随机信号分析答案(赵淑清版)2

第二次作业：练习一之4、5、6、7题

1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。

解：因X 在[α，β]上均匀分布

⎪⎩⎪⎨⎧β≤≤αα-β=其他下0

1)(x f

⎰⎰βα∞

∞

β+α=α-β==2d d )(]E[-x x x x xf X )2(31d d )(]E[222-22β+β+α=α-β==⎰⎰βα

∞

∞x x x x f x X 222-2)(12

1])X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β=

-=-=⎰∞

∞x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其他

101)(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。

解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5

h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6

f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5

于是有 ⎩⎨⎧≤≤=其他0

615/1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ⋅⋅⋅上均匀分布，且互相独立。若∑==n

1i i X Y ,求

（1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。

（2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。

解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(⋅⋅⋅=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤-=其它

n=2时，)()()(21y f y f y f X X Y *=

111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ⎰∞

∞

--=

⎰

-⋅-=b a dx a b a b 111 a

b -=1

同理，n=3时，)(y f Y a

b -=1

1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期望、方差及X 和Y 的相关矩。

解：数学期望：23][--=m Y E

方差： σ=-σ-=90)3(][2Y D

]23[)]23([][2X X E X X E XY E R XY --=--== 222])[(][][m X E X D X E +σ=+=

相关矩： m m R XY 2332---=σ