【初一数学】同底数幂的除法 知识讲解

责编：赵炜

【学习目标】

1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．

2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】

要点一、同底数幂的除法法则

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）

要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂

任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）

要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂

任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1

n n

a a -=

（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.

m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；

()

m

m m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）

()

n

m mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.

要点诠释：()0n a a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等

于0的代数式.例如()1

122xy xy -=

（0xy ≠），()()

5

5

1a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式

（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，

1||10a ≤<

（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，

其中n 是正整数，1||10a ≤<.

用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】

类型一、同底数幂的除法

1、计算：

（1）8

3

x x ÷；（2）3

()a a -÷；（3）5

2

(2)(2)xy xy ÷；（4）53

1133⎛⎫⎛⎫

-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】

解：（1）83835x x x x -÷==． （2）3312()a a a a --÷=-=-．

（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．

（4）5353

2

1111133339

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．

【高清课堂399108 整式的除法 例1】

2、计算下列各题：

（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-

【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】

解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．

（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．

（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-． 【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．

【高清课堂 整式的除法 例2】

3、已知32m =，34n =，求129m n +-的值． 【答案与解析】 解： 12122222222

122224444

9(3)33333(3)39

9(3)33(3)(3)

m m m m m m m n

n n n n n n ++++-======g g g ． 当32m

=，34n

=时，原式224

239

464

⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n 的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：

【变式】（2015春•苏州）已知以m a =2，n a =4，k a =32．则32m n k a +-的值为 ． 【答案】解：3m a =32=8，2n a =24=16，

32m n k a +-=3m a •2n a ÷k a =8×16÷32=4，

故答案为：4．

类型二、负整数次幂的运算

4、计算：（1）2

23-⎛⎫

- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．

【答案与解析】

解：（1）2

2

2119434293-⎛⎫

-=== ⎪⎝⎭⎛⎫

- ⎪⎝⎭

； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ． 【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：

【变式】计算：4

513012222( 3.14)2π----⎛⎫

++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．

【答案】

解： 4

5

13012222( 3.14)2π----⎛⎫

++⨯⨯+- ⎪⎝⎭

4

5311111122116212223228=

++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n

⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则n m 的值＝________．

【答案与解析】 解： ∵ 3311

33273

m -=

==，∴ 3m =-． ∵ 122n

n -⎛⎫

= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．

∴ 44

11

(3)(3)81

n m -=-=

=-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n

n -⎛⎫

= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、

n 的值，最后代值求n m ．

举一反三：