两个计数原理、排列与组合

全国卷五年考情图解高考命题规律把握

1.考查形式

高考在本章一般命制1道

小题或者1道解答题，分

值占5～17分.

2.考查内容

计数原理常与古典概型综

合考查；对二项式定理的

考查主要是利用通项公式

求特定项；对正态分布的

考查，可能单独考查也可

能在解答题中出现；以实

际问题为背景，考查分布

列、期望等是高考的热点

题型.

3.备考策略

从2019年高考试题可以

看出，概率统计试题的阅

读量和信息量都有所加

强，考查角度趋向于应用

概率统计知识对实际问题

作出决策.

第一节两个计数原理、排列与组合

[最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念

及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

1．两个计数原理 分类加法计数原理

分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在

第1类方案中有m 种不同的方

法，在第2类方案中有n 种不同

的方法

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法 结论 完成这件事共有N ＝m ＋n 种不

同的方法 完成这件事共有N ＝mn 种不同的方法

排列的定义

从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组

排列数

组合数 定义 从n 个不同元素中取出

m (m ≤n )个元素的所有不同排

列的个数

从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式

A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋

1)＝n ！(n －m )！ C m n ＝A m n A m m

＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ 性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( )

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．

()

(4)k C k n＝n C k－1

. ()

n－1

[答案](1)×(2)√(3)√(4)√

二、教材改编

1．图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有()

A．12B．16C．64D．120

B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]

2．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()

A．8 B．24

C．48 D．120

C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]

3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120

C．72 D．24

D[[“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.]

4．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有种. (用数字作答)

4554[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得

冠军的可能性．]

考点1两个计数原理的综合应用

利用两个基本计数原理解决问题的步骤

第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．

第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．

第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数．

第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．

(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为() A．240B．204C．729D．920

(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()

A．24 B．18

C．12 D．9

(3)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()

A．24 B．48

C．72 D．96

(1)A(2)B(3)C[(1)如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C29个；如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有C39A22＋C29个．即共有2C29＋C39A22＝240个．

(2)从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E 到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.

(3)法一：(以位置为主考虑)分两种情况：

①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．

②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法．

故共有24＋48＝72种涂色方法．

法二：(以颜色为主考虑)

分两类．

(1)取4色：着色方法有2A44＝48(种)．

(2)取3色：着色方法有A34＝24(种)．