§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁的挠度及转角(1)
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
用积分法求梁的变形
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
不定积分和定积分知识的应用
不定积分和定积分知识的应用1 积分法原理及知识的应用1.1求解静定梁的挠度和转角，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的《工程力学》课程中，主要应用于求解建筑结构中静定梁的位移。
梁变形时，其上各横截面的位置都发生移动，称之位移；位移通常用挠度和转角两个基本量描述。
运用微分法和积分法求解挠度和转角的一般步骤是：（1）建立挠曲线近似微分方程，即 EI x M dxy d )(22-=；（2）对微分方程二次积分。
积分一次，可得出转角方程：⎰+-==])([1C dx x M EIdx dy Q ;再积分一次，可得出挠度方程：⎰⎰++-=]))(([1D Cx dx x M EIy ;(3)利用边界条件或连续条件确定积分常数C 、D ；（4）确定转角方程和挠度方程；（5）求指定截面的转角和挠度值。
〔实例1〕一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集中力P 作用，梁的抗弯刚度为EI ，求自由端的转角和挠度。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （ x ）=-P （l-x ），挠曲线的近似微分方程为22dx y d =EI1-[-P(l-x)].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（C=0，D=0）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得自由端截面的转角和挠度。
x解答：（计算过程略） 自由端截面的转角和挠度分别为P EI B (1=θl 2-21Pl 2）=EI Pl 22y B =21(1EI Pl 3-61Pl 3）=EI Pl 33 （转角θB 为正，表示截面B 是顺时针转；挠度y B 为正，表示挠度是向下的.） 〔实例2〕一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EI ，求梁的最大挠度及B 截面的转角。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （x ）=21qlx-21qx 2，挠曲线近似微分方程为22dxy d =-EI 1[21qlx-21qx 2].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（D=0，C=241ql 3）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得最大挠度和截面B 的转角。
梁的挠度和转角问题分析
用积分法求挠度和转角
挠曲线的近似微分方程为
d 2 w q (x 2 lx) dx 2 2EI
2) 对微分方程进行积分并确定积分常数。 对挠曲线近似微分方程
积分得
q ( x3 lx2 ) C
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
1 M (x) ρ(x) EI
由高等数学可知，平面曲线w = w(x)上任一点的曲率为
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
d2w
1 dx 2
(x)
[1
(
dw
)
2
]
3 2
dx
在小变形条件下，转角是一个很小的量，故 (dw)2 << 1,于是
上式可简化为
dx
1 ρ(x)
d2w dx2
d2w dx2
由于梁的支承和受力对称于梁跨中点，因而梁的挠曲线应为一
对称于梁跨中点的下凸曲线。因此，梁的最大挠度发生在跨中点截
面C (x=l/2)处，其值为
wmax
wC
5ql4 384EI
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角 【例6.3】 图示简支梁在C点处受集中力F作用，试求梁的挠曲
说明横截面B的形心向下移动。
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角 【例6.2】 图示简支梁AB，受均布荷载q作用。求梁的挠曲线方
程和转角方程。并计算梁的最大挠度和最大转角。设弯曲刚度EI为 常数。
梁的挠度和转角问题分析
梁的挠度和转角问题分析梁的挠度和转角问题分析【引言】梁是工程中常见的结构构件之一，广泛应用于桥梁、楼板、悬挑等结构中。
在梁的工作过程中，挠度和转角是重要的力学参数，在设计和分析中起着重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面，对梁的挠度和转角问题进行分析。
【理论分析】1. 梁的基本原理梁是一种受力的构件，根据受力原理，梁可以被看作是许多个点质量组成的杆件。
在梁受到外力作用时，会产生内力和应变，从而引起梁的变形。
梁的挠度和转角是反映梁变形程度的重要参数。
2. 梁的挠度计算方法梁的挠度通常通过数学方程的求解来计算。
根据不同的边界条件和受力情况，可以采用不同的方法进行计算，如弯曲理论、拉伸理论、弯剪耦合理论等。
其中，弯曲理论是工程设计中常用的方法，利用欧拉－伯努力学说和简化假设，将梁的弯曲变形转化为微分方程求解问题。
3. 梁的转角计算方法梁的转角是指梁在受到外力或自重荷载作用时所产生的旋转变形。
在计算转角时，通常使用梁的弯矩与切线刚度的关系，通过积分计算得到。
转角的计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
【实际应用】1. 桥梁工程中的挠度问题在桥梁工程中，挠度是重要的考虑因素之一。
过大的挠度会影响桥梁的使用寿命和安全性。
因此，在桥梁设计中需要进行挠度计算和控制。
通过实际工程实例，我们可以分析不同型式桥梁的挠度问题，如悬索桥、拱桥和梁桥等。
2. 楼板设计中的转角问题楼板作为建筑结构中的重要组成部分，其转角问题也需要得到充分考虑。
在楼板设计中，不同荷载条件下的转角计算是确保结构安全和满足使用要求的关键。
本文将分析楼板转角对结构整体性能和使用功能的影响，并提供相应的设计建议。
【结论】梁的挠度和转角问题是工程设计和分析中不可忽视的重要内容。
通过理论分析和实际应用，我们可以更好地理解梁的变形行为，并对梁的设计和优化提供参考，以确保结构的安全性和可靠性。
工程实践中的案例表明，挠度和转角分析在工程中起到了重要的引导作用，对于提高结构的设计水平和工程质量具有重要意义综上所述，梁的转角计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
材料力学第八章-弯曲变形
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
材料力学 积分法求梁的变形
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
梁的变形教程
第一节 工程中的弯曲变形问题
梁在外载荷作用下将产生变形， 梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 刚度条件， 度条件，还要满足刚度条件 即要求梁在工作时的变 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 不能超过一定范围 否则就会影响梁的正常工作。 一定范围， 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲轴线 挠曲轴线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F 挠曲轴线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力 的作用下， 的作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线 挠曲轴线。 称梁的挠曲轴线。 挠曲轴线方程
M ( x) y = ∫∫ dx ⋅ dx + Cx + D EI
第八章 梁的变形 转角方程 转角方程
挠度方程 挠度方程
M ( x) θ = y′ = ∫ dx + C EI M ( x) y = ∫∫ dx ⋅ dx + Cx + D EI
式中积分常数 、 由边界条件 由边界条件（ 式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 积分常数 位移）确定： 位移）确定： 简支梁： 简支梁： y A 悬臂梁： 悬臂梁： θ A
ql C= 24 EI 4 ql D=− 30 EI
3
4
5
梁的挠度方程
qx ql x ql + − y=− 120 EIl 24 EI 30 EI
5
3
4
令 x = 0，得B截面的挠度为 截面的挠度为
ql yB = − （↓ ） 30 EI
第八章 梁的变形
第三节 叠加法求梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
θ A = M (l 2 − 3b 2 )
材料力学 第八章
边界条件： x 0
xL
y1 0
y2 0
L
Fb 2 x C1 2L
x连Βιβλιοθήκη 条件：xay1 y2
Fb 3 x C1 x D1 6L
Fb 2 F x ( x a ) 2 C2 2L 2
1 2
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
yC , B
1、载荷分解
q
ql
ql2
2查表：单独载荷作用下
q
5ql yC1 384EI
yC 2
B2
4
ql3 B1 , 24EI
yC1
ql
B1
(ql)l 3 48EI
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI
yC2
ql2
B2
yC 3
3ql 4 48EI
图所示。试求 ( x), y( x)
和
A 。
Fa L
FAy
FBy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
BC段 (a x L)
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L
1 y
y '' ( x )
'2
( x)
3
2
M ( x) EI z
y ( x) ( x) 0
'
1 y ' 2 ( x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
M ( x) y' ' EI
试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程
8-1试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程，并求A 截面转角和C 截面挠度。
解：如(c)图所示 约束反力为：P R B =， Pl M B 23=弯矩方程为：8-3 滚轮在天车梁上移动。
现将梁做成向上微弯，若要求滚轮在梁上能走一水平路径，问需把梁预弯成什么形状（用v＝f (x)的方程表示）才能达到要求？8-6 试画出下列各梁的挠曲线的大致形状。
注意曲率符号及支座约束条件。
8-9．EIa q y c 84=，此梁曲线的大致形状如图c 所示。
8-178－23 试用，叠加法计算图示等截面刚架B 处的垂直位移。
C 处为刚节点。
此刚架的截面为圆形，抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GI P 。
解： 分段考虑（1）AC ：C 点受力P 和力矩M ＝Pl 的共同作用。
在力P 作用下：EIpl y c 331=在力矩M 作用下：ρϕGI pl l y c 22== （2）BC ：EIpl y B 33= ρGI pl EI pl y y y v B c c B 332132+=++=8－28 A 1B 梁用A 2C 梁加固，两梁的EI 相同，试用变形比较法求两梁接触处的压力Y C 。
并用叠加法求v B 。
解：分开考虑两个梁 （1） 对A 1B ：A 1B 受到P 和Y c 的共同作用，当P 单独作用时：))(3(6121/1↓−=l l EI pl v c当Y c 的单独作用：)(321//1↑=EIl Y v c c//1/11c c c v v v −=∴对A 2C ：)(3212↓=EIl Y v c c利用，可得： 21c c v v =∴ 114)3(l l l p Y c −=（2）当P 单独作用时：)(321↓=EIpl v B当Y c 的单独作用： ))(3(61211↓−=l l EIl Y v c B)3(63121321l l EIl Y EI pl v v v c B B B −−=−=∴ 8-30 图示结构，悬臂梁AB 和简支梁DG 均用18号工字钢制成，BC 为圆截面钢杆，直径d ＝20mm 。
梁的挠度和转角问题分析
科学技术创新2018.06梁的挠度和转角问题分析王爽焦之森（齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院，黑龙江齐齐哈尔161000）对简支梁、外伸梁的变形问题的解析计算方法有很多种，常见的有积分法[1-5]、能量法[1-5]、叠加法[1-5]、奇异函数法[1-5]和共轭梁法[1-5]等，在用积分法求解简支梁、外伸梁的变形问题时须求解多个积分常数，计算繁琐；奇异函数法仍属于积分法，求解过程也须解积分常数；如果仅计算某一截面的位移，能量法较为简单，不过仍须进行积分计算[6]。
本文通过间接叠加法，来介绍简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的简单求解方法，即将简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题，转化为有初始转角的悬臂梁受载荷时的变形问题，使简支梁、外伸梁等结构在受载荷作用时挠度及转角问题的求解过程的思维难度得到很大程度的降低，从而问题变得更容易理解。
1原理介绍与例题分析悬臂梁具有一个固定端，当悬臂梁受已经与水平线外荷载作用时，靠近固定端的载面不发生转动，转角为零。
如果有一个悬臂梁，在未荷载时，形成一个小的角度θB ，如图1所示。
图1有初始转角的悬臂梁x 轴为水平方向，梁轴线与x 轴成角θB ，即θB 为初始转角，此梁称为有初始转角的悬臂梁。
在未受荷载时，相对于x 轴，自由端已经有一挠度为θB l 。
根据叠加法，当加一静荷载F 时，自由端的挠度ω=θB l+Fl 33EI 转角为θB +Fl22EI。
应用初始转角悬臂梁概念，只要知道悬臂梁在集中力偶、集中力和均布载荷作用下自由端的挠度和转角公式，就可以通过叠加法，求解简支梁、外伸梁、的变形问题。
跨长l ，刚度EI 的悬臂梁在集中力偶Me ，集中力F ，均布荷载q 作用下，自由端的挠度和转角公式列出如下Mel 22EI ，Mel EI ，Fl 33EI，Fl 23EI ，ql 48EI ，ql 36EI。
下面举几个例子。
例1.如图例2-1所示简支梁端受集中力偶Me 作用，求端截面转角。
材料力学 (8)
C1
ql
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
'
qx 24 EI q 24 EI (l 2lx x )
3 2 3
(l 6lx 4 x )
3 2 3
RA
A
x
q
A
l 2
RB
B
在 x0 和 xl 处 转角的绝对值相等， 且都是最大值
x
CθB
y
3
l
θ
max
qc
5qL
4
C
z
l 2
384 EI z
转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的
转角。
转角
A C B x
ω 挠度
C' y B'
挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线 。
挠曲线方程为
f ( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，ω为该点的挠度。
挠度与转角的关系： tg ' f '( x)
C
y
连续条件
x
L 2
B1 B 2
B1 B 2
例题 5.6
用积分法求图示梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确 定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段AB,BC.
F
EI
z1
共有四个积分常数
x
EI
z2
边界条件
A
L 2
B
RA RB ql 2
A
x
q
B
l
x
y 例题 5 .2图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
梁的挠度和转角
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), ( x) 和 , 。 A max F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b
L
L
L
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
则由 解得：
C 1 x a
Fab(a b) 0( a b) 3LEI
0在AC段。
Fb 1 ( x ) [3x 2 ( L2 b 2 )] 0 6 LEI
x L2 b 2 3
D左 D右 连续条件： D左 D右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C 即坐标原点处梁的转角，它的 EI o EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的 EI倍就是积分常数D。 D EI o 几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 边界条件： A 0
连续条件：
B左 B右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 解：边界条件： A 0 C 0
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0 FB＝0 MCD＝const
A C D B
答案 D
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角梁是一种常见的结构，在结构设计和分析中经常需要求解梁的挠度和转角。
挠度和转角是评价梁在受载过程中变形情况的重要指标，对于保证梁的安全性和使用寿命有着重要作用。
本文将介绍用积分法求解梁的挠度和转角的方法。
首先，需要明确梁的基本假设及其约束条件。
梁的基本假设包括：梁轴线是直线、截面内部应力分布均匀、横截面形状及尺寸在受力过程中不变、截面在平面内转动的角度很小、且不影响梁内部的应力分布等。
约束条件一般有：端部固定或支承等。
接着，需要根据约束条件和配重条件列出梁的弯曲方程和边界条件。
假设梁长度为L，x轴方向为梁轴线方向，则弯曲方程为：d^2y/dx^2+M/(EI)=0其中，y是梁的挠度，M是弯矩，E是杨氏模量，I是梁的截面惯性矩，上述方程即为梁的弯曲方程。
根据约束条件和配重条件，可以列出边界条件。
对于悬臂梁，端点处有一个支承，因此边界条件为y(0)=0,d^2y/dx^2(0)=0；对于双端支承梁，两端都有支承，因此边界条件为y(0)=y(L)=0,d^2y/dx^2(0)=d^2y/dx^2(L)=0。
根据弯曲方程和边界条件可以解出梁的挠度和转角。
但是，弯曲方程中的弯矩是未知的，需要通过力学分析求解。
通常的做法是，将梁截面分成若干小段，每段长度为dx，考虑该段上下两点的受力平衡条件，可以得到该段的弯矩M。
然后将弯矩代入弯曲方程求解，就可以得到该段的挠度和转角。
最后将所有小段的挠度和转角相加即可得到整个梁的挠度和转角。
具体的计算过程可以用数值方法进行，也可以用解析方法求解。
下面介绍解析方法的两种常用技巧：超定积分法和欧拉-伯努利积分法。
超定积分法是一种较为简单和常用的求解梁挠度和转角的方法。
它的基本思想是将弯曲方程两端同时积分两次，得到整个梁的挠度函数和转角函数，然后根据边界条件解出各个常数。
以悬臂梁为例，弯曲方程为：将上式积分两次，得到：其中，b1和b2是积分常数，需要根据边界条件求解。
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x 0，y A 0 ; D 0
最大转角和最大挠度分别为：
ymax y
x
l 2
5ql 4 384EI
ql3 max A B 24EI
2 ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q EI y x x 2 2 2 ql q EI y x 2 x 3 C 4 6 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24 0
xl , ql3 yB 0 ; C 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
ql3 x l , yB 0 ; C 24 ql 3 q 4 EIy x x Cx D 12 24 ql 3 q 4 ql3 x x x 12 24 24 qx y (l 3 2lx 2 x 3 ) 24 EI ql 2 q 3 ql3 EIy x x 4 6 24 q (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M ( x) 2 dx EI
d2y EI 2 M ( x) dx
EIy M ( x)
积分一次得转角方程为：
dy M ( x) dx C dx EI
再积分一次得挠度方程为：
M ( x) y dx dx C x D EI
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、 凸、拐点或直线区。 在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。 2、画挠曲线的大致形状图
AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标
为XD=8a/5。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
~ ~
~
A
A
~ ~ ~ ~
~
~
A A AA A
~ ~
~
~
~
yA 0
yA 0 A 0
y AL y AR yA －弹簧变形 AL AR
3、确定转角方程和挠度方程
F x2 (lx ) EI 2
F lx 2 x 3 y ( ) EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
x l , max
Fl 2 , 2 EI
ymax
Fl 3 3EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。 解： F F ql RA RB
积分一次
dy F x2 (lx ) C dx EI 2
再积分一次
F lx 2 x 3 y ( ) Cx D EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0,
代入求解
x 0, y A 0
C 0, D0
A 0
~
y AL y AR
~
~
A
A A AA
A
A A AA
光滑连续条件 A A A A
~
A AA
~
A
~
A
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 M ( x) y ( x) EI z
在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠
曲线满足连续、光滑的条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、写出x截面的弯矩方程
M ( x) F (l x)
列挠曲线近似微分方程并积分
d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx