2011年清华航院弹塑性力学课件 第五章弹性力学的基本方程与解法

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研究对象:
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与其他学科的关系:
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 (一维) 弹性杆系 (二维) 弹性体(三维) 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时,这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和,这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标,i 1, 2,3) S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便,在张量的记法中,都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法,就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量,称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量,称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时,仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量,称为张量
关于三维空间,描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成: M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量

弹塑性力学第一章 PPT资料共54页

弹塑性力学第一章 PPT资料共54页

16.11.2019
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§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1:固体材料是连续的介质,即固体体积 内处处充满介质,没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙,但从宏观上看作为整体进行力学分 析时,假设1是成立的。假设1的目的:变形体 的各物理量为连续函数(坐标函数)。
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§1-2 基本假设和基本规律
假设2:物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同(力学特性相同),所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究, 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
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§1-2 基本假设和基本规律
假设3:小变形假设。物体在外因作用下,物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如:
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j

i1

33


1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写,如: 1. 三阶行列式:
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
(共六项,三项为正,三项为负)。
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32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积:右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师:龙志飞 目录

工程弹塑性力学课件

工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域,为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式,通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元,通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后,发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法,可以减少未知数的数量 ,提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程,通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性,通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应,评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料,这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中,需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果,可以对桥梁结构进行优化设计, 提高其承载能力和稳定性,同时降低制造成本和维护成本 。

第五章弹塑性力学问题的提法优秀课件

第五章弹塑性力学问题的提法优秀课件
在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力,求在平衡状态下的 应力场和位移场,称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界,属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力, 应转换为作用在微小面积上的均布面力;集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移,求在平衡状 态下的应力场和位移场,称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时,同样有3个平衡方程,6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ,不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时,d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时,以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类,即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1,2,3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点(或试件),借助一个外部作用, 在其原有的应力状态之上,缓慢地施加并卸除一组附加应力,在这 附加应力的施加和卸除的循环内,外部作用所做的功是非负的。
由此可见,弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律,而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此,每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以,弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。

弹塑性力学部分讲义

弹塑性力学部分讲义

弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。

为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能,首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形,即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

在设计阶段,要根据要求实现的功能,对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸,以及所需选择的材料。

要完成这样的任务,首先要解决如下基本问题:在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境(如温度)作用下所产生的变形与应力。

对于柔性结构,如细长梁、薄板、薄壳,以及它们的组合结构,还要分析其是否会丧失稳定性。

这些都是固体力学的基本问题。

如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的,那么,它们的振动特性也对其性能有重要的影响。

在设计时往往要对其进行模态分析,求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型,以确保不会与主要的激振载荷产生共振,导致过大的交变应力与变形,影响强度和舒适性。

有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。

这些也是固体力学的基本问题。

此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中,采用各种成型工艺,材料要产生很大的塑性变形。

如何保证加工质量,提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷?如何设计加工用的各种模具,加工的压力,以及整个工艺流程,这里也都有固体力学问题。

正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题,有时还有流体力学问题,在19世纪产生了弹性力学和流体力学,才导致力学逐渐从物理学中独立出来。

工程技术发展的要求是工程力学,包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。

而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。

因此,力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。

二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分,最初也是物理学中最重要的组成部分。

力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。

【全版】绪论弹塑性力学内容推荐PPT

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几何连续规律:要求变形前连续的物体,变形后仍为连续物 体,由这个规律建立几何方程或变形协调方程,均为微 分方程。
物理(本构)关系:应力 (内力)与应变 (变形)之间的关系,根据 材料的不同性质来建立,最常见的为各向同性材料。
平衡方程和几何方程都与材料无关,塑性 力学与弹性力学的主要区别在于本构方程
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在研究方法上的不同。材料力学为简化计算,对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设,因此得到的解答是粗略 和近似的;而弹塑性力学研究通常不引入上述假设,从而 所得结果比较精确,并可验证材料力学结果的精确性。
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6 / 27
01 绪 论
第2节 基本假设和基本规律
弹塑性力学的定义:弹塑性力学是固体力学的一个重要分支,是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门
学◆科新。理论-实损伤际、混问沌等题; 由多方面因素构成,分析极为复杂。应按照物体
的性质,以及求解范围,忽略一些暂时可不考虑的因素, 混合法(同时以应力和位移为未知量)
19世纪70年代,建立了各种能量原理,并提出了这些原理的近似计算方法。
第混2合节法(基同本使时假以设我应和力基们和本位规研移律为究未知的量)问题限定在一个方便可行的范围内。
对工科来说,弹性力学的任务,和材料力学、结构力学 的任务一样,是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应 力和应变,校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性, 并寻求或改进它们的计算方法。
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2 / 27
01 绪 论
弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。
(2)在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量;

弹塑性力学讲稿课件

弹塑性力学讲稿课件
详细描述
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析,可以预测金属 在复杂应力状态下的行为,为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形,弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中,许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ,如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等,需要从整体 和局部多个角度进行研究,以揭示其力学行为和稳定性 规律,为工程安全和优化设计提供科学依据。
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详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析,可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能,为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形,弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合,并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元,使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域,如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法,通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。

弹性力学ppt课件

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研究对象
弹性体,即在外力作用下能够发生变 形,当外力去除后又能恢复原状的物 体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件
几何约束(物体形状和尺寸的限制)、物理约束(物体材料属性的限制)。
应力、应变及位移关系
01
应力
单位面积上的内力,表示物体内部 的受力状态。
分析圆柱形容器在内压或外压 作用下的应力分布和变形情况 。
球体受均匀内压或外压作 用
分析球形容器在内压或外压作 用下的应力分布和变形情况。
地基沉降问题
分析地基在荷载作用下的沉降 变形及其对上部结构的影响。
06
弹性力学在工程领 域应用探讨
土木工程:建筑结构、地基基础等方面应用
建筑结构
弹性力学在建筑结构中应用广泛,如高层建筑、大跨度桥梁等。通过弹性力学分析,可以预测结构在荷载作用下的变 形和应力分布,为结构设计提供重要依据。
优化设计
利用弹性力学原理,可以对机械 结构进行优化设计。通过改变结 构的形状、尺寸或材料属性等参 数,可以实现结构性能的最优化 ,提高机械产品的整体性能。
航空航天工程
01 02 03
飞行器结构强度校核
弹性力学在航空航天工程中主要用于飞行器结构的强度校 核。通过对飞行器结构在飞行过程中的受力状态进行分析 ,可以评估其结构强度是否满足设计要求,确保飞行安全 。
复合材料结构分析
随着复合材料在航空航天领域的广泛应用,弹性力学在复 合材料结构分析中合材料结构的力学性能进行预测和评估,为复 合材料的设计和应用提供指导。
结构优化设计
弹性力学还可以用于航空航天工程中结构的优化设计。通 过对飞行器结构进行拓扑优化、形状优化或尺寸优化等, 可以实现结构轻量化、提高结构刚度等目标,从而提高飞 行器的整体性能。

塑性力学基础知识ppt课件

塑性力学基础知识ppt课件
• 由于材料的屈服极限是唯一 的,所以 应该用应力或应力的组合作为判断材 料是否进入了塑性状态的准则。
• 根据不同应力路径所进行的实验,可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面, 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ,并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行,并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ,并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后,物 体的变形不完全恢复,而产生一部 分永久变形时,我们称这种变形为 塑性变形,研究这种变形和作用力 之间的关系,以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ,并增 补指标 。
屈服条件的概念,
• 屈服条件又称塑性条件,它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.

清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题,若以, ,u εσ作为求解变量,则可以建立如下偏微分方程边值问题: 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。

边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题,即不仅要求保证解存在唯一,而且有较好的稳定性。

当载荷或边界条件给定值有微小摄动时,应能保证问题解的变化也是微小的。

对于边界条件的提法就有严格的要求。

即要求:S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料,其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说,一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。

对于边界条件来说,三维问题每点有三个边界条件,而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件,这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。

这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向,也可以是边界自然坐标系的三个方向(即法向和两个切向)。

从更一般来说,除去给定位移或面力外,还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。

用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。

弹塑性力学PPT课件精选全文

弹塑性力学PPT课件精选全文
◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正,反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题,在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正,反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时,应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
(1)在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时,可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变;
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
(2)在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量;
假定物体在受力以后,体内的位移和变形是微小 的,即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸,而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定:
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
(1)连续性假设:假定物质充满了物体所占有的 全部空间,不留下任何空隙。
(2)均匀性与各向同性的假设:假定物体内部各点 处,以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
(3)力学模型的简化假设: (A)完全弹性假设 ;(B)弹塑性假设。
可归纳为以下几点: 1.建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论; 2.给出初等理论无法求解的问题的理论和方法, 以及对初等理论可靠性与精确度的度量; 3.确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力, 提高经济效益; 4.为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题,奠定必要的理论基础。
理论上可证明:当一点的应力状态确定时,经推导 必可求出三个实根,即为主应力,且主应力彼此正交。
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弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
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§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程,得到位移法的基本方程
在V上

在V上
(拉米-纳维叶方程)
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构(物理)方程(六个)
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程,同时在S上(边界上)有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理,但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想:

弹塑性力学-05

弹塑性力学-05
E Ev ij ij ij e 1 v 1 2v 1 v
其中
e ii
6
塑性阶段,应力满足屈服函数 根据增量理论有
f ij 0 ,在此条件下,
1 1 d x dsx ds x , d xy d xy d xy 2G G 1 1 d y ds y ds y , d yz d yz d yz 2G G 1 1 d z dsz ds z , d zx d zx d zx 2G G
或者
ij, j Fbi 0
(i, j x, y, z )
3
几何方程
应变位移关系导出的应变协调方程
2 x y
2
u u v x , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
上式称为拉梅-纳维方程
16
e 2 u Fbx 0 x e 2 v Fby 0 y e 2 w Fbz 0 z
方程组是基本方程的综合(包括平衡方程、几何方程及 本构方程)、方程组含有三个未知函数。此外,边界条 件也要用位移表示,当给定位移边界条件时,问题自然 简单。如给定应力边界条件,则需将边界条件加以变换, 改用位移表示。
14
弹性力学问题的基本解法 解的惟一性
位移法--位移作为基本未知量,必须将泛定方程改用位移来
u v ve u x 2G , xy G x 1 2v y x v v w ve y 2G y 1 2v , yz G z y ve w w u z 2G , zx G z 1 2v x z 代入平衡方程

弹性力学ppt课件

弹性力学ppt课件

应变定义
物体在外力作用下产生的 形变,表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系,通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系,表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变, 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力, 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元,每个单元用简单的函数近似表示,通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题,但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验,测量试件的应力和应变,从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验,测量试件的应力和应变,进 而计算弹性模量和泊松比,适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验,测量试件的挠度 和应力,从而推算出弹性模量,特别适用于细长构件的测量。

弹塑性力学定理和公式

弹塑性力学定理和公式

应力应变关系弹性模量 ||广义虎克定律1。

弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括:a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料,这五个常数中只有两个是独立的。

常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。

2。

广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。

它是由实验确定,通常称为物性方程,反映弹性体变形的物理本质.A 各向同性材料的广义虎克定律表达式(见表3—3 广义胡克定律表达式)对于圆柱坐标和球坐标,表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平面极坐标,表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时,虎克定律可写成更简单的形式,即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中,i,j=x,y,z;在圆柱坐标中,i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程|| 边界条件||按位移求解的弹性力学基本方法||按应力求解的弹性力学基本方程|| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量,6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定,即(1)3个平衡方程[式(2-1—22)],或用脚标形式简写为(2)6个变形几何方程[式(2—1—29)],或简写为(3)6个物性方程[式(3-5)或式(3—6)],简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解,在物体内部满足上述线性方程组,在边界上必须满足给定的边界条件。

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弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题,若以, ,u εσ作为求解变量,则可以建立如下偏微分方程边值问题: 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。

边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题,即不仅要求保证解存在唯一,而且有较好的稳定性。

当载荷或边界条件给定值有微小摄动时,应能保证问题解的变化也是微小的。

对于边界条件的提法就有严格的要求。

即要求:S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料,其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说,一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。

对于边界条件来说,三维问题每点有三个边界条件,而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件,这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。

这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向,也可以是边界自然坐标系的三个方向(即法向和两个切向)。

从更一般来说,除去给定位移或面力外,还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。

用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。

对于包含两种不同材料粘结面的弹性理论问题,则在边界条件之外还要在粘结面上提出连续条件,包括位移连续条件和面力连续条件u u n t t n i i i ij j j i ij 12111222===−=−, σσ (5)对于弹性体内人为划分的界面,其界面连续条件也是(5)式。

界面每点的边界条件数目等于一般边界每点边界条件数目的两倍。

对于线性弹性力学问题,若仅以σ ε,为求解变量,先不求弹性体的位移场,则可建立如下的偏微分方程边值问题:应变协调方程0=∇××∇ε广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(6b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (6c)边界条件 n t j ji i σ= S ∈∀x (7)由于位移不是基本求解变量,因此对于一般情况的位移边界条件难以处理,对于复连通域还要附加积分形式的位移单值条件。

这种形式的微分提法一般用于求解单连通域给定面力边界条件的情况。

二、线性弹性理论的几个一般原理z 叠加原理考虑同一弹性体的两组载荷情况f t u f tu i i i ij ij i i i ij ij()()()()()()()()()(),,,,,,1111122222 ⇒⇒εσεσ 若两组载荷同时作用研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉f f f t t t i i i i i i =+=+()()()()1212则u u u i i i ij ij ij ij ij ij =+=+=+()()()()()()121212 εεεσσσ由于线弹性、小变形问题的变形和载荷满足线性偏微分方程与线性边界条件,因此从数学上叠加原理易证。

例如,对于静定问题,若σσσσij j i ij j i j ij i j ij i f f Vn t n t S ()()()()()()()(),,1122112200+=+=∀∈==∀∈ x x则 ()()σσσσij ij j i i j ij ij i i ff V n t t S ()()()()()()()(),121212120+++=∀∈+=+∀∈ x x实际上,任何线性问题都满足类似的叠加原理。

同时,对于线弹性小变形问题,当所有载荷按某一比例增加或减小时,变形状态各量也都以同样比例增大或减小。

叠加原理有一个重要的应用:非齐次方程解等于非齐次方程的任一特解和相应齐次方程解之和。

对于弹性力学问题,通常非齐次项是载荷项,它在空间的分布比较简单(例如重力、离心力等),因此非齐次方程的特解比较容易求得,整个求解问题就主要归结为求解齐次方程解的问题。

任何非线性问题,叠加原理就不再成立。

因此,叠加原理是线性问题所特有的性质。

z 解的唯一性定理因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形,数学上已经证明对于线弹性问题的适定提法解一定是存在的。

本课程的重点不在数学弹性理论,因此对于解的存在性就不加证明了。

对于解的唯一性,即Kirchhoff 唯一性定理的证明可用反证法。

假如在一组载荷f t i i , 作用下产生了两组变形状态u u i ij ij i ij ij ()()()()()(),,;,,111222 εσεσ则利用叠加原理可知第四章 弹性力学的基本方程与解法u u u i i i ij ij ij ij ij ij =−=−=−()()()()()(),,121212 εεεσσσ将满足齐次方程,其中包括σσij j j ij ti i uiVn S u S ,=∀∈=∀∈=∀∈000 x x x由此根据0,=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛j ijW ∂ε∂ 可得 u W V u W V u W V u n S u V W V i ij V j i ij V j i j ij V i ij j S i j ij V V ∂∂ε∂∂ε∂∂εσσ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎞⎠−=−=∫∫∫∫∫∫,,,,d d d=d d d 20由于线弹性问题中应变能处处正定,因此上式要求W V =∀∈0 x即两解之差只能是σεij ij ==00, 的无变形状态。

由上可见,在证明中用到了线性方程解的叠加原理和应变能的正定性。

对于非线性问题,一般说来解并不唯一。

对于无足够几何约束的问题位移解可以相差刚体位移。

解的唯一性是逆解和半逆解法的基础,对于非线性问题一般不能采用逆解和半逆解法。

z 圣维南原理由作用在物体局部表面上的自平衡力系所引起的变形,在远离其作用区的地方可忽略不计。

该原理又称局部作用原理。

若把作用在物体局部表面上的外力,用另一组与它静力等效的力系来代替,则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。

称静力等效原理。

例如对于细长梁的端部条件,当研究远离端部区域的变形状态时,可以在端部用静力等效原理。

(注意:对于短粗梁、或在端部附近,不能滥用静力等效原理)研究生学位课弹塑性力学电子讲义姚振汉对于三维实心体,影响区的大小与自平衡力系作用区尺寸同量级。

例外:对于薄壁杆件、薄板、薄壳等薄壁结构,当载荷影响区内结构的最小几何尺寸小于载荷作用区的线性尺寸时圣维南原理不再适用。

图4.1所示为N. J. Hoff给出的受扭杆件的算例。

在右边固支端处杆端面的自由翘曲被约束,因而引起了自平衡的正应力,原来的自由扭转应力状态(在截面上仅有剪应力,而无正应力)受到干扰。

此图表明,干扰的影响范围与杆截面的形状有关。

图中横轴是沿杆长的无量纲坐标,表示各截面的位置。

纵轴是各截面上最大正应力与端面处的最大正应力之比。

曲线表明,对于实心的矩形截面杆,正如圣维南原理指出的那样,干扰很快衰减,影响深度与杆截面尺寸同量级;但对于槽形薄壁杆则干扰谝及整个杆长,圣维南原理不再适用。

图4.1 Hoff扭杆算例结果三、线性弹性理论的基本解法前面列出了线性弹性理论的基本方程,在域内要满足对于15个未知量的15个方程。

这些方程类型并不相同,平衡方程和几何方程是一阶偏微分方程,广义胡克定律是线性代数方程。

在数学上直接求解对于多组变量的类型不同的方程组是不方便的,第四章 弹性力学的基本方程与解法在求解之前需要对方程加以处理,以便建立对于单一变量的偏微分方程边值问题。

根据处理方法的不同,弹性理论的基本解法可分为:位移解法,应力解法和应力函数解法。

z 位移解法对于弹性理论问题以位移作为基本未知量,在基本方程中如下消去应变和应力,可以得到位移基本方程。

通过求解位移基本方程首先求得位移,然后再按要求确定变形状态其它变量的解法,称为弹性理论的位移解法。

由平衡方程出发0,=+i j ij f σ代入应力应变关系,再代入几何方程,()(),2,0,2,0,,(,,),0kk ij j ij j i kk i ij j i k k i i j j i j i G f G f u G u u f λεδελεελ++=⇒++=⇒+++= 最终可得() ,,0 j ji i jj i G u Gu f V λ+++=∀∈x (8)或用整体符号写成()λ+∇∇⋅+∇⋅∇+=∀∈G G V u u f 0x此方程称为Lamé-Navier 方程,即用位移表示的平衡方程。

作为位移基本方程,除在域内给出上列Navier 方程外,边界条件也都用位移表示()() ,, uii i i j ji iti j kk ji i j j i i u u S t n t n G u u t S σλεδ=∀∈==⎡⎤⇒++=∀∈⎣⎦x u x (9)其中,对于适定问题还应满足: S S S S S ui ti ui ti U I ==∅对于无体力情况,Navier 方程可写成(),,0i i jj G Gu λθ++=将各项再对坐标求导一次,可得研究生学位课弹塑性力学电子讲义 姚振汉()(),,,0,,0,0i i jj i ii i jji ii G Gu G Gu λθλθθ⎡⎤++=⎣⎦⇒++=⇒=由此可见,在无体力情况下,体积应变θ为调和函数。

由于平均应力和体积变形之间满足线性的物理关系,可以写出:Σ===σσθii K 330因此,在无体力情况下平均应力也是调和函数。

不难证明,在无体力情况下位移分量u i 、应变分量εij 、应力分量σij 均为双调和函数。

上述结论还可推广到常体力情况也同样适用。

z 应力解法当用应力作为基本未知量求解时,域内必须满足的方程有平衡方程、应力应变关系、以及应变协调方程。

经过处理可以得到单一的一组偏微分方程。

首先可以将应力应变关系()11ij ij kk ij Eενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦代入应变协调方程 ,0mki njl ij kl e e ε=可以导出Beltrami-Michell 方程,即用应力表示的协调方程1,,,,,11ij kk kk ij k k ij i j j i f f f V νσσδνν+=−−−∀∈+−x (10)在推导过程中用到平衡方程的导数形式等,但没有用过平衡方程本身。

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