由麦克斯韦方程组推导费马原理

利用麦克斯韦方程组研究费马原理

麦克斯韦系统总结了前人的工作成果，加以发展得出了电磁场的基本理论：麦克斯韦方程组。MKSA 单位制下麦克斯韦方程组微分形式如下：

e

E ρε∇⋅=

(1.1)

B E t

∂∇⨯=-

∂ (1.2)

0B ∇⋅= (1.3)

00

00E

B j t

εμμ∂∇⨯=+∂ (1.4)

E 表示电场强度；B 表示磁感应强度；0j 表示传导电流；ε0表示真空介电常量；

μ0表示真空磁导率.

物质方程如下： 0D E εε= (1.5) 0B H μμ= (1.6) 0j E σ=

(1.7)

D 表示电位移矢量；H 表示磁场强度矢量；ε表示相对介电常量；μ表示相对磁导

率；σ表示电导率.

自由空间中，无自由电荷与传导电流，麦克斯韦方程组可写为：

【1】

0E ∇⋅=

(3.1)

H

E t

μμ∂∇⨯=-∂ (3.2)

0H ∇⋅= (3.3)

E H t

εε∂∇⨯=∂ (3.4)

()()

00H E H t t μμμμ⎛⎫∂∂

∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∇⨯ ⎪

∂∂⎝⎭

(3)

（4）

由（3.4）与矢量运算规则得

()

22

002E

E E t

εεμμ∂∇⨯∇⨯=-∇=-∂

（5）

2000E E εεμμ∇-=

（6）

此即波动方程，同理有

【2】

2000H H εεμμ∇-= (7)

此方程解的一般形式为：

()()0

,i t E r t E r e ω-= (8.1)

()()0,i t H r t H r e ω-=

(8.2)

0E 与0H 代表位置的复矢函数，右边表达式的实部理解为场.复矢量0E 与0H 满

足不含时间的麦克斯韦方程组，这组方程带入方程（3）得：

00000H ik E εε∇⨯+= (9.1) 00000E ik H μμ∇⨯-=

(9.2) ()

000E εε∇⋅= (9.3)

()

000H μμ∇⋅=

(9.4)

k 0=ω/c =2π/λ0代表真空角波数。

在距场源较远的空间中，场可以表述为更普遍的形式： ()()

00ik r E e r e

φ-= (10.1)

()()

00ik r H h r e

φ-=

(10.2)

ϕ（r ）表示光程，是位置的实函数，()e r 与()h r 是位置的矢函数。 将（10）带入（9）由矢量恒等式得：

00

1

h e h ik φεε∇⨯+=-

∇⨯ (11.1)

(8) (9)

00

1

e h e ik φμμ∇⨯-=-

∇⨯ (11.2)

00

1

(log )e e e ik φεε⋅∇=-

⋅∇+∇⋅ (11.3)

()

00

1

log h h h ik φμμ⋅∇=-

⋅∇+∇⋅ (11.4)

几何光学中，我们研究的是波长近于无限小的情况，即k 0近于无限大.此时（11）变为：

00h e φεε∇⨯+= (12.1)

00e h φμμ∇⨯-=

(12.2) 0e φ⋅∇= (12.3)

0h φ⋅∇=

(12.4)

解（12）得：

()()2

0010e e e φφφεεμμ⎡⎤⋅∇∇-∇+=⎣

⎦ (13) 式中第一项由（12）可知为零，()e r 不处处为零，方程化为：

()

2

2n φ∇=

（14）

此式称为程函方程.

光线定义为波阵面的法线.则定义单位矢量s 为光线的方向矢量：

s n φφ

φ

∇∇=

=∇ （15）

设s 为光线弧长，r （s ）为某一光线上点P 的位置矢量.则

dr

ns n

ds

φ==∇ （16）

0ns ∇⨯=

（17）

任取一曲面有

(11) (12)

()0ns ds ns dr ∇⨯=⋅=⎰⎰

（18）

费马原理又称最短光程原理.是说一条实际光线在任何两点间的光程比任何连接这两点的其他曲线都短，这些比较曲线在实际光线的正则邻域内.范围更广的来说应该说实际光程 总是一个稳定值.

我们取一光线锥，将P 1P 2间实际光线C 与任一其他曲线C ′比较.如图1所示：

图1

两个相近的波阵面分别与C 交于Q 1，Q 2；与C ′交于Q 1′，Q 2′.Q 2′′是曲线Q 2Q 2′

与过Q 1的光线C ′′的交点

对小三角形Q 1Q 2Q 2′′应用拉格朗日积分不变式，有

()()12

12

22

()0Q Q Q Q Q Q ns dr ns dr nds ''''⋅+⋅-=

（19） 显然

()()12

12

Q Q Q Q

ns dr nds ⋅≤

（20）

()12

0Q Q ns dr ''⋅=

（21）

12

1

2

()()Q Q Q Q nds nds ''''=

（22）

将（20）（21）（22）带入（19）得