高等数学课后习题答案第三章

第三章习题 3-1

1、对函数x y sin ln =在区间]6

5,6[

π

π上验证罗尔定理

解答：（1、区间]6

5,6[

π

π上连续 ；（2）函数x y sin ln =在区间)6

5,6(

π

π上可导；

（3）、2ln 6sin

ln )6(-==π

πf ，2ln 6

5sin ln )65(

-==π

πf

所以满足Rolle 定理的条件。且由0sin cos =='x x y 解得)6

5,6(4π

ππξ∈=

2、证明：函数02

=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点

证明：（1）02

=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02

=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。且由02=+='q px y 解得),(2

b a b

a ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点

3、证明：方程033

=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根

证明：用反证法，设方程033

=+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3

在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3

在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ，

所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21⊂=∈x x ξ。使0)(='ξf 但是由033)(2=-='x x f 解得根为),(121x x x ∉±=。矛盾 所以方程033

=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根

4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中

b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf

:证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中

b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条

件，于是存在),(21x x ∈λ。使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈ς。使0)(='ςf

于是函数)(x f '在区间],[ςλ上满足Rolle 定理，于是存在),(),(31x x ⊂∈ςλξ。使

0)(=''ξf

5、已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，不求导数，讨论方程0)(='x f 的实数根，并指出它的范围

解答：)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 是初等函数，所以连续可导，且、

0)4()3()2()1(====f f f f ，于是分别在区间]2,1[、]3,2[、]4,3[上满足Rolle 定理，

于是存在)2,1(1∈x 使0)(1='x f ，)3,2(2∈x 使0)(2='x f ，)4,3(3∈x 使0)(3='x f 6、证明：在]1,1[-上恒成立2

arccos arcsin π

=

+x x

:证明：设辅助函数x x x f arccos arcsin )(+=，由于)(x f 是初等函数，

01111)(2

2

=--

-=

'x

x

x f ，所以由lagrange 中值定理的推论可知

C x x x f =+=arccos arcsin )(

取0=x 有C f =+=0arccos 0arcsin )0(，得2

π

=

C

2

arccos arcsin π

=

+x x

7、下列函数在指定区间上是否满足Rolle 定理的?条件若满足，则在该区间内求ξ，使

0)(='ξf

（1）、31)(x x f -=，]1,1[- （2）、2

)

2(1

)(+=

x x f ，]1,3[- （3）、x x f cos )(=，]4

5,43[

π

π （4）、3

)1()(-=x x f ，]2,0[

（5）、⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=0

01sin

)(x x x

x x f ，]2

,2[π

π-

8、应用lagrange 中值定理证明不等式

（1）、y x y x -≤-arctan arctan

证明：设辅助函数t t arctan )(=ϕ，对该函数在以y x ,为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有 )(11

arctan arctan 2

y x y x -+=

-ξ

于是 y x y x y x -≤-+=

-2

11

arctan arctan ξ

，其中ξ介y x ,于之间。 （2）、)0(1≠+>x x e x

证明：设辅助函数t

e t =)(ϕ，对该函数在以x ,0为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有

)0(0-=-x e e e x ξ，从而)0(1≠>-x x e x ，就是)0(1≠+>x x e x ，其中ξ介x ,0于之

间。 （3）、)()(11

y x nx y x y x ny

n n n n -<-<--- )0,1(>>>y x n

证明：设辅助函数n

t t =)(ϕ，对该函数在],[x y 应用lagrange 中值定理有

1-=--n n

n n y

x y x ξ，，其中ξ介x y ,于之间。

注意到0,1>>>y x n ，所以111

---<

所以11

--<--

x y x ny

，故)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<---

（4）、

)0()1ln(1><+<+x x x x

x

证明：先证明)0()1ln(><+x x x ，再证明

)1ln(1x x

x

+<+ 设辅助函数t t t -+=)1ln()(ϕ，对该函数在],0[x 应用lagrange 中值定理有

x x x <-+=

+-+)0(11

)01ln()1ln(ξ

，其中ξ介x ,0于之间。 即)0()1ln(><+x x x 成立； (1)

再设辅助函数)1ln()1()(t t t ++=ϕ，对该函数在],0[x 应用lagrange 中值定理有

)0](1)1[ln()01ln()10()1ln()1(-++=++-++x x x ξ，其中ξ介x ,0于之间。