2.3-拉普拉斯展开定理

A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
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§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
一、k阶子式的概念
定义 在n阶行列式D中，任取k行k列(1 k n)，
位于这k行k列的交点上的k 2个元素按原来的相对位 置组成的k阶行列式S，称为D的一个k阶子式。
在行列式 D中划去S所在的k行k列，余下的元素按 原来的相对位置组成的 n k阶行列式 M成为S的余子式。
设S的各行位于D中第i1, i2 ,,ik (i1 i2 ik )， S的各列位于D中第j1, j2 ,, jk ( j1 j2 jk )，那么称
A (1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M为S的代数余子式。
二、拉普拉斯展开定理
若在行列式D中任意取定k个行(1 k n 1)， 则有这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余 子式的乘积之和等于D.
角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非
零子块都是方阵.即
A1
A
A2
O
ຫໍສະໝຸດ Baidu
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
若 Ai 0i 1,2,, s,则 A 0,并有
A1 1
A1
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对
设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,, St (t Cnk )， 它们相应的代数余子式分别为A1, A2,, At ,则
D S1A1 S2 A2 At St。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D 0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
利用拉普拉斯定理（P68）可得：