机械优化设计黄金分割法 外推法
大学期末考试机械优化设计复习题
一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法.6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法.10改变复合形形状的搜索方法主要有反射,扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数,它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况,常采用 目标函数等值面 的方法。
14。
数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 . 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提. 1. 优化设计问题的基本解法有 解析法 法和 数值法2. 无约束优化问题取得极值的充分必要条件是 一阶导数等于零 和 二阶导数大于零。
机械优化设计实验报告
一、实验目的本次实验旨在通过计算机编程，加深对机械优化设计方法的理解，掌握常用的优化算法，并能够利用计算机解决实际问题。
二、实验内容1. 黄金分割法（1）实验原理黄金分割法是一种常用的优化算法，适用于一元函数的极值求解。
其基本原理是：在给定初始区间内，通过迭代计算，逐步缩小搜索区间，直到满足收敛条件。
（2）实验步骤① 设计实验程序，实现黄金分割法的基本算法。
② 编写函数，用于计算一元函数的值。
③ 设置初始区间和收敛精度。
④ 迭代计算，更新搜索区间。
⑤ 判断是否满足收敛条件，若满足则输出结果，否则继续迭代。
（3）实验结果通过编程实现黄金分割法，求解函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[0, 10]内的极小值。
实验结果显示，该函数在区间[0, 10]内的极小值为1，且收敛精度达到0.001。
2. 牛顿法（1）实验原理牛顿法是一种求解非线性方程组的优化算法，其基本原理是：利用函数的导数信息，逐步逼近函数的极值点。
（2）实验步骤① 设计实验程序，实现牛顿法的基本算法。
② 编写函数，用于计算一元函数及其导数。
③ 设置初始值和收敛精度。
④ 迭代计算，更新函数的近似值。
⑤ 判断是否满足收敛条件，若满足则输出结果，否则继续迭代。
（3）实验结果通过编程实现牛顿法，求解函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[0, 10]内的极小值。
实验结果显示，该函数在区间[0, 10]内的极小值为1，且收敛精度达到0.001。
3. 拉格朗日乘数法（1）实验原理拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的优化算法，其基本原理是：在约束条件下，构造拉格朗日函数，并通过求解拉格朗日函数的驻点来求解优化问题。
（2）实验步骤① 设计实验程序，实现拉格朗日乘数法的基本算法。
② 编写函数，用于计算目标函数、约束函数及其导数。
③ 设置初始值和收敛精度。
④ 迭代计算，更新拉格朗日乘数和约束变量的近似值。
机械优化设计
机械优化设计黄金分割法黄金分割法在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，又称作0.618法。
黄金分割法适用于【a,b】区间上的任何单谷函数求极小值问题。
对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适用面相当广。
黄金分割法也是建立在区间消去原理基础上的试探方法，即在搜索区间【a,b】内适当地插入α1、α2，并计算其函数值。
α1、α2将区间分成3段。
应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。
然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
黄金分割法要求插入点α1、α2位置相对于区间【a,b】两端点具有对称性，即α1=b-λ（b-a)α2=a+λ(b-a)其中，λ假设保留区间【a, α2】,插入α3,使得aα3=λ（1-λ），aα1=λ2则 1-λ=λ2λ=0.618可见黄金分割法能使相邻两次搜索区间都具有相同的缩短率0.618，所以黄金分割法又称为0.618法。
黄金分割法的搜索过程:1、给出初始搜索区间【a,b】及收敛精度ε（ε=0.001），将λ赋予值0.618.2、按坐标点计算α1、α2的值，并计算相应的函数值f（α1），f（α2）.3、根据区间消去法原理缩短搜索区间。
为了能用原来的坐标计算公式，须进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值.4、检查区间是否缩到足够小何函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤2.5、如果条件满足，则取最后两实验点的平均值作为极小点的数值近似解.黄金分割法的程序框图如下：题目：给定函数f(a)=a2+2a，当给定搜索区间-3≤a≤5时，实用黄金分割法求极小值点a和相应的函数值。
C语言编程如下：#include<stdio.h>#include<math.h>#define K 0.618int main(){double f(double n);double a,b,a1,a2,y1,y2,c=0.001;int m=1;a=-3;b=5;a1=b-K*(b-a);a2=a+K*(b-a);y1=f(a1);y2=f(a2);do{if(y1>=y2){a=a1;a1=a2;y1=y2;a2=a+K*(b-a);y2=f(a2);}else{b=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-K*(b-a);y1=f(a1);}m++;}while(fabs((b-a)/b)>=c||fabs((y2-y1)/y2)>=c);a=(a+b)/2;printf("极小值点a=%8.5lf\n",a);printf("函数值y=%8.5lf\n",f(a));printf("迭代次数为%d\n",m);return 0；}double f(double n){double y;y=n*n+2*n;return y;}运行结果如下：。
优化设计理论-黄金分割法
rh = r*h; %取两点 c、d,并计算相应的函数值 fc 和 fd fa= feval(f,a);fb= feval(f,b); c = b-rh; d = a+rh; while (n>0) fc = feval(f,c);fd = feval(f,d); if (fc<fd) b=d; else a=c; end n=n-1;xx=[xx;a,b] End min_x=(xx(19)+xx(20))/2 min=feval(f,min_x) xx = 43.8197 43.8197 43.8197 44.7214 44.7214 44.7214 44.9342 44.9342 44.9342 44.9845 min_x = min = 50.0000 47.6393 46.1803 46.1803 45.6231 45.2786 45.2786 45.1471 45.0658 45.0658 45.0658 -0.5000 %%n=15 时，min_x=(xx(29)+xx(30))/2 h = b-a; rh = r*h; c = b-rh; d = a+rh; h = b-a; rh = r*h; c = b-rh; d = a+rh;
xx = 43.8197 43.8197 43.8197 44.7214 44.7214 44.7214 44.9342 44.9342 44.9342 44.9845 44.9845 44.9845 44.9963 44.9963 44.9963 min_x = min =
50.0000 47.6393 46.1803 46.1803 45.6231 45.2786 45.2786 45.1471 45.0658 45.0658 45.0347 45.0155 45.0155 45.0082 45.0037 45.0059 -0.5000
机械优化设计知识点
多元函数()F x 在x *处梯度()0F x *∇=是极值存在的必要条件。
在无约束优化问题中，根据设计变量的多少，优化求优的搜索过程分为一维搜索和多维搜索，一维搜索方法有：。
多维搜索方法有坐标轮换法 。
等。
设计空间中的一个点就是一种设计方案.0.618黄金分割法是一种等比缩短区间的直接搜索方法。
有两个设计变量,目标函数与设计变量之间的关系是二维空间中的一个曲面。
最速下降法搜索方向以负梯度方向又称梯度法。
无约束优化方法中，属于直接法有：应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高—低—高趋势。
梯度法和牛顿法可看作是变尺度法的一种特例。
随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
改变复合形形状的搜索方法有：工程优化设计问题的数学本质是求解多变量非线性函数的极限值。
求解无约束优化问题最有效的算法之一变尺度法。
在单峰搜索区间[a,b]内,任取两个试算点a 1，a 2,若两点的函数值F(a 1)> F(a 2),则缩小后的区间[a,b]。
海赛矩阵()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21120X H 其逆矩阵()()[]10-X H =？ 对于多元函数的无约束优化问题，判断其最优点可以根据目标函数的梯度判定。
小/中/大型优化问题的定义。
梯度方向是函数具有最大变化率的方向。
凸规划的任何局部极小解一定是全局最优解。
机械优化设计中根据设计要求事先给定的独立参数是设计常量。
等值线或等值面更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程。
若矩阵A的各阶顺序主子式均大于零，则该矩阵为正定矩阵.机械最优化设计问题多属于约束非线性优化问题。
机械优化设计外推法,黄金分割法,二次插值法
for(;a1>a3;) {t=a3; a3=a1; a1=t; t=y1; y3=y1;
if(f(x1)>f(x2)) *a=x1; else *b=x2; *n=*n+1; s=hj(a,b,e,n); } return s; } void main() { double s,a,b,e,m; int n=0; printf("输入 a，b 值和精度 e 值\n"); scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=hj(&a,&b,e,&n); m=(a+b)/2; printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,m=%lf,n=%d\n",a,b,s,m,n); }
} } while(sqrt(pow((x[2][1]-x[0][1]),2)+ pow((x[2][2]-x[0][2]),2))>=1e-6); xx[1]=x[2][1]; xx[2]=x[2][2]; fi=fun2(xx[1],xx[2]); printf("the best answer is : \nx1*= %f\nx2*=%f\nf*=%f\n",xx[1],xx[2],fi);
for(i=1;i<=2;i++) { if(i==1) {d[i][1]=1;
机械优化设计-黄金分割法
总结：
• 一维搜索第一步:找初始单谷区间； 1.进退法
第二步:使区间缩小。 2.黄金分割法
二、一维搜索方法分类
根据插入点位置的确定方法，可以把一维搜索法 分成两大类： ⑴试探法：即按照某种规律来确定区间内插入点 的位置，如黄金分割法，斐波那契法等。
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21 、34、55、89、144...... ⑵插值法（函数逼近法）：通过构造插值函数来 逼近原函数，用插值函数的极小点作为区间的插 入点，如二次插值法，三次插值法等。
y1=subs(f,a1); y2=subs(f,a2); if y1>y2 a=a1; a1=a2; y1=y2; a2=a+0.618*(b-a); disp(['判定： f1>=f2']); else b=a2; a2=a1; y2=y1; a1=a+0.382*(b-a); disp(['判定： f1<f2']); end
b=input('输入初始单谷区间右端点='); e=input('搜索精度（数值越小所求极小值精度越高） e='); k=0; format long; a1=a+0.382*(b-a); a2=a+0.618*(b-a); fprintf('第0次缩短区间\n'); fprintf('a1='); disp(a1); fprintf('a2='); disp(a2); while b-a>e
k=k+1; disp(['第',num2str(k),'次缩短区间']); fprintf('a1='); disp(a1); fprintf('a2='); disp(a2); end format long; xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin); fprintf('迭代次数k='); disp(k); disp('极小值为'); disp('fmin ='); disp(fmin); fprintf('极小点为'); t=a:e/100:b; T=subs(f,t); plot(t,T);
机械优化设计方法简介
机械优化设计方法简介一.引言“设计”作为人们综合运用科学技术原理和知识并有目的地创造产品的一项技术，已经发展为现代社会工业文明的重要支柱。
今天，设计水平已是一个国家的工业创新能力和市场竞争能力的重要标志。
许多的设计实践经验告诉我们，设计质量的高低，是决定产品的一系列技术和经济指标的重要因素。
因此，在产品生产技术的第一道工序—设计上，考虑越周全和越符合客观，则效果就会越好。
在产品设计中，追求设计结果的最优化，一直是我们工作努力的目标。
现代设计理论、方法和技术中的优化设计，为工程设计人员提供了一种易于实施且可使设计结果达到最优化的重要方法和技术，以便在解决一些复杂问题时，能从众多设计的方案中找出尽可能完善的或是最好的方案。
这对于提高产品性能、改进产品质量、提高设计效率，都是具有重要意义的。
二．优化设计的概念优化设计是将工程设计问题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理，从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目标自动寻找最优设计的一种设计方法。
机械优化设计最优化（Optimization)通常是指解决设计问题时，使其结果达到某种意义上的无可争议的完善化。
最优化“OPT”在科学和技术领域内如同使用最大“MAX”和最小“MIN”一样具有普遍性。
把机械设计和现代设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。
三．优化设计的一般实施步骤(1）根据设计要求和目的定义优化设计问题；(2）建立优化设计问题的数学模型；(3）选用合适的优化计算方法；(4）确定必要的数据和设计初始点；(5）编写包括数学模型和优化算法的计算机程序，通过计算机的求解计算获取最优结构参数；(6）对结果数据和设计方案进行合理性和适用性分析。
其中，最关键的是两个方面的工作：首先将优化设计问题抽象和表述为计算机可以接受与处理的优化设计数学模型，通常简称它为优化建模；然后选用优化计算方法及其程序在计算机上求出这个模型的的最优解，通常简称它为优化计算。
机械优化设计方法
f x0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20
lim
d
0
lim x1 0 x2 0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20 x2
x1
x1
f
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
8 B2 h2
人字架的总质量
1
mD, h 2 AL 2TD B2 h2 2
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
h2 ) 2
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
cos1
沿d方向的方向向量
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
黄金分割法机械优化设计
黄金分割法机械优化设计在现代工程设计领域，机械优化设计是一项非常重要的任务。
通过对机械系统进行分析和优化，可以提高其性能和效率，节约资源并延长使用寿命。
黄金分割法是一种常用的优化设计方法，它基于黄金分割比的原理，通过寻找最佳设计参数来改进机械系统的性能。
本文将介绍黄金分割法机械优化设计的原理、方法和应用。
一、黄金分割法的原理黄金分割法源自于数学中的黄金分割比，即0.618，也称为费波那契数。
它是指将一条线段分割为两部分，使较长部分与整体的长度之比等于较短部分与较长部分之比。
黄金分割法的原理是将这一比例应用于机械设计中，以找到最佳的设计参数。
二、黄金分割法机械优化设计的方法1. 确定优化目标：在机械优化设计中，首先需要明确具体的优化目标。
比如，改善机械系统的运行效率、减少能源消耗或提高产品质量等。
2. 确定设计参数：根据机械系统的特性和优化目标，确定需要进行优化的设计参数。
这些参数可以是机械结构的尺寸、材料的选择或运行参数等。
3. 建立优化模型：根据设计参数，建立机械系统的优化模型。
模型可以是数学模型、仿真模型或实验模型，根据具体情况选择。
4. 寻找最佳设计参数：利用黄金分割法进行参数优化。
通过分割设计参数范围，并根据黄金分割比的原理，逐步缩小搜索范围，最终找到最佳设计参数。
5. 评估和验证：对优化得到的设计参数进行评估和验证。
可以通过数值模拟、物理实验或现场测试等方法，验证优化结果是否满足设计要求。
三、黄金分割法机械优化设计的应用黄金分割法机械优化设计在各行业都有广泛的应用。
以下为几个常见的应用领域：1. 机械结构设计：对于机械结构的设计优化，黄金分割法可以帮助确定最佳的尺寸比例，提高结构的刚性和稳定性。
2. 流体力学设计：在流体力学设计中，黄金分割法可以通过优化设计参数，改善流体的流动性能，提高流体的传输效率和混合效果。
3. 电子电路设计：黄金分割法可以应用于电子电路设计中，通过优化电路元件的参数和布局来提高电路的性能和稳定性。
机械优化设计实例
机械优化设计作业一、优化设计问题的提出预制一无盖水槽，现有一块长为4m，宽为3m的长方形铁板作为原材料，想在这块铁板的四个角处剪去相等的正方形以制成无盖水槽，问如何剪法使水槽的底面积最大？二、建立问题的数学模型为了建成此无盖水槽，可设在这块铁板的四个角处剪去相等的正方形的边长为X,所建造水槽的底面积为S，分析问题有次问题变成在约束条件：X≥04-2X≥03-2X≥0限制下,求目标函数：S（X）=（4-2X）(3-2X)=4-14X+12的最大值。
由此可得此问题的数学模型为：Min S（X）=4约束条件：（ =-X ≤0 （ = -（4-2X ）≤0（ =-（3-2X ）≤0 算法为黄金分割法。
四、外推法确定最优解的搜索区间用外推法确定函数S （X ）=4 索区间。
设初始点 ， =S( )=12; = +h=0+1=1， =S( )=2;比较 和 ，因为 < h=2h=2x1=2， = +h=1+2=3, 比较 和 ，因为 > ,面，故搜索区间可定为[a,b]=[1，3]。
五、算法框图六、算法程序#include <math.h>#include <stdio.h>double obfunc(double x){double ff;ff=4*X*X-14*X+12;return(ff);}void jts(double x0,double h0,double s[],int n,double a[],double b[]) {int i;double x[3],h,f1,f2,f3;h=h0;for(i=0;i<n;i++)x[0]=x0;f1=obfunc(x[0]);for(i=0;i<n;i++) x[1]=x[0]+h*s[i];f2=obfunc(x[1]);if(f2>=f1){h=-h0;for(i=0;i<n;i++)x[2]=x[0];f3=f1;for(i=0;i<n;i++){x[0]=x[1];x[1]=x[2];}f1=f2;f2=f3;}for(;;){h=2.0*h;for(i=0;i<n;i++)x[2]=x[1]+h*s[i];f3=obfunc(x[2]);if(f2<f3)break;else{for(i=0;i<n;i++){x[0]=x[1];x[1]=x[2];}f1=f2;f2=f3;}}if(h<0)for(i=0;i<n;i++){a[i]=x[2];b[i]=x[0];}elsefor(i=0;i<n;i++){a[i]=x[0];b[i]=x[2];}printf("%4d",n);}double gold(double a[],double b[],double eps,int n,double xx) double f1,f2,ff,q,w;double x[3];for(i=0;i<n;i++){x[0]=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);x[1]=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);}f1=obfunc(x[0]); f2=obfunc(x[1]);do{if(f1>f2){for(i=0;i<n;i++){b[i]=x[0];x[0]=x[1];}f1=f2;for(i=0;i<n;i++)x[1]=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);f2=obfunc(x[1]);}else{for(i=0;i<n;i++){a[i]=x[1];x[1]=x[0];}f2=f1;for(i=0;i<n;i++)x[0]=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);f1=obfunc(x[0]);}q=0;for(i=0;i<n;i++)q=q+(b[i]-a[i])*(b[i]-a[i]);w=sqrt(q);}while(w>eps);for(i=0;i<n;i++)xx=0.5*(a[i]+b[i]);ff=obfunc(xx);printf("xx=ff=%5.2f,,,,%5.2f",xx,ff);return(ff);}void main(){int n=1;double a[1],b[1],xx;double s[]={1},x0=0;double eps1=0.001,h0=0.1;jts(x0,h0,s,n,a,b);gold(a,b,eps1,n,xx);七、程序运行结果与分析（1）程序运行结果（截屏）（2）结果分析、对与函数S（X）=（4-2X）(3-2X)=4-14X+12，令(X)=8X-14=0可解的X=1.75，说明程序运行结果正确。
机械优化设计-第02章 优化计算方法
第02章优化计算方法2.1黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解。
一、方法概述（一）区间缩小的基本思路已知的单峰区间。
为了缩小区间，在内按一定规则对称地取2个内部点和，并计算和。
可能有三种情况：图(a)经过一次函数比较，区间缩小一次。
在新的区间内，保留一个好点和，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与对称的点，计算，与比较。
如此反复。
图(b)淘汰，另，得新区间。
图(c)可归纳入上面任一种情况处理。
（二）取点规则黄金分割法的关键是如何不断找出区间内的2个对称点，保证极小点不会丢掉，且收敛快。
设初始区间长度为l，第一次区间缩短率为，则缩短后的区间长度为。
第二次区间缩短时，在区间中取点，经比较后又得新区间。
由对称性可知，区间的长度为，则本次区间缩短率为令这两次缩短率相等，即，得方程解方程，得合理的根为由此可知，黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。
根据上式，黄金分割法的取点规则是为了使最终区间收敛到给定收敛精度内，区间的缩短次数N必须满足：即二、收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。
对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）区间绝对精度；（2）区间相对精度；（3）函数值绝对精度；（4）函数值相对精度三、方法特点（一）黄金分割法特点（1）不必要求可微，只要利用函数值大小的比较，即可很快地找到；（2）除了第一次缩小区间要计算两个点及其函数值以外，其余每次只要计算一个点及其函数值；（3）可靠性好。
（二）应用举例实际一个圆柱螺旋压缩弹簧，不考虑共振，要求重量W最轻。
解：建模前，先列出弹簧的有关设计计算公式：式中-------弹簧的设计载荷；-------弹簧的总变形量；-------弹簧指数；K-------曲度系数；n-------工作有效圈数；n2-------不起作用圈数（总圈数与工作有效圈数之差）；-------材料密度。
机械优化设计实验报告浙江理工大学
机械优化设计实验报告班级：XXXX姓名：XX学号：XXXXXXXXXXX一、外推法1、实验原理常用的一维优化方法都是通过逐步缩小极值点所在的搜索区间来求最优解的。
一般情况下，我们并不知道一元函数f（X）极大值点所处的大概位置，所以也就不知道极值点所在的具体区域。
由于搜索区间范围的确定及大小直接影响着优化方法的收敛速度及计算精度。
因此，一维优化的第一步应首先确定一个初始搜索区间，并且在该区间内函数有唯一的极小值存在。
该区间越小越好，并且仅存在唯一极小值点。
所确定的单股区间应具有如下性质：如果在[α1，α3]区间内任取一点α2，,α1<α2<α3或α3<α2<α1，则必有f(α1)>f(α2)<f(α3)。
由此可知，单股区间有一个共同特点：函数值的变化规律呈现“大---小---大”或“高---低---高”的趋势，在极小值点的左侧，函数值呈严格下降趋势，在极小值点右侧，函数值呈严格上升趋势，这正是单股区间依据。
2、实验工具C-Free3.5软件3、程序调试#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x) 3*x*x-8*x+9 //定义函数int main(){double a0,a1,a2,a3,f1,f2,f3,h;printf(“a0=”,a0); //单谷区间起始点scanf(“%lf”,&a0);printf(“h=”,h); //起始的步长scanf(“%lf”,&h);a1=a0;a2=a1+h;f1=f(a0);f2=f(a2);if(f1>f2) //判断函数值的大小，确定下降方向{a3=a2+h;f3=f(a3);}else{h=-h;a3=a1;f3=f1;a1=a2;f1=f2;a2=a3;f2=f3;a3=a2+h;f3=f(a3);}while(f3<=f2) //当不满足上述比较时，说明下降方向反向，继续进行判断{h=2*h;a1=a2;f1=f2;a2=a3;f2=f3;a3=a2+h;f3=f(a3);}printf(“a1=%lf,a3=%lf\n”,a1,a3);printf(“[a1,a3]=[%lf,%lf]\n”,a1,a3); //输出区间}4、调试结果5、总结与讨论1）当写成void main时会出现如下警告改成int main警告消失。
黄金分割法机械优化设计
机械优化设计黄金分割法班级：学硕一班学号：姓名：黄金分割法黄金分割法也成为0.618法，是一种应用广泛的一维搜索方法。
该方法对函数)(αf 无特殊要求，函数甚至可以是不连续的。
黄金分割法是利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，使搜索区间不断缩小，从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法。
一、基本思想在搜索区间[a,b]内必须按下述规则对称地取1α和2α两点，使)(1a b b --=λα，)(2a b a -+=λα，这两点把区间分为三段，计算插入点的函数值，如图1-1所示。
根据单峰函数的性质，通过比较函数值大小，删去其中一段，使搜索区间缩小。
在新的区间继续上面的过程，使搜索区间不断缩小，当搜索区间无限缩小时，便可得到函数在极小点附近的近似解。
在第一次缩小区间后，新区间只需要再插入一点即可形成区间新三段。
按比例λ缩小，新区间三段与原区间三段具有相同的比例分布，每次缩小所得新区间长度与原区间长度之比成为区间收缩率λ。
图1-1设初始区间长度为L ，为了保证区间收缩率不变，第一次收缩后的长度为L λ，第二次收缩后的长度为)1(λ-L ，而第二次的收缩率应该相等。
)1()1(2λλλλλ-=→-=L L L解次方程并舍去负根，就可得到618.0215=-=λ。
所以，1α和2α两点的取法为：)(618.01a b b --=α，)(618.02a b a -+=α。
所以，对于黄金分割法，适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。
二、黄金分割法的搜索过程1）给出初始搜索区间及收敛精度，将λ赋以0.6182）按坐标点计算公式计算)()(618.0111ααf f a b b =--=，，)()(618.0222ααf f a b a =-+=，；并计算其对应的函数值。
3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。
为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
如果21f f <，则新区间＝],[2αa令12122f f b ===，，ααα，记N0=0；如果21f f >，则新区间＝],[1b α令21212f f a ===，，ααα，记N0=1；如图2-1所示。
精品机械优化设计 -黄金分割比-
《机械优化设计》课程实践报告设计题目：0.618法（黄金分割比）班级：12级机械二班学号：姓名：授课老师：日期：2015.6.21一：问题描述1.1：特点λ＝0.618的证明、一维搜索程序1.2：用途和使用条件黄金分割律:古希腊哲学家毕达哥拉斯，有一次路过铁匠作坊，被叮叮当当的打铁声迷住了。
这清脆悦耳的声音中隐藏着什么秘密呢?他走进作坊，测量了铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着十分和谐的比例关系。
回到家里，他又取出一根线，分为两段，反复比较，最后认定1∶0.618的比例最为优美。
德国美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比。
如果物体、图形的各部分的关系都符合这种分割律，它就具有严格的比例性，能使人产生最悦目的印象。
而人们曾通过检测人体，证明美的身体恰恰符合黄金分割律。
根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。
甚至连火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。
对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
二：分析黄金分割法要求插入点α1、α2的位置相对于区间{a,b}两端点具有对称性，α1=b−λ（b−a ）α2=a+λ（b−a）黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。
设原区间(a,b)长度为1，保留下来的区间（a, α2）长度为λ，区间缩短率为λ。
为了保持相同的比例分布，新插入点α3应在λ（1-λ）位置上，α1在原区间的1-λ位置应相当于在保留区间的λ2位置。
故有1-λ=λ2即λ2+λ-1=0三：数学建模3.1：设计变量的确定给定搜索区间：（-3,5）3.2：目标函数的确定目标函数：x 2x x f 2*+=）（ 3.3：约束条件的的建立无四：优化方法 编程及结果分析4.1：优化方法基于一维搜索的试探方法思想，运用黄金分割法编写C 语言程序，得到极小点的数值近似解4.2：方法原理黄金分割法适用于【a ，b 】区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外做其他要求，甚至可以不连续。
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郑州大学机械优化设计部分程序1.外推法2.黄金分割法3.二次插值法4.坐标轮换法5.随机方向法6.四杆机构优化设计1.外推法源程序：#include<stdio.h> #include<math.h> #define R 0.01 double fun(double x){ double m;m=x*x-10*x+36;return m;}void main(){double h0=R,y1,y2,y3,x1,x2,x3,h;x1=0;h=h0;x2=h;y1=fun(x1);y2=fun(x2);if(y2>y1){h=-h;x3=x1;y3=y1;x1=x2;y1=y2;x2=x3;y2=y3;}x3=x2+h;y3=fun(x3);while(y3<y2){h*=2.0;x1=x2;y1=y2;x2=x3;y2=y3;x3=x2+h;y3=fun(x3);}printf("fun(%f)=%f,fun(%f)=%f,fun(%f)= %f\n",x1,y1,x2,y2,x3,y3);}运行过程及结果：fun(2.560000)=16.953600,fun(5.120000)=11.014400,fun(10.240000)=38.4576002.黄金分割法源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x) x*x*x*x-5*x*x*x+4*x*x-6*x+60 double hj(double *a,double *b,double e,int *n) {double x1,x2,s;if(fabs((*b-*a)/(*b))<=e)s=f((*b+*a)/2);else{x1=*b-0.618*(*b-*a);x2=*a+0.618*(*b-*a);if(f(x1)>f(x2))*a=x1;else*b=x2;*n=*n+1;s=hj(a,b,e,n);}return s;}void main(){double s,a,b,e,m;int n=0;printf("输入a，b值和精度e值\n");scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e);s=hj(&a,&b,e,&n);m=(a+b)/2;printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,m=%lf,n=%d\n",a,b ,s,m,n);}运行过程及结果：输入a，b值和精度e值-350.0001a=3.279466,b=3.279793,s=22.659008,m=3.279 629,n=213.二次插值法源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>int main(void){double a1,a2,a3,ap,y1,y2,y3,yp,c1,c2,m; double j[3];int i,h=1;void finding(double a[3]);finding(j);a1=j[0];a2=j[1];a3=j[2];m=0.001;double f(double x);y1=f(a1);y2=f(a2);y3=f(a3);for(i=1;1>=1;i++){c1=(y3-y1)/(a3-a1);c2=((y2-y1)/(a2-a1)-c1)/(a2-a3);ap=0.5*(a1+a3-c1/c2);yp=f(ap);if(fabs((y2-yp)/y2)<m)break;else if((ap-a2)*h>0){if(y2>=yp){a1=a2;y1=y2;a2=ap;y2=yp;}else{a3=ap;y3=yp;}}else if(y2>=yp){a3=a2;y3=y2;a2=ap;y2=yp;}else{a1=ap;y1=yp;}}double x,y;if(y2<=yp){x=a2;y=y2;}else{x=ap;y=yp;}printf("a*=%f\n",x);printf("y*=%f\n",y);return 0;} double f(double x){double y;y=x*x-10*x+36;return y;}void finding(double a[3]) {int h,i;double y[3];a[0]=0;h=1;a[1]=h;y[0]=f(a[0]);y[1]=f(a[1]); if(y[1]>y[0]){h=-h;a[2]=a[0];y[2]=y[0];do{a[0]=a[1];a[1]=a[2];y[0]=y[1];y[1]=y[2];a[2]=a[1]+h;y[2]=f(a[2]);h=2*h;}while(y[2]<y[1]);}else{for(i=1;i>=1;i++){a[2]=a[1]+h;y[2]=f(a[2]);if(y[2]>=y[1])break;h=2*h;a[0]=a[1];y[0]=y[1];a[1]=a[2];y[1]=y[2];}}return;}运行过程及结果：a*=5.000000y*=11.0000004.坐标轮换法源程序：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <conio.h>float fun1(float x,float a,float b){float y;y=x+a*b;return y;}float fun2(float x,float y){float z;z=4*(x-5)*(x-5)+(y-6)*(y-6);return z;}main(){float d[100][3],x[100][3],xx[3],ax[100][3]; float a1,a2,a3,h,t,y1,y2,y3,e,a,b,l,fi;int i,k;printf("输入初始点坐标\n");scanf("%f%f",&x[0][1],&x[0][2]);e=0.000001;l=0.618;x[2][1]=x[0][1];x[2][2]=x[0][2];k=0;k--;do{x[0][1]=x[2][1];x[0][2]=x[2][2];k++;for(i=1;i<=2;i++){if(i==1){d[i][1]=1;d[i][2]=0;}else{d[i][1]=0;d[i][2]=1;}h=0.1;a1=0;a2=h;x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a1);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a1);y1=fun2(x[i][1],x[i][2]);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a2); x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a2); y2=fun2(x[i][1],x[i][2]);if(y2>y1){h=-h;a3=a1;y3=y1;a1=a2;a2=a3;y1=y2;y2=y3;}a3=a2+h;x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a3); x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a3); y3=fun2(x[i][1],x[i][2]);do{a1=a2;y1=y2;a2=a3;y2=y3;a3=a2+h;x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a3); x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a3); y3=fun2(x[i][1],x[i][2]);}while(y3<y2);for(;a1>a3;){t=a3;a3=a1;a1=t;t=y1;y3=y1;y1=t;}a=a1;b=a3;a1=b-l*(b-a);a2=a+l*(b-a);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a1); x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a1); y1=fun2(x[i][1],x[i][2]);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a2); x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a2); y2=fun2(x[i][1],x[i][2]);if(b<1e-3){for(;fabs(b-a)>e;){if(y1>=y2){a=a1;a1=a2;y1=y2;a2=a+l*(b-a);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a2);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a2);y2=fun2(x[i][1],x[i][2]);}else{b=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-l*(b-a);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a1);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a1);y1=fun2(x[i][1],x[i][2]);}}}else{for(;fabs((b-a)/b)>=e||fabs((y2-y1)/y2)>=e; ){if(y1>=y2){a=a1;a1=a2;y1=y2;a2=a+l*(b-a);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a2);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a2);y2=fun2(x[i][1],x[i][2]);}else{b=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-l*(b-a);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],a1);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],a1);y1=fun2(x[i][1],x[i][2]);}}}ax[k][i]=0.5*(a+b);x[i][1]=fun1(x[i-1][1],d[i][1],ax[k][i]);x[i][2]=fun1(x[i-1][2],d[i][2],ax[k][i]);}}while(sqrt(pow((x[2][1]-x[0][1]),2)+pow((x[2][ 2]-x[0][2]),2))>=1e-6);xx[1]=x[2][1];xx[2]=x[2][2];fi=fun2(xx[1],xx[2]);printf("最优解为\nx1*=%f\nx2*=%f\nf*=%f\nk=%d\n",xx[1],xx[2],fi,k);}运行过程及结果：输入初始点坐标89最优解为x1*=5.000000x2*=6.000000f*=0.000000k=25.随机方向法源程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>float f(float x,float y){float z;z=(x-2)*(x-2)+(y-1)*(y-1);return z;}float g1(float x,float y){float z;z=x*x-y;return z;}float g2(float x,float y){float z;z=x+y-2;return z;}void main(){int i,j;floatk=8,c=0.000001,a0=-3,b0=3,a1=-3,b1=3;floatx[10],x0[10],xl[10],e[10],r[10],d[10],h,fl,f0,fx; while(g1(x0[0],x0[1])>0||g2(x0[0],x0[1])>0) {x0[0]=a0+(rand()/32767.00)*(b0-a0);x0[1]=a1+(rand()/32767.00)*(b1-a1);}fl=f(x0[0],x0[1]);f0=f(x0[0],x0[1]);while(1){h=0.01;j=1;r[0]=-1+(rand()/32767.00)*(1-(-1));r[1]=-1+(rand()/32767.00)*(1-(-1));e[0]=r[0]/sqrt(r[0]*r[0]+r[1]*r[1]);e[1]=r[1]/sqrt(r[0]*r[0]+r[1]*r[1]);x[0]=x0[0]+h*e[0];x[1]=x0[1]+h*e[1];if(g1(x[0],x[1])<=0&&g2(x[0],x[1])<=0){fx=f(x[0],x[1]);if(fx<fl){fl=fx;for(i=0;i<2;i++){d[i]=e[i];xl[i]=x[i];}}}while(j<=k){j++;r[0]=-1+(rand()/32767.00)*(1-(-1)); r[1]=-1+(rand()/32767.00)*(1-(-1));e[0]=r[0]/sqrt(r[0]*r[0]+r[1]*r[1]);e[1]=r[1]/sqrt(r[0]*r[0]+r[1]*r[1]);x[0]=x0[0]+h*e[0];x[1]=x0[1]+h*e[1];if(g1(x[0],x[1])<=0&&g2(x[0],x[1])<=0){fx=f(x[0],x[1]);if(fx<fl){fl=fx;for(i=0;i<2;i++){d[i]=e[i];xl[i]=x[i];}}}}x[0]=xl[0];x[1]=xl[1];while(1){h=1.3*h;x[0]=x[0]+h*d[0];x[1]=x[1]+h*d[1];if(g1(x[0],x[1])>0||g2(x[0],x[1])>0)break;fx=f(x[0],x[1]);if(fx<fl) fl=fx;else break;}do{x[0]=x[0]-h*d[0];x[1]=x[1]-h*d[1];h=0.7*h;if(h<c)break;x[0]=x[0]+h*d[0];x[1]=x[1]+h*d[1];if(g1(x[0],x[1])>0||g2(x[0],x[1])>0)continue;fx=f(x[0],x[1]);}while(fx>=fl);if(fabs((f0-fx)/f0)>=c){x0[0]=x[0];x0[1]=x[1];fl=fx;f0=fx;}elsebreak;}printf("输出最优解为\nx1*=%f,x2*=%f,y*=%f\n",x[0],x[1],fx);}运行过程及结果：输出最优解为x1*=0.995421,x2*=1.004521,y*=1.009200 6.四杆机构优化设计源程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define Pai 3.1415926int g(float l1,float l2){if((-l1<=0)&&(-l2<=0)&&(6-l1-l2<=0)&&(1-l2-4<=0)&&(l2-l1-4<=0)&&(l1*l1+l2*l2-1.414*l1*l2-16<=0)&&(36-l1*l1-l2*l2-1.414*l1*l2<=0))return (1);elsereturn (0);}float fun(float x0[2]){floatf,a[31],b[31],r[31],p[31],q[31],w[31],x1[2];int i;p[0]=acos(((1+x0[0])*(1+x0[0])-x0[1]*x0[ 1]+25)/(10+10*x0[0]));q[0]=acos(((1+x0[0])*(1+x0[0])-x0[1]*x0[ 1]-25)/(10*x0[1]));f=0;for(i=1;i<=30;i++){p[i]=p[0]+(Pai/60)*i;r[i]=sqrt(26-10*cos(p[i]));a[i]=acos((r[i]*r[i]+x0[1]*x0[1]-x0[0]*x0[ 0])/(2*r[i]*x0[1]));b[i]=acos((r[i]*r[i]+24)/(10*r[i]));q[i]=Pai-a[i]-b[i];w[i]=q[0]+(2*(p[i]-p[0])*(p[i]-p[0]))/(3*P ai);f=f+(Pai/60)*(q[i]-w[i])*(q[i]-w[i])*(p[i]-p [i-1]);}return f;}void main(){floata,q,f,fl,f0,l[2],z[2],d0[100],d1[100],x[2],xi[2],f x,m0,m1,e;int i,j,n,k;printf("输入精度");scanf("%f",&e);do{z[0]=0+5*(rand()/32767.00);z[1]=0+5*(rand()/32767.00);}while(g(z[0],z[1])==0);for(i=0;i<=99;i++){d0[i]=-1+2*(rand()/32767.00);}for(j=0;j<=99;j++){d1[j]=-1+2*(rand()/32767.00);}f0=fun(z);fl=fun(z);ss:a=0.01;for(i=0,j=0;i<=99&&j<=99;i++,j++){n=1/sqrt((d0[i])*(d0[i])+d1[j]*d1[j]);d0[i]=n*d0[i];d1[j]=n*d1[j];x[0]=z[0]+a*d0[i];x[1]=z[1]+a*d1[j];if(g(x[0],x[1])==1){f=fun(x);if(f<fl){fl=f;m0=d0[i];m1=d1[j];l[0]=x[0];l[1]=x[1];}}}x[0]=l[0];x[1]=l[1];do{a=1.3*a;x[0]=x[0]+a*m0;x[1]=x[1]+a*m1;if(g(z[0],z[1])==0)break;f=fun(x);if(f<fl)fl=f;else break;}while(g(z[0],z[1])==1);do{x[0]=x[0]-a*m0;x[1]=x[1]-a*m1;a=0.7*a;if(a<0.00001)break;x[0]=x[0]+a*m0;x[1]=x[1]+a*m1;if(g(z[0],z[1])==1)f=fun(x);}while(f>=fl);if(fabs((f0-f)/f0)<e){xi[0]=x[0];xi[1]=x[1];fx=f;printf("最优解为\nx1*=%f\nx2*=%f\n fx=%f\n",xi[0],xi[1],fx);}else{f0=f;fl=f;z[0]=x[0];z[1]=x[1];goto ss;}}运行过程及结果：输入精度0.001最优解为x1*=4.161386x2*=2.311257fx=0.000021。