全国高中物理竞赛训练题及答案

1、有一无限大的导体网络，它是由大小相同的正六边形网眼组成，如图（1.1），所有六边形每边的电阻都为R ，求结点a 、b 之间的电阻。

解析：像这类求导体网络的等效电阻的题目，我们不可能由电阻的串并联关系求出等效电阻，只能用电流的分步法，在ab 间引入一个电压ab U ，在网络中形成总电流I ，再找出ac I ，ab I 与I 的关系，最后由R U I =确定ab R 。

由网络的对称性可知，假设有电流I 从a 点流入网络，必有

1

3I 电流由a 流向c ，在c 点又分为两支路电流，则cb 的电流为1

6

I 。 另一方面，假设有I 电流有b 点流出网络，必有13I 电流由c 流向b ，a 和d 分别有1

6I

流向c 。

将两种情况叠加，则有I 电流由a 流入，从b 流出，按电流的分步法，必有 362ac I I I I =

+= 方向经导线ac 由a 流向c 362

ab I I I I =

+= 方向经导线cb 由c 流向b 所以a 、b 两点间的等效电阻为 a b a c c b

ab U I R I R R R I I

+===

2、证明图（2.1）中的Y 形电阻网络与图（2.2）中的∆形电阻网络的等效变化关系为：

图（1.1） a b

c

d

2

3 1

2

I 3

I 12

R 31

R 23

R 1

I

图（2.2）

1

I 1

R 2

R 3R 3

I 3 2I 2

1

图（2.1）

12233112

3

12233123

1

12233131

2R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩ 和 3112

1

122331

12232

122331

23313

122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R ⎧=⎪++⎪⎪=⎨++⎪⎪=⎪++⎩

解析：所谓等效变换，就是指这两种网络联接方式之间，仍保持电路中其余各部分的电流和电压不变，即Y 形网络中三个端点的点位1U ，2U ，3U 及流过的电流1I 、2I 、3I 和∆形网络中的三个端相同，见图（2.1）和图（2.2）.

如图（2.3），设流经电阻12R 、23R 、31R 的电流分别是12I 、23I 、31I ，对图（2.1）所示的Y 形网络有

112212

331131123

0I R I R U I R I R U I I I -=⎧⎪

-=⎨⎪++=⎩ 由此可得 3

2

11231

1223

31

12

23

31

R R I U U R R R R R R R R R R R R =

-

++++ 对图（2.2）所示的网络有

121212

313131

11231U I R

U I R I I I ⎧=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪=-⎪⎩

解得 31

1211231

U U I R R =-

所以有

33121212311223311223311231

R U R U

U U R R R R R R R R R R R R R R -=-++++

式中各对应项的系数相等 122331

123

R R R R R R R R ++=

图（2.3）

3I

1I 2I

12

R

31R

23R 12I 23I

31I

122331

312R R R R R R R R ++=

同理 122331

231

R R R R R R R R ++=

即证明了由Y 形网络变成∆形网络的等效变换关系式。

利用对应项的系数相等得出三条等式后进一步变换可证明由∆形网络变成Y 形网络等效变换关系式。利用Y —∆变换，往往可以将复杂电路换成简单电路。因此，要利用变换公式的对称性，记住这一变换公式。

3、用均匀电阻线作成的正方形网络如图（3.1）所示，由9个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为8r =Ω。

（1）在A 、B 两点间接入电池，其电动势 5.7V E =，内阻可忽略，求流过电池的电流；

（2）若用导线连接C 、D 两点，求通过此导线的电流（略去导线的电阻）。

解析：（1）等效电路逐渐变化如图（3.2）所示，则易得 AB 40()7R =

Ω， AB

1(A)E

I R == （2）若用导线连线C 、D 两点，则 968+20

E

I =

而 96

820

I I '⨯

=⨯ 得 0.267

A I '=() 图（3.2）

C

⇒

F

A E D

B

I

4 4

4

4 8 12 B

A I '

A

E

D

B

A

图（3.1）

D

B

C