全国高中物理竞赛训练题及答案

1、有一无限大的导体网络，它是由大小相同的正六边形网眼组成，如图（1.1），所有六边形每边的电阻都为R ，求结点a 、b 之间的电阻。

解析：像这类求导体网络的等效电阻的题目，我们不可能由电阻的串并联关系求出等效电阻，只能用电流的分步法，在ab 间引入一个电压ab U ，在网络中形成总电流I ，再找出ac I ，ab I 与I 的关系，最后由R U I =确定ab R 。

由网络的对称性可知，假设有电流I 从a 点流入网络，必有13I 电流由a 流向c ，在c 点又分为两支路电流，则cb 的电流为16I 。

另一方面，假设有I 电流有b 点流出网络，必有13I 电流由c 流向b ，a 和d 分别有16I流向c 。

将两种情况叠加，则有I 电流由a 流入，从b 流出，按电流的分步法，必有 362ac I I I I =+= 方向经导线ac 由a 流向c 362ab I I I I =+= 方向经导线cb 由c 流向b 所以a 、b 两点间的等效电阻为 a b a c c bab U I R I R R R I I+===2、证明图（2.1）中的Y 形电阻网络与图（2.2）中的∆形电阻网络的等效变化关系为：图（1.1） a bcd23 12I 3I 12R 31R 23R 1I图（2.2）1I 1R 2R 3R 3I 3 2I 21图（2.1）122331123122331231122331312R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 和 311211223311223212233123313122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⎧=⎪++⎪⎪=⎨++⎪⎪=⎪++⎩解析：所谓等效变换，就是指这两种网络联接方式之间，仍保持电路中其余各部分的电流和电压不变，即Y 形网络中三个端点的点位1U ，2U ，3U 及流过的电流1I 、2I 、3I 和∆形网络中的三个端相同，见图（2.1）和图（2.2）.如图（2.3），设流经电阻12R 、23R 、31R 的电流分别是12I 、23I 、31I ，对图（2.1）所示的Y 形网络有1122123311311230I R I R U I R I R U I I I -=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩ 由此可得 3211231122331122331R R I U U R R R R R R R R R R R R =-++++ 对图（2.2）所示的网络有12121231313111231U I RU I R I I I ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 311211231U U I R R =-所以有33121212311223311223311231R U R UU U R R R R R R R R R R R R R R -=-++++式中各对应项的系数相等 122331123R R R R R R R R ++=图（2.3）3I1I 2I12R31R23R 12I 23I31I122331312R R R R R R R R ++=同理 122331231R R R R R R R R ++=即证明了由Y 形网络变成∆形网络的等效变换关系式。

利用对应项的系数相等得出三条等式后进一步变换可证明由∆形网络变成Y 形网络等效变换关系式。

利用Y —∆变换，往往可以将复杂电路换成简单电路。

因此，要利用变换公式的对称性，记住这一变换公式。

3、用均匀电阻线作成的正方形网络如图（3.1）所示，由9个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为8r =Ω。

（1）在A 、B 两点间接入电池，其电动势 5.7V E =，内阻可忽略，求流过电池的电流；（2）若用导线连接C 、D 两点，求通过此导线的电流（略去导线的电阻）。

解析：（1）等效电路逐渐变化如图（3.2）所示，则易得 AB 40()7R =Ω， AB1(A)EI R == （2）若用导线连线C 、D 两点，则 968+20EI =而 96820I I '⨯=⨯ 得 0.267A I '=() 图（3.2）C⇒FA E DBI4 444 8 12 BA I 'AEDBA图（3.1）DBC4、电动势分别为E 1和E 2，内阻1r 和2r 的两个电池，用一个电动势为E 和内阻为r 的电池代替，分别如图（4.1）和（4.2）所示，流过R 的电流不变，并与R 无关。

问，E 和r 应随E 1、E 2、1r 、2r 怎样变化，如果开始不是两个而是n 个电动势分别为E 1、E 2、 、n E 和内阻为1r 、2r 、 、n r 的电池，那么E 和r 的公式应是怎样？解析：对图（4.1）所示的电路，设通过电池E 1、E 2的电流强度分别为I 1、I 2，则 111E I r IR =+ 222E I r IR =+ 12I I I =+ 由以上三式解出：12121212121E E E IR E IR r r I R R r r r r +--=+=++对图（4.2）所示电路有EI r R=+根据题给条件，两个I 应该相等，化简后得 121212121211()()()E E E E R r RE E r r r r r r +++=++要使两个多项式完全相等，只有对应项的系数相等，这就是说12121211()E E E r r r r +=+ 1212()E E r E r r += 由此得12121211E E r r E r r +=+ ，12111r r r =+1E 2r图（4.1）R1r 2E r 图（4.2）RE若换用n 个E 1、E 2、 、E n ，内阻分别为1r 、2r 、 、n r 的n 个电池并联时也可用一个电池代替，可用数学归纳法证明得12n 12n12n111E E E r r r E r r r +++=+++12n1111r r r r =+++5、实验室有一个破损的多量程磁电式直流电流计，有1mA 、10mA 和100mA 三档。

由一个单刀三掷开关转换，其内部电路如图（5.1）所示，电流计的表头已烧坏，无法知道其电特性，但三个精密分流电阻完好，且测得R 1=144Ω。

现有两个表头A 和B ,外形都与原表头相同。

表头A 的满刻度电流为0.2mA ，内阻为660Ω；表头B 的满刻度电流为0.5mA ，内阻为120Ω。

试问在保留分流电阻R 1、R 2和R 3的情况下，应该用哪个表头修复此电流计？如何修复？解析：原表头的满刻度电流g I g 和内阻g R 均未知，但其间的关系必须保证图（5.1）中三档量程分别为1mA 、10mA 和100mA ，利用这一条件可确定g I 与g R 之间的关系，两个现成的表头A 和B 中。

凡能保证表头电流g I 与g R 之间满足上述关系者，便可代替原表头修复此电流计。

原表头对1mA 档，可得下述关系式123g ggI R R R I I R ++=-对10mA 档和100mA 档，可分别得出23110g gg I R R I R R +=-+2312100ggg I R R I R R R +=-++式中原表头电流g I 的单位取为mA ，内阻g R 的单位取为Ω。

由以上三式消去2R 、3R ，G1R 2R 3R 1mA10mA100mA图11-36图（5.1）利用R 1=144Ω，得出g I 与g R 之间满足的关系式为(160)160g g I R += 表头A 的参数为g I =0.2mA ，g R =660Ω，因 (160)0.2(160660)164160g g I R +=⨯+=≠ 故表头A 不能在保持R 1、R 2和R 3不变的条件下使用。

表头B 的参数为g I =0.5mA ，g R =120Ω。

虽然 (160)0.5(120160)140g g I R +=⨯+=≠ 但若将g R 加上40Ω，是表头B 的内阻变为g R '=g R +40=160Ω，即可满足原表头的g I 与g R 之间的关系。

因此，答案是，表头B 可用来修复次此电流计，办法是将表头B 与一个40Ω的电阻串联后接入原表头的位置即可。

6、如图（6.1）所示，已知表头内阻g0R 满篇电流为g0I ，改装后电流表的三档量程分别为11g0I n I = ，22g0I n I =，33g0I n I =，求分流电阻R 1，R 2，R 3。

解析：这是一道多量程电流表电阻取值规律的讨论题 根据知识概要中的分析有 0g 1R R n =-并对1I 档有 0g 12311R R R R n ++=- （1）对2I 档有 0g 12321R R R R n ++=- （2）对3I 档有 0g 12331R R R R n ++=- （3）令 1231R R R R ++=并，23R R R +=并2，3R R =并3 则（1）~（3）可化为G1R 2R 3R∙1I3I2I图（6.1）0g 1R n R R =-并1并1 （4） 0g 2R n R R =-并2并2 （5） 0g 3R n R R =-并3并3 （6） 比较（4）~（6）可得1231i i n R n R n R n R ==== 并并2并3并 (7)(7)式表明：各量程的扩程倍数（ii gI n I =）与该量程的分流电阻之积为一常数。

所以 1111i i iR R R n I n I ==并并并 (8) (8)式的物理意义是：在闭路抽头式多量程电流表中，某量程是最小量程的多少倍，该量程的分流电阻就是总分流电阻的多少分之一。

由此不难求的R 1，R 2，R 3之值。

7、金属导体中的自由电子在外电场的作用下产生定向漂移运动。

（1）被电厂加速的电子收到的阻力与速度成正比，即f kv =，从整体上看，可以认为电子做匀速运动，是求出这个速度（设导体内场强为E ）（2）在截面积S 、长L 的铜线的两端加上电压，产生稳恒电流。

设每单位体积中自由电子数位n ，电子作匀速运动，受到的阻力与速度成正比，比例系数为k ，试求这根铜线的电阻。

（3）电流会产生热，这可作如下解释：电流流动要反抗阻力，为了保持自由电子的匀速漂移运动，需从外电场供给能量，这些能量变成了热。

设-62S=1.010m ⨯，293=1.010m n -⨯，171=3.01010g k s --⨯⋅，问这根铜线中每秒产生多少焦耳的热量？设电子漂移速度为41=0.8010m v s --⨯⋅.解析 (1）因为电子做匀速运动所以合外力为零，即eE Kv =所以 v e E k =（2）根据电流的微观表达式I envs =及（1）中答案v eE k =可得2e nSEI k=再考虑场强与电势差的关系E U L =，得 2kLR e nS=(3)整个铜线中的电子数为nSL ，每个电子克服阻力做功的功率为2fv kv v Kv =⋅=，因而每秒钟整个铜导线产生热量为2296217421.010 1.010 1.010 3.010(0.8010)1.92()Q nSLkv J ---==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 8、在FeCl 3溶液中有直流电流通过时，阴极板上铁的沉积速度为v （沉积速度等于每秒钟极板上沉积铁的厚度增加量），设阴极板面积为S ,试计算该通过多大的电流（已知铁的密度ρ，铁的化合价n ，铁的摩尔质量M ，法拉第常数F ）。