ 1，22121232 2因此 x －x ＋ y － y ≤1，即 (x － 2) ＋ (y － 2) ≤2，命题建立；对于 C ， |x ＋ y |＋ |x － y|≤ 1，由 (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2≤ 3化简得 x 2＋x ＋ y 2＋ y ≤ 1，二者没有对应关系；对于 D ，|x ＋ y 2 |＋|x 2＋y|≤1， 22 2121 2 322＋y ≤ 1，二者没有对应关系．应选B.化简 (x －) ＋ (y ＋ )≤得 x － x ＋ y2 2 210．若对于 x 的不等式 x 3－ 3x 2－ ax ＋ a ＋ 2≤0 在 x ∈ (－ ∞ ，1]上恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(－ ∞，－ 3]B ．[－3，＋ ∞)C ． (－ ∞ ，3]D ． [3，＋ ∞)分析：选 A. 对于 x 的不等式 x 3－3x 2－ ax ＋ a ＋2≤ 0 在 x ∈ (－ ∞ ， 1]上恒建立，等价于 a(x － 1)≥ x 3－ 3x 2＋ 2＝ (x －1)(x 2－ 2x － 2)，当 x ＝ 1 时， 1－ 3－ a ＋a ＋ 2＝ 0≤0 建立，当 x ＜ 1 时， x －1＜ 0，即 a ≤ x 2－ 2x － 2，由于 y ＝ x 2－ 2x － 2＝ (x －1)2－ 3≥ － 3 恒建立，因此 a ≤ － 3，应选 A.11． (2019 ·州市高三高考模拟温 )若对于 x 的不等式 |x|＋ |x ＋ a|＜ b 的解集为 (－ 2， 1)，则实数对 (a ， b)＝ ________．分析：由于不等式 |x|＋ |x ＋ a|＜ b 的解集为 (－2， 1)，2＋ |－2＋ a|＝ b因此，解得 a ＝ 1，b ＝ 3.1＋ |1＋a|＝ b 答案： (1， 3)2＋ 1的最小值是 ________，x － y的12．若实数 x ，y 知足 x ＞y ＞ 0，且 log 2x ＋ log 2y ＝ 1，则 x y x 2＋ y 2最大值为 ________．分析：实数 x ， y 知足 x ＞y ＞ 0，且 log 2x ＋ log 2y ＝ 1，则 xy ＝ 2，2 1 2 1 2 1，即 x ＝ 2， y ＝ 1 时取等号，则＋ ≥ 2·＝ 2，当且仅当＝x yx yx y2 1故 x ＋ y 的最小值是 2，x － yx － yx － y1≤11 x 2＋ y2＝（x － y ） 2＋ 2xy ＝（ x － y ）2＋ 4 ＝4 4 ＝ 4，当且（ x － y ）＋2（ x － y ）x － y x － y仅当 x－y＝4，即 x－ y＝ 2 时取等号，x－ yx－ y 1 1故x2＋y2的最大值为4，故答案为2，4.答案： 2 14x≥ 0，则 z＝ 2x·1 y13．(2019 兰·州市高考实战模拟)若变量 x，y 知足拘束条件 y≥ 0 的23x＋ 4y≤12最大值为 ________．x≥ 0分析：作出不等式组y≥ 0表示的平面地区如图中暗影部3x＋ 4y≤ 12y1分所示．又z＝ 2x·＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝ x－ y 在点 (4 ，20)处 u 获得最大值，此时z 获得最大值且max24－0＝ 16. z ＝答案： 16－x2 － 1， x≤0 14．已知函数 f(x)＝，则对于 x 的不等式 f(f(x)) ≤3 的解集为 ________．－ x2＋x， x>0分析：令 f( t)≤ 3，若 t≤ 0，则 2－t－ 1≤ 3，2－t≤ 4，解得－ 2≤ t ≤0；若 t>0，则－ t2＋ t≤3，2 － x 2－1≥－2 － x ＋ x≥ －2t2－ t＋ 3≥0，解得 t>0，因此 t ≥－ 2，即原不等式等价于或，解得x≤ 0 x>0x≤ 2.答案： (－∞， 2]15． (2019 宁·波市九校联考 ) 已知 f(x)＝ |x＋1－ a|＋ |x－1－ a|＋ 2x－ 2a(x＞ 0)的最小值为3，x x 2 则实数 a＝ ________．分析： f(x)＝ |x＋1x－ a|＋ |x－1x－a|＋ 2x－ 2a≥|(x＋1x－ a)－ (x－1x－ a)|＋2x－ 2a2＝|x|＋ 2x－2a 2＝x＋ 2x－ 2a≥2 2x·2x－ 2a＝4－ 2a.2当且仅当x＝2x，即 x＝ 1 时，上式等号建立．3 5由 4－ 2a＝2，解得 a＝4.5答案：416． (2019 绍·兴市柯桥区高三模拟)若 |x2＋ |x－ a|＋3a|≤2 对 x∈ [－ 1，1] 恒建立，则实数 a 的取值范围为 ________．分析： |x2＋ |x－ a|＋ 3a|≤ 2 化为－ 2－ x2≤ |x－ a|＋ 3a≤ 2－ x2，画出图象，可知，其几何意义为极点为 (a， 3a)的 V 字型在 x∈ [－ 1，1]时，一直夹在 y＝－ 2－ x2，y＝2－ x2之间，如图1，图2所示，为两种临界状态，第一就是图 1 的临界状态，此时V 字形右侧界限 y＝x＋2a 与 y＝－ 2 － x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2＋x＋ 2a＋ 2＝0，此时＝0? 1－4(2a＋ 2)＝ 0? a 7＝－8，而图 2 的临界状态明显 a＝ 0，综上得，实数 a 的取值范围为7.－， 087答案：－，017． (2019 ·州模拟温 )已知 a， b， c∈ R，若 |acos2x＋ bsin x＋ c|≤ 1 对 x∈ R 建立，则 |asin x ＋b|的最大值为 ________．分析：由题意，设t＝ sin x， t∈ [－ 1， 1]，则 |at2－ bt－ a－c|≤ 1 恒建立，不如设 t＝ 1，则 |b＋ c|≤ 1； t＝ 0，则 |a＋ c|≤ 1， t＝－ 1，则 |b－ c|≤ 1，若 a， b 同号，则 |asin x＋ b|的最大值为|a＋ b|＝ |a＋ c＋ b－ c|≤ |a＋ c|＋ |b－ c|≤ 2；若 a， b 异号，则 |asin x＋ b|的最大值为|a－ b|＝ |a＋ c－ b－ c|≤ |a＋ c|＋ |b＋ c|≤ 2；综上所述， |asin x＋ b|的最大值为2，故答案为 2.答案： 218． (2019 ·水市第二次教课质量检测丽) 已知函数f(x)＝4－ |ax－ 2|(a≠ 0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若当x∈ [0， 1]时，不等式f(x)≥ 1 恒建立，务实数 a 的取值范围．解： (1) 要使函数存心义，需4－ |ax－ 2|≥0，即|ax－ 2|≤ 4， |ax－ 2|≤ 4? －4≤ ax－ 2≤ 4? － 2≤ ax≤6.2 6当 a>0 时，函数 f(x)的定义域为 { x|－a≤ x≤a} ；6 2当 a<0 时，函数 f(x)的定义域为 { x|a≤ x≤ －a} ．(2)f(x)≥ 1? |ax－ 2|≤ 3，记 g(x)＝ |ax－ 2|，由于 x∈ [0， 1]，g（ 0）≤ 32≤ 3因此需且只要?? － 1≤ a≤ 5，g（ 1）≤ 3 |a－ 2|≤ 3又 a≠ 0，因此－ 1≤ a≤ 5 且 a≠0.|x＋ a|19． (2019 丽·水市高考数学模拟)已知函数 f(x)＝x2＋1(a∈ R)．(1)当 a＝ 1 时，解不等式 f(x)>1；b(2)对随意的b∈ (0， 1)，当 x∈ (1， 2)时， f(x)> x恒建立，求a 的取值范围．|x＋ 1|x2＋ 1<|x＋ 1|? x＋ 1≥0 x＋ 1<0? 0<x<1.解： (1) f(x)＝>1? 或x2＋ 1<－（ x＋1）x2＋ 1 x2＋ 1< x＋ 1故不等式的解集为 { x|0<x<1} ．|x＋a| b 1 1 1 b(2)f(x)＝x2＋1 >x? |x＋a|>b( x＋x)? x＋ a>b(x＋x)或 x＋a<－ b(x＋x)? a>(b－ 1)x＋x或 a<－b[( b＋1)x＋x] 对随意 x∈ (1， 2)恒建立．5因此 a≥ 2b－1 或 a≤－ (2b＋ 2)对随意 b∈ (0， 1)恒建立．9 因此 a≥ 1 或 a≤ －2.。

浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测4一元二次不等式及其解法含解析

课时跟踪检测（四）一元二次不等式及其解法
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·浙江名校联考)已知集合 A＝{y|y＝ x＋1}，B＝{x|x2－x－6＞0}，则 A∩∁RB＝( )
A．[1,2]
B．[1,3]
C．[1,2)
D．[1,3)
解析：选 B 由题意知 A＝[1，＋∞)，B＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故∁RB＝[－2,3]，A∩∁RB＝ [1,3]．
2
2
3
31
11
证明如下： x2＋x＋1－2x2－2x－＝－ x2－x－＝－ (x＋1)2≤0.
2
22
22
3
3
∴ x2＋x＋1≤2x2＋2x＋对 x∈R 都成立．
2
2
3
11
11
x2＋x＋1－x2－＝ x2＋x＋＝ (x＋1)2≥0，
2
22
22
13 ∴x2＋ ≤ x2＋x＋1 对 x∈R 都成立．
( )1
所以 x2＋ax＋b＝ x＋ 2＝0， 2a
那么不等式 x2＋ax＋b＜c，
( )1
即 x＋ 2＜c，所以 c≥0， 2a
1
1
所以－ c－＜x＜ c－，
2a
2a
又 m＜x＜m＋6，
( ) 1
1
c－－－ c－＝m＋6－m，
2a
2a
即 2 c＝6，所以 c＝9.
答案：9
9．已知 f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞)
D．(－∞，－6)
解析：选 A 不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1,4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 g(x)＝x2－4x －2，x∈(1,4)，∴g(x)＜g(4)＝－2，∴a＜－2.

浙江省20届高考数学二轮复习第2部分专题3 第4讲不等式

第4讲不等式热点一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例1 (1)已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →|＝|AB →|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．4 2 答案 C解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →|，又|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2＝2, ∴x 2＋y 2＝4，∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2(x 2＋y 2)＝8，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴x ＋y ≤22，即x ＋y 的最大值为22，故选C.(2)已知a ，b 为正实数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值为________．答案 62－1解析由(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，得a ＋b ＝9a ＋2b ＋1，则3a ＋4b ＝2(a ＋b )＋a ＋2b ＝18a ＋2b ＋1＋(a ＋2b ＋1)－1≥218a ＋2b ＋1×(a ＋2b ＋1)－1＝62－1，当且仅当18a ＋2b ＋1＝a ＋2b ＋1>0时，等号成立，所以3a ＋4b 的最小值为62－1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．跟踪演练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝()x ＋y lg 2， ∴x ＋y ＝1，∴1x ＋9y ＝()x ＋y ⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16，故选D. (2)设a >b >0，当a 22＋2b (a －b )取得最小值c 时，函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |＋|x －c |的最小值为( )A ．3B ．2 2C ．5D ．4 2 答案 A解析 a 22＋2b (a －b )＝[b ＋(a －b )]22＋2b (a －b )≥2b (a －b )＋2b (a －b )≥22b (a －b )·2b (a －b )＝4，当且仅当a ＝2b ＝2时，上面不等式中两个等号同时成立，所以a 22＋2b (a －b )的最小值为4，此时a ＝2，b ＝1，c ＝4，则f (x )＝|x －1|＋|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <1，5－x ，1≤x ≤2，x ＋1，2<x ≤4，3x －7，x >4，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最小值f (2)＝3，故选A. 热点二简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例2 (1)(2018·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案－2 8 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6x ＋y ≥2，，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)，将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2；当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. (2)设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，x －2y －2≤0，若z ＝2x 2－y －2，则( )A ．z 的最小值为－258B ．z 的最小值为－3C ．z 的最大值为33D ．z 的最大值为6答案 A解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z ＝2x 2－y －2与平面区域内的边界x －y ＋1＝0(x ≥0)相切时，z＝2x 2－y －2取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2x 2－y －2，x －y ＋1＝0，消去y 化简得2x 2－x －3－z ＝0，因为曲线z＝2x 2－y －2与x －y ＋1＝0(x ≥0)相切，所以关于x 的一元二次方程2x 2－x －3－z ＝0有两个相等的正实数根，则(－1)2－4×2×(－3－z )＝0，解得z ＝－258，满足题意，即目标函数z ＝2x 2－y －2的最小值为－258，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值，故选A.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练2 (1)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤m ，x ＋y ≥0，2x －y ≥0(m >0)表示的平面区域为Ω，P (x ，y )为Ω上的点，当2x ＋y 的最大值为8时，Ω的面积为( ) A ．12 B ．8 C ．4 D ．6 答案 D解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m ，－m )，(m ，2m )为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(m ，2m )时，z ＝2x ＋y 取得最大值，所以2m ＋2m ＝8，解得m ＝2，则此时平面区域Ω的面积为12×2×(4＋2)＝6，故选D.(2)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y <1，y ≥|2x －1|，则x 2＋y 2的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，13B.⎣⎡⎭⎫14，13C.⎣⎡⎭⎫55，13D.⎣⎡⎭⎫15，13 答案 D解析在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP ，设z ＝x 2＋y 2，求z ＝x 2＋y 2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围．由图可知，作OH ⊥MN 于点H ，由N (0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，0，得OH ＝OM ·ON MN ＝55，∴z min ＝15.又∵OP 2＝22＋32＝13，但点P 不在图中阴影部分内， ∴z ＝x 2＋y 2取不到13，∴x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，13，故选D. 热点三绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立．(2)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例3 (1)如果不等式x 2<|x －1|＋a 的解集是区间(－3,3)的子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，5]解析不等式x 2<|x －1|＋a 等价于x 2－a －|x －1|<0，设f (x )＝x 2－|x －1|－a ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋1－a ，x ≥1，x 2＋x －1－a ，x <1，若不等式x 2<|x －1|＋a 的解集是区间(－3,3)的子集，则⎩⎪⎨⎪⎧f (3)≥0，f (－3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 9－2－a ≥0，9－4－a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤7，a ≤5，解得a ≤5. (2)设函数f (x )(x ∈R )满足|f (x )－x 2|≤14，|f (x )＋1－x 2|≤34，则f (1)＝________.答案 34解析由题意得|f (1)－12|≤14，①|f (1)＋1－12|≤34，②由①得34≤f (1)≤54，由②得－34≤f (1)≤34，所以f (1)＝34.思维升华 (1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件．(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定．跟踪演练3 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x |＋|(y －1)－(y ＋1)|＝3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立．(2)已知m ∈R ，要使函数f (x )＝|x 2－4x ＋9－2m |＋2m 在区间[0,4]上的最大值是9，则m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，72 解析不等式即为|x 2－4x ＋9－2m |＋2m ≤9，x ∈[0,4]，等价于|x 2－4x ＋9－2m |≤9－2m ，x ∈[0,4]， 2m －9≤x 2－4x ＋9－2m ≤9－2m ，x ∈[0,4]， 4m －18≤x 2－4x ≤0，x ∈[0,4]，结合函数的定义域可得(x 2－4x )min ＝－4，据此可得4m －18≤－4，m ≤72，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.真题体验1．(2019·浙江，3)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12答案 C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点A (2,2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.2．(2016·浙江，8)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 答案 D解析由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项．对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项；对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项；对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项．故选D.3．(2017·天津，文，13)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.押题预测1．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时取等号． ∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4. 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝4x ＋y 的最小值为( )A ．－6B ．6C ．7D ．8答案 C解析由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线z ＝4x ＋y 过点C (1,3)时，z 取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.3．已知函数f (x )＝x ＋1x ，若对于任意的m ∈R ，方程|f (m ＋x )|＋|f (m －x )|＝a 均有解，则a 的取值范围是________．答案 [4，＋∞)解析令g (x )＝|f (m ＋x )|＋|f (m －x )|， ∴g (－x )＝|f (m －x )|＋|f (m ＋x )|＝g (x )， ∴g (x )是偶函数，设x >0， ①若m >0，当x <m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(m －x )＋1m －x ＝2m ＋1m ＋x ＋1m －x ＝2m ＋2mm 2－x 2>2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ≥4；当x >m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(x －m )＋1x －m ＝2x ＋1x ＋m ＋1x －m ＝2x ＋2x x 2－m 2>2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4. ②若m <0，则－m >0，当x <－m 时，g (x )＝－(x ＋m )－1x ＋m －(m －x )－1m －x＝－2m －⎝⎛⎭⎫1m ＋x ＋1m －x ＝－2m －2mm 2－x 2>2⎣⎡⎦⎤(－m )＋1(－m )≥4；当x >－m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(x －m )＋1x －m ＝2x ＋1x ＋m ＋1x －m ＝2x ＋2x x 2－m 2>2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4.③若m ＝0，g (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4. 又g (x )是偶函数，∴当x <0时，g (x )＝g (－x )≥4. 综上，g (x )≥4.∴要使方程g (x )＝a 有解，只需a ≥4即可， ∴所求a 的取值范围是[4，＋∞)．A 组专题通关1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b b >0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0，∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b . 方法二 ∵a >b >0，ab ＝1， ∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b. 2．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．3．已知p ：不等式(ax －1)·(x －1)>0的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1，q ：a <12，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由不等式(ax －1)(x －1)>0的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1，得a <0且1a <1，解得a <0，所以“不等式(ax －1)(x －1)>0的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1”是“a <12”的充分不必要条件，故选A.4．已知a ，b ∈R ，|a －sin 2θ |≤1，|b ＋cos 2θ|≤1，则( ) A ．a ＋b 的取值范围是[－1,3] B ．a ＋b 的取值范围是[－3,1] C ．a －b 的取值范围是[－1,3] D ．a －b 的取值范围是[－3,1] 答案 C解析由|a －sin 2θ|≤1，|b ＋cos 2θ|≤1，得－1≤a －sin 2θ≤1，－1≤b ＋cos 2θ≤1，则－1≤－b －cos 2θ≤1，所以－2≤a －sin 2θ＋(－b －cos 2θ)≤2，即－2≤a －b －1≤2，所以－1≤a －b ≤3，故选C.5．已知正项等比数列{a n }的公比为3，若a m a n ＝9a 22，则2m ＋12n 的最小值等于( )A ．1 B.12 C.34 D.32答案 C解析 ∵正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 22， ∴a 2·3m －2·a 2·3n －2＝a 22·3m ＋n －4＝9a 22，∴m ＋n ＝6，∴16×(m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋12n ＝16×⎝⎛⎭⎫2＋m 2n ＋2n m ＋12≥16×⎝⎛⎭⎫52＋2＝34，当且仅当m ＝2n ＝4时取等号．故选C.6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，3 B.⎝⎛⎦⎤－∞，43 C ．[3，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 答案 D解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)，其中M (0,2)，N (1,0)．则由图象知x ≥0，由不等式y ≥k (x ＋1)－1恒成立，得k (x ＋1)≤1＋y ，即k ≤y ＋1x ＋1恒成立，设z ＝y ＋1x ＋1，所以k ≤z min ，又z 的几何意义是平面区域内的点与定点A (－1，－1)连线的斜率，由图象知AN 的斜率最小，此时z 的最小值为z ＝0＋11＋1＝12，即k ≤12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 7．若a ，b ，c >0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝16，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝16可得(a ＋b )(a ＋c )＝16，因为2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝8，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c 的最小值为8. 8．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( ) A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6 答案 A解析由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.9．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.10．设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根，则当m ＋k 取到最小值时，m ＝________，k ＝________. 答案 6 7解析设f (x )＝mx 2－kx ＋2，则方程mx 2－kx ＋2＝0在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f (x )＝mx 2－kx ＋2在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f (0)＝2>0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (1)＝m －k ＋2>0，0<k2m <1，(－k )2－8m >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －k ＋2>0，2m >k >0，k 2－8m >0，以m 为横坐标，k 为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －k ＋2>0，2m >k >0，k 2－8m >0所表示的平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为m ，k 为整数，则由图易得当目标函数z ＝m ＋k 经过平面区域内的点(6,7)时，z ＝m ＋k 取得最小值z min ＝6＋7＝13，此时m ＝6，k ＝7. 11．若实数x ，y 满足x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，则x ＋2y 的最小值为________，7(x ＋2y )＋2xy 的最大值为__________．答案－42 16解析因为x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，所以(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，则(x ＋2y )2≤32，－42≤x＋2y ≤42，即x ＋2y 的最小值为－4 2.由(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，不妨设⎩⎨⎧x ＋2y ＝42sin θ，2xy ＝42cos θ，则7(x ＋2y )＋2xy ＝42(7sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝77，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x ＋2y )＋2xy 取得最大值16.12．已知实数x ，y 满足x >1，y >0，且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．答案 9解析由x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11得1x －1＋1y＝10－[(x －1)＋4y ]，则⎝⎛⎭⎫1x －1＋1y 2＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1y {10－[(x －1)＋4y ]} ＝10⎝⎛⎭⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x －1＋x －1y ≤10⎝⎛⎭⎫1x －1＋1y －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y x －1·x －1y ＝10⎝⎛⎭⎫1x －1＋1y －9，当且仅当4y x －1＝x －1y ，即2y ＝x －1>0时，等号成立，令t ＝1x －1＋1y ，则有t 2≤10t －9，解得1≤t ≤9，所以1x －1＋1y的最大值为9.B 组能力提高13．已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋c 的最小值为( ) A ．－2 B ．－32 C ．－1 D ．－12答案 C解析若ab ＋c 取最小值，则ab 异号，c ＜0，根据题意得：1－c 2＝a 2＋b 2，又由a 2＋b 2≥2|ab |＝－2ab ，即有1－c 2≥－2ab ⇒ab ＋c ≥c 2－12＋c ＝c 22＋c －12＝12(c 2＋2c )－12＝12(c ＋1)2－1≥－1，即ab ＋c 的最小值为－1，故选C.14．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，有以下四个命题： ①以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在； ②以2a,2b,2c 为边长的三角形一定存在； ③以a 3，b 3，c 3为边长的三角形一定存在；④以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由题意不妨设a ≥b ≥c ，则b ＋c >a .对于①，(b ＋c )2－(a )2＝b ＋c ＋2bc －a >0，所以以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在，①正确；对于②，令a ＝5，b ＝c ＝3，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而2a ＝32,2b ＝2c ＝8，则2a,2b,2c 不能构成三角形，②错误；对于③，取a ＝3，b ＝c ＝2，此时a ，b ，c 可以构成三角形，而a 3＝27，b 3＝c 3＝8，则a 3，b 3，c 3不能构成三角形，③错误；对于④，因为|a －b |＋c ＝a ＋c －b ，|b －c |＋a ＝|c －a |＋b ＝a ＋b －c ，且a ＋b －c ≥a ＋c －b ，所以|b －c |＋a ＋|c －a |＋b >|a －b |＋c ，所以以|a －b |＋c ，|b －c |＋a ，|c －a |＋b 为边长的三角形一定存在，④正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选B. 15．已知实数x ，y ，z ∈[0,4]，如果x 2，y 2，z 2是公差为2的等差数列，则|x －y |＋|y －z |的最小值为________．答案 4－2 3解析 x ＝y 2－2，z ＝y 2＋2，由x ，y ，z ∈[0,4]可知y 2∈[2,14]．则|x －y |＋|y －z |＝y 2＋2－y 2－2＝4y 2＋2＋y 2－2关于y 2∈[2,14]单调递减，所以其最小值为4－2 3.16．若正数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1，则c 的最大值是________．答案62解析方法一 (配方放缩)a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1⇔⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b －13c 2＋23c 2＝1，所以23c 2≤1，得c ≤62，故c 的最大值为62.方法二 (判别式法)a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1⇔a 2－ba ＋b 2＋c 2－bc －1＝0，看成关于a 的一元二次方程，令f (a )＝a 2－ba ＋b 2＋c 2－bc －1，因为f (a )的对称轴在y 轴右侧，所以方程有正数解只需Δ1＝(－b )2－4(b 2＋c 2－bc －1)≥0，即3b 2－4cb ＋4c 2－4≤0，看成关于b 的一元二次不等式，令g (b )＝3b 2－4cb ＋4c 2－4，因为g (b )的对称轴在y 轴右侧，所以不等式有正数解，只需Δ2＝(－4c )2－4×3×(4c 2－4)≥0，即c 2≤32，得c ≤62，故c 的最大值为62.方法三 (“1”的代换构造齐次式)c 2＝c 2a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋1－ab c 2－b c ＝1⎝⎛⎭⎫a c －b 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32·b c－132＋23≤123＝32，所以c ≤62，故c 的最大值为62. 方法四 (三角换元)a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1⇒⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋⎝⎛⎭⎫c －12b 2＋⎝⎛⎭⎫22b 2＝1，设⎩⎪⎨⎪⎧a －12b ＝sin θcos φ，c －12b ＝sin θsin φ，22b ＝cos θ，则得c ＝12b ＋sin θsin φ＝22cos θ＋sin θsin φ＝12＋sin 2φsin(θ＋α)≤32＝62. 方法五 (求根公式法)a 2＋b 2＋c 2－ab －bc ＝1看成c 的方程，即c 2－bc ＋a 2＋b 2－ab －1＝0，又c >0，则c ＝b ＋b 2－4(a 2＋b 2－ab －1)2＝b ＋4－4a 2－3b 2＋4ab 2＝b ＋4－(2a －b )2－2b 22≤b ＋4－2b 22，设b ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2，则4－2b 2＝2sin θ，所以b ＋4－2b 22＝2cos θ＋2sin θ2＝62sin(θ＋φ)≤62，所以c ≤62.17．(2019·宁波期末)已知不等式x －k 2＋3kx －ln k >0对任意正整数k 均成立，则实数x 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪(ln 3，ln 4)解析此题的处理难点是变量为k ，而且是整数点列的问题，在处理问题时，要把x 当常数处理.x －k 2＋3k x －ln k >0⇔(x －k 2＋3k )(x －ln k )>0，等价于f (k )＝k 2－3k ，g (k )＝ln k 两函数中横坐标相同的正整数的点必须在y ＝x (x 为常数)的同侧，画图得，y ＝x 需在点C 或D 下方或点A ，B 之间，可得x <－2或ln 3<x <ln 4.。

(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.4基本不等式及其应用讲义(含解析)

§2.4 基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ＞0)及其应用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．常在解答题中考查，难度为中档.1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________．答案 0解析因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b的最大值为0.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t 恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a ＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________．答案－14解析因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号．题型二基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________．答案 25解析令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y 4x ＋y ＝11＋4y x ＋yx4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t4＋17t ＋4t2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224，当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意，所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( ) A ．2－log 23 B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x＋4x y≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →，则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x＝2t －1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t 2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010. ∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________．答案2222－2 解析因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t ＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________．答案－19解析因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0，故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xyx －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xyx －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。