建筑工程测量-测量误差的基本知识
工程测量 测量误差的基本知识汇总
6
二、偶然误差的规律性
在相同的观测条件下，
独立的观测 358个三角形的全部内角，每个三角形 内角之和应等于180度，但由于误差的 影响往往不等于180度，计算各内角和 的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒 进行统计。
真误差 =观测值—真值
i Li 1800
7
误差分布表
误差 区间
工程测量
第五章 测量误差的基本知识
1
5.1
测量误差的概念
一、误差的来源与分类
什么是误差 误差产生的原因 误差的性质和分类 误差的消除
2
1、测量误差的定义
真值：观测量客观上存在的一个能代表 其真正大小的数值，一般用X表示。 观测值：对该量观测所得的值，一般用 Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用i= Li -X表示。
(K/n)/d△
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495
(K/n)/d△
1.20~1.40
1.40~1.60 >1.60
0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
xn
相互独立
K n xn
2 2 Kn mn
2 2 mZ K12 m12 K 2 m2
19
非线性函数的误差传播定律：
Z f ( x1 , x2 xn ) f f f dZ dx1 dx2 dxn x1 x2 xn f f f Z x1 x2 xn x1 x2 xn f 2 2 f 2 2 f 2 2 m ( ) m1 ( ) m2 ( ) mn x1 x2 xn
测量误差的基本知识
量误差理论主要研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值
进行数学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为最或然 值(或称最或是值)。 对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具 有一定的统计规律。下面举一实例加以说明：
《土建工程测量》
【例1】 在相同的观测条件下，观测365个三角形的三 个内角，由于存在偶然误差，使得每个三角形内角之
第6章 测量误差的基本知识
6.1 6.2 6.3 6.4 测量误差概述 衡量观测值精度的标准 误差传播定律 等精度观测值的平差
《土建工程测量》
6.1 测量误差概述
何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。
该差数称为真误差。即
i Li X
式中△i为真误差；Li为观测值；X表示真值。
为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中 进行多于必要的观测，称为多余观测。
例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测 称多余观测；一个三角形观测3个角度，观测其中2个角为必要 观测，观测第3个角度称多余观测。
有了多余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值 （不符值、闭合差），因此可以根据差值大小评是测量的精度
试问哪一组观测值精度高？ 试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：
θ甲
| | 30 20 40 20 0 40 30 20 30 10 24
n 10
θ乙
| | 10 10 60 20 20 30 50 0 30 10 24
△容=2m 或
△容=3m
《土建工程测量》
6.3 误差传播定律
在实际测量工作中，某些量的大小往往不 是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其 它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得 的。 例如： h=a-b 线性函数 非线性函数
工程测量-第5章误差基础知识
5.2.1、中误差 、
设对某一未知量进行了n次等精度观 设对某一未知量进行了 次等精度观 未知量的真值 真值为 ，其观测值为l 测，未知量的真值为X，其观测值为 1、 l2、……、ln，相应的真误差为： 相应的真误差 真误差为 、
郑州大学土木工程学院 宋建学
∆ 1 = l1 − X
∆ n = ln − X … …
K=
D往 − D返 D平均
从实质上看，上式的计算结果是“较差率” 而非“ 从实质上看，上式的计算结果是“较差率”，而非“相 对误差” 但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 对误差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。 特别需要指出的是， 特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度 不能用相对误差来评定测角精度。 小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。
郑州大学土木工程学院 宋建学
2
5.1 测量误差分类
测量误差（ 仪器不可能绝 测量误差（error）的产生，主要是由于仪器不可能绝 ）的产生，主要是由于仪器 的鉴别能力有限， 对准确，观测者的鉴别能力有限 观测是在一定的外界条 对准确，观测者的鉴别能力有限，观测是在一定的外界条 如风力，温度、气压、照度等) 进行的。通常把仪器 仪器、 件(如风力 ，温度、 气压、照度等)下进行的。通常把仪器、 观测者和外界条件三个方面综合起来 称为观测条件 三个方面综合起来， 观测条件。 观测者和外界条件三个方面综合起来， 称为观测条件。 观 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等 测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同， 称为 等 精度观测（ 精度观测 （ equal observations） ， 观测条件不同的各次观 ） 测称为非等精度观测 非等精度观测。 测称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误 例如， 在观测结果中，有时还会出现错误。例如，读数错误 错误。 或记录错误等，统称为粗差 粗差。 或记录错误等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许 出现的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外， 出现的。 为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取 检核措施 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量， 必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量，对角度 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 进行多测回观测等，这是测量的基本原则。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。 系统误差和偶然误差。 观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
工程测量 测量误差基本知识
工程测量测量误差基本知识
工程测量是一个非常重要的领域。
它涉及到各种测量任务，从建筑物的测量到土地测
量和水文测量。
在工程测量过程中，误差是一个不可避免的因素。
无论是由于仪器的限制、外部因素的影响还是由于人为因素的因素，错误都会存在。
因此，了解测量误差的基本知
识对于实现准确结果至关重要。
什么是测量误差？
测量误差是指在特定条件下进行的测量操作中的结果与实际值之间的偏差。
在工程测
量中，误差存在于两个因素之间：规律性误差和非规律性误差。
规律性误差是由于特定的
测量系统或方法的不确定性而引起的误差。
非规律性误差是由于外部因素如气象条件、测
量员的技能等因素引起的误差。
测量误差的类型
在工程测量中，测量误差可以被划分为几类：
1.仪器误差：这是由于仪器的不完美设计或磨损等因素而引起的误差。
2.人为误差：这种误差源于人为因素，例如在读数、操作仪器或处理数据时的不规范
操作。
3.外部误差：这种误差是由于环境因素，例如天气、土地条件等，造成的误差。
为了测量误差，需要使用误差分析来度量。
误差分析是一种量化工具，它提供了一些
技术来分析总误差，并确定每一组因素对误差的贡献。
经过误差分析后，可以采取适当的
纠正措施，减少或消除误差并使测量结果更准确。
误差的类型和度量对于实现准确的测量结果至关重要。
了解这些基础知识，可以帮助
工程师和测量员更好地理解测量数据并采取适当的纠正措施。
在测量误差的前提下，我们
可以实现更准确地测量结果，从而更好地满足各种应用场景的需求。
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识
1.测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为系统误差、偶然误差和粗差三类。
系统误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。
粗差：由于观察者的粗心或受某种干扰造成的特别大的测量误差称为粗差。
2.偶然误差的特性如下：
在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的数值；
绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值较大的误差出现的频率较小；
绝对值相等的正负误差出现的频率大致相等；
当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即偶然误差具有抵偿性，公式见p121(5-1-2)
3.按有限次数观测的偶然误差求得的标准差称为中误差（m）。
在统计学上，对于某一量（称为母体）的有限次的观测值，称为子样，因此中误差又称子样标准差，在有关计量的规范中称为不确定度。
4.用观测值的中误差与观测值之比的形式描述距离测量的精度（面积测量也应如此），称为相对中误差（用分子为1的分式表示）
5.以两倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，或称为限差。
6.在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次观测，其观测值分别为L1，L2，L3，L4，~~~Ln。
将这些观测值取算数平均值，作为该量的最可靠的数值，所以也称为最或然值。
7.P130误差传播定律
8.P139加权平均值及其中误差表格。
005-测量误差的基本知识
y
CH.5
6
1．系统误差
定义：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观
测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化， 这种误差称为～ 。
产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习
惯的影响；外界环境的影响。
系差的特点： 具有累积性。
系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，
偶差的特点：随机性。就单个偶差而言无法预知，但正因
其随机性而具有其内在的统计规律性。
x 将每次观测结果视作一次字样抽取，所含有的这种偶差视作 一随机变量，则可以证明，它是服从于正态分布的随机变量。 即Δ~(0，σ2)
y
CH.5
9
3. 粗差 定义：亦即错误（有时也称之为粗差）。 产生的原因：较多
❖ 例:对A边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对 A边丈量了三次 为56.882, 56.883, 56.883，可以看出：
前者离散度大,精度低;后者离散度小，精度高。但为 了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。
x
评定精度的指标: 中误差、相对误差、极限误差和容许误差
焦误差对 h 产生的影响。
②测角中盘左盘右取均值：消减经纬仪的CC不垂直于HH；
HH不垂直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
③水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。 （2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例 光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
x（3）仔细检校仪器。
（1）系统误差
测
量
成 （2）偶然误差 果
中
x
（3）粗 差
规定测量程序；结果中加以改正 无法预知，不可避免 须发现并剔除
工程测量第五篇(测量误差的基本知识)课件
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
2023 WORK SUMMARY
工程测量第五篇(测量 误差的基本知识)课件
REPORTING
CATALOGUE
• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
建筑工程测量测量误差的基本知识
第五节测量误差基础知识一、测量误差概述1．测量误差产生的原因测量时,由于各种因素会造成少许的误差,这些因素必须去了解,并有效的解决,方可使整个测量过程中误差减至最少;实践证明,产生测量误差的原因主要有以下三个方面;1人为因素;由于人为因素所造成的误差,包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性,主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面;2测量仪器的原因;由于测量仪器的因素所造成的误差,包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素;3环境因素;外界观测条件是指野外观测过程中,外界条件的因素,如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况,以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等;测量时受环境或场地之不同,可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着;热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下,因此必须在温湿度控制下,不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量;但为了缩短加工时在加工中需实时测量,因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿,以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差;在实际的测量工作中,大量实践表明,当对某一未知量进行多次观测时,不论测量仪器有多精密,观测进行得多么仔细,所得的观测值之间总是不尽相同;这种差异都是由于测量中存在误差的缘故;测量所获得的数值称为观测值;由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值简称为真值之间存在差异,这种差异称为测量误差或观测误差;用L代表观测值,X代表真值,则误差=观测值L—真值X,即∆ 5-1X=L-这种误差通常又称之为真误差;由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具,在一定的外界条件下进行的,所以,观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏;通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件;观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好,则测量误差小,测量的精度就高；反之,则测量误差大,精度就低；若观测条件相同,则可认为精度相同;在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测;由于在测量的结果中含有误差是不可避免的,因此,研究误差理论的目的不是为了去消灭误差,而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实际问题;例如：在一系列的观测值中,如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等;所有这些问题,运用测量误差理论均可得到解决;二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：一系统误差在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,若误差的大小和符号保持不变,或按照一定的规律变化,这种误差称为系统误差;例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差,与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差,随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变;这些误差都属于系统误差;系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响,例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响,如风力、温度及大气折光等的影响;系统误差的特点是具有累积性,对测量结果影响较大,因此,应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响;方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响;例如在水准测量中,保持前视和后视距离相等,来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时,采取盘左和盘右观测取其平均值,以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差;另一种是找出系统误差产生的原因和规律,对测量结果加以改正;例如在钢尺量距中,可对测量结果加尺长改正和温度改正,以消除钢尺长度的影响;二偶然误差在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从表面上看,误差的大小和符号均呈现偶然性,这种误差称为偶然误差;例如在水平角测量中照准目标时,可能稍偏左也可能稍偏右,偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时,可能偏大也可能偏小,其大小也不一样,这些都属于偶然误差;产生偶然误差的原因很多,主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制,如观测者的估读误差、照准误差等,以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成;偶然误差在测量过程中是不可避免的,从单个误差来看,其大小和符号没有一定的规律性,但对大量的偶然误差进行统计分析,就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律,这给偶然误差的处理提供了可能性;测量成果中除了系统误差和偶然误差以外,还可能出现错误有时也称之为粗差;错误产生的原因较多,可能由作业人员疏忽大意、失职而引起,如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的;错误对观测成果的影响极大,所以在测量成果中绝对不允许有错误存在;发现错误的方法是：进行必要的重复观测,通过多余观测条件,进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等;在测量的成果中,错误可以发现并剔除,系统误差能够加以改正,而偶然误差是不可避免的,它在测量成果中占主导地位,所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响;下面详细分析偶然误差的特性;三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性,所以它是一种随机误差;偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有一定的统计规律,是服从于正态分布的随机变量;在测量实践中,根据偶然误差的分布,我们可以明显地看出它的统计规律;例如在相同的观测条件下,观测了217个三角形的全部内角;已知三角形内角之和等于180°,这是三内角之和的理论值即真值X,实际观测所得的三内角之和即观测值L;由于各观测值中都含有偶然误差,因此各观测值不一定等于真值,其差即真误差Δ;以下分两种方法来分析：一表格法由5-1式计算可得217个内角和的真误差,按其大小和一定的区间本例为dΔ=3″,分别统计在各区间正负误差出现的个数k及其出现的频率k/nn=217,列于表5-1中;从表5-1中可以看出,该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″;实践证明,对大量测量误差进行统计分析,都可以得出上述同样的规律,且观测的个数越多,这种规律就越明显;表5-1 三角形内角和真误差统计表二直方图法为了更直观地表现误差的分布,可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示;以真误差的大小为横坐标,以各区间内误差出现的频率k /n 与区间d △的比值为纵坐标,在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形,则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率k /n ;如图5-1中有斜线的矩形面积,表示误差出现在+6″～+9″之间的频率,等于;显然,所有矩形面积的总和等于1;可以设想,如果在相同的条件下,所观测的三角形个数不断增加,则误差出现在各区间的频率就趋向于一个稳定值;当n →∞时,各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值——概率;若无限缩小误差区间,即d △→0,则图5-1各矩形的上部折线,就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线如图5-2所示,称为误差概率分布曲线,简称误差分布曲线,在数理统计中,它服从于正态分布,该曲线的方程式为式中：Δ为偶然误差；σ＞0为与观测条件有关的一个参数,称为误差分布的标准差,它的大小可以反映观测精度的高低;其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k /n ;由概率统计原理可知,频率即真误差出现在区间d △上的概率P Δ,记为22221)(σπσ∆-=∆ef 5-2[]nn ∆∆=∞→limσ5-3根据上述分析,可以总结出偶然误差具有如下四个特性：1 有限性：在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；3 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；4 抵偿性：当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于零;即[]0lim=∆∞→nn 5-5式中 []∑=∆=∆++∆+∆=∆n i i n 121在数理统计中,也称偶然误差的数学期望为零,用公式表示为E Δ=0; 图5-2中的误差分布曲线,是对应着某一观测条件的,当观测条件不同时,其相应误差分布曲线的形状也将随之改变;例如图5-3中,曲线I 、II 为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线,它们均属于正态分布,但从两曲线的形状中∆∆=∆∆=∆d f d d nk P )(/)(5-4可以看出两组观测的差异;当Δ=0时,πσ21)(11=∆f ,πσ21)(22=∆f ;πσ211、πσ212是这两误差分布曲线的峰值,其中曲线I 的峰值较曲线II 的高,即σ1＜σ2,故第I 组观测小误差出现的概率较第II 组的大;由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1,所以当小误差出现的概率较大时,大误差出现的概率必然要小;因此,曲线I 表现为较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高;而曲线II 相对来说较为平缓,即离散度较大,因而观测精度较低;第二节 评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一,是要评定测量成果的精度;在图5-3中,从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的,表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的,则表示该组观测精度较低;用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低,但这种方法即不方便也不实用;因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况,而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度,用它来评定观测成果的精度,就是说需要有评定精度的指标;在测量中评定精度的指标有下列几种：一、 中误差由上节可知5-3式定义的标准差是衡量精度的一种指标,但那是理论上的表达式;在测量实践中观测次数不可能无限多,因此实际应用中,以有限次观测个数n 计算出标准差的估值定义为中误差m ,作为衡量精度的一种标准,计算公式为nm ][ˆ∆∆±=±=σ5-6例5-1有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角,得三角形的闭合差即三角形内角和的真误差分别为：甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″； 乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″; 试分析两组的观测精度; 解用中误差公式5-6计算得：()()()()()3.46534156][0.26301213][222222222222''±=+-+-++-+±=∆∆±=''±=-++-+-++±=∆∆±=）（乙甲nm n m从上述两组结果中可以看出,甲组的中误差较小,所以观测精度高于乙组;而直接从观测误差的分布来看,也可看出甲组观测的小误差比较集中,离散度较小,因而观测精度高于乙组;所以在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成果的精度;注意：在一组同精度的观测值中,尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异,而观测值的中误差却是相同的,因为中误差反映观测的精度,只要观测条件相同,则中误差不变;在公式5-2中,如果令f Δ的二阶导数等于0,可求得曲线拐点的横坐标Δ=±σ≈m ;也就是说,中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标;从图5-3也可看出,两条观测条件不同的误差分布曲线,其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线I,其观测精度较高,中误差较小；反之离散度较大的曲线II,其观测精度较低,中误差则较大;二、相对误差真误差和中误差都有符号,并且有与观测值相同的单位,它们被称为“绝对误差”;绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度;但在某些测量工作中,绝对误差不能完全反映出观测的质量;例如,用钢尺丈量长度分别为100 m 和200 m 的两段距离,若观测值的中误差都是±2 cm,不能认为两者的精度相等,显然后者要比前者的精度高,这时采用相对误差就比较合理;相对误差K 等于误差的绝对值与相应观测值的比值;它是一个不名数,常用分子为1的分式表示,即T1==观测值误差的绝对值相对误差式中当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时,K 称为相对中误差;mD Dm K 1==5-7在上例中用相对误差来衡量,则两段距离的相对误差分别为1/5000和1/10000,后者精度较高;在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核;相对较差定义为DD D D D D D ∆=∆=-平均平均平均返往1 5-8相对较差是真误差的相对误差,它反映的只是往返测的符合程度,显然,相对较差愈小,观测结果愈可靠;三、极限误差和容许误差 一极限误差由偶然误差的特性一可知,在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;这个限值就是极限误差;在一组等精度观测值中,绝对值大于m 中误差的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于2m 的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于3m 的偶然误差,出现的概率仅为%;根据式5-2和式5-4有上式表示真误差出现在区间-σ,+σ内的概率等于,或者说误差出现在该区间外的概率为;同法可得上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中,绝对值大于σ的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于2σ的偶然误差,其出现的概率为%；绝对值大于3()955.021)(222222222≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd ed f P ()997.021)(333323322≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd e d f P ()683.021)(222≈∆=∆∆=<∆<-⎰⎰+-∆-+-σσσσσπσσσd ed f Pσ的偶然误差,出现的概率仅为%;在测量工作中,要求对观测误差有一定的限值;若以m 作为观测误差的限值,则将有近32%的观测会超过限值而被认为不合格,显然这样要求过分苛刻;而大于3m 的误差出现的机会只有3‰,在有限的观测次数中,实际上不大可能出现;所以可取3m 作为偶然误差的极限值,称极限误差,m 3=∆极;二容许误差在实际工作中,测量规范要求观测中不容许存在较大的误差,可由极限误差来确定测量误差的容许值,称为容许误差,即m 3=∆容当要求严格时,也可取两倍的中误差作为容许误差,即m 2=∆容如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差,则认为该观测值不可靠,应舍去不用或重测;第三节 误差传播定律前面已经叙述了评定观测值的精度指标,并指出在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标;但在实际测量工作中,往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,而由一些可以直接观测的量,通过函数关系间接计算得出,这些量称为间接观测量;例如用水准仪测量两点间的高差h ,通过后视读数a 和前视读数b 来求得的,h =a －b ;由于直接观测值中都带有误差,因此未知量也必然受到影响而产生误差;说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律,叫做误差传播定律,它在测量学中有着广泛的用途;一、 误差传播定律设Z 是独立观测量x 1,x 2,…,x n 的函数,即 )(21n x x x f Z ，，， = a式中：x 1,x 2,…,x n 为直接观测量,它们相应观测值的中误差分别为m 1,m 2,…,m n ,欲求观测值的函数Z 的中误差m Z ;设各独立变量x i i =1,2,…,n 相应的观测值为L i ,真误差分别为Δx i ,相应函数Z 的真误差为ΔZ ;则因真误差Δx i 均为微小的量,故可将上式按泰勒级数展开,并舍去二次及以上的各项,得:a 减去b 式,得上式即为函数Z 的真误差与独立观测值L i 的真误差之间的关系式;式中ix f∂∂为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数,并将观测值x i =L i 代入偏导数后的值,故均为常数;若对各独立观测量都观测了k 次,则可写出k 个类似于c 式的关系式将以上各式等号两边平方后再相加,得上式两端各除以k ,因各变量x i 的观测值L i 均为彼此独立的观测,则Δx i Δx j 当i ≠j 时,亦为偶然)(2211n n x x x x x x f Z Z ∆+∆+∆+=∆+，，， )()(221121n nn x x fx x f x x f x x x f Z Z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂+=∆+ ，，， 2211n nx x f x x f x x f Z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1( k n n k k k n n n n x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z x x f x x f x x f Z [][][][][]j i nji j i j i n n x x xf x f x x f x x f x x f Z ∆∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∆∑≠=1,22222221212 [][][][][]k x x x f x fk x x fkx x fkx x fkZ j i n ji j i j inn ∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∆∑≠=1,22222221212][lim=∆∆∞→kx x j i k b误差;根据偶然误差的第四个特性可知,上式的末项当k →∞时趋近于0,即故上式可写为 根据中误差的定义,上式可写成当k 为有限值时,即22222221212n n z m xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 5-9 或2222222121n nz m xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±= 5-10式中ix f∂∂为函数Z 分别对各变量x i 的偏导数,并将观测值x i =L i 代入偏导数后的值,故均为常数;公式5-9或5-10即为计算函数中误差的一般形式;从公式的推导过程,可以总结出求任意函数中误差的方法和步骤如下： 1．列出独立观测量的函数式：)(21n x x x f Z ，，， = 2．求出真误差关系式;对函数式进行全微分,得n ndx x fdx x f dx x f dZ ∂∂++∂∂+∂∂=2211 因dZ 、dx 1、dx 2、…都是微小的变量,可看成是相应的真误差ΔZ 、Δx 1、Δx 2、…,因此上式就相当于真误差关系式,系数ix f∂∂均为常数; 3．求出中误差关系式;只要把真误差换成中误差的平方,系数也平方,即可直接写出中误差关系式：[][][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∆∞→∞→kx x fkx x fkx x f kZ nn k k 22222221212lim lim 22222221212n nz xf x f x f σσσσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=22222221212n nzm xf m x f m x f m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 按上述方法可导出几种常用的简单函数中误差的公式,如表5-2所列,计算时可直接应用;表5-2 常用函数的中误差公式二、 应用举例误差传播定律在测绘领域应用十分广泛,利用它不仅可以求得观测值函数的中误差,而且还可以研究确定容许误差值;下面举例说明其应用方法;例5-2在比例尺为1：500的地形图上,量得两点的长度为d = mm,其中误差m d =± mm,求该两点的实际距离D 及其中误差m D ;解：函数关系式为D =Md ,属倍数函数,M =500是地形图比例尺分母;mmm Mm m m mm Md D d D 1.0100)2.0(5007.11117004.23500±=±=±⨯====⨯==两点的实际距离结果可写为 m ± m;例5-3水准测量中,已知后视读数a = m,前视读数b = m,中误差分别为m a =± m,m b =± m,试求两点的高差及其中误差;解：函数关系式为h =a -b ,属和差函数,得mm m m mb a h b a h 004.0003.0002.0258.1476.0734.12222±=+±=+±==-=-=两点的高差结果可写为 m ± m;例5-4在斜坡上丈量距离,其斜距为L = m,中误差m L =± m,并测得倾斜角α=10°34′,其中误差m α=±3′,求水平距离D 及其中误差m D ;解：首先列出函数式αcos L D = 水平距离m D 303.243'3410cos 50.247=︒⨯=这是一个非线性函数,所以对函数式进行全微分,先求出各偏导值如下：864 3.45'3410sin 50.247'3410sin 830 9.0'3410cos -=︒⨯-=︒⋅-=∂∂=︒=∂∂L DLDα写成中误差形式mm D m L D m L D 06.0'3438'3)3864.45(05.09830.0 22222222±=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+⨯±=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=αα故得D = m ± m;例5-5图根水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为m i =±2 mm,假定视距平均长度为50 m,若以3倍中误差为容许误差,试求在测段长度为L km 的水准路线上,图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值;解：已知每站观测高差为：b a h -=则每站观测高差的中误差为：mm 222±==i h m m因视距平均长度为50 m,则每公里可观测10个测站,L 公里共观测10L 个测站,L 公里高差之和为：L h h h h 1021+++=∑L 公里高差和的中误差为：mm 5410L m L m h ±==∑往返高差的较差即高差闭合差为：返往h h f h ∑+∑= 高差闭合差的中误差为：mm 1042L m m h f ==∑以3倍中误差为容许误差,则高差闭合差的容许值为：mm 3810123L L m f h f h ≈±==容在前面水准测量的学习中,我们取L f h 40±=容mm 作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响如外界环境的影响、仪器的i 角误差等;三、 注意事项应用误差传播定律应注意以下两点： 一要正确列出函数式例：用长30 m 的钢尺丈量了10个尺段,若每尺段的中误差为m l =±5 mm,求全长D 及其中误差m D ;全长m 300301010=⨯==l D ,l D 10=为倍乘函数;但实际上全长应是10个尺段之和,故函数式应为1021l l l D +++= 为和差函数;用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差为mm 1610±==l D m m若按倍数函数式求全长中误差,将得出mm 5010±==l D m m按实际情况分析用和差公式是正确的,而用倍数公式则是错误的; 二在函数式中各个观测值必须相互独立,即互不相关;如有函数式1221++=y y z a 22321+==x y x y ； b若已知x 的中误差为m x ,求Z 的中误差m z ; 若直接用公式计算,由a 式得：21224y y z m m m +±= c而 x y x y m m m m 2321==， 将以上两式代入c 式得x x x z m m m m 5)2(4)3(22=+±=但上面所得的结果是错误的;因为y 1和y 2都是x 的函数,它们不是互相独立的观测值,因此在a 式的基础上不能应用误差传播定律;正确的做法是先把b 式代入a式,再把同类项合并,然后用误差传播定律计算;x m x x z 7m 57x 1)22(23z =⇒+=+++=第四节 等精度直接观测平差当测定一个角度、一点高程或一段距离的值时,按理说观测一次就可以获得;但仅有一个观测值,测的对错与否,精确与否,都无从知道;如果进行多余观测,就可以有效地解决上述问题,它可以提高观测成果的质量,也可以发现和消除错误;重复观测形成了多余观测,也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾;如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值,同时对观测质量进行评估,即是“测量平差”所研究的内容;对一个未知量的直接观测值进行平差,称为直接观测平差;根据观测条件,有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差;平差的结果是得到未知量最可靠的估值,它最接近真值,平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”,或“最可靠值”,有时也称“最或是值”,一般用x 表示;本节将讨论如何求等精度直接观测值的最或然值及其精度的评定;一、等精度直接观测值的最或然值等精度直接观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值;用误差理论证明如下：设对某未知量进行了一组等精度观测,其观测值分别为L 1、L 2、…L n ,该量的真值设为X ,各观测值的真误差为Δ1、Δ2、…、Δn ,则Δi =L i -Xi =1,2,…,n ,将各式取和再除以次数n ,得X nL n -=∆][][ 即X nn L +∆=][][根据偶然误差的第四个特性有X nL n =∞→][lim 所以0][lim=∆∞→n n 由此可见,当观测次数n 趋近于无穷大时,算术平均值就趋向于未知量的真值;当n 为有限值时,算术平均值最接近于真值,因此在实际测量工作中,将算术平均值作为观测的最后结果,增加观测次数则可提高观测结果的精度;二、评定精度 一 观测值的中误差 1．由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差的定义即nm ][∆∆±= 由观测值的真误差来计算其中误差; 2．由改正数来计算在实际工作中,观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的;因此在多数情况下,我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差;1改正数及其特征最或然值x 与各观测值L i 之差称为观测值的改正数,其表达式为n)2,1( ，， =-=i L x v i i 5-11在等精度直接观测中,最或然值x 即是各观测值的算术平均值;即nL x ][=显然0][)(][1=-=-=∑=L nx L x v ni i 5-12上式是改正数的一个重要特征,在检核计算中有用; 2公式推导已知X L i i -=∆,将此式与式5-8相加,得X x v i i -=∆+ a令δ=-X x ,则δ+-=∆i i v b对上面各式两端取平方,再求和2][2][][δδn v vv +-=∆∆。
建筑工程测量：水准测量误差
建筑工程测量水准测量误差一、水准测量的误差水准测量中产生的误差包括仪器误差、观测误差及外界条件影响的误差三个方面。
l.仪器误差（1）望远镜视准轴与水准管轴不平行误差。
仪器经过校正后，还会留有残余误差；仪器长期使用或受振动，也会使两轴不平行，这种误差属于系统误差，该项误差的大小，与仪器至水准尺的距离成正比。
因此，只要在观测时，将仪器安置在距前、后两测点相等处，即可消除该项误差的影响。
（2）水准尺误差。
水准尺误差包括尺长误差、分划误差和零点误差。
观测前应对水准尺检验后方可使用，水准尺零点误差可在每个测段中设偶数站的方法来消除。
2.观测误差（1）整平误差。
在水准尺上读数时，水准管轴应处于水平位置，如果精平仪器时，水准管气泡没有精确居中，则水准管轴有一微小倾角，从而引起视准轴倾斜而产生误差。
例如，设水准管分划值 = 20″/2mm，视线长度为100m，如果气泡偏离中央0.5格，则引起的读数误差为：0.5×20×100×103/206265=5 mm（2）读数误差。
由于视差和估读毫米数的误差，其与人眼的分辨力、望远镜的放大倍数及视线的长度有关，所以要求望远镜的放大倍率在20倍以上，视线长度一般不得超过100m。
（3）水准尺倾斜误差。
测量时水准尺应扶直，当水准尺倾斜时，其读数总比尺子竖直时的读数大，而且，视线愈高，水准尺倾斜引起的读数误差愈大，所以在高差大、读数大时，应特别注意将尺扶直。
测量时可以采用”摇尺法”读数，在读数时，扶尺者将尺子缓缓向前后、俯仰摇动，尺上的读数也会缓缓改变，观测者读取尺上最小读数，即为尺子竖直时的读数。
3.外界条件的影响（1）仪器下沉的影响。
由于测站处土质松软使仪器下沉，视线降低，从而引起高差误差。
减小这种误差的办法可采用：一是尽可能将仪器安置在坚硬的地面处，并将脚架踏实；二是加快观测速度，尽量缩短前、后视读数时间差；三是采用后、前、前、后的观测程序。
《建筑工程测量》5测量误差
《建筑工程测量》5测量误差在建筑工程领域，测量工作是至关重要的一环。
准确的测量数据为工程的设计、施工和质量控制提供了可靠的依据。
然而，在测量过程中，误差的存在是不可避免的。
了解测量误差的来源、性质和处理方法，对于提高测量精度、保证工程质量具有重要意义。
一、测量误差的定义和分类测量误差，简单来说，就是测量值与真实值之间的差异。
根据误差的性质和产生原因，可以将其分为系统误差、偶然误差和粗差三大类。
系统误差是在相同观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。
例如，测量仪器的刻度不准确、测量方法的不完善等都可能导致系统误差的产生。
系统误差具有累积性，会对测量结果产生较大的影响，因此在测量工作中需要采取一定的措施来消除或减小系统误差。
偶然误差则是在相同观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差的大小和符号没有明显的规律，但从总体上服从一定的统计规律的误差。
例如，观测者的读数误差、外界环境的微小变化等都可能引起偶然误差。
偶然误差不能通过某种方法消除，但可以通过增加观测次数、采用合理的测量方法等手段来减小其对测量结果的影响。
粗差是一种明显超出规定条件下预期的误差，通常是由于观测者的粗心大意、仪器故障等原因造成的。
粗差会严重影响测量结果的可靠性，在数据处理中需要及时发现并剔除。
二、测量误差的来源测量误差的来源是多方面的，主要包括以下几个方面：1、测量仪器误差测量仪器本身的精度和性能会对测量结果产生影响。
例如，仪器的制造误差、校准误差、老化磨损等都会导致测量结果的偏差。
2、观测者误差观测者的技术水平、操作习惯、工作态度等都会引入误差。
例如，观测者的读数不准确、记录错误、对测量方法的理解偏差等。
3、外界环境误差测量工作通常在外界环境中进行，外界环境的变化会对测量结果产生影响。
例如，温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化都会导致测量误差的产生。
4、测量方法误差测量方法的选择不当或不完善也可能导致误差的产生。
建筑工程技术《水准测量误差》
水准测量误差测量工作中由于仪器、人、环境等各种因素的影响，使测量成果中都带有误差。
为了保证测量成果的精度，需要分析研究产生误差的原因，并采取措施消除和减小误差的影响。
水准测量中误差的主要来源如下：一、仪器误差(一) 视准轴与水准管轴不平行引起的误差仪器虽经过校正，但i 角仍会有微小的残余误差。
当在测量时如能保持前视和后视的距离相等，这种误差就能消除。
当因某种原因某一测站的前视(或后视)距离较大，那么就在下一测站上使后视(或前视)距离较大，使误差得到补偿。
(二) 调焦引起的误差当调焦时，调焦透镜光心移动的轨迹和望远镜光轴不重合，则改变调焦就会引起视准轴的改变，从而改变了视准轴与水准管轴的关系。
如果在测量中保持前视后视距离相等，就可在前视和后视读数过程中不改变调焦，避免因调焦而引起的误差。
(三) 水准尺的误差水准尺的误差包括分划误差和尺身构造上的误差，构造上的误差如零点误差和箱尺的接头误差。
所以使用前应对水准尺进行检验。
水准尺的主要误差是每米真长的误差，它具有积累性质，高差愈大误差也愈大。
对于误差过大的应在成果中加入尺长改正。
二、观测误差(一) 气泡居中误差视线水平是以气泡居中或符合为根据的，但气泡的居中或符合都是凭肉眼来判断，不能绝对准确。
气泡居中的精度也就是水准管的灵敏度，它主要决定于水准管的分划值。
一般认为水准管居中的误差约为0.1分划值，它对水准尺读数产生的误差为：sm ⋅''=ρτ1.0 (2－21)式中τ″为水准管的分划值，520626''=ρ，s 为视线长。
符合水准器气泡居中的误差大约是直接观察气泡居中误差的5121～。
为了减小气泡居中误差的影响，应对视线长加以限制，观测时应使气泡精确地居中或符合。
(二) 估读水准尺分划的误差水准尺上的毫米数都是估读的，估读的误差决定于视场中十字丝和厘米分划的宽度，所以估读误差与望远镜的放大率及视线的长度有关。
通常在望远镜中十字丝的宽度为厘米分划宽度的十分之一时，能准确估读出毫米数。
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第五节测量误差基础知识一、测量误差概述1．测量误差产生的原因测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。
实践证明，产生测量误差的原因主要有以下三个方面。
（1）人为因素。
由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性，主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面。
（2）测量仪器的原因。
由于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素。
（3）环境因素。
外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等。
测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。
热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。
但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。
在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。
这种差异都是由于测量中存在误差的缘故。
测量所获得的数值称为观测值。
由于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，这种差异称为测量误差（或观测误差）。
用L代表观测值，X代表真值，则误差=观测值L—真值X，即∆（5-1）=L-X 这种误差通常又称之为真误差。
由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。
观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为精度相同。
在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。
由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的目的不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。
例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等。
所有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。
二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：（一）系统误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。
这些误差都属于系统误差。
系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度及大气折光等的影响。
系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。
例如在水准测量中，保持前视和后视距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。
另一种是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。
例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。
（二）偶然误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为偶然误差。
例如在水平角测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样，这些都属于偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成。
偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。
错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。
发现错误的方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规X进行作业等。
在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。
下面详细分析偶然误差的特性。
三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。
偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。
在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显地看出它的统计规律。
例如在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。
已知三角形内角之和等于180°，这是三内角之和的理论值即真值X，实际观测所得的三内角之和即观测值L。
由于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差即真误差Δ。
以下分两种方法来分析：（一）表格法由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例为dΔ=3″），分别统计在各区间正负误差出现的个数k及其出现的频率k/n （n=217），列于表5-1中。
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″。
实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。
表5-1 三角形内角和真误差统计表合计1080.4981090.5022171.000 （二）直方图法为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来表示。
以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率k/n与区间d△的比值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率k/n。
如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出现在+6″～+9″之间的频率，等于0.069。
显然，所有矩形面积的总和等于1。
可以设想，如果在相同的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出现在各区间的频率就趋向于一个稳定值。
当n→∞时，各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值——概率。
若无限缩小误差区间，即d△→0，则图5-1各矩形的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图5-2所示），称为误差22221)(σπσ∆-=∆ef（5-2）概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它服从于正态分布，该曲线的方程式为式中：Δ为偶然误差；σ（＞0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。
其定义为：在图5-1中各矩形的面积是频率k /n 。
由概率统计原理可知，频率即真误差出现在区间d △上的概率P （Δ），记为[]nn ∆∆=∞→limσ（5-3）∆∆=∆∆=∆d f d d nk P )(/)(（5-4）根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性：（1） 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2） 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3） 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；（4） 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。
即[]0lim=∆∞→nn （5-5）式中 []∑=∆=∆++∆+∆=∆n i i n 121在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为E （Δ）=0。
图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。
例如图5-3中，曲线I 、II 为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形状中可以看出两组观测的差异。
当Δ=0时，πσ21)(11=∆f ，πσ21)(22=∆f 。
πσ211、πσ212是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I 的峰值较曲线II 的高，即σ1＜σ2，故第I 组观测小误差出现的概率较第II 组的大。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。
因此，曲线I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。
而曲线II 相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。
第二节 评定精度的指标研究测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。
在图5-3中，从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。
用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不实用。
因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定精度的指标。
在测量中评定精度的指标有下列几种：一、 中误差由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。
在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n 计算出标准差的估值定义为中误差m ，作为衡量精度的一种标准，计算公式为nm ][ˆ∆∆±=±=σ（5-6）【例5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″； 乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。