第七章粘性流体动力学

D
x
三边长为dx， ， ， 点坐标为 点坐标为（ 三边长为 ，dy，dz，A点坐标为（x,y,z） ） 对微小平面可以为其上面具有相同的应力 由于τ的存在 表面力不垂直表面， 的存在， 由于 的存在，表面力不垂直表面，为τ 的合力方向。 和p的合力方向。 的合力方向 外法线方向为正， 设p外法线方向为正，过A点三个平面上切 外法线方向为正 点三个平面上切 力方向与坐标轴相同。 力方向与坐标轴相同。 在直角坐标系下， 上的相关应力可以 在直角坐标系下，AC上的相关应力可以 分解为 pxx τ xy τ xz
N—S方程的说明： 方程的说明： 方程的说明 a. 对理想流体 对理想流体ν=0，N—S变成欧拉微分方 ， 变成欧拉微分方 对于静止流体， 程 。 对于静止流体 ， N—S方程中的惯性 方程中的惯性 力项为0，变为欧拉平衡方程。 力项为 ，变为欧拉平衡方程。 b. N—S方程适用于不可压缩流体 方程适用于不可压缩流体 c. N—S方程适用于牛顿流体 方程适用于牛顿流体 d. 对真实流体 对真实流体N—S适用于不同流态，对 适用于不同流态， 适用于不同流态 紊流时，转变为时均流场的雷诺方程。 紊流时，转变为时均流场的雷诺方程。 e. N—S方程有 p vx v y vz 四个未知量，补 四个未知量， 方程有 充连续方程理论上可以解
p yy τ yx τ yz AD面上的应力为 pzz τ zx τ zy 面上的应力为
AB面上的应力为 面上的应力为
τ，p下标中， 第一个表示与平面垂直的 ， 下标中 下标中， 坐标轴， 坐标轴， 第二个表示与应力作用线平行 的坐标轴，这样，六个面上有18个应力 的坐标轴 ， 这样 ， 六个面上有 个应力 将六面体向A点缩小 三个面上的9个 点缩小， 若 将六面体向 点缩小，三个面上的 个 应力就表示A点的应力 因此， 点的应力， 应力就表示 点的应力 ， 因此 ， 粘性流 体中任一点的应力由9个分量组成 个分量组成。 体中任一点的应力由 个分量组成。 以过六面体中心M及平行 轴的直线为准 以过六面体中心 及平行x轴的直线为准 及平行 ，对该直线取力矩 定义：逆时针力矩为正，顺时针为负， 定义：逆时针力矩为正，顺时针为负， 对该直线力矩和为
不变， 假设μ不变，有
2 2 2 ∂p ∂ vx ∂ vx ∂ vx 1 f x + − + 2µ 2 + µ 2 + µ 2 ∂x ∂y ∂z ρ ∂x 2 2 ∂ vy ∂ vz dvx +µ +µ = ∂y∂z ∂x∂z dt ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx 1 ∂p µ fx − + 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ρ ∂x ρ ∂x
∂x ∂z ∂y dvx = ρ dxdydz dt
∂τ yx
整理
dvx 1 ∂pxx ∂τ yx ∂τ zx + + fx + ( )= ∂y ∂z dt ρ ∂x
dvx 1 ∂pxx ∂τ yx ∂τ zx fx + ( + + )= ρ ∂x ∂y ∂z dt dv y 1 ∂p yy ∂τ xy ∂τ zy fy + ( + + )= ∂x ∂z ρ ∂y dt dvz 1 ∂pzz ∂τ xz ∂τ yz )= fz + ( + + ∂x ∂y dt ρ ∂z
若粘性各向同性， 若粘性各向同性， 得广义牛顿内摩 擦定律： 擦定律
{
τ xy = τ yx = 2µγ x
τ xz = τ zx = 2 µγ y τ yz = τ zy = 2 µγ z
补充三个方程仍有6个未知量。 补充三个方程仍有6个未知量。 2)法向应力 在理想流体中无τ ，p与作用面方位无关 与作用面方位无关
J = ρ dxdydz (dr )
2
dxdydz ∑ M = (τ yz − τ zy )dxdydz + ( ∂y dy − ∂z dz ) 2 = ρ dxdydz (dr ) 2 a
∂τ yz
∂τ zy
若略去四阶，五阶微量， 若略去四阶，五阶微量，有
(τ yz − τ zy )dxdydz = 0 τ yz = τ zy 即:
p = px = p y = pz
对于粘性流体有线变形即拉伸或压缩。 对于粘性流体有线变形即拉伸或压缩。 法线方向变形造成的附加法向应力在各个 方向上不相等 / / / pxx = − p + pxx p yy = − p + p yy pzz = − p + pzz 其中 为线变形产生的各坐标方 向上法线应力附加增量。 向上法线应力附加增量。
pzz+∂pzz/∂zdz τzx+ ∂τzx/∂zdz B z pyy τyz τzx+∂τzx/∂zdz τxy τyx τxz+ ∂τxz/∂xdx
· M
C
pxxy τyz+ ∂τyx/∂ydy τxz pyy+∂ pyy /∂ydy τyx+∂τyx/∂ydy
o
τxy+∂τxy/∂xdx A pxx+∂ pxx /∂xdx τ xy τzy pzz y
(τ yx + ∂τ yx ∂y dy )dxdz − τ yz dxdz = ∂τ yx ∂y dxdydz
在AC，BD面上 ， 面上 在AD，BC上 ， 上
∂pxx ∂pxx ( pxx + dx)dydz − pxx dydz = dxdydz ∂x ∂x
∂τ zx ∂τ zx (τ zx + dz )dxdy − τ zx dxdy = dxdydz ∂z ∂z
{
dvx 1 ∂p 2 fx − + ν∇ v x = dt ρ ∂x dv y 1 ∂p 2 fy − + ν∇ v y = ρ ∂y dt 1 ∂p dvz 2 fz − + ν∇ v z = dt ρ ∂z
v v 1 dv 2v 写成向量形式为： 写成向量形式为：F − grad p + ∇ v = ρ dt
1） 应力变形角加速度之间的关系 由于切应力的存在，则必有角变形。 由于切应力的存在，则必有角变形。 取一正方形无限小的微团abcd， ad与 bc ， 与 取一正方形无限小的微团 两层速度不等。 两层速度不等。如图。
b
v+dv
dvdt c dβ b' c'
dn a v d ∂vx/∂ydydt
a'
第七章 粘性流体动力学
方程） ●粘性流体运动微分方程式（N—S方程） 粘性流体运动微分方程式（ 方程 斯方程（ 方程） ●粘性流体的葛——斯方程（G---S方程） 粘性流体的葛 斯方程 方程 ● G—S方程的伯努利积分 方程的伯努利积分 ●重力作用下的微小流束的伯努利方程 ●缓变流动及其特性 ●动量与动能修正系数 ●粘性流体恒定总流的Bernoulli方程 粘性流体恒定总流的 方程 ●动量定理
∂vx =0 ∂x
∂v y ∂y
=0
∂vz =0Biblioteka ∂z于是p yy = p yy = pzz
3）纳维----斯托克斯方程方程 纳维 斯托克斯方程方程 ∂vx pxx = − p + 2µ τ xy = τ yx = 2µγ z ∂x 将
τ xz = τ zx = 2µγ y
代入本构方程中
τ yz = τ zy = 2µγ x
∂ ∂vx ∂v y ∂vz dvx + + + = ∂x ∂x ∂y ∂z dt
∂ vx ∂ v y ∂ vz 对不可压缩流体有 + + =0 ∂x ∂y ∂z
dvx 1 ∂p 2 fx − + ν∇ v x = ρ ∂x dt
得到N---S 得到N---S方程
由于二阶偏微分方程及边界无法描述， 由于二阶偏微分方程及边界无法描述 ， 所 以求解困难。但是，若对不同情况下（ 以求解困难 。 但是 ， 若对不同情况下 （ 如 圆管，平行平板，圆盘，同心圆环等） 圆管 ， 平行平板 ， 圆盘 ， 同心圆环等 ） 略 去粘性项或者惯性项，可以精确求解。 去粘性项或者惯性项，可以精确求解。
对不可压缩流体因连续方程有： 对不可压缩流体因连续方程有： −( pxx + p yy + pzz ) p= 3 p：定义为流体的压强等于三个法线方向 应力的算术平均值，若 dx dy dz →0 ， pxx p yy pzz 各不相同，但 p 相同不随方 p 向改变， = f ( x, y, z , t ) 对于平行流动：
和 p yy = − p + 2µ ∂y ∂vz pzz = − p + 2 µ ∂z
∂v y
∂vx 1∂ ∂ ∂vx ∂v y f x + (− p + 2µ ) + µ + ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ ∂vz ∂vx + µ + ∂z ∂x ∂z dvx = dt
∂τ zx ∂pxx 合力为： 合力为： ( )dxdydz + + ∂y ∂z ∂x
2）质量力 ） FQ x = f x ρ dxdydz 3）惯性力 dvx − ρ dxdydz dt 由牛顿第二定律： ∑ Fx = max 由牛顿第二定律： ∂pxx ∂τ zx ∂τ yx + + )dxdydz ρ f x dxdydz + (
/ / / pxx p yy pzz
p： 粘性流体的动力压强 。 “ -”为正压力 ： 粘性流体的动力压强。 为正压力 指向内法线方向。 指向内法线方向。
pxx p yy pzz 前面定义为外法线方向为正。 前面定义为外法线方向为正。