专题检测卷(六) 函数与导数

专题检测卷(六)函数与导数

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2020·北京适应性测试)函数f(x)＝x2－5x＋6的定义域为()

A.{x|x≤2或x≥3}

B.{x|x≤－3或x≥－2}

C.{x|2≤x≤3}

D.{x|－3≤x≤－2}

解析由题意，得x2－5x＋6≥0，即(x－2)(x－3)≥0，解得x≤2或x≥3.故选A. 答案 A

2.(2020·沈阳一监)已知a＝31

3，b＝2

1

2，c＝log32，则a，b，c的大小关系为()

A.a

B.b

C.c

D.c

解析∵a＝31

3

＝91

6

，b＝21

2

＝81

6

，91

6>8

1

6>8

0＝1，∴a>b>1.又c＝log32

∴a>b>1>c.故选D.

答案 D

3.(2020·济南一模)已知函数y＝f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是()

A.f(x)＝x＋tan x

B.f(x)＝x＋sin 2x

C.f(x)＝x－1

2sin 2x

D.f(x)＝x－1

2cos x

解析 对于A ，函数f (x )的定义域为{x |x ≠π

2＋k π，k ∈Z }，而图象对应的函数在x ＝π

2处有定义，因此A 不符合题意；

对于B ，f ′(x )＝1＋2cos 2x ，令f ′(x )<0，得2π3＋2k π

3＋2k π(k ∈Z )，则函数f (x )

在区间(2π3＋2k π，4π

3＋2k π)(k ∈Z )上是减函数，图象对应的函数没有递减区间，因此B 不符合题意；

对于C ，f ′(x )＝1－cos 2x ，对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，因此函数f (x )在R 上单调递增，且函数f (x )也是奇函数，满足图象对应的函数特征，因此C 符合题意； 对于D ，函数f (x )不是奇函数，而图象对应的函数是奇函数，因此D 不符合题意.故选C. 答案 C

4.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥0，

x e x ，x <0，若f (x )的零点为α，极值点为β，

则α＋β＝( ) A.－1

B.0

C.1

D.2

解析 当x ≥0时，令f (x )＝0，即3x －9＝0，解得x ＝2；当x <0时，f (x )＝x e x <0恒成立.∴f (x )的零点α＝2.当x ≥0时，f (x )＝3x －9为增函数，故在[0，＋∞)上无极值点；当x <0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(1＋x )e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，当－10，∴x ＝－1时，f (x )取到极小值，即f (x )的极值点β＝－1，∴α＋β＝2－1＝1.故选C. 答案 C

5.(2020·安徽六校素质测试)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2上单调递增，

则实数a 的取值范围是( ) A.[2，＋∞) B.[1，＋∞) C.(1，＋∞)

D.(－2，＋∞)

解析 由题意，得f ′(x )＝e x (sin x ＋a )＋e x cos x ＝e x [2sin(x ＋π

4)＋a ]，∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2，π2上恒成立.又∵e x >0， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4，3π4，

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4＋a ∈(－1＋a ，2＋a ]，

∴－1＋a ≥0，解得a ∈[1，＋∞).故选B. 答案 B

6.(2020·合肥质检)射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e

－ρμt

，其中I 0，I 分别为射线穿过

被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数，工业上通常用镅－241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种钢板对射线的吸收系数为( )

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114

D.0.116

解析 由题意可得t ＝0.8，ρ＝7.6，I I 0

＝12.因为I ＝I 0e －ρμt ，所以1

2＝e －7.6×0.8×μ，所以μ＝

ln 27.6×0.8

≈0.693 1

6.08≈0.114.所以这种钢板对射线的吸收系数为0.114.故选C.

答案 C

7.(2020·中原名校联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x |，x >0，

2x ，x ≤0，则函数g (x )＝3(f (x ))2－8f (x )＋4的

零点个数是( ) A.5

B.4

C.3

D.6

解析 函数g (x )＝3(f (x ))2－8f (x )＋4＝(3f (x )－2)·(f (x )－2)的零点个数，即方程f (x )＝2

3和f (x )＝2的根的个数.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，x >0，2x ，x ≤0

的图象如图.由图象可知，方程

f (x )＝2

3和f (x )＝2共有5个根，即函数g (x )＝3(f (x ))2－8f (x )＋4有5个零点.故选A.