函数单调性的研究的几种基本方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)函数与函数-的图象关于X轴轴对称，所以函数与函数-在同一区 间上的单调性相反。例如：若函数在区间(a,b)上递增，则函数-在区间 (a,b)上递减。
(3)函数与函数-的图象关于原点中心对称，所以函数与函数-在对称 区间上的单调性一致。例如：若函数在Βιβλιοθήκη Baidu间(a,b)上递增，则函数-在区
间(-b,-a)上递增。三、利用复合函数知识研究函数单调性 函数是由函数及复合而来的。我们把函数称为复合函数，函数称为
3．根据函数单调性定义下结论，并注明单调区间。
二、利用函数图象研究函数单调性
由函数单调性定义知：若函数图象在某一段从左向右看表现为上升 趋势，即随的增大而增大，则函数在该段图象相应区间内为增函数；若 函数图象在某一段从左向右看表现为下降趋势，随的增大而减小，则函 数在该段图象相应区间内为减函数。由此，我们可以借助函数图象来研 究函数的单调性。
复合函数的外函数，函数称为复合函数的内函数。复合函数单调性的复 合法则为：若内、外函数单调性一致，则复合后为增函数；若内、外函 数单调性相反，则复合后为减函数。可简记为“同增异减”。知道了复 合函数单调性的复合法则，我们研究复合函数的单调性时，只需将复合 函数分解为内、外两个常见的基本函数，分别研究其单调性，最后按法 则复合即得复合函数的单调性。 四、利用函数求导研究函数单调性
(一)直接利用函数的图象研究函数的单调性这就要求我们熟练掌握 各种基本函数的图象，以及学会利用图象变换做一些复杂函数的图象， 从函数图象上直接观察函数的单调性即可。
(二)利用函数图象的对称性研究函数的单调性 1．函数自身图象的对称性
(1)奇函数图象关于原点中心对称，所以奇函数表现出来在对称区间 上单调性一致。例如：若是奇函数且在区间(a,b)上递增，则在区间(b,-a)上递增。
首先对函数求导，得出。令所得解集即为单调增区间，反之令所得 解集即为单调减区间。
或者可以通过列表法求单调区间判断单调性。 令求出方程根：G1，G2。（以两根为例）然后列出如下表格：(函数 定义域为[A,B])
A (A, G1) G1 (G1，G2) G2 (G2，B) B
*
0
*
0
*
判断单调 性
判断单调 性
(2)偶函数图象关于Y轴轴对称，所以偶函数表现出来在对称区间上 单调性相反。例如：若是偶函数且在区间(a,b)上递增，则在区间(-b,a)上递减。 2．两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于Y轴轴对称，所以函数与函数在对称区间 上的单调性相反。例如：若函数在区间(a,b)上递增，则函数在区间(b,-a)上递减。
人民教育出版社，2007． [2]薛彬．全日制普通高中数学教材第三册(选修Ⅱ)EM]．北京：人民教 育出版社，2007．
函数单调性的研究的几种基本方法
摘要：高中数学阶段函数对于单调性的研究有很多，本文主要以函 数图像来研究函数的单调性于高中数学学习和考试有很大帮助。
关键词：定义 图像 求导 对于这几年高考数学试卷，对函数知识的考查所占比例是很大的， 而所考查的函数知识中，尤以对函数单调性的考查为重中之重。有直接 考查函数单调性的，例如：“研究函数的单调性”、“求函数的单调区 间”等；也有间接考查函数单调性的，例如：“求函数的值域、最 值”等。而函数中的压轴题型——方程有解求参数范围、不等式有解或 恒成立求参数范围，往往可以转化为函数的值域或最值问题，然后进一 步可利用函数单调性求其值域或最值。甚至某些特殊的方程或不等式也 可利用函数单调性来解。所以我们要想赢得高考，就得首先赢得函数， 而许多函数相关问题都可转化为函数的单调性问题来解决，这就要求我 们必须熟练掌握函数单调性的研究方法。 研究高中函数单调性的方法有下面以下几种方法：
判断单调 性
*处为正则该区间为单调递增，*处为负则该区间为单调递减。 以上是高中数学研究函数单调性常用的几种方法，碰到函数单词性 问题时到底用哪种方法好，这应因题而异。遇到函数单调性问题时，首 选的并不是利用函数单调性定义研究，因为定义研究过程比较繁琐，很 费时间，另外，对于一些复杂的函数，我们也无法做到函数单调性定义 研究。一般地，在填空题中可以考虑用图像法和复合函数知识求单调 性；在解答题中则较多用导数求函数的单调性。 参考文献： [1]饶汉昌，方明一．全日制普通高中数学教材第一册(上)[M]．北京：
一、利用函数单调性定义研究函数单调性
(一)定义 高中数学教材中函数的单调性是这样定义的：一般地，设函数的定
义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当 时，都有，那么就说在区间D上是增函数(减函数)。如果函数在某个区 间D上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做的单调区间。 (二)步骤 利用函数单调性定义研究函数单调性可分为三步： 1．在划分的单调区间上设； 2．比较与的大小；
(3)函数与函数-的图象关于原点中心对称，所以函数与函数-在对称 区间上的单调性一致。例如：若函数在Βιβλιοθήκη Baidu间(a,b)上递增，则函数-在区
间(-b,-a)上递增。三、利用复合函数知识研究函数单调性 函数是由函数及复合而来的。我们把函数称为复合函数，函数称为
3．根据函数单调性定义下结论，并注明单调区间。
二、利用函数图象研究函数单调性
由函数单调性定义知：若函数图象在某一段从左向右看表现为上升 趋势，即随的增大而增大，则函数在该段图象相应区间内为增函数；若 函数图象在某一段从左向右看表现为下降趋势，随的增大而减小，则函 数在该段图象相应区间内为减函数。由此，我们可以借助函数图象来研 究函数的单调性。
复合函数的外函数，函数称为复合函数的内函数。复合函数单调性的复 合法则为：若内、外函数单调性一致，则复合后为增函数；若内、外函 数单调性相反，则复合后为减函数。可简记为“同增异减”。知道了复 合函数单调性的复合法则，我们研究复合函数的单调性时，只需将复合 函数分解为内、外两个常见的基本函数，分别研究其单调性，最后按法 则复合即得复合函数的单调性。 四、利用函数求导研究函数单调性
(一)直接利用函数的图象研究函数的单调性这就要求我们熟练掌握 各种基本函数的图象，以及学会利用图象变换做一些复杂函数的图象， 从函数图象上直接观察函数的单调性即可。
(二)利用函数图象的对称性研究函数的单调性 1．函数自身图象的对称性
(1)奇函数图象关于原点中心对称，所以奇函数表现出来在对称区间 上单调性一致。例如：若是奇函数且在区间(a,b)上递增，则在区间(b,-a)上递增。
首先对函数求导，得出。令所得解集即为单调增区间，反之令所得 解集即为单调减区间。
或者可以通过列表法求单调区间判断单调性。 令求出方程根：G1，G2。（以两根为例）然后列出如下表格：(函数 定义域为[A,B])
A (A, G1) G1 (G1，G2) G2 (G2，B) B
*
0
*
0
*
判断单调 性
判断单调 性
(2)偶函数图象关于Y轴轴对称，所以偶函数表现出来在对称区间上 单调性相反。例如：若是偶函数且在区间(a,b)上递增，则在区间(-b,a)上递减。 2．两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于Y轴轴对称，所以函数与函数在对称区间 上的单调性相反。例如：若函数在区间(a,b)上递增，则函数在区间(b,-a)上递减。
人民教育出版社，2007． [2]薛彬．全日制普通高中数学教材第三册(选修Ⅱ)EM]．北京：人民教 育出版社，2007．
函数单调性的研究的几种基本方法
摘要：高中数学阶段函数对于单调性的研究有很多，本文主要以函 数图像来研究函数的单调性于高中数学学习和考试有很大帮助。
关键词：定义 图像 求导 对于这几年高考数学试卷，对函数知识的考查所占比例是很大的， 而所考查的函数知识中，尤以对函数单调性的考查为重中之重。有直接 考查函数单调性的，例如：“研究函数的单调性”、“求函数的单调区 间”等；也有间接考查函数单调性的，例如：“求函数的值域、最 值”等。而函数中的压轴题型——方程有解求参数范围、不等式有解或 恒成立求参数范围，往往可以转化为函数的值域或最值问题，然后进一 步可利用函数单调性求其值域或最值。甚至某些特殊的方程或不等式也 可利用函数单调性来解。所以我们要想赢得高考，就得首先赢得函数， 而许多函数相关问题都可转化为函数的单调性问题来解决，这就要求我 们必须熟练掌握函数单调性的研究方法。 研究高中函数单调性的方法有下面以下几种方法：
判断单调 性
*处为正则该区间为单调递增，*处为负则该区间为单调递减。 以上是高中数学研究函数单调性常用的几种方法，碰到函数单词性 问题时到底用哪种方法好，这应因题而异。遇到函数单调性问题时，首 选的并不是利用函数单调性定义研究，因为定义研究过程比较繁琐，很 费时间，另外，对于一些复杂的函数，我们也无法做到函数单调性定义 研究。一般地，在填空题中可以考虑用图像法和复合函数知识求单调 性；在解答题中则较多用导数求函数的单调性。 参考文献： [1]饶汉昌，方明一．全日制普通高中数学教材第一册(上)[M]．北京：
一、利用函数单调性定义研究函数单调性
(一)定义 高中数学教材中函数的单调性是这样定义的：一般地，设函数的定
义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当 时，都有，那么就说在区间D上是增函数(减函数)。如果函数在某个区 间D上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做的单调区间。 (二)步骤 利用函数单调性定义研究函数单调性可分为三步： 1．在划分的单调区间上设； 2．比较与的大小；