电磁学之交流电路

第九章 交流电路


§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6
基本概念和描述方法 交流电路中的元件及其性质 交流电路的分析方法 交流电的功率 交流电路分析举例 变压器
导言
一、交流电与简谐交流电的概念
交流发电机产生的感应电动势和感应电流是随 时间作周期性变化的，称为交流电。并且符合 正弦函数的振动频率，属于简谐振动，因此称 为简谐交流电。
j ( t u )
u ( t ) U 0 cos( t u ) i ( t ) I 0 cos( t i )

复电流
~ I I 0e
j ( t i )

复阻抗
~ ~ ~ U0 Z U /I e I0
j ( u i )
Z ( t ) U 0 cos( t u ) / I 0 cos( t i )
图9.1 交流发电机原理
二、交流发电机原理

根据电磁感应原理制成的，是动生电动势的典 型例子。当线圈在原动机带动下在均匀磁场中 匀速转动时，线圈的两个边切割磁力线，在线 圈中产生感应电动势：
AB

B A D
v B dl v B dl

B
vB sin(
Fra Baidu bibliotekA D

2
) dl vBl cos ) dl vBl cos
CD

vB sin(

2
C
C
AB CD BS cos t 其中，S为线圈的面积。

穿过线圈的磁通量的变化为：
BS cos( / 2 ) BS sin t
根据Farady-lenz定律

d dt BS cos t
2 max
L
m
min
2
2
m
2
m
0
0
1
0
m
m
m
C
其中
Q
0L
R
I2
m
，称为电路的品质因素。
ZL R

m
ZL

0L
R
I m QI
m
§9.6 变压器
一、变压器和理想变压器介绍： 1、变压器定义： 变压器是互感现象为基础的电磁装置，将初级 线圈上的电能通过铁芯耦合传递至次级线圈。 2、理想变压器：符合以下三个条件。 （1）无漏磁（耦合过程不存在漏磁）； （2）无铜损（变压器材料不存在焦耳热损耗）； （3）无铁损（铁芯中的涡流与磁滞损耗可忽略）
复数形式的交流电路基本规律



电阻元件 对于电阻元件，没有位相差，即 u i ~ ZR R 电阻为： 电容元件 对于电容元件，有位相差： u i / 2 j j 1 容抗为： ~ 2 ZC ZCe C j C 电感元件 对于电容元件，有位相差： u i / 2 j 感抗为： ~ 2
图9.4 交流电路中电阻元件性能
二、电容元件

电容器有隔直流的作用。 电容元件C的阻抗和相位差分别为：
U 1 Z m Im C u i 2

结论： （1）纯电容电路中，起限制电流的因素是容抗 1/C，通交流，阻直流；通高频，阻低频。 （2）通过电容器的电流的相位比其两端电压超 前/2。
1、RLC串联电路和谐振条件 2、RLC并联电路和谐振条件
1、RLC串联电路和谐振条件

如图所示，RLC串联在交流电路中， 设电源为：e ( t ) m cos t 复阻抗为：
~ j t ~ e (t ) m e
~ Z R j L 1 j C Z me
cos( t ) m cos t )
2
C

电感两端电压为：
~ ~~ ~ U L I Z L j L I L m e Zm
j ( t / 2 )

取实部得谐振时电压：
U
L

L m cos( t / 2 )
R ( L
§9.1 基本概念和描述方法
一、简谐交流电
以正弦或余弦规律变化有一定频率和峰值的简 谐波。 二、其他形式的交流电 （1）具有固定的频率或作周期性的变化，且都 可以通过傅立叶变换分解为多种不同频率的简 谐成分的叠加； （2）这些简谐成分在线性电路中彼此独立。
图9.2 各种波形的交流电
三、简谐交流电的函数表示式
L
1

1


表征电路本身特征的物理量。 串联共振的条件是：电源电动势的频率f等于电 路的固有频率f0。可以写成
0 1/
LC

此时，各个元件上的电压为： ~ ~~ ~ U IZ IR 电阻两端电压为： 取实部得谐振时电压：
R
U
R
R
2
R m ( L 1



。
3、相位



相位是反映交流电在每一时刻的大小和变化趋 势的特征量。 两个相同频率的交流电瞬时状态的差别，由相 位差描述；相位差反映了两个交流电的变化的 步调。 当两个交流量比较相位时，必须化成相同的函 数形式，而且应在同一时刻才能比较。
§9.2 交流电路中的元件及其性质



交流电路研究的基本问题和直流电路一样，是 同一元件上电压和电流的关系，以及电流、电 压和功率在电路中各个元件上的分配。 交流电路中，电阻、电容和电感3种元件的性 质不同，互相制约，又互相配合，组成了多种 多样的电路，适应各种不同的需要。 交流电路中，电压和电流的关系不仅有量值 (峰值或有效值)大小的关系，还有频率和相位 的关系。元件自身的特征是用阻抗和初位相描 述的。
j

总电流为：
~ e ~ I ~ m Ae Z
j ( t )
谐振条件


当 C R ( L ) ，即 LC 1 L 时，电路阻 抗取最大值： Z R ( L ) R R 回路总电流达最小值：I R ( L ) 称为CRL的并联谐振。 由于一般情况下频率较高而电阻较小，因此有 R<<L，可忽略CR2/L项，则：

§9.3 交流电路的分析方法
求解交流电路，主要是解决同频简谐量叠加的 问题，主要有三种分析方法： （1）三角函数法：运用三角函数的和差化积求 解。运算复杂，工作量大，容易出错，不能解 决较复杂电路的问题。 （2）矢量图解法：将各简谐量化为矢量，用矢 量相加法则求解。此法比较直观，各物理量的 大小和位相关系在图上一目了然。但运算仍比 较复杂，一般不易解决复杂电路问题。

式中，Ue，Ie分别为电压和电流的有效值。 cos称为电路的功率因素，与时间无关，反映 了交流电路中不同性质元件上的变化规律。 对纯电阻，=0，与稳恒电路情况一致。 对纯电感和纯电容， =/2，平均功率恒为零。
三、视在功率与无功功率
（1）有功电流与无功电流的矢量图示法 功率因素来源于电路电流和电压之间的位相差。 因此，I(t)分解为平行于U(t)和垂直分量，显然 垂直分量对平均功率没有贡献。有贡献的是平 行分量。 故：I垂直是无功电流， I平行是有功电流， P平行=I平行U为有功功率。
2
L
m
R
cos( t

2
)
1
C
~ I
)
2

电容两端电压为：~
UC
~~ IZC
j C

1
m
C Zm
m CR
e
j ( t / 2 )

取实部得谐振时电压：
UC
m cos( t / 2 ) C
R ( L
2

cos( t
1 CR
2 2
2 max
L
2
min
2
2
m
0 1/

LC LC
f 共振频率为：0
0 / 2 1 / 2
并联谐振特点
1) 2) 3)
4)
回路总阻抗达最大值， Z R ( R ) RC R 回路总电流达最小值，I R ( L ) L 由于总电流和总电源电动势相差为零，故总 电压和总电源同位相，电路呈纯电阻特性。 两个分支电流，在数值上达最大，但位相相 差，所以并联共振又称为电流共振。 ( L ) L I C I I QI 可以证明： Z R R
Z L Z Le j L
§9.4 交流电的功率
一、瞬时功率：稳恒电路中的功率在时间上也是 稳恒的，但在交流电路中，电压和电流一般存 在位相差，因此功率随时间变化，称为瞬时功 率。当P(t)>0时，元件由电源获得能量；当 P(t)<0时，元件的能量回入电源。
i ( t ) I 0 cos t
图9.5 交流电路中电容元件性能
三、电感元件

电感元件L的阻抗和相位差分别为：
Um Z L Im u i 2
结论： （1）在纯电感电路中，起限制电流的因素是感 抗L。通直流，阻交流；通低频，阻高频。 （2）通电电感的电压的相位比流过电感的电流 的相位超前/2。
交流电通过纯电阻元件在一个周期内产生的焦 耳热等同于其有效值的直流电在相同时间内产 生的热能。
I e RT
2

T
i Rdt
U
e
2
0
Ie
Im 2

U
m
2
2、频率

表达式中ω 为交流发电机转子角速度，等于交 流电的角频率。 ω 与频率f的关系为ω =2π f；
交流电的周期为
T 1 f 2

简谐交流电的电动势、电压和电流都可 以写成时间的正弦函数或余弦函数的形 式：
( t ) m cos( t e )
u (t ) U
m
cos( t u )
i ( t ) I m cos( t i )
1、幅值

幅值或峰值： m 、Um、 Im； 瞬时值： (t ) 、u(t)、i(t)； 有效值的定义：交流量的方均根值。

（3）交流电路的复数解法


用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势， 电压和电流，可以将交流电路问题转化为与直 流电路求解相似的方式加以解决。运算简便， 可解决复杂电路问题。 根据复数对应规则和复数运算法则，可以给出 复电压，复电流和复阻抗的表达式。
交流量与复数的对应关系

复电压
~ U U 0e
j

图9.6 RLC串联交流电路

电流为：
~ e ~ I ~ Z
m
R ( L
2
e 1
j ( t Z )
C
)
2
串联共振的条件


当 LC 时，I取极大值，因而 C ，即 RLC上的电压都为极大值，称为RLC的串联谐 振，此时=0。 定义电路的固有频率：
f 0 0 / 2 1 / 2 LC
u ( t ) U 0 cos( t )
P ( t ) U 0 I 0 cos t cos( t )
二、平均功率与功率因素

平均功率：瞬时功率在一个周期内的平均值。 它是电路实际消耗的功率。
P 1 T

T
P ( t ) dt
1 2
0
U 0 I 0 cos U e I e cos
2、RLC并联电路和谐振条件

考虑RL串联再与C并联的交流电路中，设电源 ~ j t 为： ~ e ( t ) cos t e
m m

等效阻抗为：
1 Z 1 ZC 1 ZR ZL R R
2
( L )
2
j [ C R
L
2
( L )
2
] Ae
图9.3 交流电路中各种元件性能
一、电阻元件

在交流电路中，电阻R的阻抗和电压与电流的 相位差分别为：
m R Z Im 0 u i


结论：在交流电路中的电阻元件，限制电流的 因素仍是R，电阻元件上电压和通过它的电流 同相位。 当电源电动势频率比较高时，由于趋肤效应， 电流集中在电阻表面，因而比低频时的阻值大。

2
)
1
C
)
2

对RLC谐振电路，任何时刻t，恒有U和U相互 抵消，电阻两端的电压等于电源电动势。
串联谐振特点
1）当电路发生串联共振时，阻抗最小，Z=R， 电路中的电流达到最大值，整个电路呈纯电阻 性。 2）当电路发生串联共振时，电感或电容两端的 电压达到最大值，且等于电源电动势的Q倍。 Q称为电路的品质因素。
图9.7 有功电流与无功电流
（2）有功功率与视在功率


有功功率物理含义是：电路在一周期内实际消 耗的功率，与平均功率概念一致。（Pcos） 视在功率：P=IU，为机械设备的总功率容量。 无功功率：在电容和电感中储存起来不对外做 功的一部分功率。（Psin）
§9.5 交流电路分析举例