2.3-拉普拉斯展开定理
拉普拉斯展开定理(课堂PPT)
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
拉普拉斯定律
应用领域定理
Байду номын сангаас
编辑
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复 数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的 一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来 确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
Ⅱ型肺泡上皮细胞合成和释放肺泡表面活性物质（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的内衬层的液 膜，能随着肺泡的张缩而改变其分布浓度，用来减少肺泡表面张力。表面张力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易 萎缩，不利于肺的稳定。
应用
拉普拉斯定律，是工程数学中常用的一种积分定律。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的 一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运 算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在 经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及 f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。
发展历史
编辑
法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问 题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当 时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯 变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用 。
2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
谈拉普拉斯定理及其应用
一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。
他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。
在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。
2-3.1(k阶子式、余子式、代数余子式)--线性代数PPT
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章 行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式 二. 拉普拉斯定理
电子科技大学 黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理
拉普拉斯中心极限定理公式(一)
拉普拉斯中心极限定理公式(一)拉普拉斯中心极限定理公式什么是拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理（Laplace’s Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，它表明当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，它们的和近似服从一个高斯分布（即正态分布）。
这个定理在统计学和概率论的应用非常广泛，它的公式可以用于研究和解释各种随机现象。
拉普拉斯中心极限定理公式根据拉普拉斯中心极限定理，当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，这些独立随机变量的和的分布可以用以下公式来近似表示：[公式](这里，[公式]( 是标准正态分布的累积概率函数。
示例解释假设有一个硬币，抛掷一次正面的概率为，反面的概率也为。
我们现在抛掷这个硬币1000次，正面出现的次数记作随机变量X。
根据二项分布的性质，我们知道当n足够大时，X近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。
根据拉普拉斯中心极限定理，当n足够大时，X也近似服从一个均值为n p，方差为n p*(1-p) 的正态分布。
我们可以利用这个定理来计算在这1000次抛掷中正面出现的次数在一个特定区间的概率。
假设我们想要计算正面出现次数在480到520之间的概率。
根据拉普拉斯中心极限定理的公式，我们可以将问题转化为计算正态分布的累积概率。
具体计算步骤如下：1.计算标准差（方差的平方根）：[公式](2.将上下限值转化为标准差单位的形式：[公式]( 和 [公式](3.利用正态分布的累积概率函数计算区间概率：[公式](所以，在1000次抛掷中，正面出现次数在480到520之间的概率约为。
通过以上的示例，我们可以看到拉普拉斯中心极限定理对于大量独立随机变量和的分布近似为正态分布的重要性，以及其在实际问题中的应用。
大一线性代数课件2.3_拉普拉斯展开定理
k
A1k k At
返回
A1
可逆的充要条件是 At A1， ，At 可逆 ( Ai为方阵)
1
A1 At A1 A t
DD
1
C A X 1 B O X 3
X 2 CX 1 AX 3 X4 BX 1
CX 2 AX 4 I O . BX 2 O I
CX 1 AX 3 I X 3 A1 CX AX O 1 1 2 4 X 4 A CB O B 1 1 . D 1 A 1 1 X1 O BX 1 O A CB BX 2 I X 2 B 1 返回
A2 1
1 3 4 2 3 5
M2 M2 .
返回
例如，5阶行列式detA中，取子式 S
则其代数余子式为
a22 a52
a24 a54
a11 a41
a13 a43
a15 a35 a45
( 1) ( 25 )( 24 ) a31 a33
对于行列式D中的每一个子式S，它的余子式M 和代数余子式A都由S唯一确定.
大一线性代数课件23拉普拉斯展开定理线性代数拉普拉斯定理线性代数拉普拉斯拉普拉斯定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理行列式拉普拉斯终值定理拉普拉斯变换终值定理棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理的证明
2.3
拉普拉斯展开定理
返回
2.3
k阶子式：
拉普拉斯展开定理
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称 (i1 i k ) (j1 jk ) A (1) M 为S的代数余子式.
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 ( 1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换[f(t)] F(s) 0 f(t)e st dt 逆变换[F(s)] f(t) 21j j F (s)e st ds 双边拉普拉斯变换：正变换 F B(s) f (t)e st dt 逆变换f(t) 21j j F B(s)e ds ( 2) 定义域若时， l tim f (t)e0则 f (t)e在 0的全部范围内收敛，积分 0f (t)estdt 存在，即 f (t)的拉普拉斯变换 存在。
就是 f (t)的单边拉普拉斯变换的收敛 域。
0与函数 f (t )的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质( 1) 线性性若 [ f 1(t)] F 1(S) , [ f 2(t)] F 2(S) , 1, 2为 常 数 时 ， 则 [ 1 f 1(t) 2 f 2(t)] 1F 1(s) 2F 2(s)( 2) 原函数微分 若 [ f (t)] F (s)则 [df(t)] sF(s) f (0 )dt式中 f (r)(0 )是 r 阶导数 dr f r(t)在 0 时刻的取值。
dt( 3) 原函数积分 若 [ f (t)] F (s) ， 则 [ tf(t)dt]F(s) f( 1)(0 )式 中 ssf ( 1) (0 )f (t)dt( 4) 延时性若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t t 0)u(t t 0)] est 0F (s)(5) s 域平移若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t)e at] F(s a)( 6) 尺度变换d n f (t)] dt n ]s nF(s) n1 nr1sr0(r)(0 )若 [ f (t)] F (s)，则 [f(at)] 1F(s)(a 0)aa(7) 初值定理 lim f (t) f (0 ) lim sF(s)t o s( 8) 终值定理 lim f(t) lim sF(s) ts( 9) 卷积定理若 [ f 1(t)] F 1(s)， [ f 2(t)] F 2(s) ，则有 [ f 1(t) f 2(t)] F 1(s)F 2(s)1 1 j[ f 1(t)f 2(t)] 2 j [F 1(s) F 2(s)]=2 j jF 1(p)F 2(s p)dp3. 拉普拉斯逆变换( 1) 部分分式展开法 首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分 式，然后将各部分分式逐项进行逆变换， 最后叠 加起来即得到原函数 f (t)。
拉普拉斯展开定理
D S1A 1S2A 2A tSt。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
角线上有非零 ,其子余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1nLeabharlann cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)
2(3)拉普拉斯展开定理 - 复制
0 0 2 1 1
2 相应的 0 1 2阶子式: S1 = 1 1 2 S1的余子式: 1 M1 = 0 1 0 S2的余子式:
1 −1 0 1 1 2 1 1
A1 = ( −1)1+ 3+ 2+ 3 M 1 = − M 1
1 0 M2 = 0 1
3阶子式: 0 1 2 S2 = 1 − 1 1 2 −2 2
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B . −1 −1 − A CB
8
拉普拉斯展开定理
det D = ( −1)1+ 2+L+ n+( n+1)+( n+ 2 )+L+( n+ n ) (det A)(det B )
= ( −1)
6
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拉普拉斯展开定理
例(基本结论) 分块下(上)三角矩阵行列式 Am×m det * O Am×m = det Bn×n O
= det A ⋅ det B
* Bn×n
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5
拉普拉斯展开定理
2 0 1 0 2 1 0 − 1 0 1 按1, 2行展开的 例 计算D = 0 1 − 1 2 1 二阶子式共有 2 0 2 − 2 1 2 C5 = 10个. 0 1 −1 1 1 解 按1, 2行展开, 不为零的二阶子式为 2 1 1 2 S1 = , S2 = −1 1 1 −1 1 2 1 0 A1 = ( −1)1+ 2+1+ 3 2 1 2 = 0, A2 = ( −1)1+ 2+ 3+ 5 0 =0 1 1 1 0 所以, D = S1 A1 + S2 A2 = 0.
拉普拉斯变换及反变换
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
机械工程控制基础 二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在 变换式里。
机械工程控制基础 拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积 分上限也应为0-
t 0
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础
2-3 第三节 拉普拉斯变换
第三节 拉普拉斯变换一、定义如实变数t 的连续函数()f t ，当时有固定单值，0t ≥0t <时()f t =0，那么由式子()(0)stF s f e +∞=∫t −dt 所确定的函数()F s 称为函数()f t ()(的拉氏变换（S 为复变量），简记为)F s f ⎡=⎣ t ⎤⎦；并称()f t 是()F s 的拉氏反变换，记为()()1f t −F s ⎡⎤=⎣⎦ 。
拉氏变换存在的条件 ()()1002t f t f t ⎧<=⎪⎨⎪⎩、时，、要连续或至少分段连续（有限段） 实际中的一些时间函数大都满足以上条件，一般来说，定义式总是成立的。
例1：求单位阶跃函数()()1f t =t 的拉氏变换。
解：由定义得()()()00011111stst st F s t t e e dt e dt ss ∞−∞∞−−⎡⎤==⎣⎦=⋅=−⋅=∫∫且有()111f t s −⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例2：求()atf t e =的拉氏变换，a 为常数。
解：由定义得()()00011at at st s a t st F s e e e dt e dt e s a s a ∞−∞∞−−−⎡⎤==⋅⎣⎦==−⋅=−−∫∫ 且有()11at f t e s a −⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦例3：求()f t t =的拉氏变换。
解：由定义得()[]()()00020001111stst st st st st F s t t e dt t d e t d e s s t e e dt e dt s s 1s ∞−∞∞−−∞∞∞−−−==⋅=⋅−⋅=−⋅⋅⎡⎤=−⋅−==⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫ 且有()121f t t s −⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例4：求单位脉冲函数()t δ的拉氏变换 解：由定义得：()()()()()()()00000001stst st stst t F s t t e dt t e dt t e dt t e d t e dt e δδδδδδ++−+−st t ∞−∞−−+∞−−−=−∞⎡⎤==⋅⎣⎦=⋅+⋅=⋅=⋅==∫∫∫∫∫ 且有()[]()11f t t δ−==例5：求()212f t =t 的拉氏变换。
第2章 拉普拉斯变换
k ( s + 2)( s + 10) G(s) = s ( s + 1)( s + 5)( s + 15) 2
2.1 复变量和复变函数
3、尤拉定理 、
cosθ和sin θ的幂级展开式 和 的幂级展开式
cos θ = 1 −
θ2
2!
+
θ4
4!
d L+ [ f (t )] = sF ( s ) − f (0+) dt
f(t)的二阶导数 f(t)的二阶导数
d2 & L[ 2 f (t )] = s 2 F ( s ) − sf (0) − f (0) dt
f(t)的 f(t)的n阶导数
dn & L[ n f (t )] = s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f (0) − ⋅⋅⋅⋅ − s dt
d G ( s + ∆s ) − G ( s ) ∆G G ( s ) = lim = lim ds ∆s ∆s →0 ∆s → 0 ∆s
（2）复变函数G(s)导数存在定理： 复变函数G(s)导数存在定理： G(s)导数存在定理
∆s = ∆σ + j ∆ω 可沿无穷多不同路径趋于零 求得导数相等时， 当沿两条特殊路径 ∆s = ∆σ ∆s = j ∆ω 求得导数相等时，对于 求得的导数是唯一的。 任何其它路径 ∆s = ∆σ + j ∆ω 求得的导数是唯一的。
x
−
θ6
6!
+L
sin θ = θ −
θ3
3!
+
θ5 θ7
2.2_拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换
例 求F(s)的拉氏反变换，已知
F s
s2
s
3 3s
2
解
F s
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
1
s 1
2
s2
由留数的计算公式，得
1
[( s
1)
(s
s3 1)(s
2) ]s1
2
2
[( s
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
s n1
f
(0)
sn2
f
(0)
sf (n-2) (0) f (n-1) (0)
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f (n2) (0) f (n1) (0) 0
a1 a2 an s p1 s p2 s pn
式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。
2.2.5 拉普拉斯反变换
ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方 法求出。即
ak (s pk )F (s) s pk
象函数 F(s) = L[f(t)]
5
t n (n=1, 2, …)
n! s n+1
6
e -at
7
sint
1 s+a
s2+2
2.3 拉普拉斯展开定理
a11 L a1k
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
b11 L b1n
M , D1 = det(a ij ) = M M , D2 = det(bij ) = M bn1 L bnn a k 1 L a kk
证明
D = D1 D2 .
分块对角阵的行列式
设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非 零子块都是方阵 .即
A 1 A2 O A= , O O As 其中A 都是方阵,则 为分块对 其中 i (i=1 , 2 , … , s)都是方阵 则A为分块对 都是方阵 角阵. 角阵
设S的各行位于D中第i1 , i2 , L , ik (i1 < i2 < L < ik )， S的各列位于D中第j1 , j2 , L , jk ( j1 < j2 < L < jk )，那么称 A = (−1) ( i1 +i2 +L+ik ) + ( j1 + j2 +L+ jk ) M为S的代数余子式。
它们相应的代数余子式分别为A1 , A2 , L, At , 则 D = S1 A1 + S 2 A2 + L + At St。
例1
计算
D= 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0
利用拉普拉斯定理（P68）可得： 利用拉普拉斯定理（P68）可得：
小 结
拉普拉斯展开定理
拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理是由法国数学家居里·拉普拉斯（Joseph Louis Lagrange）在1770年提出的，它可以用来求解一元多项式的展开式，有着广泛的应用。
定义：设f(x) 是定义在区间[a,b]上的n次可积函数，且在区间[a,b]上有n+1个不同的零点，即f(x1)=f(x2)=f(x3)=......=f(xn+1)=0 (x1，x2，x3，......，xn+1 在[a,b]上)则f(x) 在区间[a,b]上可以表示为f(x)=[f(x)]a^n+[f(x)]a^(n-1)+[f(x)]a^(n-2)+......+[f(x)]a+[ f(x)]其中，[f(x)]a，[f(x)]a^2，......[f(x)]a^n 分别为f(x)在x1，x2，......xn+1处的拉普拉斯展开系数，也称拉普拉斯系数。
由此可以得出拉普拉斯展开定理，即：若f(x) 在区间[a,b]上可积，在[a,b]上有n+1个不同的零点，则f(x) 可以用下式展开：f(x)=[f(x)]a^n+[f(x)]a^(n-1)+[f(x)]a^(n-2)+......+[f(x)]a+[ f(x)]其中，[f(x)]a，[f(x)]a^2，......[f(x)]a^n 分别为f(x)在x1，x2，......xn+1处的拉普拉斯展开系数，也称拉普拉斯系数。
拉普拉斯系数的计算：拉普拉斯系数[f(x)]a，[f(x)]a^2，......[f(x)]a^n 的计算可使用拉普拉斯公式：[f(x)]a=(1/(n+1))*(f(a)+2*f(a+h)+3*f(a+2h)+......+(n+1)*f(b ))其中，h=(b-a)/n应用：拉普拉斯展开定理可以用来求解一元多项式的展开式，其中多项式的零点可以在任意区间上找到，这样可以将展开式的计算转换为计算拉普拉斯系数的问题，从而使计算简化。
拉普拉斯定理和范德蒙行列式
拉普拉斯定理和范德蒙行列式
拉普拉斯定理和范德蒙行列式都是线性代数中的重要概念。
拉普拉斯定理，也被称为行列式的拉普拉斯展开式或余因子展开式，是由拉普拉斯在他的1772年的论文中提出的。
这个定理描述了在n阶行列式中，任意取定k行（或列），由这k行（或列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于原行列式的值。
这个定理在行列式的计算中有重要的应用，特别是在某些行或列的元素为零或具有特殊性质时，可以通过拉普拉斯定理快速降阶计算行列式的值。
范德蒙行列式则是一种特殊类型的行列式，其形式为形如
1,x,x^2,...,x^(n-1)的n个元素的排列组合。
范德蒙行列式在多项式插值、解线性方程组等领域有重要应用。
范德蒙行列式的值可以通过其计算公式直接得出，该行列式为0的充要条件是至少有两个元素相等。
两者都是行列式理论中的重要组成部分，具有广泛的应用。
范德蒙行列式是一种特殊的行列式形式，而拉普拉斯定理则提供了一种计算行列式值的有效方法。
2.3 拉普拉斯展开定理复习课程
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deta(ij)
,D2 detb(ij)
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 DD 1D2.
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩,阵 若A的分块矩阵只有在
角线上有非零 ,其子余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 ,2 , ,s ,则 A 0 ,并
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
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2.3 拉普拉斯展开定理
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶 的 子 所 式 S1,有 S2分 , ,St别 (tC n k为 )， 它们相应分 的别 A 代 1,A 2,为 数 ,A t,则 余子式
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A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
知识回顾 Knowledge Review
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a11 a1k
0
设
D
ak1 c11ຫໍສະໝຸດ akk c1kb11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
分块对角阵的行列式
设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在主对
§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
一、k阶子式的概念
定义 在n阶行列式D中，任取k行k列(1 k n)，
位于这k行k列的交点上的k 2个元素按原来的相对位 置组成的k阶行列式S，称为D的一个k阶子式。
在行列式 D中划去S所在的k行k列，余下的元素按 原来的相对位置组成的 n k阶行列式 M成为S的余子式。
角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非
零子块都是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
若 Ai 0i 1,2,, s,则 A 0,并有
A1 1
A1
设S的各行位于D中第i1, i2 ,,ik (i1 i2 ik )， S的各列位于D中第j1, j2 ,, jk ( j1 j2 jk )，那么称
A (1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M为S的代数余子式。
二、拉普拉斯展开定理
若在行列式D中任意取定k个行(1 k n 1)， 则有这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余 子式的乘积之和等于D.
设D的某k行组成的所有k阶子式分别为S1, S2,, St (t Cnk )， 它们相应的代数余子式分别为A1, A2,, At ,则
D S1A1 S2 A2 At St。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D 0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
利用拉普拉斯定理（P68）可得：