§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

3、确定转角方程和挠度方程
F x2 (lx ) EI 2
F lx 2 x 3 y ( ) EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
x l , max
Fl 2 , 2 EI
ymax
Fl 3 3EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。 解： F F ql RA RB
x 0，y A 0 ; D 0
最大转角和最大挠度分别为：
ymax y
x
l 2
5ql 4 384EI
ql3 max A B 24EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
ql3 x l , yB 0 ; C 24 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24 ql 3 q 4 ql3 x x x 12 24 24 qx y (l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI ql 2 q 3 ql3 EIy x x 4 6 24 q (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、 凸、拐点或直线区。 在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。 2、画挠曲线的大致形状图
AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标
为XD=8a/5。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。
在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠
曲线满足连续、光滑的条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、写出x截面的弯矩方程
M ( x) F (l x)
列挠曲线近似微分方程并积分
d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx
2 ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q EI y x x 2 2 2 ql q EI y x 2 x 3 C 4 6 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24
由边界条件：
x 0，y A 0 ; D 0
xl , ql3 yB 0 ; C 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
~ ~
~
A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
~ ~ ~ ~
~
~
A A AA A
~ ~
~
~
~
yA 0
yA 0 A 0
y AL y AR yA －弹簧变形 AL AR
积分一次
dy F x2 (lx ) C dx EI 2
再积分一次
F lx 2 x 3 y ( ) Cx D EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0,
代入求解
x 0, y A 0
C 0, D0
A 0
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M ( x) 2 dx EI
d2y EI 2 M ( x) dx
EIy M ( x)
积分一次得转角方程为：
dy M ( x) dx C dx EI
再积分一次得挠度方程为：
M ( x) y dx dx C x D EI
~
y AL y AR
~
~
A
A A AA
A
A A AA
光滑连续条件 A A A A
~
A AA
~
A
~
A
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 M ( x) y ( x) EI z