空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数

A

一、

1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.

2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.

3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴

上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、

1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；

及(3)a 、b 的夹角的余弦.

2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、

1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.

2、方程02422

2

2

=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22

=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__

_____________，曲面名称为___________________.

2)将xOy 坐标面上的x y x 22

2

=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.

3)将xOy 坐标面上的36942

2

=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.

4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中

2x y =表示______________图形.

5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42

2

2

y x z += (2))(42

2

y x z += 四、

1、指出方程组⎪⎩

⎪⎨⎧==+

319

y 4x 2

2y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.

2、求球面92

2

2

=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤

≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在

xOy 面及xOz 面上的投影. 五、

1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.

3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.

4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、

1、求过点(1,2,3)且平行于直线

5

1

132-=

-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.

3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨

⎧=+-+=-+-0

12530

742z y x z y x 垂直的平面方程.

4、求过点(3,1,-2)且通过直线

1

2354z

y x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩

⎨⎧=--=++00

3z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.

6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7

272z y x z y x 与直线11321-=

--=-z

y x ; 2)直线

4

3

1232--=

+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨

⎧=-+-=+-+0

420

1z y x z y x 的距离.

B

1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.

2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.

3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.

4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .

5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为

3

π

的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.

7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-0

22012z y x z y x ，且与直线：211z

y x =-=平行的平面.

8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨

⎧-==1

1

z y L ：垂直相交的直线方程.

9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.

10、求曲线⎩

⎨⎧==-+30

222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲

线？

11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨

⎧=---=+-0

9230

42z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.

C

1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.

2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3

π

角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线2

1311z

y x =-=+相交的直线方

程. 4、求两直线：

1101-=-=-z y x 与直线：0

2

36+=

-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.

6、设向量a,b 非零，3

),(,2π

=

=b a b ，求x

a

xb a x -+→0

lim

.