结构力学第三章 静定梁与静定刚架
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李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 静定梁与静定刚架【圣才出品】
第3章 静定梁与静定刚架
3.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁 ★★★★
1．内力
表3-1-1 内力的基本概念
图3-1-1
图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）
d d d d d d s
s N
F q x
x M F
x F p x
x ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩-（）（）
图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4
所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表3-1-2。
图3-1-4
表3-1-2 内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3 常用叠加法及其作图步骤
图3-1-5
图3-1-6
二、多跨静定梁 ★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。
第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(梁、刚架)
14:32
LOGO
梁的内力计算的回顾
FQ FN M0 Fx O FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN M+ ΔM δ(x) x
直杆增量关系
增量关系
FN Fx FQ Fy M M 0
*另一种表述
M
Fy
y
dFN qx dx dFQ qy dx dM FQ dx
MA
FB=12 kN
ME m, 20KN
q
M D 18KN m,
M E 26KN m, 区段叠加法，
L M并可求出： 。 B 16KN m
MF
M F 18KN m,
F sE 3. 作弯矩图以及剪力图
L MG 6KN m,
Page 21
R MG 4KN m,
绘制： 1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
直杆微分关系
dFN qx dx dFQ q y dx dM FQ m dx
FQ FN
qy FQ+ dFQ
m qx O FN+ dFN M+ dM x
M
y
dx
集中力怎么办？
Page 14
计算思路：从刚片出发、从结点出发；
平面几何不变体系的组成规律 三角形规律：二元体（两杆一铰）、两刚片、三刚片； 灵活运用 撤去二元体，几何不变—>大刚片，虚铰选择，三刚片选择
Page 1
LOGO
第二章 结构的几何构造分析
回顾
灵活应用：虚铰、刚片的选择、无穷远处虚铰特性；
无多不变
3 能否运用三刚片规则？
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
静定梁与静定刚架
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2
结构力学静定梁和静定刚架资料
结构力学静定梁和静定刚架资料结构力学是工程力学的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
其中，静定梁和静定刚架是结构力学的重要内容之一静定梁是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的梁结构。
静定梁有简支梁、悬臂梁和梁端固定支座等形式。
简支梁两端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移；悬臂梁一端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移，另一端自由；梁端固定支座可以完全阻止梁端的旋转和位移。
静定梁的位移和反力可以通过平衡方程和变形方程来确定。
平衡方程是指梁在平衡状态下，受力平衡的方程；变形方程是指弹性力学中描述梁变形规律的方程。
通过求解平衡方程和变形方程，可以得到静定梁的位移和反力。
静定刚架是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的结构。
静定刚架有平面静定刚架和空间静定刚架两种形式。
平面静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
空间静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
求解静定刚架的位移和反力，也可以利用平衡方程和变形方程来进行。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有重要的应用价值。
在结构静力学分析中，静定梁和静定刚架是最基本的结构，能够为后续的结构分析提供重要的参考。
在建筑、桥梁、机械以及其他各种工程结构中，都广泛应用了静定梁和静定刚架的理论和方法。
通过对静定梁和静定刚架的分析和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
总之，静定梁和静定刚架是结构力学中的重要内容，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有广泛的应用，是结构静力学分析的基础。
通过对静定梁和静定刚架的研究和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
结构力学-静定梁与静定钢架
4：斜梁例题
M图
Q图 1、求支座反力：VA=ql/6，HA=0， VB=ql/6 2、作M、Q、N图
N图
对简支斜梁内力计算的总结
1 简支斜梁计算支座反力和内力的方法仍然是隔离体平衡和截面 法。
2 在竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应的平梁的支座 反力是相同的。
3 在竖向均布荷载作用下，简支斜梁的弯矩图和相应平梁的弯矩图 是相同的。
静定空间刚架例题
试求图a所示的空间刚架制作界面A的内力？
解： (1)由已知图做出此刚架的A截面的 内力图如图b所示
B
A VAY VAZ
MAZ Z
NA MAX x
D C
y （b）
D B
C A
（a）
(2) 由空间一般力系的平衡条件可得以下方程求得结果：
∑X=0，NA+4×2=0， NA=-8kN
∑Y=0，VAY-5=0， VAY=5kN
结构力学第三章
静定梁和静定钢架
成员： 刘锦伟 侯智译 于涛 潘琦 杨宏宇
内容概要：（一） 简支斜梁的计算
（二） 静定空间刚架
（1）简支斜梁的计算
1：工程应用实例、斜梁荷载
沿水平方向均布q：活载（人群、雪载）
梁式楼梯、板式楼梯、 屋面斜梁、及具有斜杆 的刚架等。
沿杆轴线均布q′：恒载(自重)，
（2）：水平方向均布荷载作用
∑Z=0,
VAZ=0
∑MX=0,MAX-5×2=0, MAX=10KN.M
∑MY=0,MAY-4×2×2×1/2=0, MAY=8KN.M ∑MZ=0,MAZ-4×2×3+5×3=0, MAZ=9KN.M
NA MAX x
(b)
D C
结构力学-静定梁与静定刚架
A BC
D
130 210
E
F
140
340
280 M图（kN·m）
130 D
120
40
A B C 30
E
F
FS 图（kN）
190
26
小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非 图形的简单拼合； 2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图； 3）先画M 图后画FS图，注意荷载与内力之间的微分 关系。
B (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
32
3) 作内力图。
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
33
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
x FxA A θ
FyA
q
l /cosθ
C qlcosθ
l
ql θ qlsinθ
1.荷载与内力之间的微分关系
qy
M FN
FS
o qx dx
M+dM x
FN+dFN
FS dFS
y
Fy 0, F SdS F qyd xF S0ddFxS q y .
MO 0, M M dM F Sd 2 xF SdF Sd 2 x0,
dM dxFS,
3）定点：求控制截面在全部荷载作用下的 M 值， 将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截 面间连以直线——基线。
4）连线叠加：对于各控制截面之间的直杆段，在 基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。
18
例3-1-1 作图示静定单跨梁的M图和FS图。
8kN
结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)
§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m
南华大学 结构力学 3静定梁和静定刚架 课件
进入进入进入进入进入进入主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。
分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。
§3-1 单跨静定梁的内力分析一、截面上内力符号的规定：轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和, 不规定正负号。
弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。
NNQ QMM二、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面1以左隔离体进行分析。
PPPP1.5aM Z1N Z1Q Z1P N x Z ==∑10P Q P Q y Z Z -=∴=+=∑110PaM a P M M Z Z 5.105.10111-=∴=⨯+=∑M U1N U12Pa计算右截面的内力,也可取截面1以左隔离体进行分析。
在这个隔离体上有集中力矩2Pa ，三个未知力为：P N x U ==∑10PQ P Q y UU -=∴=+=∑1100PaM a P Pa M M U U 5.005.120111=∴=⨯+-=∑P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面1 的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：aM 2N 2Q 2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a )PP1.5a(d )1.5a22PaP N 2M 2Q 2.,,222Pa M P Q P N -=-==PaPQ 3M 3现取截面2 左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面2 上的三个未知力：此时应取截面3 以上的隔离体进行分析比较简单。
.,,0333Pa M P Q N ===计算截面2 的内力也可取截面2 右边隔离体计算计算截面3 的内力三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）q (x )dxQ Q+dQMM+dM（1）微分关系q dxdQ-=Q dx dM=q dxMd -=22qd x（2）增量关系Q Q+∆Q MM+∆Md xPm PQ -=∆mM =∆（3）积分关系q (x )M AM B由d Q = –q·dx⎰⋅-=BAx x A B dxx q Q Q )(由d M = Q·dx⎰⋅+=BAx x A B dxx Q M M )(水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。
结构力学教学多媒体第三章 静定结构3-3静定刚架
E
取整体 ∑FX=0, 得 FBX=5kN(←)
5kN 杆AE：只受轴向外力，M≡0 AE：只受轴向外力，
20 20 75 45 0
40 30
杆CE：MCE=5×4=20kN m（外） =5×4=20kN·m CE： 杆BD：MB=0，MDB=5×6=30kN·m（外） ： ， × （ =20kN·m 杆CD：MCD=MCE=20kN m（外） ： =10+5× kN·m MDC=10+ ×6=40kN m（外） kN
两个杆端弯矩求出后， 两个杆端弯矩求出后，用简支梁 叠加法画出M 叠加法画出M图。
例3 作刚架的弯矩图。
Fa Fa 0 Fa
Fa Fa
Fa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的 顺序计算悬臂部分，M图直接绘制。
。
例4 三铰刚架：P58例3-5
M图绘制手法：少求或不求反力绘制弯矩图
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 基本技巧：
（c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
例1 作图示刚架的内力图
42kN↑ ←48kN 22kN↓
由∑X=0 可得： MCD= F FAx=48kN←， By=42kN↑ HA=6×8=48kN← （左） 由∑M144 可得： FAy=22kN↓ 48 A=0 MEB=MEC=42×3 ↑ ）逐杆绘M图 R=126kN·m（下） （2）逐杆绘 图 126 B= 192 M CD杆： DC=0 MCB=42×6-20×3 由∑Y=0 可得： MCD=48kN·m（左） =192kN·m（下） VA=42-20=22kN↓
（a）
FQ(FN)图：
可取刚架任何一部分为隔离体，检查 ∑Fx=0和∑Fy=0是否满足。
取整体 ∑FX=0, 得 FBX=5kN(←)
5kN 杆AE：只受轴向外力，M≡0 AE：只受轴向外力，
20 20 75 45 0
40 30
杆CE：MCE=5×4=20kN m（外） =5×4=20kN·m CE： 杆BD：MB=0，MDB=5×6=30kN·m（外） ： ， × （ =20kN·m 杆CD：MCD=MCE=20kN m（外） ： =10+5× kN·m MDC=10+ ×6=40kN m（外） kN
两个杆端弯矩求出后， 两个杆端弯矩求出后，用简支梁 叠加法画出M 叠加法画出M图。
例3 作刚架的弯矩图。
Fa Fa 0 Fa
Fa Fa
Fa
解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本”的 顺序计算悬臂部分，M图直接绘制。
。
例4 三铰刚架：P58例3-5
M图绘制手法：少求或不求反力绘制弯矩图
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 基本技巧：
（c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。
例1 作图示刚架的内力图
42kN↑ ←48kN 22kN↓
由∑X=0 可得： MCD= F FAx=48kN←， By=42kN↑ HA=6×8=48kN← （左） 由∑M144 可得： FAy=22kN↓ 48 A=0 MEB=MEC=42×3 ↑ ）逐杆绘M图 R=126kN·m（下） （2）逐杆绘 图 126 B= 192 M CD杆： DC=0 MCB=42×6-20×3 由∑Y=0 可得： MCD=48kN·m（左） =192kN·m（下） VA=42-20=22kN↓
（a）
FQ(FN)图：
可取刚架任何一部分为隔离体，检查 ∑Fx=0和∑Fy=0是否满足。
结构力学-静定梁和静定钢架-PPT
六．绘制内力图的步骤
1. 以梁的整体为隔离体求支座反力。 2.按荷载情况划分区段，用截面法取隔离体 求出各段交接点处的控制截面 内力。 3. 根据M、V与q的微分关系作梁各段内力图, 从而得出全梁内力图（恰当地利用叠加法）。 4. 根据内力图的特征及静力平衡条件 校核内力图。
例题3-1 试作图3-5a所示梁的剪力图和弯矩图 解： 1. 求 支座反力： 由∑X＝0 得 HA＝0 由∑ＭF＝0 得 VA＝29kN （向上） 由∑MA＝0 得 8VF+18+22-12×1-8×4×4-10×10＝0 VF＝25kN （向上） 校核：∑Y＝29+25-12-10-4×8＝0 计算结果无误。
注意： 1. 两个弯矩图的叠加不是图形的简单拼合，而是指 弯矩纵坐标值的叠加。 2. 叠加上去的弯矩纵坐标值，应从垂直于杆轴方向 并由（斜）基线量出，而不是垂直于（斜）基线。 3. 若外力不是均布荷载或外力不垂直于杆轴时，直杆 弯矩图叠加法仍有效(图3－4）。 4. 用叠加法做M图时不仅方便快捷，而且对以后利用 图乘法计算结构位移时也提供了计算的叠加方法。
qy
qx
V+dV N+dN M+dM
dx
dN qx dx dV q y dx dM V dx d 2M q y 2 d x
（1）在无荷区段qy＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜 直线。 （2）在qy＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物 线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住qy的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
三截面内力的计算方法及内力图的绘制方法 （一）截面内力的求解方法 1. 截面内力的基本方法－截面法
CH03-静定梁与静定刚架
MSR
----
0
-20
-20
18
18
26
26
18
18
6
-4
-16
----
4. 连线 ♦ 在内力图上标出各 分段点的内力值 ♦ 根据内外力微分关 系用直线或曲线连 接各分段点 ♦ 必要时增加一些控 制点
控制点
§３－２ 多跨静定梁
A
BC
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
H
E
F
多跨静定梁：由多根用铰相联的梁所组成的静定结构 由基本部分及附属部分组成
6
MB=ql2/12
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
G
B
C
D
E
F
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
解： 1. 求反力
2. 分段 3. 定点
F A 5k 8,NF B 1k 2N 共分６段 计算 C，A，D，E，F，G，B 处内力 当内力不连续时，需计算内力左右极限值
分段点
C A D E F G B
剪力
FSL
FSR
----
-20
-20
38
38
8
8
8
-12
-12
-12
-12
-12
----
弯矩
MSL
《结构力学》第三章 静定梁和静定刚架.
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
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也可以是特定荷载的几何可
变部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
荷载等效变换特性：当作用在静定结构的某一几何不变部 分上的荷载在该部分范围内做等效变换时，只该部分内力发生 变化，其它部分内力和反力保持不变。
FP
FP/2 FP/2
合力相同的各种荷载互称静力等效荷载，荷载等效变换是等 效荷载之间的变换。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
构造等效变换特性：保持连接方式不变，用一种几何不变 部分代替另一种几何不变部分，则其它部分内力和反力不变。
内力、反力 不变
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
作业 3-1、3-3、3-5、 3-9、3-11、3-13、
3-15、3-17、3-19、 3-22、3-23、3-24、
有极 值
有尖角 （尖角指 向同F指向）
有极 值
集中力偶 M作用处
无变化
有突变 （突变值
＝M）
铰处
无影 响
为零
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3-1-3 区段叠加法做弯矩图
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP
q
Pl
ql 2
4
8
机械系
M
M 2
M 2
第三章 静定梁与静定刚架
MA
FP
MA
FPl / 4 MA
对图示静定梁，欲使跨间的最大正弯矩与支 座B截面的负弯矩的绝对值相等，确定铰D
的位置。
q
A
l-x
D
x
B
C
l
l
q
A
D
q
D
B
C
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
q
A
l-x
D
x
B
C
l
l
AD
跨最大正弯距：
M AD
1 q l x 2
8
B 处最大负弯距：
M BD
q(l 2
x)
x
1 qx 2 2
机械系
Hale Waihona Puke 第三章 静定梁与静定刚架刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正） 注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分） 注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.1不经计算画图示结构弯矩图 F
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.2 试作图示结构弯矩图
FP
FP
FP
FPa FPa
FPa FPa 2FP
FPa FPa
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.3 试作图示结构弯矩图
Fa
Fa
F
a
Fa
Fa
2Fa a
a
a
a
2F
平行
机械系
计算简图 层次图
第三章 静定梁与静定刚架
2.构造特点
由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座 与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系 统中常用的一种结构形式。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3.组成顺序
能独立地维持其几何不变的部分---基本部分 需依附于基本部分才能维持其不变的部分---附属部分
机械系
做法：
MB
先在梁端绘弯矩竖标
过竖标顶点连直虚线
MB
以虚线为基础叠加相应
简支梁弯矩图
注意:合成内力图是
MB 竖标相加,不是图形 的简单拼合。
第三章 静定梁与静定刚架
几个力的和作用效果等于每个分力分别作用效果的和; 复杂的弯矩图是由几个简单的图形合成的。
练习：
M
q
M
M
l/2
l/2
ql2/8
ql2/8
基本部分
？ 附属部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
4.传力关系
组成顺序
基本部分
附属部分1
附属部分2 ¨ ¨ ¨ 传力顺序
5.计算原则
与传力顺序相同，先计算附属部分后计算基本部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
6.计算方法
把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属 部分；将附属部分的反力反向地加在基本部分上， 作为基本部分上的外载，再计算基本部分。最后把 各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内 力图。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
dM dx
FS ,
dFS q(x), dx
dFN p(x) dx
直梁内力图的形状特征
梁上 情况
剪力 图
弯距 图
无横向外 横向均布力q
力区段
作用区段
横向集中力F 作用处
水平线
斜直线
为零 处
有突变 （突变值
＝F）
如变 号
一般为斜 直线
抛物线 （凸出方 向同q指向）
• 内力的叠加与分解： 假设：材料满足线弹性、小变形。
• 内力与外力之关系：
微分关系
dFQ q( x) dx
dM dx
FQ
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3-1-2 结构力学与材料力学内力规定的异同 • 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表
明AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
6kN/m
4m
D
20 kN
48 C 144
B
4m
192
126
12
FAx=48 kN FB=42 kN
A
3m
3m
FAy=22 kN
FQ FN
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例二、试作图示三铰刚架的内力图
整体对A、B
取矩，部分
F2B0x
对C取矩。
FBx20
FAy
80
机械系
FBy
80
第三章 静定梁与静定刚架
• 确定弯矩最大点位 置及最大值
第三章 静定梁与静定刚架
作图示梁的弯矩图和剪力图 16
20 4
18 单位: kN. m
6
FA=58 kN ME
机械系
26 FQE
10
18 FB=12 kN
q
FQ 图
M( kFN )
FQF
第三章 静定梁与静定刚架
§3-2 多跨静定梁(multi-span beam) 1.多跨静定梁的组成
满足平衡条件的内力解答是唯 一的——静定结构的基本特性
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
2.导出性质
无内力状态：除荷载外，其它因素不引起内力。
t2ºC t1ºC
t1º> t2º
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
局部平衡特性：如结构某局部能平衡外力系，则其 它部分内力和反力为零
局部可以是几何不变部分，
BC 跨最大正弯距： M max
1 q l x 2
8
由以上三处的弯矩整理得： q(l x) x 1 qx2 1 ql x2
2
2
8
机械系 x 0.172l
M负max 0.086ql 2 M正max
第三章 静定梁与静定刚架
0 .086 ql 2
0 .086 0 .686 0 .125
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
刚架内力图的绘制
弯矩图 剪力图 轴力图
取杆件作隔离体 取结点作隔离体
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例1、试作图示刚架的内力图
4m
D
20 kN
48 C 144
B
6kN/m
4m
192
126
12
FAx=48 kN FB=42 kN
A
3m
3m
FAy=22 kN
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
结构力学
第三章 静定梁与静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁(single-span beam)
3-1-1 材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN
FQ FQ
M
M
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应内力；利用 平衡方程求解）
0 .125 ql 2
优点与简支梁相比伸臂部分产生的负弯矩减小了 梁内弯矩，使受力更均匀。
缺点是构造复杂，基本部分破坏会殃及附属部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-3 静定平面刚架(frame) 简单刚架的类型
简支型
悬臂型
三铰型
由简单刚架可组成复杂的
多层多跨的复合静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。
F 2F Fa /2
Fa Fa
88 8
Fa/2
2m a 2m
2
8 6
Fa a/2 a/2
4m
4m
反问题
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-5 静定结构的特性
1.静定结构解答的唯一性
掌握静定结构特性有利于了解结构性能，可正 确迅速地进行内力分析
练习
20kN
10kN