极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）

例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。

证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f

()()()12+=21f x f x f

()2

=+210f x x x '+>

()22

=2f x x

''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的

对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下

想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证

()()

1221212

212x x x x f x f x +≥⇔≥-≥⇔≥- ()()

()()

11114242f x f x f x f x ⇔-≥-⇔≥+-

()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则

()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

()()1

41102x x x ⎛⎫=--≥ ⎪ ⎪-⎝⎭

，

得()F x 在(]0,1上单增，有()()()1214F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（()00f x '=）

二次函数()()121202f x f x x x x =⇒+= 2、拐点偏移()()

00f x ''=

()()()12012022f x f x f x x x x +=⇒+=

极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）

例1（2010天津）

已知函数()e x

f x x -=．

（1）求函数()f x 的单调区间和极值；

（2）已知函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线1x =对称，证明：当1x >时，

()()12201

120

22f x f x x x x x x x =⇒>-⇒+>()()()120201120

222f x f x f x x x x x x x +=⇒>-⇒+>

()()f x g x >；

（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：

122x x +>．

点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：

例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数()e x

f x x -=，已知()()12f x f x =，12x x ≠，

证明122x x +>．

再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）1x ，2x 的范围()1201x x <<<； （2）不等式()()()21f x f x x >->；

（3）将2x 代入（2）中不等式，结合()f x 的单调性获证结论． 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．

例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数()()()2

2e 1x f x x a x =-+-有两个零点．

（1）求a 的取值范围；

（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 解：（1）()0,+∞，过程略； （2）由（1）知()f x 在(),1-∞上

，在()1,+∞上

，由()()120f x f x ==，可设

121x x <<．

构造辅助函数()()()2F x f x f x =--

()()()

()()()()()()

2221e 21e 21e e x x x x F x f x f x x a x a x --'''=+-=-++-+=-- 当1x <时，10x -<，

2e e 0x

x

--<，则()0F x '>，得()F x 在(),1-∞上，又()10F =，

故()()01F x x <<，即()()()21f x f x x <-<．

将1x 代入上述不等式中得()()()1212f x f x f x =<-，又21x >，121x ->，()f x 在

()1,+∞上

，故112x x <-，122x x +<．

通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解． 但极值点偏移问题的结论不一定总是()1202x x x +><，也可以是()2

120x x x ><，借鉴前面

的解题经验，我们就可给出类似的过程．

例3 已知函数()ln f x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221

e

x x <

． 证明：（i ）()ln 1f x x '=+，得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

上

，在1

,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

上

；当01x <<时，

()0f x <；()10f =；当1x >时，()0f x >；当0x +→时，()0f x →（洛必达法则）

；

当x →+∞时，()f x →+∞，于是()f x 的图像如下，得121

01e

x x <<

<<． 小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：

step1：求导，获得()f x 的单调性，极值情况，作出()f x 的图像，由()()12f x f x =得1x ，

2x 的取值范围（数形结合）；

step2：构造辅助函数（对结论()1202x x x +><，构造()()()02F x f x f x x =--；对结论()2

120x x x

><，构造

()()20x F x f x f x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

），求导，限定范围（1x 或2x 的范围），判定

符号，获得不等式；

step3：代入1x （或2x ），利用()()12f x f x =及()f x 的单调性证明最终结论．