最新部编版人教初中数学八年级上册《14.3.2 公式法 教学设计》精品优秀完美获奖教案
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
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第十四章 14.3.2公式法（一）
知识点：利用平方差公式分解因式
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,即
a2-b2=(a+b)(a-b).
归纳整理:对于利用平方差公式分解因式时一般要满足:①要分解的因式是一个二项式,而且这两项都是一个数的平方的形式;②含有的两项的符号还必须是相反的;③当利用该方法分解因式时,如果存在公因式时,应先提出公因式.
考点1：利用平方差公式因式分解
【例1】分解因式:(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2.
解:(1)原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q);
(2)原式=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2
=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]
= (4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b).
点拨:(1)把(x+p)看作a,(x+q)看成b;(2)先把式子化成
[4(a-b)]2-[3(a+b)]2后,再用平方差公式分解.
考点2：利用平方差公式因式分解解决问题
【例2】用因式分解法证明499-714能被2400整除.
解:499-714
1。
【核心素养】人教版数学八年级上册 14.3.2 公式法 教案(表格式)
义务教育学校课时教案备课时间：上课时间：公式，即a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，用文字表述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.问题判断下列各式是不是完全平方式.（1）a 2-4a+4（2）x 2+4x+4y 2（3）4a 2+2ab+241b （4）a 2-ab+b 2（5）x 2-6x-9（6）a 2+a+0.25【归纳总结】完全平方公式的特点：左边是一个三项式，其中的两项同号且均为一个整式的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“+”可“-”.右边是两个整式的和（或差）的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号.二、思考探究，获取新知例1下列各式中能用平方差公式分解因式的有个（填序号）. ①-a 2-b 2 ②a 2-4b 2 ③x 2-y 2-4 ④-9a 2b 2+1 ⑤（x-y ）2+（y-x ）2⑥x 4-1例2分解因式.例3已知4x 2+1+mx 是关于x 的完全平方式，求m 2-5m+3的值. 例4分解因式.（1）x 2+14x+49（2）9x 2-12x+4 （3）a 2-a+41 （4）81y -x 7216124+--）（）（y x三、运用新知，深化理解1.下列多项式能用平方差公式分解的有（）.3.分解因式.（1）22363-ay axy ax -+ （2）42242b b a a +-（3）22222)416y x y x +-（ （4）4224168b b a a +-四、师生互动，课堂小结集体回顾公式结构与分解因式时应注意的事项。
板书设计14.3.2 公式法作业设计与布置作业类型 作业内容 试做时长 基础性作业基本性作业（必做） 同步练习册 基础练习 5分钟 鼓励性作业（选择） 同步练习册 综合提升 4分钟 挑战性作业（选择）同步练习册 创新应用4分钟拓展性作业无作业反馈记录教学反思。
人教版数学八年级上册教学设计14.3.2《公式法》
人教版数学八年级上册教学设计14.3.2《公式法》一. 教材分析人教版数学八年级上册第14章是关于二次根式的，而14.3.2《公式法》是这一章节中的一个重要内容。
公式法是解一元二次方程的一种方法，它通过将方程转化成标准形式，应用求根公式来求解。
本节课的内容对于学生来说，既熟悉又陌生。
说熟悉，是因为学生在七年级已经接触过一元二次方程，但当时并未深入探究其解法。
说陌生，是因为学生还没有系统地学习过公式法，对于公式法的推导和应用还不够熟练。
因此，本节课的教学设计既要考虑学生已有的知识基础，又要注重引导学生深入理解公式法的原理和应用。
二. 学情分析学生在七年级已经接触过一元二次方程，但当时并未深入探究其解法。
在学习本节课之前，学生已经掌握了整式的加减、乘除和因式分解等基本运算，对于解一元二次方程，学生可能还停留在“试错法”和“图像法”等直观解法上。
因此，学生对于公式法的理解和应用会有一定的困难。
另外，学生在学习过程中可能存在以下问题：1. 对公式法的推导过程理解不深，只是机械记忆公式；2. 在应用公式法解题时，容易忽视对方程条件的判断，导致解题错误；3. 对于一些特殊类型的一元二次方程，学生可能无法熟练运用公式法求解。
三. 教学目标1.理解公式法的推导过程，掌握求解一元二次方程的基本步骤。
2.能够灵活运用公式法解一元二次方程，并能够判断解题过程中可能出现的错误。
3.通过对公式法的深入学习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.公式法的推导过程和原理的理解。
2.在解题过程中，如何正确运用公式法，并判断解题过程中可能出现的错误。
3.对于一些特殊类型的一元二次方程，如何运用公式法求解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来理解公式法的原理和应用。
2.使用多媒体课件，通过动画演示和步骤解析，帮助学生直观地理解公式法的推导过程。
3.设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固公式法的应用。
14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案
学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》教案
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《公式法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个表达式平方的情况？”（如：计算一个长方形的面积时，需要将长和宽相加后的结果平方。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
其次，理论讲授环节，我发现学生们对公式的记忆和应用感到困惑。在讲解过程中，我强调了公式记忆的重要性，并通过反复举例来强化记忆。但我也注意到，单纯的重复可能不足以帮助所有学生理解。今后，我考虑引入更多变式题目，让学生在不同的情境中运用公式，以此提高他们的理解和应用能力。
在实践活动和小组讨论中，学生们表现得相当积极。他们通过讨论和实验操作，加深了对完全平方公式的理解。然而，我也观察到一些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对公式还不够熟悉，或者是对小组讨论这种形式不太适应。为了解决这个问题，我计划在未来的课堂中，为这些学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入小组活动。
4.思维发展：引导学生从具体的实例中提炼出数学规律，培养学生的抽象思维能力，为后续数学学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的推导与记忆：完全平方公式是本节课的核心内容，包括(a+b)²和(a-b)²两种形式。教师需重点讲解公式的推导过程，并通过实例强化学生对公式的记忆。
-公式法的应用：培养学生将完全平方公式应用于因式分解的能力，解决具体的数学问题。
-因式分解中的符号处理：在运用完全平方公式进行因式分解时，学生可能会对符号处理感到困惑，例如在(a-b)²中，如何正确转换为a²-2ab+b²。
-抽象思维的培养：从具体的数字运算过渡到字母表示的公式，对学生的抽象思维能力有较高要求，是学生学习的难点。
人教版八年级数学上册教案设计14.3.2 公式法
14.3.2 公式法一、教学目标：1、能利用完全平方公式分解因式，并能综合运用因式分解的方法把多项式因式分解。
2、通过问题引入，类比联想，观察归纳、探索运用完全平方公式因式分解的方法。
3、通过综合运用提公因式法和完全平方公式分解因式法，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力。
二、重点和难点：重点：用完全平方公式因式分解。
难点：灵活运用公式分解因式。
三、教学过程：（一）、用完全平方公式因式分解之引入篇1、复习提问：前面我们学习了哪些分解因式的方法？【提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)运用公式法：a2-b2-=(a+b)(a-b) 】2、把下列各式分解因式（学生上台板演）（1）ax4－ax2（2）x4-16【估计有部分学生只是把多项式x4－16分解到（x2+ 4）（x2－ 4）的形式，教师予以强调指出必须分解到每个因式不能分解为止。
】（二）用完全平方公式因式分解之归纳篇提问：1、在整式乘法中除了学习平方差公式外，还学了哪些公式？2、如何用式子表示？（a+b）2=a2+2ab+b2 （a－b）2=a2－2ab+b23、怎样用语言表述？4、如何将a2+2ab+b2与a2－2ab+b2分解因式？(a±b)2=a2±2ab+b2 反过来，可得a2±2ab+b2=(a±b)2两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方。
那么形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式.特征为：两数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍．a2±2ab+b2完全平方式的特点：1．从项数看：都是3项组成．2．从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.3. 从符号看：平方项符号相同。
（三）、用完全平方公式因式分解之辨析篇判别下列各式是不是完全平方式（填表）：(1) x2-6x+9; (2) 4y2+4y+1; (3) 1+4a2 ;(4) x2+2x+1/4; (5) x2+4x+4y2; (6) 4y2-12xy+9x2;(7) (a+b) 2-2(a+b)+1。
最新部编版人教初中数学八年级上册《14.3.2 公式法 学案》精品优秀完美获奖实用导学案
1
【巩固新知】 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（1） a2 4a 4
（2）1 4a 2
（3） 4b2 4b 1
2. 分解因式
活 （1） x2 12x 36
动 四
（4） a2 ab b2
（2） 2xy x 2 y 2
（3） a2 2a 1
（4） 4x2 4x 1
（5） ax2 2a2 x a3
（6） 3x2 6xy 3y 2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.填空
（1）若多项式 x2 kx 1 是完全平方式，则 k 的值为（
）.
9
（2）在多项式：① x 2 xy y 2 ② x 2 2xy y 2 ③ xy x 2 y 2
x2
④1 x 中能用完全平方公式分解因式的是（
）.
4
2.把下列各式分解因式
前言： 该学案由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材 实际精心编辑而成。实用性强。高质量的学案是高效课堂的前提和保障。
（最新精品学案）
14.3.2 公式法
知
识
技 能
用完全平方公式分解因式.
重 点
重点：用完全平方公式分解因式.
难 点
难点：灵活运用公式分解因式.
导学过程
阅读教材 169 页至 170 页的部分内容，尝试完成以下问题.
个多项式有什么特点？
活 归纳： 动 二
a2 2ab b2
2
a2 2ab b2
2
即：
.
1
【应用新知】 例 5 分解因式
（1）16x2 24x 9
（2） x 2 4xy 4 y 2
例 6 分解因式
14.3.2 因式分解 —平方差公式 教案 (含答案)2023--2024学年人教版八年级数学上册
第十四章整式的乘法与因式分解·14.3因式分解·第二课时平方差公式教案班级：课时：课型：一、学情分析平方差公式是最基本、用途最广泛的公式之一，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起十分重要的作用.但是这一阶段的学生抽象思维能力还不够完整，需要在教师的引导下进行探索.二、教学目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．三、重点难点【教学重点】运用平方差公式分解因式．【教学难点】综合运用提公因式法与平方差公式来分解因式．四、教学过程设计第一环节【复习旧知引入新课】1.师：因式分解的定义？生：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.2.师：提公因式法的定义？生：在一个多项式中，若各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.3.5ab3+20ab2的公因式是什么？（答案）5ab2(b+4).4.x2-1和4m2-n2可以用提公因式法分解吗？设计意图：通过师生互动共同回顾上节课所学知识，避免学生遗忘知识，同时为这节课所学知识做铺垫.第二环节【合作交流探索新知】1.观察多项式x2-1和4m2-n2，试着用已经学过的知识找出他们之间有什么特点？学生通过因式分解发现x2-1可以变成（x-1）（x+1），4m2-n2可以变成（2m-n）（2m-n），老师引出平方差概念.（答案）都可以写成a2-b2(两个数的平方差)的形式.x2-1=x2-12和4m2-n2=(2m)2-n2.2.师：你能将a2-b2分解因式吗？学生思考后将其变成（a-b）（a+b），老师给出互逆过程，给出相关概念.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这种分解因式的方法称为公式法.3.下列多项式能用平方差公式法进行因式分解吗？x2-1=4m2-n2=-4m2-9=x2-(x+y)2=（答案）x2-1=(x+1)(x-1)4m2-n2=(2m)2-n2=(2m+n)(2m-n)-4m2-9不能转变为平方差形式x2-(x+y)2=[x+(x+y)][x-(x+y)]=-y(2x+y)4.老师带领学生进行知识归纳，让学生印象更加深刻.因式分解的平方差公式：公式中的ɑ，b可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式.5.师：多项式2x2-8y2怎么分解？老师强调：如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，且必须分解到不能分解为止.设计意图：通过观察两个多项式运用因式分解引出平方差的概念，再由特殊到一般总结规律.通过几道习题让学生能够熟悉的运用公式法进行因式分解，让学生更清楚哪些式子是不能用平方差公式法.第三环节【应用迁移巩固提高】例1：(1) 4x2-9；(2)(x+p)2-(x+q)2 .例2.把下列各式分解因式:(1)9(m+n)2-(m-n)2；(2)2x3-8x.例3.分解因式：(1)x4-y4；(2)ɑ3b-ɑb.设计意图：本环节通过三道例题的练习，考察学生对平方差公式法运用的熟练程度，巩固基础.【答案】例1.解：（1）原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).（2）原式= [(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).例2.（1）解：原式= [3(m+n)]2-(m-n)2=(4m+2n)(2m+4n)= 4(2m+n)(m+2n)；（2）原式= 2x(x2-4)= 2x(x+2)(x-2).例3.（1）解：原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；（2）原式=ɑb(ɑ2-1)=ɑb(ɑ+1)(ɑ-1).第四环节 【随堂练习 巩固新知】1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( )A.-ɑ2+b 2B.16m 2-25m 4C.2x 2-21y 2D.-4x 2-92.下列各式能用平方差公式分解因式的是( )A ．2x 2+y 2B ．-x 2+y 2C ．-x 2-y 2D ．x 3+(-y )23.将(ɑ-1)2-1 分解因式，结果正确的是( )A.ɑ(ɑ-1)B.ɑ(ɑ-2)C.(ɑ-2)(ɑ-1)D.(ɑ-2)(ɑ+1)4.分解因式：x 2y 2-49 = ；5.分解因式：-25ɑ2+9b 2 = .设计意图：本环节在于夯实基础，通过解答简单练习让学生在习题中找到学习的乐趣，增强学生学习的主动性.【答案】1.D2. B3.B4.(xy+7)(xy-7)5.(3b+5ɑ)(3b-5ɑ)第五环节【当堂检测及时反馈】1.（2019秋•乳山市期末）下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是()A．a2b2-1 B．4-0.25a2C．-x2+1 D．-a2-b22.（2019•贺州）把多项式4a2-1 分解因式，结果正确的是()A．(4a+1)(4a-1)B．(2a+1)(2a-1)C．(2a-1)2D．(2a+1)23.把ɑ3-4ɑ分解因式，结果正确的是()A.ɑ(ɑ2-4)B.(ɑ+2)(ɑ-2)C.ɑ(ɑ+2)(ɑ-2)D.ɑ(ɑ+4)(ɑ-4)4.（2019春•金坛区期中）已知x-y= 3，y-z= 2，x+z= 4，则代数式x2-z2的值是（）A．9 B．18 C．20 D．245.下列分解因式正确的是()A.ɑ2-2b2=(ɑ+2b)(ɑ-2b)B.-x2+y2=(-x+y)(x-y)C.-ɑ2+9b2=-(ɑ+9b)(ɑ-9b)D.4x2-0.01y2=(2x+0.1y)(2x-0.1y)6.(珠海·中考)因式分解:ɑx2-ɑy2=.7.（2020•哈尔滨模拟）分解因式：-(a+2)2+16(a-1)2=．8.（2020秋•广西期中）运用公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”计算：9992-1 =，99982=．9.把下列各式分解因式：(1)(a-1)+a2(1-a)；(2)x5-16x.10.已知4m+n= 40，2m-3n= 5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．设计意图：通过本环节的练习，深化学生对平方差公式的运用，同时让学生体会到公式法的优越性.【答案】1.D2.B3.C4.C5.D6.ɑ(x+y)(x-y)7.3(5a-2)(a-2)8.998000；999600049.解：（1）原式=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)(1-a2)=(a-1)(1+a)(1-a)=-(a-1)2(1+a)；（2）原式=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).10.解：(m+2n)2-(3m-n)2=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)，当4m+n= 40，2m-3n= 5 时，原式=-40×5 =-200．第六环节【拓展延伸能力提升】1．利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12.2.已知乘法公式a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)；a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.设计意图：本环节习题在于考察学生能够灵活的运用公式法求解，对式子的转化能力要求较高.【答案】1.解：原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)= 100+99+98+97+…+2+1= 5050.2.解：x 10-1=(x 5)2-1=(x 2)5-1=(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)，则有x 8+x 6+x 4+x 2+1=11210--x x =()()()()111155-+-+x x x x= (x 4+x 3+x 2+x +1)(x 4-x 3+x 2-x +1).第七环节 【总结反思 知识内化】课堂小结：1.利用平方差公式分解因式: ɑ2-b 2 = (ɑ+b )(ɑ-b ).2.因式分解的步骤是:首先提取公因式，然后考虑用公式法.3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.4.将因式分解应用到计算中，简化计算.设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.第八环节 【布置作业 夯实基础】。
人教版八年级上册14.3.2公式法课程设计
人教版八年级上册14.3.2公式法课程设计一、教学目标1.理解公式的概念和意义；2.掌握使用公式法解决实际问题的方法；3.能够灵活运用公式法解决各种类型的实际问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：掌握使用公式解决实际问题的方法；2.教学难点：能够灵活运用公式法解决各种类型的实际问题。
三、教学内容及方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.公式的概念和意义；2.使用公式法解决实际问题的方法；3.各种类型的实际问题的解决方法。
2. 教学方法1.讲解法：通过对理论知识的讲解，让学生理解公式的概念和意义；2.案例演练法：通过一些具体的实例，引导学生掌握使用公式解决实际问题的方法；3.自主探究法：让学生在课堂上自己解决一些实际问题，锻炼他们灵活运用公式法解决各种类型的实际问题的能力。
四、教学过程设计1. 导入环节老师可以通过引入一些生活中的实际问题，比如计算面积、体积等问题，引起学生的兴趣，并激发他们学习公式的欲望。
2. 理论知识讲解1.定义公式：公式是用数学符号表示的、能够计算出具体值的等式；2.公式的意义：公式可以使我们的计算更加简单和准确；3.使用公式解决实际问题的方法：首先明确问题的要求，分析问题，列出公式，代入数据，计算出答案。
3. 实例演练1.计算圆的面积和周长；2.计算三角形的面积；3.计算柱体的表面积和体积。
4. 自主探究让学生在课堂上自己解决以下实际问题：有一条长方形地面，长和宽分别为3米和4米，上面铺了一层无缝地砖，每块砖的长和宽分别为0.3米和0.3米，求需要多少块地砖？五、教学评估在课堂上习题演练环节，通过观察学生解题情况和提问回答进行评估。
六、教学反思本节课我采用了讲解法、案例演练法和自主探究法相结合的教学方法，以培养学生灵活运用公式法解决实际问题的能力。
在教学过程中，我发现学生对于公式的理解不够深入，需要加强对公式的定义和意义的讲解。
同时，对于一些难点问题，需要加强针对性的解释和示范，帮助学生理解掌握。
14.3.2 八年级上册数学教案《公式法》
八年级上册数学教案《公式法》学情分析本节课的内容主要是用完全平方公式来因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分式的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学号用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
教学目的1、了解完全平方式的概念。
2、了解并掌握用完全平方公式分解因式。
3、灵活应用各种方法，进一步体会“整体换元”的思想。
教学重点理解并掌握用完全平方公式分解因式。
教学难点灵活应用公式法分解因式解决实际问题。
教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、复习导入1、因式分解把一个多项式转化为几个整式的积的形式。
2、我们已经学过哪些因式分解的方法？①提公因式法②平方差公式a2 - b2 = （a+b）（a-b）二、讲授新课1、公式法之完全平方公式你能把下面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？同学们研究得出拼出图形为：这个正方形的面积可以怎么求？将上面的完全平方公式逆向来看，得到：a2 + 2ab + b2 =（a + b）2我们把a2 + 2ab + b2 、a2 - 2ab - b2 这样的式子叫做完全平方式。
2、观察a2 + 2ab + b2a2 - 2ab + b2（1）这两个式子每个多项式有几项？三项。
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？这两项都是数或式的平方，并且符号相同。
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍。
3、完全平方式的特点（1）必须是三项式（2）有两个同号的数或式的平方（3）中间有两底数之积的±2倍。
4、多项式a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？这个多项式是两个数的平方差的形式。
a2 -b2 =（a+b）（a-b）即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
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第十四章 14.3.3公式法（二）
知识点1：利用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
归纳整理:利用完全平方公式分解因式时,必须具备以下几点:①首先利用完全平方公式分解因式的式子必须是三项式;②在三项式中必须含有两项是平方
的形式,而且这两项的符号相同,另一项是写成平方项的两项的积的2倍;③当要分解的因式中含有公因式时,要先提出公因式,然后再利用公式法分解.
知识点2：x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
一个含有一个字母的二次三项式,如x2+ax+b=0,若a=p+q,b=pq,则x2+ax+b 可以分解为(x+p)(x+q)的形式,即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个公式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.
关键提醒:x2+(p+q)x+pq型的二次三项式的因式分解的关键是合理地将一次项系数拆成两个数的和,而常数项恰好又是这两个数的积,然后直接套用公式即可.
考点1：利用完全平方公式法因式分解
【例1】分解因式:
(1)4x2-20x+25;(2) +ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.
1。
精选新编部编版数学八年级上册人教版教学设计：14.3.2 公式法(2)
2018-2019学年度第一学期教学设计年级八科目数学任课教师授课时间12.4 课题14.3.2 公式法（2）授课类型新授课标依据会运用完全平方公式进行因式分解的方法。
教学目标知识与技能会运用完全平方公式进行因式分解的方法。
过程与方法通过探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤。
情感态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力。
教学重点难点教学重点理解完全平方公式因式分解，并学会应用。
教学难点灵活地应用公式法进行因式分解。
教学师生活动设计意图编号：36过程设计一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－9x2+4y2；（2）（x+3y）2－（x－3y）2；（3）949x2－0.01y2．【知识迁移】2．计算下列各式：（1）（m－4n）2；（2）（m+4n）2；（3）（a+b）2；（4）（a－b）2．【教师活动】引导学生完成下面两道题，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．3．分解因式：（1）m2－8mn+16n2（2）m2+8mn+16n2；（3）a2+2ab+b2；（4）a2－2ab+b2．【学生活动】从逆向思维的角度入手，很快得到下面答案：解：（1）m2－8mn+16n2=（m－4n）2；（2）m2+8mn+16n2=（m+4n）2；（3）a2+2ab+b2=（a+b）2；（4）a2－2ab+b2=（a－b）2．【归纳公式】完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2．多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，从而用前面学到的知识来理解今天要学的知识。
通过学习例题二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（1）－4a2b+12ab2－9b3；（2）8a－4a2－4；（3）（x+y）2－14（x+y）+49；【例2】如果x2+axy+16y2是完全平方，求a的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a的值．三、随堂练习，巩固深化课本P119练习第1、2题．【探研时空】1．已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x2+y2；（2）（x－y）22．已知x+1x =－3，求x4+41x的值．四、课堂总结，发展潜能由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a2－b2=（a+b）（a－b）；a2±ab+b2=（a±b）2．后让学生练习，理解平方差公式的结构特征，让学生深刻理解什么情况下才可以应用完全平方公式分解因式。
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练一练： 出示投影片 把下列多项式分解因式： （1）6a-a2-9； （2）-8ab-16a2-b2； （3）2a2-a3-a； （4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
Ⅲ．随堂练习 课本 P198 练习 1、2． Ⅳ．课时小结
前言： 该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特 点结合教材实际精心编辑而成。实用性强。高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和 保障。
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14.3.2 公式法
（一）教学知识点
用完全平方公式分解因式
（二）能力训练要求
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式． 教学
难 点 灵活应用公式分解因式．
教学方法 探究与讲练相结合的方法．
教具准备 投影片
施教时间
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题 1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平
方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题 2：把下列各式分解因式．
（1）a2+2ab+b2
（3）4a2+2ab+ 1 b2=（2a）2+2×2a· 1 b+（ 1 b）2=（2a+ 1 b）2
4
22
2
（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2
（2）、（4）、（5）都不是．
方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有
这两个数的积的 2 倍或这两个数的积的 2 倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和
[．导入新课
出示投影片
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-4a+4
（2）x2+4x+4y2
（3）4a2+2ab+ 1 b2 4
（4）a2-ab+b2
（5）x2-6x-9
（6）a2+a+0.25
（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．
结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2
1
学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？ （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出 分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）
Ⅴ．课后作业 课本 P198 练习 15．5─3、5、8、9、10 题．
§公式法 一、用完全平方公式分解因式．
[例 1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以 16x2+14x+9 是一 个完全平方式，即
解：（1）16x2+24x+9 =（4x）2+2·4x·3+32 =（4x+3）2． （2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考 虑完全平方公式，因为 4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y． 所以：
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式 目标
分解中的作用．
4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和
联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
重 点 用完全平方公式分解因式．
1
板
分解因式→公式法→a2±2ab+b2
（a2±b2）←多项式乘多项式
书 设
←整式乘法，两数平方和加（或减）两数积的 2 倍＝两数和（或差）的平
计
方．
二、例题解析：
[例 1]（略） [例 2]（略）
三、练一练：（1）、（2）、（3）、（4）．
四、小结
教 ____________________________________________________________________________
学 反
____________________________________________________________________________
思 ____________________________________________________________________________
（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
例题解析
出示投影片
[例 1]分解因式：
（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2
[例 2]分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2
（2）（a+b）2-12（a+b）+36
1
学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经 验．
（2）a2-2ab+b2
[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法
1
的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
[师]能不能用语言叙述呢？
[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的 2 倍，•等于这两个数的和（或差）
的平方．
问题 2 其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．