改进的半波傅立叶滤波算法

由前文分析可知，狭窄带通滤波可有效抑制谐 波分量，将半波傅立叶算法与之结合，可较为准确 的提取基频分量。但是狭窄带通滤波不同于差分等 数字滤波，该算法属于递归型计算，因此存在暂态 时延的问题[9]。
分析表明，狭窄带通滤波前的输入信号初值决
定了该算法的时延特性。当输入初值 y(1) 和 y(2)
越接近对应该时刻理想的稳态输出值时，狭窄带通 滤波算法的暂态时延就越短。比如对于纯余弦输入
傅立叶算法的实部运算受衰减直流分量影响较小，
能够较为准确的给出狭窄带通滤波的计算初值。
利用故障后 N 2 + 1个采样点的数据窗，采用半
波傅立叶计算求出狭窄带通滤波的输入初值 y(1)
和 y(2) 。由式（13）可依次求出每个采样值对应的
狭窄带通滤波输出，对其输出结果再进行半波傅立 叶滤波，即可得到最终的较为精确的滤波结果。通 过狭窄带通滤波与半波傅立叶算法相互融合，不仅 有效抑制了非周期分量与谐波分量对半波傅立叶 算法的影响，而且狭窄带通滤波没有增加额外的数 据窗，所形成的改进半波傅立叶算法的数据窗仅为
T 2 + TS 。
5 仿真验证
设故障电流模型为：
5
∑ i(t) = I 0e−t τ + I k ⋅ cos(kω1t + ϕ k ) （15） k =1
取 I 0 : I1 : I 2 : I3 : I 4 : I5 ＝1 : -1 : 0.2 : -0.2 : 0.2 : -0.2，直流分量的衰减时间常数τ = 40ms ， ϕ k = 0 。图 7 示出了新的快速半波傅立叶算法与常
法的滤波精度，同时亦保证了微机保护对故障快速 的响应速度。
2 谐波对半波傅立叶算法的影响
2.1 半波傅立叶滤波算法
半波傅立叶算法是从全波傅立叶算法的基础
上发展来的，其表达式及离散计算公式为：
∫ X
r
(k)
=
4 T
T2
x(t)
0
cosωtdt
∑ ≈
4
N2
x(k −
N
+ l) cos(2π
l)
N l=1
叶算法无法滤除直流以及低频分量，因此衰减直流 分量对半波傅立叶算法的影响很大。
3 半波傅立叶算法的计算分析
若忽略高次谐波分量，可将短路电流近似表示
为：
−t
i(t) = I 0e τ + I1 cos(ω1t + ϕ1 )
（4）
应用半波傅立叶算法（1）、（2）式，可得基
波分量的实部和虚部为：
−(k −N 2)TS
可写为：
y(n + 2) = x(n + 2) − x(n) + 1.9571⋅ y(n + 1) − 0.97416 ⋅ y(n) （12）
由式（10）可得狭窄带通滤波的幅频特性如图 5 所示（幅频特性曲线的基频幅值为 1）。
图 5 狭窄带通滤波与差分滤波的幅频响应
显然，狭窄带通滤波对低频及高次谐波的滤除 效果都明显优于差分算法。 4.2 改进的半波傅立叶滤波算法
谐波等。设要保留角频率为ω P 的成分，故取极点 为 Z P = R ⋅ e± jωPT ，同时要使幅频特性分别在高低 频 ωT = 0,π 处 完 全 截 止 ， 还 需 设 置 零 点
Hale Waihona Puke Z 0 = e j0 = 1 和 Z 0 = e jπ = −1 ，则该窄带数字滤
波算法的传递函数为：
H (Z )
度快，滤波效果好的特点，其数据窗仅为 T 2 + TS ，
能满足电力系统继电保护快速跳闸的要求。
参考文献
（a）
（b） 图 8 新滤波算法的 EMTP 仿真测试
图 8.(b)中，曲线 1 代表新算法的滤波输出； 曲线 2 代表半波傅立叶算法的滤波输出；曲线 3 则 代表全波傅立叶算法的滤波输出。显然，新的快速 半波傅立叶算法不仅数据窗短，时间响应快，其滤 波效果明显优于传统算法。
关键词：半波傅立叶算法; 狭窄带通滤波; 衰减直流分量; 谐波
1 引言
目前，大多数继电保护的原理一般基于故障后 的稳态基频分量，因此，如何从故障暂态信号中快 速、准确的对基频电流、电压进行估计是微机保护 算法面临的主要问题。在通常情况下，估计精度的 高低取决于数据窗的长短。目前常见的微机保护算 法有全波、半波傅立叶算法、最小二乘算法与卡尔 曼算法。全波傅立叶算法能滤除所有整次谐波分 量，稳定性好，但其数据窗需要 1 个周期，使得继 电保护对近区故障无法快速反映[1, 2]。最小二乘算 法从频域角度看相当于全零点滤波器，但当故障信 号模型和干扰信号的分布特性难以准确估计时，其 滤波精度以及暂态时延无法保证[3, 4]。卡尔曼滤波 算法是具有时变数据窗特性的滤波算法，但其噪声 参数的在线估计过于复杂，限制了其实际应用[5]。
信 号 x(t) = cos(ωt + ϕ ) ， 当 输 入 初 值 y(1) = y(2) = 0 或 y(1) = cosϕ 、 y(2) = cos(ωTS + ϕ) 时，狭窄带通滤波器的输出 信号分别为 y1(t) 和 y2(t) ，如图 6 所示。
通滤波算法应用的关键。对任意输入信号为
x1(t) = cos(ωt + ϕ) 或 x2 (t) = sin(ωt + ϕ) 时，由
Ir (k) = C1e τ
+
I1
cos(k
2π N
+ ϕ1)
（5）
−(k −N 2)TS
Ii (k) = −C2e τ
+ I1 sin(k
2π N
+ ϕ1) （6）
式中：
∑ C1
=
4I0 N
N 2 −lTS
⋅ eτ
l =1
⋅ cos( 2π N
l)
∑ C2
=
4I0 N
N 2 −lTS
⋅ eτ
l =1
6 结论
本文提出了一种基于狭窄带通滤波与半波傅 立叶相结合的快速滤波算法，该算法充分利用了狭
[1] Sun-Li Yu, Jyh-Cherng Gu. Removal of Decaying DC in Current and Voltage Signals Using a Modified Fourier Filter Algorithm. IEEE Transactions on Power Delivery, 2001, 16(3): 372—379
2
N
（1）
∫ X i
(k)
=
−4 T
T2
x(t ) sin ωtdt
0
∑ ≈ − 4 N 2 x(k − N + l)sin(2π l)
N l=1
2
N
（2）
式中 N 、k 分别表示每周波的采样点数和当前
采样点的序号；X r (k) 、X i (k ) 分别为半波傅氏算
法计算所得的实部和虚部。考虑输入信号为
x(t) = cos(nωt) 时，半波傅氏算法的频率响应如图
1 所示。
图 1 半波傅立叶算法的幅频特性
电力系统故障时的短路电流中除有基频分量 外，还包含有衰减直流分量与高次谐波等。而半波 傅立叶算法对包含直流分量在内的各偶次谐波均 无滤除作用，因此，用半波傅立叶算法对基频分量 进行滤波计算必然导致很大误差。 2.2 衰减直流分量的影响
其中 B1 = 2R ⋅ cos(ω PT ) ， B2 = R 2 ，
[ ]1
R = 2 − cos(ΔωT ) − cos 2 (ΔωT ) − 4 cos(ΔωT ) + 3 2
， T 为采样周期， Δω = 2π ⋅ Δf 为幅频半值点的 频率偏移值。当取 Δf = 5Hz ， N = 48 ，式（12）
⋅ sin( 2π N
l)
（7） （8）
图 4.(a)实部的频率响应 图 4.(b)虚部的频率响应
4 改进的半波傅立叶算法
4.1 狭窄带通滤波算法 狭窄带通滤波算法是利用Z平面零极点设置法
根据滤波要求设计出来的一种递推式滤波算法[8]。
它能很好的抑制非选定频率的信号，所以它可以较
好的抑制随机频率分量，包括衰减直流分量与高次
用 EMTP 仿真线路单相接地故障，短路电流如 图 8.(a)所示，故障发生在第 20ms。新的快速半波 傅立叶算法对故障电流的滤波结果如图 8.(b)所 示。
窄带通滤波算法对低频和高次谐波具有良好的抑 制作用，另外，根据分析得出半波傅立叶算法计算 实部受衰减直流分量影响小，能较精确地给出狭窄 带通滤波算法的计算初值，且使其滤波暂态时延 小。因此，改进的快速半波傅立叶算法具有计算速
(a)
(b)
图 3 C1 、 C2 的变化曲线
可见，衰减直流分量对半波傅立叶算法虚部的
影响系数 C2 远大于对实部的影响系数 C1 。半波傅
立叶算法实虚部频率响应图 4 所示。显然，半波傅
立叶算法的实部对低频分量的抑制效果较好。
图 2 非周期分量的频谱特性
可见，衰减直流分量在频域上具有连续的频谱
且其频率分量主要集中在低频段内（ f f1 < 0.2 ）。 而且，衰减直流分量电流中直流分量的含量为τI 0 ， 与衰减时间常数τ 成正比。由图 1 可见，半波傅立
·1802·
电力系统继电保护
电力系统故障时，短路电流中往往产生较大的
−t
衰减直流分量 I 0e τ ，对其进行傅立叶变换可得其
幅频特性为：
I0 ( jω ) =
I0
⎜⎛ ⎝
1 τ
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
2πλ T1
⎟⎟⎠⎞ 2
（3）
式 中 τ 是 衰 减 时 间 常 数 ， T1 是 工 频 周 期 ， λ = f f1 。τ 取不同值时，非周期分量的频谱特