薄板的屈曲ppt课件

y2
D Et3 12 1 2
为板的抗弯刚度；
Nx、Ny 为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；
Nxy 为板中面单位长度上的剪力。
5
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
单向（x方向）均匀受压四边简支板，N y =Nxy 0 由
板件屈曲系数（四边简支）
9
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
板在微弯状态时的总势能为：
U V
U D
2
a 0
b 0

2w x2

2w y2
2

2 1




2w x2

2w y2


2w xy
2
按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
3
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
基本假定：
垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略。即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力。
应力分量 z 、 zx 和 zy 远小于 x、 y 和 xy ，故可以忽略他们产生的 正应变 z 、剪应变 zx 和 zy 。薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应
力问题。
薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变。即在xy平面上 的投影形状不变。类似于受弯构件平截面假定。
板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
m2n2 4
2 a2b2

n4 4
b4

Nx D

m2 2
a2
sin
m x
a
sin
n y
b

0
满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：
m4 4
a4
m2n2 4
2 a2b2
n4 4
b4

Nx D
m2 2
a2
0
或 Nx


2a2D m2

单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
边界条件：
x 0 、x a 时：w 0
2w 2x

0
y 0 、 y b 时：w 0
2w 2 y

0
w

m1
n1
Amn
sin
m
a
x
sin
n
b
y
代入平衡方程有：

m1
n1
Amn
m4 4

a4
2



m

m
2

由
dk dm
0，有
2
m



m


1



m2


0
m
N x,cr ,min

4
2D b2
a b
kmin 4
8
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
点的弯矩
M
x
、M
y
和扭矩
M
以及板的挠度
xy
w
都与此点的坐标有关。
板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理
想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条
件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解。
理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳。对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）。
D

4w x4

2
4w x22 y

4w y4


Nx
2w x2

2 N xy
2w xy

Ny
2w y 2
D


4w x4

2
4w x22 y

4w y4


Nx
2w x2

0
6
均匀受压简支板
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
主要内容:
薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
能量法计算板的弹性失稳荷载
不同面内荷载作用下板的弹性失稳 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件
板稳定理论在钢结构设计中的应用
1
第6章 薄板的屈曲
钢结构中板的分类：
厚板：t / b 1/ 5 ~1/ 8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响。
m2 a2

n2 b2
2

7
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载
临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1；
2a2D m2 1 2 2D a2b2 m2 1 2 2D
Nx,cr
m2

a2
b2
ຫໍສະໝຸດ Baidu



w Amn x, y m1 n1
代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：

A11

0


A12
0
系数行列式为零
板的屈曲方程


Amn

0
11
第6章 薄板的屈曲
薄板：1/80 ~1/100 t / b 1/ 5 ~1/8
受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。
薄膜：t / b 1/80 ~1/100
受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡。
2
第6章 薄板的屈曲
板失稳的特点：
板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一
b2
m2

a2
b2

k
b2
x,cr

N x,cr t
12
k
1 2

2E
b/t 2
均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比 的平方成反比，而与板的长度无关。
k为屈曲系数，且：
k

ab

m

m2 a2

1 b2
2


b a
m

a mb

dxdy
V 1 2
a 0
b 0
Nx

w
2

x

Ny

w y


2 N xy
w x
w y

dxdy
10
第6章 薄板的屈曲
能量法计算板的弹性失稳荷载
瑞利-里兹法
要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件。 假定挠曲面函数为：
4
第6章 薄板的屈曲
小挠度理论板的弹性曲面微分方程
弹性曲面微分方程
以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：
4w 4w 4w 2w
2w 2w
D
x4
2 x22 y

y4

Nx
x2
2Nxy
xy
Ny