浙江大学高等数学模拟试题卷
浙江大学2015-2016学年秋学期《线性代数》期中考试模拟试卷及答案
Hale Waihona Puke 熊熊看星星 整理第 6 页，共 6 页
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浙大远教数学模拟试卷B1加答案
浙江大学远程教育学院试题卷2005—2006学年夏学期（夏考）B 卷 课程代码名称 学习中心年级专业（层次）06春电气工程与自动化专升本 学号 姓名 请务必将答案写在答题纸上，写在试题卷上一律不批改，责任自负。
一、填空题（每空4分，共40分）：1. 设()iz i =，那末Re z =______(0.52) k e π-+______，Im z =_______0______。
2. 设()sin(1/)f z z =,那么函数()f z 除了点z =__0__外处处解析,且()f z '=_____211cos()z z-_____。
3. 微分方程y y '=的通解y =_____x ce _____，当满足条件(0)1y =时，y =_____x e ____。
4. 设已知方程()()y p x y f x '+=的齐次方程一解为2x 、非齐次方程一解为1，则方程的通解为y =____________21cx +______________。
5. 拉氏变换 [()]u t =____1/s __，拉氏逆变换 1-1[]1s =+___t e - _。
6. 傅氏变换性质: [()()]f t g t αβ+=__αΦ[()]f t +βΦ[()]g t ____________________。
二、求微分方程通解(每小题7分，共21分)1.4/cos y x y '=解： 方程变为 cos 4ydy xdx =积分得 2sin 2y x c =+∴解为 2arcsin()y x c =+ 2. xy y x '-=. 解：先解齐次方程 0xy y '-= 得 y cx =设非齐次方程解为 ()y u x x = 代入得 1/u x '=积分得 l n ||u x c=+ ∴(ln ||)y x x c =+ 3. 231y y y '''--=解：特征方程为 2230λλ--= 解方程得两根 121, 3 λλ=-=∴相应齐次方程的通解为312x x y c e c e -=+ 设非齐次方程一特解为 *y a = 代入得 1/3 a =-三、计算积分（每题8分，共24分）四、1. 21sin z z dz z =⎰，积分曲线正向. 解：原积分＝02(sin )2z i z i ππ='= 2. 2cos (1)z z dz z z =+⎰，积分曲线正向. 解：原积分＝211cos ()1z z dz z z =-+⎰ ＝2211cos cos 1z z z dz z dz z z ==-+⎰⎰ ＝012(cos cos )z z i z z π==--=2(1cos1)i π-3. 220cos 1x dx x ∞+⎰ 解：原积分211cos 241x dx x +∞-∞+=+⎰ 记22141i xe I dx x +∞-∞==+⎰ ∴ 原积分=244e ππ-=+四、求积分变换（15分）1. 求()(1)(1)f t u t u t =+-的傅氏变换.解：11()j t F e dt ωω--=⎰ 2求22()(1)(1)F s s s =+＋的拉氏逆变换。
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《高等代数》试卷及答案解析
O
In
又
λIm A = λm−n Im A = λm−n|λIn − BA|.
B In
B λIn
所以 |λIm − AB| = λm−n|λIn − BA|. 当 λ = 0 时，若 m > n，因为 r(AB) < m，所以 | − AB| = 0，结论成
立；若 m = n，显然结论也成立。 （2）设 A = In − 2αT α，由（1）可得
(αT
AT
)
(Aα)
=
( λ0
αT
)
(λ0α)
.
由此可得，αT
α
=
λ20αT
α,
即
(λ20
−
) 1
αT
α
=
0,
由于
α
̸=
0,
因此
αT
α
̸=
0.
从而 λ20 − 1 = 0. 于是 λ0 = ±1.
（2）如果正交矩阵 A 的行列式 |A| = −1, 那么
| − I − A| =
A (−AT
−
) I
= |A| (−A − I)T
(xj − xi) .
1≤i<j≤n
二、证明:
1
A
0 第一行左乘以B加到第二行 A
0
0 I − BA
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
BA I − BA
第一列加到第二列 A A
−−−−−−−−−−−−−→ BA I
第二行左乘以-A加到第一行 A − ABA 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
浙大远程教育入学测试题-高等数学
浙江大学远程教育学院模拟试题卷 高等数学（2）（专本）一、判断题（正确的填A ，不正确的填B ）1) 函数x x f 2)(=，则2)2(±=f 。
( )2) 函数1+=x y 的反函数是1-=x y 。
( ) 3) 1tan lim 0=→x x x 。
( ) 4) e x x x =-→/10)1(lim 。
( )5）设)(x f 在0x x =点左连续, 则)(x f 在0x x =点连续。
( ) 6)1sin lim =+∞→xx x 。
( ) 7）设)(x f 在0x x =点连续, 则)(x f 在0x x =点左连续。
( )8) 当0→x 时，x 2cos 是无穷小量。
( )9) )1ln(+x 是无穷小量。
( )10）初等函数在定义域内是处处可导。
( )11）设 )1ln(x y -= , 则xdx dy -=1。
( ) 12）设 x y tan = , 则x y 2sec ='。
( )13) )(x f y =在其定义域内的极大值有可能小于极小值。
( )14）函数x y ln =在其定义域内是下凹的。
( )15）设 2222++=x x y , 则42ln 22++='x x y 。
( )16) 若)(x f 在0x 点0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点可能取极值。
( ) 17) =dx e x x de 。
( )18) 不定积分 ⎰+-=-c t dt t arccos 112。
( ) 19) 定积分 0cos 11=⎰-dx x x 。
( ) 20) 定积分 dt t f dx x f ba b a)()(⎰⎰=。
( )21）设x x f +=+1)1(，则x x f =)(。
（ ）22）212sin lim 0=→x x x 。
（ ） 23）设 y = x e 3 , 则dx e dy x 33=。
（ ）24）设2x y =，则在2=x 点的导数是0)2(2='。
浙江大学附中高考数学模拟试卷(5月份)解析版
高考数学模拟试卷（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（）A. 2,B. 2,C. 3,D. 2,3,2.设复数z1=-1+2i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1•z2=（）A. -4B. 3iC. -3+4iD. -4+3i3.已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（）A. 若m∥α且n∥α，则m∥nB. 若m⊥β且m⊥n，则n∥βC. 若m⊥α且m∥β，则α⊥βD. 若m不垂直于α，且n⊂α则m不垂直于n4.已知α，β是第一象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＜cosβ”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分与不必要条件5.函数（其中e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（）A. m＞0，0＜n＜1B. m＞0，-1＜n＜0C. m＜0，0＜n＜1D. m＜0，-1＜n＜06.若二项式（+）n的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 207.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D. 38.甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1，2，3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1（i），E2（i）则以下结论错误的是（）A. E1（1）＞E2（1）B. E1（2）=E2（2）C. E1（1）+E2（1）=4D. E1（3）＜E2（1）9.已知f（x）=x2-2x+c，f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n-1（x））（n≥2，n∈N*），若函数y=f n（x）-x不存在零点，则c的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知正四面体A-BCD中，P为AD的中点，则过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成60°的平面共有（注：若二面角α-l-β的大小为120°，则平面α与平面β所成的角也为60°）（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若，则a=______；=______．12.已知实数x，y满足不等式组则y的最小值为______；当ax+y的最大值为时，实数a的值为______．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______；表面积是______．14.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有______种．15.设为三个非零向量，且++=，||=2，|-|=2，则||+||的最大值是______．16.已知直角三角形ABC中，直角边AC=6，点D是边AC上一定点，CD=2，点P是斜边AB上一动点，CP⊥BD，则△APC面积的最大值是______；线段DP长度的最小值是______．17.数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知f（x）=2cos x•sin（x+）+sin x•cos x-sin2x．（1）求函数y=f（x）（0＜x＜π）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而=，求BC边上的高AD长的最大值．19.等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．20.在数列{a n}中a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中c≠0．（Ⅰ）求{a n}通项公式；（Ⅱ）若对一切k∈N*有a2k＞a2k-1，求c的取值范围．21.如图，已知点F为抛物线W：x2=4y的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线W于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．（Ⅰ）求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；（Ⅱ）设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求|MN|的最小值．22.设a，b∈R，已知函数f（x）=a ln x+x2+bx存在极大值．（Ⅰ）若a=1，求b的取值范围；（Ⅱ）求a的最大值，使得对于b的一切可能值，f（x）的极大值恒小于0．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是集合交、并、补的简单基本运算，属于基础题.先求A、B的交集，再求与C的并集即可.【解答】解：∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}，又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}故选D．2.【答案】D【解析】解：z1•z2=（-1+2i）（2+i）=-4+3i．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，n∥β或n⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m可以垂直于n．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．【解答】解：由空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，知：在A中，若m∥α且n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥β且m⊥n，则n∥β或n⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α且m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．故选：C．4.【答案】C【解析】【分析】sinα＞sinβ，α，β都是第一象限角，可得：sinα＞sinβ＞0，平方利用平方关系即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判断方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：若sinα＞sinβ，∵α，β都是第一象限角，∴sinα＞sinβ＞0，∴sin2α＞sin2β，∴1-cos2α＞1-cos2β，∴cos2α＜cos2β，又∵α、β都是第一象限的角，∴cosα＞0，cosβ＞0，∴cosα＜cosβ，反之也成立．∴α，β是第一象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＜cosβ”充要条件．故选：C．5.【答案】C【解析】解：根据题意，设t==（x-n）2，为二次函数，其对称轴为x=n，则y=e t，当m＞0时，t=（x-n）2在（0，n）上为减函数，在（n，+∞）上为增函数，而y=e t，在R上为增函数，根据复合函数的单调性，在（0，n）为减函数，在（n，+∞）上为增函数，与题干图象不符合，故m＞0不成立当m＜0时，t=（x-n）2在（0，n）上为增函数，在（n，+∞）上为减函数，而y=e t，在R上为增函数，根据复合函数的单调性，在（0，n）为增函数，在（n，+∞）上为减函数，符合题意；故m＜0，且0＜n＜1；故选：C．根据题意，设t==（x-n）2，则y=e t，分m＞0与m＜0两种情况讨论，结合复合函数的单调性变化规律分析可得答案．本题考查函数的图象变化，涉及复合函数的图象，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令x=1，则2n=32，解得n=5，∴的通项公式：T r+1==，令=1，解得r=1．∴该展开式中含x的系数为=5．故选：B．令x=1，则2n=32，解得n=5，再利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知，一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为y -0=k（x-c），代入渐近线方程y=x可得H的坐标为（，），故F2H的中点M（，），根据中点M在双曲线C上，∴=1，∴=2，故=，故选：A．设一渐近线方程为y=x，则F2H的方程为y -0=k（x-c），代入渐近线方程求得H的坐标，有中点公式求得中点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出F2H的中点M的坐标是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：用X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，当i=1时，则P（X=2）=P（Y=2）==，P（X=4）=P（Y=0）==，P（X=3）=P（Y=1）=×2=，∴E1（1）=2×+3×+4×=，E2（1）=2×+0×+1×=．故A正确，C正确，当i=2时，P（X=1）=P（Y=3）==，P（X=2）=P（Y=2）=×2=，P（X=3）=P（Y=1）==．∴E1（2）=1×+2×+3×=2，E2（2）=3×+2×+1×=2．故B正确．当n=3时，P（X=0）=P（Y=4）==，P（X=1）=P（Y=3）=×2=，P（X=2）=P（Y=2）=，∴E1（3）=0×+1×+2×=．故D错误．故选：D．分别就i=1，2，3计算概率得出数学期望，得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列，组合数公式应用，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因函数y=f n（x）-x不存在零点，当n=1时，考察f（x）-x的零点，因它不存在零点，说明x2-3x+c=0没有实数根，△＜0，即．那就排除答案中A，B，D选项，从而得出正确选项．故选C．本选择题可以使用排除法解决．首先，当n=1时，考查f（x）-x的零点，因它不存在零点，说明x2-3x+c=0没有实数根，△＜0，那就排除答案中A，B，D选项，从而得出正确选项．本小题主要考查函数零点的判定定理等基础知识，考查运化归与转化思想．解答关键是排除法的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，则∠AED就是二面角A-BC-D的平面角，在等腰三角形AED中，可求得cos∠AED=，∴二面角A-BC-D的余弦为，二面角A-BC-D∈（，），设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（，），∴过点P可作4条直线同时与直线m，n成，即符合题意的平面有4个．故选：D．在正四面体A-BCD中，取BC的中点E，连结AE，DE，则∠AED就是二面角A-BC-D 的平面角，设过点P垂直于平面ABC的直线为m，过点P垂直于平面BCD的直线为n，则m与n所成角∈（，），可得过点P可作4条直线同时与直线m，n成，即可得出结论．本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】 2【解析】解：∵；∴；∴．故答案为：．根据即可得出，从而求出．考查分数指数幂的运算，以及对数的运算性质．12.【答案】1 -2【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；由图形知，点A的纵坐标最小，由，求得A（2，1），所以y的最小值为1；设z=ax+y，则y=z-ax，由图象知，直线过点B时，直线的截距最大，z取得最大值，由，解得B（，），∴a+=，解得a=-2．故答案为：1，-2．根据题意画出不等式组表示的平面区域，结合图象求出区域内点的纵坐标最小值，再设z=ax+y，找出最优解，求得z取最大值时a的值．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．13.【答案】4 12+【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，侧棱PA⊥底面ABCD．该几何体的体积V=；∵BC=，PC=，，∴BC2+PC2=PB2，则BC⊥PC，．表面积S=+=12+．故答案为：4；12+．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，侧棱PA⊥底面ABCD，再由棱锥体积公式及三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14.【答案】13【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落．∵每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24-3=13种情况．故答案为：13由题意知本题是一个分步计数问题，每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落，写出结果．本题考查排列、组合及简单计数问题，是一个基础题，这种题目正面解起来比较困难，所以可以从反面来解决，这也是解排列组合问题的一种方法．15.【答案】2【解析】解：∵三个非零向量满足++=，∴+=-，∵|+|=||=2，∵|-|=2，∴2（||2+||2）=8，∵（||+||）2≤2（||2+||2）∴||+||≤2；故答案为：．利用三个非零向量满足++=，可得+=-，因此|+|=||=2，由于|-|=2，可得2（||2+||2）=8，再利用（||+||）2≤2（||2+||2）即可得出．本题考查了向量模的计算公式和不等式的性质．16.【答案】3【解析】解：以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，6），D（0，2），设B（a，0），a＞0，直线AB的方程为6x+ay-6a=0，BD的斜率为-，可得直线CP的方程为y=x，联立直线AB和直线CP，解得P（，），△APC面积为S=|AC|•==≤=3，当且仅当a=2时，△APC的面积为最大值3；|DP|2=（）2+（-2）2=16•，可设12+a2=t（t＞12），可得a2=t-12，可得|DP|2=16•=16（-+1），当=-，即为t=16，|DP|2取得最小值，可得|DP|的最小值为．故答案为：3，．以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，6），D（0，2），设B（a，0），a＞0，求得AB的方程，BD的斜率和直线CP的方程，解得P的坐标，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；由两点的距离公式和换元法，结合二次函数的最值，可得DP的最小值．本题考查三角形的面积公式的运用，以及坐标法的运用，考查两点距离公式和基本不等式和二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】{a1|a1≥}【解析】解：①当时，a2=4．由于，因此a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴42=9a1，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．对a1分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出．本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=2cos x•sin（x+）+sin x•cos x-sin2x=2cos x•+-sin2x=sin2x+cos2x=2．由2kπ-≤2x+≤，k∈Z，化为kπ-≤x≤kπ+，又0＜x＜π，∴函数y=f（x）的单调递增区间为，；（2）由f（A）=2，∴=2，A∈（0，π）．∴=，解得A=．而=，∴cb=，化为bc=2．由余弦定理可得：a2==2bc-2≥4-2．∴，∵S△ABC==，∴h=≤=∴BC边上的高AD长的最大值为．【解析】（1）利用“和差公式”、倍角公式可得f（x）=2，再利用三角函数的单调性即可得出；（2）由f（A）=2，可得=2，A∈（0，π）．解得A=．由于=，可得bc=2．利用余弦定理可得：a2=，再利用基本不等式的性质可得：，利用S△ABC==，即可得出．本题考查了“和差公式”、倍角公式、三角函数的单调性、余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==∴AD=1，AE=2，△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得DE==∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1-DE-B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°设PB=x（0≤x≤3），则BH=PB cos60°=，PH=PB sin60°=x在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2-x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2-x）2=（x）2解之得x=，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．【解析】（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x （0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2-x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵数列{a n}中a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中c≠0．∴a1=1，a2=ca1+c2•3=（22-1）c2+c，a3=ca2+c3•5=（32-1）c3+c2，由此猜测a n=（n2-1）c n+c n-1，下用数学归纳法证明．①当n=1时，等式成立；②假设当n=k时，等式成立，即a k=（k2-1）c k+c k-1，…（6分）则当n=k+1时，a k+1=ca k+c k+1（2k+1）=c[（k2-1）c k+c k-1]+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2-1]c k+1+c k，…（7分）综上，a n=（n2-1）c n+c n-1对任何n∈N*都成立．…（8分）（3）由a2k＞a2k-1，得[（2k）2-1]c2k+c2k-1＞[（2k-1）2-1]c2k-1+c2k-2，…（9分）因c2k-2＞0，所以（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0．解此不等式得：对一切k∈N*，有c＞c k或c＜c k′，其中c k=，c k′=．（10分）∴=1，又由＜=4k2+1，知c k＜=＜1，…（11分）因此由c＞c k对一切k∈N*成立得c≥1．…（12分）∵c k′=＜0，∴c n′单调递增，故c n′≥c1′对一切k∈N*成立，因此由c＜c k′对一切k∈N*成立得c＜c1′=-．…（13分）从而c的取值范围为（-∞，-）∪[1，+∞）．…（14分）．【解析】（1）由数列{a n}中a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中c≠0．求得a1=1，a2=ca1+c2•3=3c2+c，a3=ca2+c3•5=8c3+c2，由此猜测a n=（n2-1）c n+c n-1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a2k-1，整理得（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0，设（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1=0的两个根分别表示c k和c k′，根据c k＜=＜1，得c≥1；再根据c k′判断出单调递增知c k′≥c1′对一切k∈N*成立，求得c＜-．最后综合答案可得．本题主要考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），C（x2，y2），直线AC的方程为y=kx+1，代入x2=4y可得x2-4kx-4=0，则x1+x2=4k，故y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2，故AC的中点坐标为E（2k，2k2+1）．由AC⊥BD，可得BD的中点坐标为G（-，+1），令+1=1+2k2得k2=1，此时+1=1+2k2=3，故直线EG过点H（0，3），当k2≠1时，k EH==，k GH==，所以k EH=k GH，E，H，G三点共线，所以直线EG过定点H（0，3）．（Ⅱ）设M（x M，），N（x N，），直线EG的方程为y=kx+3，代入x2=4y可得x2-4kx-12=0，则x M+x N=4k，x M x N=-12，故|MN|2=（）2+（x M-x N）2=（x M-x N）2[（x M+x N）2+16]=[（x M+x N）2+16][x M+x N）2-4x M x N]=（16k2+48）（16k2+16）=16（k2+3）（k2+1）≥48，故|MN|，当k=0即直线EG垂直y轴时，|MN|取得最小值4．【解析】（Ⅰ）设A（x1，y1），C（x2，y2），直线AC的方程为y=kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及三点共线的条件艰苦得证；（Ⅱ）设M（x M，），N（x N，），直线EG的方程为y=kx+3，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，由配方和化简计算可得所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式以及弦长公式，考查化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=（x＞0），由f（x）存在极大值，可知方程2x2+bx+1=0有两个不等的正根，∴解得b＜-2．故b的取值范围是（-∞，-2）．（Ⅱ）f′（x）=（x＞0）．由f（x）存在极大值，可知方程：2x2+bx+a=0有两个不等的正根，设为x1＜x2，由x1x2=＞0，可得：0＜x1＜．x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴f（x）的极大值为f（x1）=a ln x1++bx1．2+bx1+a=0，解得：bx1=-2-a，∴f（x1）=a ln x1--a．构造函数：g（x）=a ln x-x2-a．当：0＜x＜．g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，]上单调递增．可得：g（x1）＜g（）=（ln-3）．当0＜a≤2e3时，f（x）极大=f（x1）=g（x1）＜g（）≤0．当a＞2e3时，取b=-2（+-），即x1=，x2=．此时f（x）极大=f（）=-e3＞0，不符合题意．∴a的最大值为2e3．【解析】（Ⅰ）f'（x）=，f（x）有极大值，则方程2x2+bx+1有两个不相等的正根，再根据根的判别式和韦达定理列出不等式；（Ⅱ）对函数求导，根据题意极值处导数为0，得到b的等式，代入f（x）函数再构造函数解题．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江大学高等数学(上)试题册及参考答案
高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。
（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。
（ ）3、函数y x =与函数y =是相同的函数。
（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。
（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。
（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。
（ ）7、函数()sin f x x =是有界函数。
（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。
（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。
（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
（ ）14、100000x是无穷大。
（ ）15、零是无穷小。
（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。
（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。
（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。
浙江大学继续教育学院高等数学(2)模拟试题(专本)
浙江大学远程教育学院模拟试题卷 高等数学（2）（专本）一、判断题（正确的填A ，不正确的填B ） 1) 函数xx f 2)(=，则2)2(±=f 。
( )2) 函数1+=x y 的反函数是1-=x y 。
( ) 3) 1tan lim=→xx x 。
( )4) e x x x =-→/10)1(lim 。
( )5）设)(x f 在0x x =点左连续, 则)(x f 在0x x =点连续。
( ) 6)1sin lim=+∞→xx x 。
( )7）设)(x f 在0x x =点连续, 则)(x f 在0x x =点左连续。
( ) 8) 当0→x 时，x 2cos 是无穷小量。
( ) 9) )1ln(+x 是无穷小量。
( )10）初等函数在定义域内是处处可导。
( ) 11）设 )1ln(x y -= , 则xdx dy -=1。
( )12）设 x y tan = , 则x y 2sec ='。
( )13) )(x f y =在其定义域内的极大值有可能小于极小值。
( ) 14）函数x y ln =在其定义域内是下凹的。
( )15）设 2222++=x x y , 则42ln 22++='x x y 。
( ) 16) 若)(x f 在0x 点0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点可能取极值。
( ) 17) =dx e x x de 。
( ) 18) 不定积分 ⎰+-=-ct dt tarccos 112。
( )19) 定积分 0cos 11=⎰-dx x x 。
( )20) 定积分 dtt f dx x f b aba)()(⎰⎰=。
( )21）设x x f +=+1)1(，则x x f =)(。
（ ） 22）212sin lim=→xx x 。
（ ）23）设 y = x e 3 , 则dx e dy x 33=。
（ ）24）设2x y =，则在2=x 点的导数是0)2(2='。
浙江大学复变函数模拟试卷2份
第一部分（共40分）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、设z=1-√3i，则（）ππA、|z|=2，arg z=- ---B、|z|=1，arg z=---3 3ππC、|z|=4，argz=- ---D、|z|=2，argz=---3 32、下列复数表达式中正确的是（）πA、-1=eiπB、-1=-e-iπC、-1=-eiπD、-1=e-2i（1+i）（2-i）3、-------------=（）I2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i4、函数f（z）=|z|2在复面上（）A、处处不连续B、处处连续，处处不可导C、处处连续，仅在z=0点可导D、处处连续，在z=0点解析5、在复数域内，下列数中为实数的是（）A、（1-i）3B、iiC、1niD、√-86、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（）u υ u υ u υ u υA、---=---,---=---B、---=---,---=- ---x y y x x y y xu υ u υ u υ u υC、---=---,---=---D、---=- ---,---=---x x y x x y y x7、2sini=（）A、（e-1-e）iB、（e+e-1）iC、（e-e-1）iD、e-e-18、设f（z）=u（x，y）+iυ（z，y）是一个解析函数。
若u=y，则f′（z）=（）A、iB、1C、1D、-i9、设C是从z=0到z=1+i的直线段，则积分∫zdz=（）cA、0B、2C、1D、1+i10、设C为正向圆周|z|=1，则积分∮ezdz=（）cA、1B、2πC、0D、2πii11、积分∫ zsinzdz=（）-iA、2πiB、0C、1D、-2e-1i12、设C1为正向圆周|z|=1，C2为正向圆周|z-2|1，则积分1 cosz 1 sinz----∮ ----dz+----∮ ---dz=（）2πi c1 z-2 2πi c2z-2A、sin2B、cos2C、0D、2πiz513、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线，则积分∮ ---------dz=（）c （z-x0）3A、0B、2πiC、2πz50iD、20πz30i14、复数列an=e-in，n=0，1，2，…则liman（）n→∞A、等于0B、不存在，也不是∞C、等于1D、等于∞15、在z=0的领域内1n（1+z）=∞（-1）n-1 ∞ znA、∑ --------znB、∑---n=1 n n=1 n∞ 1+（-1）n ∞C、∑ --------znD、∑（-1）n-1znn=1 n n=1∞ 1+（-1）n16、幂级数∑ ----------zn 的收敛半径为（）n=0 3n1A、9B、3C、---D、+∞3∞（-1）n17、罗朗级数∑--------- 的收敛圆环域为（）n=0（z-2）n+2A、1<|z-2|<2B、1<|z-2|<+∞C、0<|z-2|<1D、2<|z-2|<+∞1 118、z=1是函数-------cos------的（）（z-1）5 （z-1）5A、本性奇点B、可去奇点C、5阶极点D、10阶极点19、设z0是函数f（z）的m阶极点，则Res[f（z），z0]=（）1 dmA、---lim ---[（z-z0）mf（z）]m！z→z0dzm1 dm-1B、------ lim -----[（z-z0）m-1f（z）]（m-1）！z→z0dzm-11 dm-1C、------ lim -----[（z-z0）mf（z）]（m-1）！z→z0dzm-1D、lim（z-z0）mf（z）z→z020、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域0<Imz<π映射成（）A、上半复平面B、单位圆外部C、整个复平面D、单位圆内部第二部分非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
2023年高考数学模拟试卷01(浙江省)(原卷版)
2023年高考数学模拟试卷01（浙江省）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B =（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．若函数()π()sin 3f x x =+在(,)a a -上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦B ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3．马林•梅森（MarinMersenne ，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对21p -作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如21p -（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ） A ．815 B ．15C ．715D ．651204．已知数列{}n a 满足21112n n n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ） A ．12021B ．12022C ．14043D ．140445．函数()3sin 3291x xx f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．47．已知椭圆221:143x y E +=的右焦点为F ，以椭圆1E 的长轴为直径作圆2E ，过点F 作不与坐标轴垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆1E 交于M ，N 两点，2l 与圆2E 交于P ，Q 两点，若0MN PQ ⋅=，且都有MN PQ λ+>，则实数λ的取值范围为（ ）． A ．(,423∞⎤-+⎦ B ．(],7-∞ C ．(],5-∞D ．(,243∞⎤-+⎦8．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm,2cm 的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点,O A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为1S ，△OAB 与△OAC 的面积之和为2S ，设2BOC θ∠=．经研究发现当21S S -的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，cos θ=（ ）A ．152-+ B ．512- C ．12D ．22二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知1z ，2z 均为复数，则下列结论中正确的有（ ） A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若12z z =，则12z z +是实数 C ．()221212z z z z -=-D ．若120z z +=，则12z z 是实数10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出的球的数字为1X ，第二次取出的球的数字为2X ．设12[]XX X =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1]1=，[2.5]2=，则（ ） A ．125()12P X X >=B ．122(5)9P X X +==C ．事件“16X =”与“X 0=”互斥D ．事件“21X =”与“X 0=”对立11．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数()f x ，在其定义域内存在一点0x ，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ） A ．()ln f x x =B ．()221f x x x =++C ．21,0()sin ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩D ．()e 2xf x x =+12．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．BP 的最小值为6B ．PA PC +的最小值为222- C ．三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 为球心，2为半径的球面与面1AB C 的交线长26π3三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．写出一个使命题“()2,3x ∃∈，230mx mx -->”成立的充分不必要条件______（用m 的值或范围作答）．14．如图，在等腰直角ABC 中，90,2B AC ∠==，D 为AC 的中点，将线段AC 绕点D 旋转得到线段EF .设M 为线段AB 上的点，则ME MF ⋅的最小值为___________.15．在线投标问题的定义是：商家给出一个足够大的正整数M ，但投标者不知道M 的值，故只能通过不断给出价格序列{}123,,,x x x 来竞标，已知11x =，1n n x x a +=⋅．若正整数k 使得1k k x M x +≤<，则此次竞标投标者共花费121k k Q x x x x +=++++中标，我们的目标是对于任意足够大的正整数M ，最小化竞争比()*Nmax 1M QMρρ∀∈=>，则当=a ________．时，在线投标问题的竞争比最小．16．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左右焦点，过点1F 作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P ，直线2PF 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，如图，若1PQF △内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠=________；双曲线的离心率e =________．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．设函数23()(0)3x f x x x +=>，数列{}n a 满足1111,n n a a f a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（*n ∈N ，且2n ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设212233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+-，若22n T tn >对*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．如图，在四棱锥P OABC -中，已知1OA OP ==，2CP =，4AB =，π3CPO ∠=，π6ABC ∠=，π2AOC ∠=，E 为PB 中点，F 为AB 中点. (1)证明：平面//CEF 平面PAO ；(2)若3PA =，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.19．在钝角ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知cos cos cos1sin1sin sinA A BA A B+=--+.(1)若2π3C=，求sin A；(2)求222a cb+的取值范围.20．京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.2017年6月18日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区2022年1到5月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：2022年1月 2月 3月 4月 5月 时间代码x 1 2345配送比率y1428 354146(1)如果用回归方程ˆˆˆln ya b x =+进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程； 51ln 5ii x=≈∑，51ln 188i i i x y =⋅≈∑，()521ln 6.2i i x =≈∑.参考公式：若ˆˆˆya bx =+，则()()()1122211ˆn niiiii i nniii i x y nx y x x yy b xnxx x ====⋅-⋅-⋅-==--∑∑∑∑(2)已知某收件人一天内收到8件快递，其中京东快递3件，菜鸟包裹3件，邮政快递2件，现从这些快递中任取4件，X 表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量X 的分布列以及随机变量X 的数学期望.21．已知抛物线G ：28y x =的焦点与圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 重合，椭圆E的短轴长为2. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使5t AB MN+为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.22．（1）已知函数()()12ln 1x f x x =++，()()h x f x ax b =+-，R a b ∈，.（i ）记()()()()()*211l n n l 1N 21x x h x a x x g x x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭=∈+'，.证明：()()()111111133102121x x g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++⋯+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （ii ）若125448a b ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，记此时()h x 的两个零点为12x x ，.证明：2122434bx bx b b -<-+；（2）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有()∈*N n n 份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （N k ∈且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01.p p <<现取其中k （*N k ∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.若关于k 的函数关系式()p f k =与抗生素计量n x 相关，其中()122n x x x n ≥，，，是不同的正实数，满足11x =，对任意的()*N 2n n ∈≥，都有1222113221121e n n n i i i x x x x x x x --=+-⋅=-∑ （i ）证明：{}n x 为等比数列； （ii ）当3411p x =-时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈。
高数模拟试题及答案
高数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是偶函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = cos(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)2. 函数f(x) = 2x - 1在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + 2y = x的解：A. y = (1/3)x^3 - x^2 + CB. y = x^2 - 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = x - 2 + C4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/36. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...7. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式：A. f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ...B. f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...D. f(x) = f(1) + f'(0)(x-1) + f''(0)(x-1)^2/2! + ...8. 以下哪个矩阵是可逆的：A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [1 2; 2 4]D. [0 1; -1 0]9. 以下哪个是二阶偏导数的连续性条件：A. f_xx = f_yyB. f_xy = f_yxC. f_xx = f_yy = 0D. f_xy = f_yx = 010. 以下哪个是拉格朗日乘数法的应用场景：A. 求解线性方程组B. 求解最小二乘问题C. 求解线性规划问题D. 求解非线性方程组二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《高等数学》试卷及答案解析
(A) 单调下降且是凹的
(B) 单调上升且是凹的
(C) 单调上升且是凸的
(D) 单调下降且是凸的
9. 满足方程 f ′(x) = 0 的 x 是函数 y = f (x) 的
(A) 极大值点
(B) 极小值点
(C) 驻点
(D) 间断点
10. 下列变化过程中,(
(A) (C)
sin x (x
xx sin x (x
一、选择题（10∗3’=30’）
1. 设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示“三个事件恰好
一个发生”为
(A) A ∪ B ∪ C
(B) AB¯C¯ + A¯BC¯ + A¯B¯C
(C) Ω − ABC
(D) A¯B¯C¯ + AB¯C¯ + A¯BC¯ + A¯B¯C
2.
→ →
0) 0)
) 为无穷小量
(B) (D)
cos x xx (x →
cos x (x →
∞) ∞)
2
二、填空题（5∗3’=15’） 1. 袋中有 8 个黑球，12 个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有
区别。现将球随机地一只只摸出来，则第 10 次摸出的球是黑球的概率是
=
.
2.
设
A =
0 0 0
7. 下列无∫ 穷+∞积分收敛的是
(A)
sin xdx
(C)
∫
0 +∞
1 dx
0x
∫ +∞
(B)
e−2xdx
(D)
∫0 ∞
1 √
dx
0x
8. 在区间 (a, b) 内若函数 y = f (x) 恒满足 f ′(x) < 0 和 f ′′(x) > 0, 则
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期中模拟考试《高等数学》试卷及答案解析
标轴所围成的三角形面积最小（7’）
6、设函数
f
(x)
在
[0,
1]
上连续，在
(0,
1)
内可导且
f
(0)
=
f
(1)
=
0,
f
(
1 2
)
=
1,
试证明至少存在一点 ξ ∈ (0, 1), 使得 f ′(ξ) = 1（7’）
3
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5、x → 0 时, 1 − cos x 是 x 的
阶无穷小
6、曲线 y = x ln x 上与直线 x − y + 1 = 0 平行的切线方程为
√ 7、limn→∞( n
+
√ 3n
−
√ n
−
√ n)
=
ex(sin x + cos x), 8、若 f (x) = 2x + a, 则a=
x > 0, x⩽0
=
0
g′′
=
2 ln x + 1 +
1 x2
且
g′′(1)
=
2
>
0
g′′′
=
2(x+1)(x−1) x3
且
g′′′(1)
=
0
⇒
g′′(x)
在
(0, 1)
↘, (1, +∞)
↗
⇒ g′′(x) ≥ g′′(1) = 2 > 0 ⇒ g′(x) 在 (0, +∞) ↗
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浙江大学远程教育学院模拟试题卷高等数学（2）（专本）一、判断题（正确的填A ，不正确的填B ） 1） 设x x f +=+1)1(，则x x f =)( （ ） 2) 极限 e xx x =-+∞→)11(lim 。
( )3）初等函数在定义域内是连续函数。
( )4）若0)(lim =→x f ax ，则称a x →时，)(x f 是无穷小量。
( )5）函数)(x f y =, 在点0x x =连续, 则在点0x x =一定可导。
( ) 6) 设函数x x f sin 2)(-=, 则x x f cos )(-='。
( ) 7）设 x y ln = , 则xdy 1=。
( )8) 若)(x f 在0x 点取极值，则0)(0='x f 。
( ) 9）323sin 2lim=∞→xx x （ ）10）设 x y 2cos = , 则xdx dy 2sin 2-= （ ） 11）设xx x f ln )(=, 则2ln 1)(xx x f -=' （ ）12）设x y ln =，则n 阶导数n n n x n y --=!)1()( （ ）13）函数)(x f y =，若0)(0=''x f ，则0x x =是)(x f y =的拐点。
( ) 14) x d dx x ln 1=。
( )15) 不定积分具有性质： ⎰⎰+=+c dx x f dx c x f )(])([。
( ) 16) 定积分 2102102)()(2dxx f dx x xf ⎰⎰=。
( ) 17) 定积分 2ln |1|ln 2ln 121=--=⎰-dx x。
( )18）设⎰=x tdt x f 0)(，则 x x f =')(。
( ) 19) 广义积分⎰∞+11dx x收敛。
( )20) 二元函数 y x z =，则x x yz yln =∂∂。
( )二、选择题 21） 定积分 dxx ⎰--2/2/2sin1ππ的值是： （ ）（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；22） 曲线)(x f 和直线b x a x ==,(b>a) 及x 轴所围区域绕x 轴旋转的体积是：（ ）(A) ⎰badx x f )(； (B) ⎰badx x f )(2； (C) ⎰badx x f )(2π； (D)以上都不对；23）设函数||)(x a x f -= )0(>a , 且4)2(=f ，则： ( )（A ）)2()1(->-f f ；(B))2()1(f f >；(C))1()1(f f >-；(D))1()2(f f >-； 24) 函数)(ln x f 的定义域为1>x ，则)(x f 的定义域是：( ) （A ）0>x ； (B) e x >； (C) e x <<1；； (D) 0<x ； 25) 设函数ax x f sin )(=，其中a 是非零常数，则)(x f 是： ( )（A ） 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶性与a 有关； 26) =+∞→)1sinsin 1(lim xx x xx ： ( )（A ）0； (B) 1； (C) 2； (D) 以上都不对； 27) 极限 =---→)4421(lim 22x x x ：( )（A ）0； (B) 1； (C) 2/1； (D) 4/1； 28）由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是：（ ） （A ）1； (B) 1-e ； (C) 2； (D) e ； 29）下列函数中是隐函数的是： （ ）（A ）)1ln(+=x y ； (B) x x y =； (C) )sin(y x y +=； (D) x e y -=；30）设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=00)1ln()(x ax x xx x f 在0=x 点连续,则a 的值是： （ ）(A) 1-； （B ）0； (C) 1； (D) 2； 31）当0→x 时， 是无穷小量的是： （ ）（A ）)1sin(+x ； (B) 1+x e ； (C) )1ln(+x ； (D) 1+x ； 32）设 11)(-=x x f 在1=x 点是： ( )（A ）连续点； （B ）无穷间断点； (C) 可去间断点； (D) 跳跃间断点； 33) 当0→x 时，)(x f 是x 的同阶无穷小，则=→xx f x )(lim：( )（A ）0； (B) 1； (C) ∞； (D) 任意非零实数； 34) 当0→x 时，)1ln(x + 是 x 的： ( )(A)高阶无穷小；（B ）低阶无穷小； (C) 同阶无穷小； (D) 等阶无穷小； 35)设函数)(x f 在2=x 处可导,且1)2(='f , 则不正确： ( ) （A ）1)2()2(lim0=--+→hh f h f h ； (B) 1)2()2(lim=-+→h f h f h ； (C) 12)2()2(lim=--+→hh f h f h ； (D) 1)2()2(lim=--→hh f f h ；36）设)(x f 的导数是23)(x x f ='， 则不正确的是： ( )（A ）3)(x x f =； (B) 1)(3+=x x f ； (C) 1)(3-=x x f ； (D) x x f 6)(=； 37）设)1ln(2++=x x y ，则导数='y ： ( ) （A ）112++x x ； (B)122+x ； (C)112+x ； (D)1212+x ；38）函数)(x f 和)(x g 可导，设函数)()(x g x f y =，则导数='y ： ( )（A ）)()(x g x f ''； (B) )()()()()(2x g x g x f x g x f '+'；(C))()()()()(2x g x g x f x g x f '-'； (D))()()()()(x g x g x f x g x f ''-'；39) 过曲线 x y ln = 上的点)0,1(的切线方程是： ( )（A ）x y =； (B)1+=x y ； (C)1-=x y ； (D)x y =； 40) 不定积分 ⎰=-dx x311：( )(A)c x +-|31|ln 31；(B)c x +--|31|ln 31；(C)c x +-2)31(31；(D)c x +--2)31(31；41) 不定积分 ⎰x x de e = ： ( )(A) c e x +2； (B) c e x +； (C) c e x +22； (D) c e x +221；42) 不定积分 ⎰=xdx ln = ： ( )(A)cx +1； (B) c x x +-ln； (C) c x x x +-ln ； (D) c x +ln ；43) 定积分 dx e x ⎰-1)1(的值是： ( )（A ）e ； (B) 2； (C) 2+e ； (D) 2-e ； 44) 设⎩⎨⎧≤>+=0101)(x x x x f ,则=⎰-11)(dx x f ：( )（A ）1； (B) 2； (C) 2/5； (D) 3；45) 由曲线x e y =和直线1,1==x y 所围的平面图形的面积是：( ) （A ）1； (B) 1-e ； (C) 2； (D) 2-e ； 46) 曲线2x y =和直线1=x及x轴所围区域绕x 轴旋转的旋转体体积是( )(A) 5/π； (B) 4/π； (C) 3/π； (D) 2/π；47）设⎰=22)(x dt t x f ，则 =')(x f ： ( )（A ）42x ； (B)52x ； (C)44x ； (D)54x ； 48）设)(x f 可导，则)2(x f y -=的导数='y （ ）（A ）)2(2x f -'-； (B) )2(x f '； (C) )2(x f -'； (D) )2(x f -'-； 49) 设函数)(x f y =由方程 12=+++y x e y x 确定, 则0=x dxdy 的值是：( ）（A ）2； (B) 1； (C) 0； (D) 2-； 50）设x x f sin ln )(=，则导数=')(x f （ ） （A ）xsin 1； (B) x cot ； (C) x cot -； (D) x tan ；51） 设⎰=x dt x f cos 0)(，则对x 的导数=')(x f （ ）（A ）x sin ； (B)x sin -； (C)x cos ； (D)x cos -； 52）设二元函数 xy y x z ++=22, 则=∂∂22xz （ ）（A ）y x +2； (B) x y +2； (C) 2； (D) 1； 53）二元函数 x e y z 2=，则全微分=dz ( )（A ）dy ye dx e y x x 22+； (B)dy y dx e x 2+； (C)ydy dx e x 2+；(D)以上都不对； 54）二元函数),(y x f z =可偏导数，设)2,2(x x f z -=，则=∂∂xz ( )（A ）21f f '+'； (B) 212f f '-'； (C) 212f f '+'； (D) 21f f '-'； 55）以xy z =为顶，以正方形10,10<<<<y x 为底的曲顶柱体的体积是( ) （A ）4/1； (B) 3/1； (C) 2/1； (D) 1； 56）二重积分dx e dy yx ⎰⎰112的值是：( )（A ）2/)1(-e ； (B) 2/)1(e -； (C)无法计算； (D)以上都不对；57）设二元函数 22yx z +=, 则 =∂∂+∂∂yz yxz x（ ）（A ）22y x +； (B) 222y x + (C)222yx y x ++； (D) 1；58） 设x x g x x f sin )(,)(2==，则函数x 2sin 的复合过程是：（ ） (A))]([x f g ； (B))]([x g f ； (C))]([x f f ； (D))]([x g g ； 59） 下列函数中是偶函数的是： （ ）（A ）)1ln(+=x y ； (B) x x cos ； (C) x x sin ； (D) x e -；60） 设 f (x) = ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-0101x x xe x 在0=x 点是： （ ）（A ）连续点； （B ）无穷间断点； (C) 可去间断点； (D) 跳跃间断点；答案：1-5:ABAAB 6-10:ABBBA 11-15：ABABB 16-20:ABABA 21-25:DCDAB 26-30:BDBCA31-35:CBBDA 36-40:DCCCB 41-45:ACDCD 46-50:ABADB 51-55:BCADA 56-60:BABCA。