考研数学一真题完整版

历年考研数学一真题及答案(1987-2013)

历年考研数学一真题1987-2013（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x = (3)与两直线 1y t =-+2z t=+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A和B满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),st I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y f ye 0y- 00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x=--在该点处的切线重合,求函数().y y x=六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr>为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y=(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A与20000001y⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1-=P AP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x在区间[,]a b上连续,且在(,)a b内有()0,f x'>证明:在(,)a b内存在唯一的,ξ使曲线()y f x=与两直线(),y f x aξ==所围平面图形面积1S是曲线()y f x=与两直线(),y f x bξ==所围平面图形面积2S的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰ 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e cos()0x y xy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分方程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x= 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzizxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP<<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（）A.()201x t e dt -⎰B.0ln(1)x ⎰C.sin 20sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x →=则（）A.当00,()0x f x x →==在处可导.B.当00,()0x f x x →==在处可导.C.当0()00.x f x x →==在处可导时,D.当0()00.x f x x →==在处可导时,3.设函数()f x 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1fff n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直，则（）A.(,)lim 0x y →=存在 B.(,)lim 0x y →=存在C.(,)lim 0x y →=存在D.(,)lim 0x y →=4.设R 为幂级数1n nn a x ∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（）A.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≥B.1n nn a x ∞=∑发散时，||r R ≤C.||r R ≥时，1n nn a x ∞=∑发散D.||r R ≤时，1n nn a x ∞=∑发散5.若矩阵A 经初等变换化成B ，则（）A.存在矩阵P ，使得P A =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解6.已知直线22211112:x a y b c L a b c ---== 与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交于一点，法向量,1,2,3.i i i i a a b i c ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则 A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关7.设A,B,C 为三个随机事件，且11()()(),()0()()412P A P B P C P AB P AC P BC ======，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.5128.设12(),,,n x x x …为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x ====Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的近似值为 A.1(1)-ΦB.(1)ΦC.1(0,2)-ΦD.(0,2)Φ 二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。

$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。

$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。

$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。

$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

B。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

C。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。

D。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。

3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。

B。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。

数学1考研试题及答案

数学1考研试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是（）。

A. c≥0B. c≥4C. c≤0D. c≤4答案：B2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9xD. x^3-3答案：A3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A|的值为（）。

A. 2B. -2C. 6D. -6答案：C5. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。

A. 63B. 56C. 49D. 84答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

答案：17. 设等差数列{a_n}的公差为d=3，若a_3=12，则a_1的值为。

答案：38. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

答案：19. 设矩阵B = [1 0; 0 2]，则B^2的值为。

答案：[1 0; 0 4]10. 已知函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g'(x)的值。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共60分）11. 证明：若x>0，则x^2>2x。

证明：因为x>0，所以x-1>-1，所以(x-1)^2>0，即x^2-2x+1>0，所以x^2>2x。

12. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数。

解：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3×1^2-3=0。

13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

解：∫(0,2) (x^2-4x+4) dx = [1/3x^3-2x^2+4x](0,2) = (1/3×2^3-2×2^2+4×2) - (0) = 8/3。

历年考研数学一真题及答案

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求
(2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算
的值.
(3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域.
四、(本题满分6分)
(1)过点且与直线垂直的平面方程是_____________.
(2)设为非零常数,则 =_____________.
(3)设函数 ,则 =_____________.
(4)积分的值等于_____________.
(5)已知向量组
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(3)与两直线
及都平行且过原点的平面方程为_____________.
(4)设为取正向的圆周则曲线积分 = _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数与使等式成立.
三、(本题满分7分)
(1)设、为连续可微函数求
(1)设是连续函数,且则等于
(A) (B)
(C) (D)
(2)已知函数具有任意阶导数,且则当为大于2的正整数时的阶导数是
(A) (B)
(C) (D)
(3)设为常数,则级数
(A)绝对收敛(B)条件收敛
(C)发散(D)收敛性与的取值有关
(4)已知在的某个邻域内连续,且则在点处

2024年考研数学一真题及解析

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。

考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。

历年考研数一真题及答案

历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。

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历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。

考研数学一真题

考研数学一真题2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、选择题部分1. 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=(n-1)a_{n-1}+1$ $(n\geq2)$，则 $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n$ 的通项公式为（）。

A. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=m!$B. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!-1$C. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=m\cdot m!$D. $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!$解：由 $a_n=(n-1)a_{n-1}+1$ 可以得到：$$a_2=1+1!=2,a_3=2+2!=4,a_4=6+3!=9,a_5=24+4!=48$$可以推测出 $\sum\limits_{n=1}^{m}a_n$ 的通项公式为：$$\sum\limits_{n=1}^{m}a_n=(m+1)!-1$$故选 B。

2. 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ $(n\in N^+)$。

则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n}$ 的值为（）。

A. $\frac{1}{2}$B. $1$C. $2$D. $+\infty$解：可以通过递推式将 $a_{n+1}$ 表示为 $a_n$ 和$a_{n-1}$ 的形式。

不过这里我们先注意到数列的变化形式与几何平均数的重合。

因为 $a_{n+1}$ 可以理解为将 $a_n$ 和$\frac{1}{a_n}$ 取几何平均数的结果。

所以可以先推导出几何平均数的递推公式：$$x_{n+1}=\sqrt{x_n\cdot\frac{1}{x_n}}=\frac{1}{2}(x_n+\ frac{1}{x_n})$$将 $a_n$ 和 $\sqrt{n}$ 作比较：$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\geq2\sqrt{a_n\cdot\frac{1}{a _n}}=2$$即 $a_n\geq2(n-1)$。

考研高数1试题及答案

考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 $，下列选项中，$ f(x) $ 的导数正确的是：A. $ 3x^2 + 4x - 5 $B. $ x^3 + 2x^2 - 5 $C. $ 3x^2 + 2x - 5 $D. $ 3x^3 + 4x^2 - 5x $答案：A2. 设 $ A $ 是 $ 3 \times 3 $ 矩阵，$ \det(A) = 2 $，则$ \det(2A) $ 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是：A. 0B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{3} $答案：B4. 已知 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 $ \int_{0}^{1} (2x - 1) dx $ 的值是 _______。

答案：$ \frac{1}{2} $2. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是 _______。

答案：$ (0, +\infty) $3. 函数 $ y = e^x $ 的导数是 _______。

答案：$ e^x $4. 已知 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是 _______。

答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程。

考研数学一真题及答案

考研数学一真题（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

答案写在题中横线上）(1)曲线的斜渐近线方程为。

【答案】【解析】所以斜渐近线方程为。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程满足的解为。

【答案】【解析】原方程等价于所以通解为将代入可得综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则。

【答案】【解析】因为所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则。

【答案】。

【解析】综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设均为三维列向量，记矩阵如果，那么。

【答案】2。

【解析】【方法一】【方法二】由于两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个数，记为,则。

【答案】。

【解析】【方法一】先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为所以即：X Y12341000200304所以【方法二】1综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）(7)设函数,则(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C 。

【解析】由知由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (8)设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数【答案】A 。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【参考答案】B【参考解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2，若C 2≠0，则微分方程的解2212a a x xy C eC e=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,222a i λ=-±，则通解为212ax y eC x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。