数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
习题11数学物理方程和定解条件
ρ + ε1Δ ρ ϕ +ε 2Δϕ
（ 0 < ε1 < 1 ， 0 < ε 2 < 1 ） ，
即
1
( ρ + Δρ )
Δu Δρ
−ρ
ρ + Δρ
Δu Δρ
ρ
ρ
Δρ
1 ∂ ρ ∂ρ
+
Δu 1 Δϕ
−
ϕ + Δϕ
Δu Δϕ
ϕ
ρ2
Δϕ
−
ρ m ∂ 2u
T ∂t 2
ρ + ε1Δρ ϕ + ε 2 Δϕ
=0
205．在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的吸收和增殖过程。设在单位时间 内单位体积中，吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度 u ( r , t ) ，因而净增中 子数可表为 α u ( r , t ) ， α 为比例常数。试导出 u ( r , t ) 所满足的方程。 用 q 表示单位时间流过某单位面积的中子数，有 q = − D∇u 。取一个六面体
− sin θ
θ +Δθ
∂u ⎤ 1 ⎛ ∂u k r + Δ ⎜ ⎥ ∂θ θ ⎦ Δϕ ⎜ ⎝ ∂ϕ
−
ϕ +Δϕ
= ρ ca 2 sin 2 θΔr
令 Δr , Δθ , Δϕ , Δt → 0 ，因为
Δu 。 Δt ⎡ ∂u ⎢sin (θ + Δθ ) ∂θ ⎣ − sin θ
θ +Δθ
1 Δθ
∂u ∂x
= 0 。由于左端点固定，故有 u
x=l
x=0
=0。
令（a）式中 t = 0 有 F − E S
∂u ∂x
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
第一章函数历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题]1、设函数，则f(x)=（）A、x(x+1)B、x(x-1)C、(x+1)(x-2)D、(x-1)(x+2)【正确答案】B【答案解析】本题考察函数解析式求解.，故[单选题]2、已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）.A、[1，3]B、[-1，5]C、[-1，3]D、[1，5]【正确答案】A【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题]3、设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）.A、[0，2]B、[0，16]C、[-16，16]D、[-2，2]【正确答案】D【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足：[单选题]4、函数的定义域为（）.A、[-1,1]B、[-1,3]C、(-1,1)D、(-1,3)【正确答案】B【答案解析】根据根号函数的性质，应该满足：即[单选题]5、写出函数的定义域及函数值（）. A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集，故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）.[单选题]6、设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】本题考察三角函数公式。
.[单选题]7、设则=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】令则，故[单选题]8、则（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]9、在R上，下列函数中为有界函数的是（）.xA、eB、1＋sin xC、ln xD、tan x【正确答案】B【答案解析】由函数图像不难看出在R上e x,lnx,tanx都是无界的，只有1+sinx可能有界，由于|sinx|≤1,|1+sinx|≤1+|sinx|≤2所以有界.[单选题]10、不等式的解集为（）.A、B、C、D、【正确答案】D【答案解析】[单选题]11、（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据二角和公式，[单选题]12、函数的反函数是（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】由所以，故.[单选题]13、已知则（）.A、B、C、D、【正确答案】C【答案解析】[单选题]14、已知为等差数列，，则（）.A、-2B、1C、3D、7【正确答案】A【答案解析】因为同理可得：故d=a4－a3=－2.[单选题]15、计算（）.A、B、C、D、【正确答案】A【答案解析】根据偶次根式函数的意义，可知，故[单选题]16、计算（）.A、0B、1C、2D、4【正确答案】C【答案解析】原式=[单选题]17、将函数|表示为分段函数时，=（）.A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】由条件[单选题]18、函数f(x)=是（）.A、奇函数B、偶函数C、有界函数D、周期函数【正确答案】C【答案解析】易知不是周期函数，,即不等于，也不等于，故为非奇、非偶函数.，故为有界函数.[单选题]19、函数,则的定义域为（）.A、[1,5]B、(1,5]C、(1,5]D、[1,5)由反正切函数的定义域知：，故定义域为[1,5].[单选题]20、下列等式成立的是()A、B、C、D、【正确答案】B【答案解析】A中(e x)2=，C中，D中[单选题]21、下列函数为偶函数的是()A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)【正确答案】A【答案解析】sinx是奇函数，cosx是偶函数。
高等代数第1章习题解
高等代数第1章习题解第一章习题解1.1数字1的基本知识。
找到9405和5313的最大公因数解：9405？5313? 4902，5313? 4902? 411，4909? 11? 411? 三百八十八411?388?23，而(23,388)?1，所以（9405，5313）=12.设置A1、A2、，？，一z、证据（A1、A2、an）？（A1，A2，an？1），an）证据：D1号命令？（a1，a2，an），d2？（（A1A，2？An，1a）n）由D1？（a1，a2，an），？d1ai，我？1,2,?, N1.d1and1(a1,a2,,an1),(d1an)d1((a1,a2,,an1),an)d1d2在D2之前？（（a1，a2，an？1），an）？d1（a1，a2，an？1），d1and1ai(i1,2,,n1),d1andai(i1,2,,n)d2(a1,a2,,an)d2d1那么D1呢？d23．求(504,630,1764,4536)解：630=504+126，504=1264→(630,504)=1264536=21764+1008,1764=1008+756,1008=756+252,756=2523→(1764,4536)=252252=1262所以(504,630,1764,4536)=1264.设a,b,c?z,ab,ac,证明a2bc证明:ab?b?aq;ac?c?ap?bc?a2(pq)?a2bc5.设a,b?z,ab,ba,证明a??b证明:ab?b?aq;ba?a?bp?b?(bp)q?pq?1P1.A.B6.设a是整数x是任意整数,那么ax?a??1;xa?a?0证明:若ax对任意整数x成立,那么取x?1,有a1?a??1;反之,若a??1,ax显然成立;如果XA适用于任何整数x，也就是a？XP适用于任何整数x，取x？0 a？相反，如果a?0,xa显然成立.7.假设a，B，D？z、 D呢？（a，b），证明u，v的存在？z、做D？欧？Bv证明：如果是？B0，那么（a，b）？0 a？0 b？0，因此结论成立；如果a和B不都是零，那么必须有一个整数s，t来表示as？英国电信？0令所有这样的正整数组成的集合为d,即:d?{as?bt?0|s,t?z},由于d是正整数组成的集合,故必有一个最小整数,设这个正整数为d?,即有整数u,v使d??au?bv我们说d?就是a,b的最大公因数.事实上，有一个任意因素，哈，B？bv？hd？；如果d?不是a,b的公因数,不妨设d?不是a的因数,那么由带余除法,有A.DQr、 0？RD于是a?(au?bv)q?r?r?a(1?qu)?b(?qv)?r?d这与d?是d中最小数的假设矛盾.8.设p为大于1的整数，a和B为任意整数。
九年级数学上册第一章一元二次方程第6讲解一元二次方程课后练习1
第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：解方程：(1)2-=+x x x531(2)(24)58-=-x x x题二：解方程：(1)2178+=x x(2)22-=-(21)(3)x x题三：已知关于x的方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0．当m取什么值时，方程有两个相等的实数根？题四：当k取什么值时，关于x的方程x2+kx+k+3=0有两个相等的实数根？题五：题面：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根．题六：若关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．题七：下列方程中，无论b取什么实数，总有两个不相等的实数根的是( )A．x2+bx+1=0 B．x2+bx=b2 C．x2+bx+b=0 D．x2+bx=b2+1题八：证明：无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．第6讲解一元二次方程——公式法（二）题一：见详解．详解：(1)方程化为25410x x--=∵a=5，b=-4，c=-1，∴△=b2-4ac=36＞0，∴x===46 10±，∴x1=1，x2=15 -．(2)方程化为22450x x+-=∵a=2，b=4，c=-5，∴△=b2-4ac=56＞0，∴x===，∴x1=1-+，x2=1--题二：见详解．详解：(1)方程化为28170x x-+=∵a=1，b=-8，c=17，∴△=b2-4ac=-4＜0，∴方程无实数解．(2) 方程化为23280x x+-=∵a=3，b=2，c=-8，∴△=b2-4ac=100＞0，∴x===210 23-±⨯，∴x1=43，x2=2-．题三：34 -．详解：∵方程x2+2(2m+1)x+(2m+2)2=0有两个相等的实数根，∴△=[2(2m+1)]2-4(2m+2)2=0，解得m=34 -，∴m=34-时，方程有两个相等的实数根．题四：6或-2．详解：∵△=k2-4(k+3)=k2-4k-12，又∵原方程有两个相等的实数根，∴k2-4k-12=0，解得k1=6，k2=-2，当k=6或k=-2，原方程有两个相等的实数根．题五：k＞98 -．详解：∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k2-1，∴△=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即8k+9＞0，解得k＞98 -．题六：m＞112-且m≠0．详解：根据题意得，m≠0，且△＞0，即△=[-(2m+1)]2-4m(m-2)=4m2+1+4m-4m2+8m=12m+1＞0，解得m＞112-，∴实数m的取值范围是m＞112-且m≠0．题七：D．详解：A．△=b2-4ac=b2-4×1×1=b2-4，不能保证△一定大于0，故不符合题意．B．△=b2-4ac=b2+4×1×b2=5b2≥0，方程有两个实数根，两个实数根可能相等，故不符合题意．C．△=b2-4ac=b2-4×1×b=b2-4b，不能保证△一定大于0，故不符合题意．D．△=b2-4ac=b2-4×1×[-(b2+1)]=b2+4b2+4=5b2+4＞0，方程一定有两个不相等的实数根．故选D．题八：见详解．详解：方程变形为x2-(4a-1)x+3a2-a-1=0，∵△=(4a-1)2-4(3a2-a-1)=4a2-4a+5=(2a-1)2+4，∵(2a-1)2≥0，∴△＞0，所以无论a取何值，方程(x-a)(x-3a+1)=1必有两个不相等的实数根．。
大学高等数学 第一章第一节到第四节典型例题
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
2.另两种情形 另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
1.定义 定义: 定义
极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
么小), 定义 1 如果 于 对 任意给 定的正 ε(不 它多 数 论 么小), ),使得对于适合不等式 总存在正数δ ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式
0 < x − x0 < δ (或 x > X )的一切x ,对应的函数值
⇒ 0 <| xn − a |< δ
故 | f ( xn ) − A |< ε
⇒ lim f ( xn ) = A
n→ ∞
设对 ∀xn , xn → a , xn ≠ a
都有
lim f ( xn ) = A
n→ ∞
要证 lim f ( x ) = A x→a
→ x→a
用反证法
若 lim f ( x ) ≠ A
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
( −1) n ( −1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n
注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 称函数为无穷小， 称函数为无穷小 变化过程； 变化过程； 2.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小的数混淆 无穷小是变量 不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案
第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。
高等数学第1章作业解答(选解)
作业1.11．设()1xf x x=-，记1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x -=，（23,n =）.求()n f x （2,3,n =）的表达式，并指出其定义域.解：2()[()]f x f f x =()1()f x f x =-111xx xx-=--12x x =-，21(){|,1,}2D f x x x =∈≠R . 假设()1k x f x kx =-，11(){|,1,,,}2k D f x x x k=∈≠R ，则1()()[()]1()k k k k f x f x f f x f x +==-111xkx x kx-=--1(1)x k x =-+，()k x D f ∈且()1k f x ≠， 由()1k f x ≠可知11x k ≠+. 所以()1n x f x nx =-，11(){|,1,,,}2nD f x x x n=∈≠R .3．已知{3,8()[(5)],8x x f x f f x x -≥=+<，求(5)f .解：(5)[(10)](7)[(12)](9)6f f f f f f f =====.4．设()f x 的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域： （3）()()(0)f x a f x a a ++->.解：由()f x 的定义域知0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，11a x aa x a-≤≤-⎧⇒⎨≤≤+⎩.当01/2a <≤时，1a a ≤-，所求定义域为[,1]D a a =-； 当1/2a >时，1a a >-，所求定义域为D =∅.5．设()f x x =，证明： （1）()f x 在(0,)+∞内有上界； （2）()f x 在(0,)+∞内单调增加. 证明：（1）当0x >时，()f x x =1x <=，所以1为()fx 在(0,)+∞内的一个上界. （2）当0x >时，()f x x ===1在(0,)+∞内单调减少，所以()f x 在(0,)+∞内单调增加.6．证明()cos f x x x =在(,)-∞+∞内无界. 证明：对任意一个正数M ，取正整数k M >，则(2)2cos 22f k k k k k M ππππ==>>，所以()f x 在(,)-∞+∞内无界.作业1.24．设1(1)sin2n n x nπ=+，证明数列{}n x 没有极限. 证明：考虑子数列2{}k x 和41{}k x +，我们有2lim 0k k x →∞=，411lim lim(1)141k k k x k +→∞→∞=+=+， 所以数列{}n x 没有极限.5．利用夹逼法求下列极限：、（1）n解：5<1lim lim 5(3)535nn n →∞→∞=⋅=，因此由夹逼法知5n =.（2）222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++； 解： 记222111:[](1)(2)()n x n n n n n =++++++，则111:[](1)(2)(2)(3)2(21)n n x y n n n n n n n >=++++++++11()121n n n =-++， 1111:[](1)(1)(2)(21)22n n x z n n n n n n n <=+++=+++-，容易算得1lim 2n n y →∞=，因此由夹逼法知1lim 2n n x →∞=.（3）lim n解：令10n a ≥，则212(1)(1)(1)1122n n nn n n n n n n n n n n a na a na a a ---=+=+++++≥+，可知n a ≤显然0n =，因此由夹逼法知lim 0n n a →∞=，从而1n =.6．设111,(1,2,)n x x n +===，证明数列}{n x 收敛.证明：21x x =>；假设1n n x x +>，则21n n x x ++=>=，所以数列}{n x 单调增加. 113x =<；假设3n x <，则13n x +==，所以数列}{n x 有上界3.因此，由单调有界收敛准则知数列}{n x 收敛.作业1.31．当2x →时，24y x =→. 问δ等于多少，使当|2|x δ-<时，|4|0.001y -<？ 解：因2x →，不妨设13x <<，于是2|4||4||2||2|5|2|y x x x x -=-=+⋅-<-.要|4|0.001y -<，只要5|2|0.001x -<，即|2|0.0002x -<. 所以可取0.0002δ=.6．已知221lim 61x x ax bx →++=-，求,a b 的值. 解：由2222111lim()lim lim(1)01x x x x ax bx ax b x x →→→++++=⋅-=-， 得10a b ++=，于是2(1)()x ax b x x b ++=--，因此221116lim lim 112x x x ax b x b bx x →→++--===-+， 得11b =-，从而10a =.作业1.41．sin limx x x→∞=？说明理由，并计算sin lim 2sin x x xx x →∞+-.解：当x →∞时，1x 为无穷小，而sin x 有界，所以sin x x也为无穷小，即sin lim0x xx →∞=. sin 1sin 1lim lim sin 2sin 22x x x x x x x x x x→∞→∞++==--.3．计算下列极限： （2）lim )x x →-∞；解：lim )x x →-∞limx =3lim2x ==-.（4）31||lim()1x xx e x e x→∞+-+； 解：31||3lim ()lim (1)211x xxx x x e x e e x e--→+∞→+∞++-=-=++， 31||31lim ()lim (1)211x x x x x x e x e e xe →-∞→-∞++-=+=++， 所以31||lim()21x xx e x e x→∞+-=+.6．计算下列极限： （3）0→x解：原式02tan (1cos )lim 11sin 32x x x x x→⋅-=⋅2022lim31132x x x x x →⋅==⋅.（4）20ln(1)lim sec cos →+-x x x x；解：原式222222000cos ln(1)ln(1)lim lim lim 11cos sin x x x x x x x x xx →→→++====-.（5）0x →.解：原式0x →=012x →=2021112lim 122sin 2x x x x x →⋅==⋅.作业1.53．设,0()0x a x f x x +≤⎧⎪=>. 问常数a 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？解：要()f x 在(,)-∞+∞内连续，只要()f x 在点0x =处连续，于是0(0)lim ()x a f f x +→==002lim lim 412x x xx++→→===.4．求下列函数的间断点，并判别其类型：（1）2,||1()2,||1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩；解：由初等函数的连续性知()f x 的间断点只可能是1x =和1x =-. 由211lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)1x x f x x ++→→=-=， 知1lim ()1(1)x f x f →==，所以()f x 在点1x =处连续. 由11lim ()lim (2)3x x f x x --→-→-=-=，211lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==，知1x =-为()f x 的跳跃间断点. （2）tan xy x=；解：由初等函数的连续性知该函数y 的间断点为x k π=和2x k ππ=+，其中Z k ∈.因为0lim 1x y →=，2lim 0x k y ππ→+=，所以0x =和2x k ππ=+为函数y 的可去间断点.因为lim x k y π→=∞（0k ≠），所以x k π=（0k ≠）为函数y 的无穷间断点.（3）1sin 1y x xπ=-； 解：由初等函数的连续性知该函数y 的间断点为0x =和1x =.由01lim11x x →=--，且0x =为sin xπ的振动间断点，知0x =为函数y 的振动间断点. 因为11111(1)lim limsin lim sin11x x x x y x x x xππ→→→-==--11(1)lim 1x x x x ππ→-=⋅=-， 所以1x =为函数y 的可去间断点.（4）11()arctanln ||x f x x x -=+. 解：由初等函数()f x 在其定义域内处处连续知()f x 的间断点为0x =，1x =-和1x =.0lim ()2x f x π-→=-，0lim ()2x f x π+→=， 所以0x =为()f x 的跳跃间断点.1lim ()x f x →-=∞，所以1x =-为()f x 的无穷间断点.111111lim ()lim(arctan )lim 1ln 4ln[1(1)]4x x x x x f x x x x ππ→→→--=+=+=++-， 所以1x =为()f x 的可去间断点.5．讨论函数221()lim1nnn x f x x x →∞-=+的连续性，若有间断点，判别其类型. 解：当||1x <时，2lim 0n n x →∞=；当||1x >时，2lim nn x →∞=+∞. 由此可知221()lim 1n nn x f x x x →∞-=+,||10,||1,||1x x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩. ()f x 的间断点只可能是1x =和1x =-.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-， 11lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，故1x =和1x =-为()f x 的跳跃间断点. ()f x 在(,1)-∞-、(1,1)-和(1,)+∞内连续.作业1.63．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<，则在(,)a b 内至少有一点ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证明：因为()f x 在1[,]n x x 上连续，由最值定理和介值定理知，()f x 在1[,]n x x 上的值域为[,]m M ，其中m 和M 分别为()f x 在1[,]n x x 上的最小值和最大值. 易知12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤，所以在1[,]n x x 上至少有一点ξ（当然ξ在(,)a b 内），使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.4．设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()x f x →∞存在，证明()f x 在(,)-∞+∞内有界.证明：设lim ()x f x A →∞=，则存在0X >，使得当||x X >时，有|()|1f x A -<. 由有界性定理知()f x 在[,]X X -上有界，设K 为一个界. 取max{,||1}M K A =+，则M 为()f x 在(,)-∞+∞内的一个界.。
(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。
西安理工大学研究生数理方程课件及复习题
A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别 为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简 下面我们通过自变量的变换，对方程在区域 内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第 章 典型方程和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件
初二数学第一章练习题答案和解析
初二数学第一章练习题答案和解析在初二数学的第一章练习题中，我们将为您提供详细的答案和解析。
这些解析将帮助您更好地理解和掌握这些数学概念和技巧。
以下是针对练习题的答案和解析：1. 请计算以下各式的值：a) 3 + 5b) 8 - 4c) 2 × 6d) 12 ÷ 3解析：a) 3 + 5 = 8b) 8 - 4 = 4c) 2 × 6 = 12d) 12 ÷ 3 = 42. 简化以下各表达式：a) 4a + 2ab) 3b - bc) 5c × 2d) 6d ÷ 3解析：a) 4a + 2a = 6ab) 3b - b = 2bc) 5c × 2 = 10cd) 6d ÷ 3 = 2d3. 计算以下方程的解：a) 2x + 3 = 9b) 4y - 2 = 10c) 3z - 5 = 16解析：a) 2x + 3 = 9将等式两边都减去3： 2x = 6再将等式两边都除以2： x = 3b) 4y - 2 = 10将等式两边都加上2： 4y = 12再将等式两边都除以4：y = 3c) 3z - 5 = 16将等式两边都加上5：3z = 21再将等式两边都除以3：z = 74. 求以下等差数列的第n项：a) 2, 5, 8, 11, ...b) 10, 7, 4, 1, ...解析：a) 这是一个以3为公差的等差数列，首项为2。
第n项可以通过公式an = a1 + (n - 1)d计算得出，其中a1为首项，d为公差。
第n项 = 2 + (n - 1)3b) 这是一个以-3为公差的等差数列，首项为10。
使用相同的公式计算第n项：第n项 = 10 + (n - 1)(-3)5. 对以下各题，判断方程的解是否为整数：a) 3x - 5 = 7b) 4y + 2 = 15c) 2z - 3 = 10解析：a) 3x - 5 = 73x = 12x = 4解是整数。
高等代数第1章习题解
第一章习题解4902411=+，490911411388=⋅+41138823=+，而233881(,)=，所以（9405，5313）=12．设12,,, n a a a Z ∈，证明12121(,,,)((,,,),) n n n a a a a a a a -= 证明：令112(,,,), n d a a a = 2121((,,,),)n n d a a a a -= 由112(,,,), n d a a a =11121,,,,; i n d a i n d a ⇒=-11211112112(,,,),()((,,,),) n n n n d a a a d a d a a a a d d --⇒⇒⇒由212111211((,,,),)(,,,), n n n n d a a a a d a a a d a --=⇒1112112(,,,),(,,,) i n i d a i n d a d a i n ⇒=-⇒=21221(,,,) n d a a a d d ⇒⇒所以12d d =(630,504)=1264536=2·1764+1008, 1764=1008+756,1008=756+252,756=252·3→(1764,4536)=252 252=126·2所以(504, 630, 1764, 4536)=12622;()a b b aq a c c ap bc a pq a bc ⇒=⇒=⇒=⇒1;()a b b aq b a a bp b bp q pq ⇒=⇒=⇒=⇒=1p a b =±⇒=±若a x 对任意整数x 成立,那么取1x =,有11a a ⇒=±;反之,若1a =±,a x 显然成立;若x a 对任意整数x 成立,即a xp =对任意整数x 成立,取00x a =⇒=;反之,若0a =,x a 显然成立.7.设,,a b d Z ∈, 且(,)d a b =, 证明存在,u v Z ∈, 使得d au bv =+如果0a b ==,则000(,)a b a b ==⋅+⋅,所以结论成立; 如果,a b 不全为零,那么一定存在整数,s t 使0as bt +>,令所有这样的正整数组成的集合为D,即:0{|,}D as bt s t Z =+>∈, 由于D 是正整数组成的集合,故必有一个最小整数, 设这个正整数为d ',即有整数,u v 使d au bv '=+ 我们说d '就是,a b 的最大公因数.事实上,对于,a b 的任意公因数h ,显然有h au bv +h d '⇒;如果d '不是,a b 的公因数,不妨设d '不是a 的因数,那么由带余除法,有0,a d q r r d ''=+<<于是 1()()()a au bv q r r a qu b qv r D =++⇒=-+-⇒∈ 这与d '是D 中最小数的假设矛盾.如果P 不是质数,那么有两个大于1的整数,s t 使11,,p st s p t p =<<<< 显然有p st ,按题设,应有p s 或p t ,但这显然不可能..9.设12,S S 都是数环,请问12S S 与12S S 是否是数环,为什么?12S S 是数环,而12S S 未必是数环.事实上:1211,,,,a b S S a b S a b a b ab S ∀∈⇒∈⇒+-∈ 同理: 21,,,a b S a b a b ab S ∈⇒+-∈ 所以12,,a b a b ab S S +-∈ ,即12S S 是数环.取1257{|},{|}S k k Z S k k Z =∈=∈,这时1257,S S ∈∈,但121257121212,S S S S +=∉∉⇒∉所以12S S 未必是数环.,()()()(a c S a c a c b d S ∀++∈⇒+++=+++∈()()()(a c a c b d S +-+=-+-∈2()()()(a c ac bd ad bc S ++=-++∈所以{|,}S a a b Z =+∈是数环;但110S S =+∈=+∈=,而12Z ∉,所以2i S ∉,所以{|,}S a a b Z =+∈不是数域;{,}S a a b Q =+∈ 1.2一元多项式1.若43232231321(),()f x x x x x g x x x x =-+-+=-+-,求()(),()(),f x g x f x g x +-和()()f x g x4324325522()(),()()f x g x x x x f x g x x x x x +=++-=-+-+765432314141210621()()f x g x x x x x x x x =-+-+-+-2.求,,a b c 使22432211251()()x bx x ax x x cx x +--+=++--224322112211()()()()()x bx x ax x b a x ab x a b x +--+=+-+-++-432251x x cx x =++--所以: 2511,,b a ab c a b -=-=+=-213,,a b c ⇒=-==3.,,,a b c d 取何值时,多项式32322()()()f x a b c x a b c x dx =+-++-++与322()()()()g x a c x a d x c a x b =++-+++相等.1234,,,a b c d ====4.将多项式4323223()f x x x ax x =-++-化成2x +的方幂形式43232262852122261()()()()()f x x x x x =+-+++-++ 5.设多项式00(),()f x g x ≠≠,问(),()f x g x 的系数满足什么条件时,公式(()())max{(),()}f x g x f x g x ∂+≤∂∂等号成立?满足什么条件时,小于号成立?1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ,1110()n n n n g x b x b x b x b --=++++ 当0n n a b +≠时,公式中的等号成立; 当0n n a b +=时,公式中的小于号成立;6.设(),(),()[]f x g x h x R x ∈,若222()()()f x xg x xh x =+,则0()()()f x g x h x ===(),()g x h x 至少有一个不是零多项式.由于(),()[]g x h x R x ∈,所以2222(()())max{(),()}g x h x g x h x ∂+=∂∂于是等式222()()()f x xg x xh x =+右边的的次数为奇数,而左边的次数为偶数,这导致矛盾,所以必然有0()()()f x g x h x ===7. .设(),()[]f x g x R x ∈,若00(),()f x g x ≠≠,证明则220()()f x g x +≠11100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ ,11100(),m m m m m g x b x b x b x b b --=++++≠ ,并且m n ≤于是22()()f x g x +的最高次项的系数为22,()n m a b m n +=或2,()n a m n <,不论是哪种情形,22()()f x g x +的最高次项的系数都不为零,所以220()()f x g x +≠(但这个结论对复数域上的多项式不成立,例如22(),(),f x ix g x x ==但22440()()f x g x x x +=-+=1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+ 2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x +(3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x(4)成立,由于()(),()()f xg x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f x g x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒12()()()h x r x r x -但1212[()()]max{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n x x x x x x x x +++++++=+++++- 221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()k k k f x xf x c xg x c =+=+,由|()|k k x f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),nn n n n f x a x a xa x a a --=++++≠ 于是由于111|n n n n x a x a x a x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a x a x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|d n x x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是11111()()n dq r dq r r r r dq r x x x x x x x x x +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n . 1.4最大公因式 1.求((),())f x g x(1)433234123(),()f x x x x g x x x =+--=+- (2) 32264530(),()f x x x x g x x x =-++=+- (3) 543243211(),()f x x x x x g x x x x =++-+=+++(4) 543257248(),f x x x x x x =-+-+-4325202144()g x x x x x =-+-+(1)2223422155()()()(),()()()f x g x x x x g x x x x x =+-+-=+--+-21212()()()r x x x x x =+-=-+所以1((),())f x g x x =-;(2) 741556()()()(),()()()f x g x x x g x x x =-+-=-+ 所以5((),())f x g x x =-; (3) 1((),())f x g x =(4)322221251()()(),()()()f x x x x g x x x =-++=-+所以22((),())()f x g x x =-2.设111()n n n n f x x a x a x a --=++++ 12121()n n n n g x x a x a x a ----=++++ ,1n >,求((),())f x g x由于10()()()()()()((),())n n n n g x a xg x f x a f x g x x a f x g x a =⎧=-⇒+-=⇒=⎨≠⎩3.设212(),(),m n m n m m f x x x x g x x x m n +-=---=--> ,求((),())f x gx4.对下列各题的(),()f x g x ,求(),()u x v x ,使((),())()()()()f x g x f x u x g x v x =+ （1）432421563()f x x x x x =+-++，3253()g x x x =-+ （2）432242(),f x x x x x =+---43222()g x x x x x =+--- （3）432442(),f x x x x x =--+-321()g x x x x =+--1）2215()()()()f x g x x x x =+--，22231()()()()g x x x x x =-+--21()x x x x -=-所以1((),())f x g x x =-15121225()[()()()])()()x g x x f x x f x -=+-+-所以222421115151555()()x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221515()u x x =--，24211555()v x x x =+- （2）32()()f x g x x x =+-，32212()()()g x x x x x =-++-3222()x x x x -=-，所以22((),())f x g x x =-23221112()()()()[()()]()()()()()x g x x x x g x f x g x x x f x x g x -=--+=--+=--++所以：1()u x x =--，2()v x x =+（3）2234()()()()f x g x x x x =---+，2344717()()()g x x x x x =-+++-2493471774128()()()x x x x -+=--+，所以1((),())f x g x =22222212849341717747173443427179241284929245351107()()()()()()()()()()()()()[()()()][()()()()]()()()()x x x x g x x x x x x g x x f x x g x x x x f x g x x f x g x x x x f x x f x x x g x =-+----=--++-+=---=--++=-----++=--++-所以253511074949(),()x x x u x v x --+-== 5.令()f x 与()g x 是[]F x 中的多项式，而,,,a b c d是F中的数，并且满足0ad bc -≠，证明(()(),()())((),())af x bg x cf x dg x f x g x ++=12()((),()),()(()(),()())d x f x g x d x af x bg x cf x dg x ==++ 令 ()()(),()()())u x af x bg x v x cf x dg x =+=+ 那么 ()()(),()()())du x adf x bdg x bv x bcf x bdg x =+=+两式相减整理得：()()()d b f x u x v x ad bc ad bc=---同理：()()(),()()())cu x acf x bcg x av x acf x adg x =+=+()()()c ag x u x v x bc ad bc ad=---由于 111()((),())()|(),()|()d x f x g x d x f x d x g x =⇒11()|()(),()|()()d x af x bg x d x cf x dg x ⇒++ 12()|()d x d x ⇒反过来：2()(()(),()())((),())d x af x bg x cf x dg x u x v x =++=22()|(),()|()d x u x d x v x ⇒22()|()()()()|()()()d b d x u x v x f x ad bc ad bc c a d x u x v x g x bc ad bc ad ⎧-=⎪⎪--⇒⎨⎪-=⎪--⎩21()|()d x d x ⇒所以 12()()d x d x =6.证明定理1.4.7的逆：若1((),()())f x g x h x =，那么1((),())f x g x =与1((),())f x h x =都成立。
第一章定解问题及方程导出例
第一章 定解问题§1 大体概念1．数学物理方程：是指从物理问题中所导出的反映客观物理量在各个地址、各个时刻之间彼此制约的一些偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程）2．数学物理方程的分类数学物理方程按其所代表的物理进程可分为如下三类：（1）描述振动和波动特征的波动方程f u a u tt +∆=2（2）反映输运进程的扩散（或热传导）方程f u D u t +∆=（3）描述稳固进程或稳固状态的poisson 方程h u -=∆其中 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆ 22t u u tt ∂∂=，t u u t ∂∂= 而未知函数u (x , y , z , t )在三类方程中别离表示位移、浓度（或温度）和稳固现象特征；a 和D 表示波速和扩散（或热传导）系数；f 和h 是与源（汇）有关的已知函数，当f =0或h =0时，相应的方程称为齐次方程。
3．用数学物理方程研究问题的一般步骤（1）导出或写出定解问题（它包括数学物理方程和定解条件两部份）（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的解讨论其适应性（即解的存在性、惟一性、稳固性），并作出适当的物理解释4．求解数学物理方程的方式求解数学物理方程的方式大致能够分为如下几种：行波法（达朗贝尔法）；分离变量法；积分变换法；Green 函数法；保角变换法；复变函数法；变分法；数值方式§2 数学物理方程的成立或推导1．成立（或推导）数学物理方程的步骤成立数学物理方程一般步骤step1：从所研究的系统中任取一单元体，分析该单元体与临近单元体之间的彼此关系；step2：按照有关的物理定律（如牛顿第二定律、能量守恒定律、奥—高定律等）；用算式表达那个作用；step3：化简、整理即得所研究问题知足的数学物理方程。
2．成立（导出）方程时经常要用到的物理定律（1）Newton 第二定律：F=ma（2）Fourier 实验定律（即热传导定律），当物体内部存在温度差时会产生热量的流动。
高等数学第一章参考答案
第一章参考答案习题1.11.（1）证：对0ε∀>，（要使得33110n n ε-=<，考虑到311n n ≤，只要1n ε<，即1n ε>） 取1=[]+1N ε，则当n N >时，有310n ε-<，故31lim 0n n →+∞=。
（2）证：2121131393n n n n+-=<++， 对0ε∀>，（要使得212313n n ε+-<+，只要1n ε<即可，即1n ε>） 取1=[]+1N ε，则当n N >时，有212313n n ε+-<+，故212lim 313n n n →+∞+=+。
（3）证：0ε∀>，（要使得22sin 10n n n ε-<<，由于211n n ≤，只要1n ε<，即1n ε>） 取1=[]+1N ε，则当n N >时，有2sin 0n n ε-<，则2sin lim 0n nn→+∞=。
（4）证：1n +-=<故对0ε∀>，0ε<ε<，即21n ε>）取21=[]+1N ε，则当n N >0ε<，则lim 0n →+∞=。
2.证明:对实数a 、b ，0,a b a b εε=⇔∀>-< 证“⇒”a b =，则0a b -=，故0a b ε-=<，即a b ε-<再证“⇐”假设a b ≠，不妨令a b >，取0=2a b ε-，由条件可知0=2a b a b ε--<，即112<，矛盾。
3. 证明:“⇒”，{}n a 收敛于a ，0ε∴∀>，N ∃，当n N >时，n a a ε-<，即n a a a εε-<<+，n N ∴>时，(,)n a U a ε∈，故(,)U aε之外最多只含数列n a 的前N 项。
“⇐”，若对0ε∀>，(,)U a ε之外只含数列n a 的有限项，不妨设为120,,...,m k k k a a a ，取012max{,,...,}m N k k k =，则当n N >时，n a (,)U a ε∈，即n a a ε-<{}n a ∴收敛于a 。
高中数学 第一章 导数及其应用阶段通关训练 2-2
第一章导数及其应用阶段通关训练（60分钟100分）一、选择题(每小题5分,共30分）1。
(2017·永安高二检测）曲线y=x3在点x=2处的切线方程是( )A。
12x-y-16=0B.12x+y-32=0C.4x—y=0D.4x+y-16=0【解析】选A.由题意，可对函数y=x3进行求导得y′=3x2，当x=2时,y=23=8,y′=3×22=12，所以切线方程为y-8=12(x—2）,即12x-y—16=0。
2.在下面所给图形阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有（)A。
①③B。
②③ C.①④ D.③④【解析】选D.①应是S=[f(x）-g(x)]dx，②应是S=2dx—(2x-8)dx，③和④正确。
【补偿训练】曲线y=x2+2x与直线x=-1，x=1及x轴所围图形的面积为( )A。
2 B。
C. D.【解析】选A。
S=-(x2+2x）dx+(x2+2x)dx=-+=+=2。
3.当x∈[-2，1］时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ）A.[—5,—3］B。
C.［—6，-2] D。
［-4，-3］【解题指南】讨论x的范围利用分离参数法,转化为最值问题.【解析】选B。
当x∈（0，1]时，得a≥—3—4+，令t=,则t∈[1，+∞),a≥-3t3—4t2+t，令g(t)=—3t3-4t2+t，t∈［1，+∞），则g′（t）=—9t2-8t+1=-（t+1）·(9t-1)，显然在［1，+∞)上，g′（t）〈0,g(t)单调递减,所以g（t）max=g（1)=—6，因此a≥-6；同理,当x∈[—2,0)时，得a≤—.由以上两种情况得—6≤a≤—,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为。
4。
设f（x)=（其中e为自然对数的底数），则f(x)dx的值为（）A。
B. C.D。
【解析】选A.f(x）dx=x2dx+dx=x3+lnx=-0+ln e-ln1=+1=.5.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C。
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题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n
qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0
x xl
u ( x,0)
e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u
t
2
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0
lx
解：设杆的位移函数为u(x,t),该
问题是杆的纵向振动问题:
2u(x, t) t 2
a
2u(x, t) x 2
,Байду номын сангаас
(0 x l, t 0)
考虑边值条件.设一端固定是在x=0处,则有 u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)放手后成为自由 端,也就是在振动过程中不受外力作用，故有
表明热流方向与x轴正向相反，即
k u q
x xl
综上述，相应的定解问题为
Sn
u
t
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
0
qn
x l
u(0,
t
)
0,
u(
x,
t
)
q, t0
x xl k
x(l x)
u(x,0) 2 , 0 x l