大学课程电磁理论Chapter-6-电磁感应

本科生课程“电磁场理论”讲义
INFT400405 Electromagnetic Field Theory
电磁场理论
第6章 电磁感应（1）
6-1 法拉第电磁感应定律
1
时间慢变电磁场的主要特征 征
对于静电场和恒定磁场，场源为静止电荷和恒定电流，场量为电场强度、电通 密度、磁通密度和磁场强度，它们均不随时间变化。 另外，静电场的场量与恒定磁 场的场量是相互独立的。
静止回路中时变磁场所产生的感应电场强度满足如下方程
Eind
B t
此时，回路中总的感应电动势为
(Eind E ') dl Eind dl E ' dl
C
C
C
( Eind ) dS (v B) dl
S
C
B dS (v B) dl
t S
C
8
法拉第电磁感应定律的一般形式
B(t) zˆcost (t) t
1 求围绕圆形路径的感应电压。 2 求圆形路径上的感应电场强度。 3 求围绕圆形路径总的感应电动势。
感应电压为
Vind (t)
C
E
dl
t
S
B dS
Vind (t) Bt dS
B(t)
S
Vind (t) ( sint)dS
S
11
Vind (t) ( sint) dS ( sint)( 2 )
E( r,t) Es (r) Ed (r,t)
静电场
时变电场
Ed (r,t) E (r,t) ind
此时，可把电荷密度和电流密度也分解为恒定部分和时变部分如下
v ( r, t) vs( r ) v(dr,t)
J (r,t) J s(r) J d (r,t)
16
同理，可把磁通密度分解为恒定部分和时变部分如下
H d (r,t) J d (r,t)
Dd( r,t) v(dr,t)
Bd (r,t) 0
D( r,t) E( r,t) B( r,t) H ( r,t)
对于静电场和恒定磁场，电 场和磁场是独立的。
对于时间慢变电磁场，电场 与磁场之间存在耦合，时变磁场 感应时变电场。
17
根据
H(r,t) J (r,t)
6-2 电感
2020年04月07日
1
电感的定义 义
B
在线性介质中， 单个闭合回路电流产生的磁通
密度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁通
也与回路电流 I 成正比。
与单匝回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以Φm 表示。
m
B dS
S
单匝回路电流
磁通链与磁通不同，磁通链是指
B
S
dm d [(t2 ) cost] 2t cost t2 sint
dt dt
2t cost t2 sint [V]
动生电动势
变压器电动势
(v B) dl
C
t
S
B
dS
13
电力变压器
发电机组 14
时间慢变电磁场基本方程 程
法拉第电磁感应定律
C
Eind
dl
t
S
B dS
考虑到矢量磁位的定义
B
vB
E
电场力： 磁场力： 平衡状态：
v B v
F e qE
F m q(v B) qE '
动生电动势（相当于外源）
b
E ' dl
a
Fe Fm 0 E' v B
7
时变磁场中的运动回路
恒定磁场中回路运动所产生的动生电场强度为
E' vB
注意：感应电场是真正的电场， 动 生电场是一种等效的电场。
波罗的海德国科学家海因里希·楞次(Heinrich Lenz，1804 年－1865 年)于 1834 年发现了楞次定律，提供了感应电动势的方向，以及生成感应电动势的电流方向。
5
时变磁场中的静止回路
由于磁通密度随时间变化，磁通也随时间变化，此时，在回路中建立一个感应 电场，感应电场强度沿回路积分称为变压器电动势。
A2 A1
22
思考题6-1-2 如图所示，空气中矩形导线环以恒定速度 v 在磁场中沿 x 方向运动。
欲使矩形导线环中存在非零感应电动势，磁通密度应该是
（A） （B） （C） （D） （E） （F）
B xˆB0cost B zˆB0cost
B0 0 B0 0
B zˆB0 B0 0
B zˆ B0 x a B0 0
曲线 C 所包围曲面的磁通随时间变化时，在
C
闭合回路 C 中会产生感应电动势，其数学表
达式如下
dm dt
感应电动势的正方向与磁通方向构成右手螺旋关系，单位为伏特（V）。
上式中的负号含义如下：当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构 成左手螺旋关系；反之，当磁通减少时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成右 手螺旋关系。
21
思考题6-1-1 如图所示，一个平面导线环在磁通密度为 B 的非均匀恒定磁场中以恒 定速度 v 运动，磁场方向与导线环所在平面垂直。定义如下两个量
A 1
d dt
B dS
S
正确描述导线环中总的感应电动势的表达式是
（A） （B） （C） （D） （E）
A1 A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
Jd
J
d
2
0 时变电流密度扩散方程
t
J d (r,t) Ed (r,t)
2E d
Ed t
0
时变电场强度扩散方程
20
2Bd Bd 0
t
2 J d J d 0
t
2E d Ed 0
t
导电介质中时间慢变电磁场的损耗功率为
p Ed J d Ed 2
时间慢变电磁场的扩散方程主要用于涡流问题的研究。
Eind dl
C
dm dt
考虑到 可得
m
B dS
S
C
Eind
dl
t
S
dS
根据旋度定理，上式可写成
时变磁场感应出时变电场
S
(
Eind
B ) dS t
0
Eind
B t
6
恒定磁场中的运动回路
当一个导体棒在磁场中以恒定速度 v 运动时，导体中的正、负电荷在磁场力的 作用下发生分离，正、负电荷分离后又会产生电场。在很短时间内，电场力与磁场 力达到平衡。与磁场力等效的电场称为动生电场，对其积分为动生电动势。
S
Vind (t) t2 sin t [V ]
感应电场强度为
Eind (t) ˆE
E (2) t2 sint
t2 sint 1
E
2 t
t sint
2
(t) t
Eind
ˆ1 t sint
2
[V m]
12
总的感应电动势为
dm dt
m
B dS ( 2) cost ( t 2) cost
4
电磁感应定律是迈克尔·法拉第（Michael Faraday，1791 年－1867 年）于1831 年发现的，约瑟·亨利（Joseph Henry，1797年－1878年）则是在1830年的独立研究 中比法拉第提前 1 年发现了这一定律，但其并未发表此发现，故这个定律被命名为 法拉第电磁感应定律。
约瑟·亨利于 1830年 在实验中发现，一个线圈中的电流不但能够在另一个线圈 中感应出另一个电流，而且也能够在自身线圈中感应出电流，线圈中的实际电流是 原来的电流与感应电流之和。前者表示互感，后者表示自感。迈克尔·法拉第于 1834 年独立发现了自感现象，这次，亨利比法拉第在时间上抢先了一步。
时间慢变电磁场忽略了推迟时间效应，场源和场量随时间变化是同时的。 如果采用波长来描述低频近似条件，则有
L c 1 f
L c f
从场点与场源之间的空间距离远小于波长。
3
法拉第电磁感应定律 律
穿过曲面S的磁通量定义为
m
B dS
S
i(t)
nˆ
m
B
法拉第电磁感应定律表述为：
S
设 C 为磁场中的一个闭合回路，当穿过
可得
[ H(r,t)] 0 J (r,t) 0
根据电流连续性方程，可得
J ( r,t) v( r,t) vd ( r,t)
t
t
因此，对于时间慢变电磁场，时变电荷密度随时间的变化率近似为零，亦即
vd ( r,t) 0
t
对于导电介质，时变电流密度与时变电场之间的关系为
J d (r,t) Ed (r,t)
L I
电感的单位为亨利（H），1 H = 1 Wb/A。
电感可理解为 N 匝线圈中单位电流产生的磁通链，通常又称为自感。 单匝线圈的电感仅与回路的形状和尺寸有关，与回路电流无关。 N 匝线圈的电 感不但与回路的形状和尺寸有关，还与线圈中的介质、磁通与 N 匝线圈的交链程度 有关。如果存在部分交链，则必须给予适当的折扣。
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时间慢变电磁场的扩散方程
H d (r,t) J d (r,t) ( H d ) ( H d ) 2H d
Bd (r,t) 0
J d ( r,t) 2H d (r,t)
J
d
( r , t)
B ( r,t)
d
Ed ( r,t) Bd ( r,t) t
t
J d ( r,t) 2H d ( r,t)
B zˆ B0 y a B0 0
多于以上情形之一
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