人教B版数学必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件

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人教B版数学必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件

例2化简下列各式（式中字母都是正数）
2 1
5x 3 y2
(1) (
1
x1
1
y2
)(
5
1
x3
1
y6
)
4
6
21
11
15
(3)(2a3b2)( 6a2b3)( 3a6b6);
(
4
)6
(
8a3 125b3
)4
m m 1 2
( 2 ) 1
1
m 2 m2
p89—90练习 A2 B组2
小结
1、根式和分数指数幂的意义.
55、胜利女神不一定眷顾所有的人，但曾经尝试过，努力过的人，他们的人生总会留下痕迹! 17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。 12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 62、与积极的人在一起，可以让我们心情高昂。
210 ________3312 _______
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n是奇数时， n an a
2、当
n是偶数时，n an
a |a|a
(a0) (a0)
求下列各式的值
(1)3 (8)3
(2) (10)2
(3)4 (3)4
(4) (a-b)2
二、分数指数幂
m
定义：a n n a m (a 0, m, n N * , 且 n 1)

3.1.1 实数指数幂及其运算

张喜林制3.1.1 实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于，即 (2)正整数指数幂的运算法则：=n m a a .① ；=÷n m a a ② );0,(=/>a n m =nm a )(③ ；=n ab )(④ ；=n ba)(⑤ ).0(=/b(3)整数指数幂：规定：=0a ==/- na a ),0( ⋅∈=/*),0(N n a 2．根式(l)n 次方根：一般地，如果，那么x 叫做a 的n 次方根，其中． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：=n n a )(② ⋅∈>*),1(N n n③当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：=nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数）．正数的负分数指数幂的意义是：=-nm anmN n m a 且*,,,0(∈>为既约分数） (2)运算性质：,)(,)(,.r r r r rs s r s r s b a ab a a a a a ⋅===+其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念n n n n a a 与))(1(这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要注意：①在条件*,,,0N n m a ∈>1>n 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法．2．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点： ①注意根式的符号：a ．n 为奇数时，n n a R a ,∈与a 的符号一致；b ．n 为偶数时，.0,0,0≤-≥≥n n n n a a a ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m 、n 都是正整数，且性质②中限定m>n ，为了取消m>n 的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1 整数指数幂的运算[例1] 化简下列各式：;)()())(1(23425232b a b a b a ÷⋅-- ⋅--4301.01.0)2([解析] (1)由题目可获取以下主要信息：两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。

北师大版高中数学必修一课件3.1.1指数与指数幂的运算1.pptx

3 3 27
22 4
2 3 8
3 2 9
4 3 64
4 2 64
观察：你能得到什么结论？
3 3 27
3 3 27
2 3 8
2 3 8
4 3 64
4 3 64
x5 11
x 5 11
结论：当为n奇数时，正数的次a方根是一个正数，负
当为n 奇数时，它有意义的条件是。a R
提高：
( 2)2 2 (3 2)3 2 (5 3)5 3
(n a)n a
(2)2 2 4 54 5 4 (3 )4 3
n
an

a
n为奇数
| a | n为偶数
练习：求值
(1)(5 0.1)5
作业： Zxxk
课本48页习题2.2（1）第1题
选作题：化简根式 3 2 2
(2) (100)2
(3)(6 1 3 ))6 (4)6 (1 3)6
(5) a2 4 ab 4b2 93
(a 6b)
思考题：
化简根式 7 2 10
因为 ( 2 5)2 5 2, ( 2 5)2 7 2 10 所以 7 2 10 5 2
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
根式
问题情景
细胞分裂
1 2 4 8
y 2x
指数
42 16
底
幂
4 ? 2
乘方运算
?2 16 开方运算
4和-4叫做16的平方根
23 8
2叫做8的立方根
说一说
?4 9

高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

3.1.1实数指数幂及其运算

3
23 2
a ( a 0) 当n为偶数时 a a a ( a 0)
n
当n为偶数时：
4
4
24 2
( 2 ) 4 2 2
例1
( 2 ) 2 ( 7 ) 2 ＝7 ( 3)3 ( a 1) 3 ＝a-1
∵根指数2为偶数
∵根指数3为奇数
（2）当n为奇数时
解
；(2)(0.064)
－
2 3
125 (1) 27
－ 2 3
2 3
5 ＝33
2 3
5 25 2 ＝3 ＝9.
2
；
(2)(0.064) 4
＝[(0.4) ]
3 － 3
(3)
4
1 25 ＝0.4 ＝ 2＝ . 0.4 4
－2
256 － 3；(4) 2401
(3)a
m n
1 n
m n

1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
(4)有理指数幂的运算法则：
α＋β a ①a a ＝_____ (a>0，α，β∈Q)；
α β
aαβ (a>0，α，β∈Q)； ②(aα)β＝_____
α α a b (a>0，b>0，α∈Q)． ③(ab) ＝_____
＝
n
am 中，为什么必
n
m
m n
＝ a 不一定成立，如(－2)
n
m
3 2
＝－23 无
2
意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
例2（用根式表示下列各式）
(1)a
2 3
a

高中数学3.1.1实数指数幂及其运算(一)课件新人教B版必修

4
解析
①错,∵(± 2)4＝16,
∴16 的 4 次方根是± 2;
4 ②错, 16＝2,而± 16＝± 2. ③④正确.
答案 D
4
2.已知 x5＝6,则 x 等于 5 A. 6 B. 6
5
( B ) C.－ 6 5 5 D.± 6
解析由根式的定义知,x ＝6,则 x＝ 6,故选 B.
5
3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是 4 2 3 A. m B. m 5 6 C. m D. －m
n ± a (a>0)形式 .
[问题情境]
我们在初中学习了平方根、立方根 ,那么有没有四
次方根、五次方根、„、n 次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算. 探究点一整数指数及其运算问题 1 整数指数幂 an (n∈ N＋)的意义是什么？an、a、n 分别叫做什么？
解原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|
∵－3<x<3,∴当－3<x<1 时, 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2; 当 1≤x<3 时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4,
－2x－2 ∴原式＝－4
－3<x<1 . 1≤x<3
小结
此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部
解析要使 m有意义,m≥0. 6
( C )
1.根式的概念:如果 xn＝a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ,其中 n>1, n n 且 n∈ N＋ .n 为奇数时 ,x＝ a,n 为偶数时,x＝± a(a>0);负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. n n n n 2. 掌握两个公式 :(1)( a ) ＝ a;(2)n 为奇数 , a ＝ a,n 为偶

数学新同步课堂人教B全国通用版必修一课件：第3章 3.1 3.1.1 实数指数幂及其运算

[解析]
(1)由负分数指数幂的意义可知，(x－2)－34＝4
1 ，所以 x－23
x－
2>0，即 x>2，因此 x 的取值范围是(2，＋∞)．
(2)原式＝|x＋3|－(x－3)＝6－x2≥x－ x<3－，3. [答案] (1)C (2)C
[规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律
6．无理指数幂无理指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．
1．思考辨析
[基础自测]
(1)当 n∈N＋时，(n －16)n 都有意义．( ) (2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3) 3－π2＝π－3.( ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)
(2)化简 x＋32－3 x－33得( )
A．6
B．－2x
C．6 或－2x
D．6 或 2x 或－2x
(3)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
①3 a·4 a；② a a a；
③3 a2· a3；④(3 a)2· ab3. [思路探究] 根式化简求值⇒偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方数为实数．
(2)运算法则： ①前提：a>0，b>0，α，β 为任意实数． ②法则：aαaβ＝aα＋β；(aα)β＝aα·β；(ab)α＝aα·bα.
思考 2：如何理解分数指数幂？ [提示] (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化； (2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知 a≤0 时，amn 可能会有意义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算； (3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．

实数指数幂及其运算课件高一上学期数学人教B版(完整版)2

那么怎么理解 a 呢?
2.5
知识回顾
初中我们已经学习了整数指数幂的知识，
1
1
例如： 2 2 2 2 2 2 32 、 3 1、 5 3
.
5 125
5
0
3
负分数指数幂的定义：若 s 是正分数， a s 有意义且 a 0 时，规定 a s
n
a
一般地，中的 a 称为底数， n 称为指数.
○
2 任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 n a ，正数的奇次方根为正数，负
数的奇次方根为负数；
○
3 0 的任意正整数次方根均为 0 ，记为 n 0 0；
n
a 读作：n 次根号 a,n 称为根指数，a 是被开方数.
有理指数幂的引入
请观察下面几个式子的值：
(1)(
4
5)2
24 =
=
(
4
4
16)4

(1)
2
3
5x y
1
2
1
2
1
3
1

6
1
5
( x 1 y )( x y )
4
6
(2)
m m 1 2
1
2
m m

1
2
祝你学业有成
2024年5月2日星期四2时16分27秒
高一年级数学学科
实数指数幂及其运算（一）
目录
1
引入有理指数幂
2
理解实数指数幂
3
实数指数幂的运算
4
课后作业
CONTENTS
01
引入有理指数幂
在初中虽然引入了负整数次幂和零

高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算课件新人教B版必修1.pptx

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 3－π2＝π－3.( )
(2)分数指数幂 amn可能理解为mn 个 a 相乘．(
)
(3)0 的任何指数幂都等于 0.( )
【解析】 ∵ 3－π2＝|3－π|＝π－3.
∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错．【答案】 (1)√ (2)× (3)×
下列运算中，正确的是( ) A．a2·a3＝a6 C．( a－1)0＝0
B．(－a2)5＝(－a5)2 D．(－a2)5＝－a10
【解析】 a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当 a＝1 时，( a－1)0 无意义；当 a≠1
时，( a－1)0＝－1. 【答案】 D
教材整理 2 根式阅读教材 P86～P87“第 6 行”以上内容，完成下列问题． 1．a 的 n 次方根的意义如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则 x 叫做___a_的__n_次__方__根___．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作开方运算．
1．an＝
.an 叫做 a 的__n_次__幂__，a 叫做幂的_底__数__，n 叫做幂的
_指__数__，并规定 a1＝a.
2．零指数幂与负整数指数幂规定：a0＝1(a≠0)， a－n＝___a1_n_(a_≠__0_，__n_∈__N__＋_) ___． 3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
[再练一题]
1．求值： 3－2 2＋3 1－ 23＝________.
【解析】
3－2
2＋3
1－
23＝
பைடு நூலகம்
2－12＋1－
2＝

人教B版高中数学必修一第三章3.1.1实数指数幂及其运算课件

32
85 5 8
2
1
②8 3 （83）2 22 4
1
1
1
③3 3 3 3 6 3 3 32 33 36
1 1 1 1
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a 2b 4
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2）（a 2）2 （b 2）2
正整数整数 0
负整数
分数
无理数
1、整数指数幂
正整数指数幂:
a2 aa
a3 aaa
指数
幂
an a a a a
底数
n个
运算法则（1）am an amn
2 am n amn
3
am an
amn
m n, a 0
4abm ambm
特别地
a0
1 a a3
a3
a33
0
a3 a5
⑤4（3）4 | 3 | 3
那么，根式与分数指数幂有什么关系？
1
(a3 )3
1 3
a3
=a
2
(a 3
)3
2 3
a 3 =a2
1
a3 3 a
2
a3 3 a2
分数指数幂与根式互化
1
a n n a (a 0)
两者要区别开
m
a n (n a)m n am
an 1 an
a
m n
(a 0, n、m
ab
1
1
11
⑥（a 2 b 2）2 a b 2a 2 b 2

2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算二课件新人教B版必修1

知识点二
有理指数幂的运算性质
思考
我们知道32×33＝32＋3.那么 64 64 ＝64
1 2 1 3
1 2
1 3
1 1 2 3
成立吗？
答案成立 64 64 ＝ 64× 64＝ 82× 43＝8×4＝32,
3 3
64
1 1 2 3
＝64
5 6 ＝6
64 ＝ 256＝25＝32.
5
6
答案
梳理
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理指数幂，即： aαaβ ＝ aα ＋ β(a>0 ，
α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q).
知识点三
无理指数幂
梳理
无理指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数 .有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂.
1 1 7 0 0.25 4 3 3 跟踪训练 3 (1)化简：( ) ×(－ ) ＋8 × 2＋( 2× 3)6； 8 6
解原式＝ 8
1 (－1)(－ ) 3
1＋( 2 ) 2 ＋(2 ) (3 ) ＝2+ 2
1 3 4
1 4
1 3 6
1 2 6
3 1 ＋ 4 4
＋2 2 33＝112.
2 5

3
1 xx
4 5

3
1 x
9 5

1 (x )
9 1 5 3

1 x
3 5
x .

3 5
x( x )
5
解答
类型二
用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：

人教B版高中数学必修一《第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算》_1

第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a 2的立方等于a 6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a 6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a 2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.（3）一个数a 的奇次方根只有一个,一个正数a 的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n 次方根的性质:①当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式.根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考n n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n =a.通过探究得到：n 为奇数,n n a =a.n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 因此我们得到n 次方根的运算性质：①(n a )n =a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.②n 为奇数,n n a =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,n n a =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值. 应用示例思路1例1求下列各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b).活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n n a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a≤1);(3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a -3, (3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a 点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是( ) (1)44a =a; (2)62)2(-=32-;(3)a 0=1; (4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n a =|a|,故本题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故本题错. (3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心. 例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1.223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练若12a -a 2+=a-1，求a 的取值范围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的是( )A.正数的n 次方根是一个正数B.负数的n 次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *).答案：C2.化简下列各式: (1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.3.计算407407-++=__________.解：407407-++ =2222)2(252)5()2(252)5(+∙-++∙+ =22)25()25(-++ =5+2+5-2- =25.答案：25拓展提升问题：n n a =a 与(n a )n =a （n ＞1,n ∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①（n a ）n =a （n ＞1,n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1,且n ∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3,33)5(-=－5. ②n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a ∈R ,n n a =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2. 当n 为偶数时,a ∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a =a.例如443=3, 40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3. 即（n a na ）n =a （n ＞1,n ∈N ）是恒等式,n n a =a （n ＞1,n ∈N ）是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.1.如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简下列各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2; (4)642b a =622)|(|b a ∙=32||b a ∙. 2.若5<a<8,则式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式, 不难看出625+=22)(3+=3+2. 同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23. 答案：23。

人教B版必修1数学3.1.1《实数指数幂及其运算》PPT课件

1．指数幂 an 叫做 a 的__n_次__幂___，a 叫做幂的__底__数__，n 叫做幂的 __指__数__．n 是正整数时，an 叫做_正__整__数__指__数__幂___．
2．整数指数幂的运算法则为 (1)am·an＝__a_m_＋_n_____(m、n∈Z)；
(2)(am)n＝__a_m_n____(m、n∈Z)； (3)aamn ＝__a_m_－_n___(m，n∈Z，a≠0)； (4)(ab)m＝__a_m_b_m___(m∈Z)．
3．如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N*)，则 x 叫做_a_的___n_次__方__根__．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，叫做__开__方__运__算__．正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次_算__术__根___．当
n a有意义的时候，n a叫做_根__式___，n 叫做根指数． 4．根式的运算性质
1
1
(3)由(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝3，
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
∴a2 －a－2 ＝± 3.
易错疑难辨析
11
化简(1－a)[(a－1)－2·(－a) 2 ] 2 .
1
[错解] 原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a) 4
1
＝－(－a) 4 .
1
[辨析] 误解中忽略了题中有(－a) 2 ，即－a≥0，a≤0，
首先学习对数和对数的运算法则、换底公式，然后再学习对数函数及其图象和性质．第三大节是幂函数．首先以简单的幂函数为主要例子，通过图象分析了幂函数的性质．第四大节是函数的应用．主要以例题的形式，介绍如何建立函数的关系，即数学模型，其中包括了社会学、经济学和核物理学等学科的应用例题．

高中数学 3.1.1 实数指数幂及其运算课件新人教B版必修1

2．进行幂的运算方法：在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
想一想：n an(n∈N＋)与(n a)n(n∈N＋)对任意实数 a 都有意义吗？
提示式子n an(n∈N＋)对任意实数 a 都有意义；而式子
(n a)n(n∈N＋)，当 n 为奇数时，对任意实数 a 都有意义；当 n 为偶数时，对负数 a 没有意义．
名师点睛 1．根式n a的符号：根式n a的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定；当 n 为偶数时，a≥0，n a为非负实数；当 n 为奇数时， n a的符号与 a 的符号一致．
(2)当n a有意义的时候，式子n a叫做根式，这里 n 叫
做根指数，a 叫做被开方数． 2．根式的性质
n (1)(
a)n＝ a
(n>1 且 n∈N＋)；

人教B版高中数学必修一课件-3.1.1 实数指数幂及其运算1

32
①85 85
32
（83）2 22 4
111
③3 3 3 3 6 3 3 32 33 36
1 1 1 1
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a2b 4
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2）（a 2）2 （b 2）2
3.1.1 实数指数幂及其运算
a一m
·复习 a n
a m
n
am an
amn (a 0)
(am )n amn
(ab)m ambm
规零定的零：次幂没有意义
a0 1(a 0)
零的负整数次幂没有意义
an
1 an
(a
0, n
N )
二、引入:
❖ 平方根、立方根的概念
22=4 (－2)2=4
a 根指数
n
根式
被开方数
xn a
x n a ; (当n是奇数)
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
n次方根概念的理解
（1）25的平方根±是_5_______ （2）27的立方根是3________ （3）－32的五次方根－是2_____ （4）16的四次方根±是2 _____
（5）a6的三次方根是________
1， =1m. n
这就说明分数指
为既约分数）
3.有实理数数指数幂 a 0,b 0,、为有理数
运算法则:
（1）a a a
（2）（a） a
（3）（ab） a b
注:此运算法则对无理数指数幂同样适用。
熟能生巧

人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件16

所以1a＋12＝16，
所以 a＝－15或 a＝13.
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抓主干
考点
解密研考向
又因为 a>0，所以 a＝31.
要点
探究悟典题
②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，
能力
提升提素能
此时 f(t)在1a，a上是增函数．
高效
训练
所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
故 a>c>b.
[答案] (1)D (2)A
菜单隐藏
抓主干考点解密
研考向要点探究
反思总结
悟典题
能力提升
解决与指数函数的性质问题时应注意
提素能
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助
高效
训练于中间量如0,1判断．
(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用．
菜单隐藏
抓主干考点解密
研考向要点
____________________[通关方略]____________________
探究
悟典题
1．指数函数图象的三个关键点
能力
提升
画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点： (1 ， a) ，(0,1) ，
提素能
高效训练
－1，1a.
1．化简－x x3的结果是(
)
A．－－x
B. x
C．－ x
D. －x
解析：依题意知 x<0，∴
－x3＝－ x
答案：A
－x2x3＝－－x.
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抓主干考点解密

人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件4

4.分数指数幂的意义：
m
an

n
am
(a＞0，m，nv∈N，且n＞1).
5.有理指数幂的运算性质：
ar as ars;
(ar )s ars ;
( b )r a

br ar
.
其中r，s∈Q
6.指数函数的概念：
形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
7.指数函数的图象和性质：
图象
定义域值域性质
函数的奇偶性与周期性习题讲评
1.（2009·山东卷）已知定义在R 上的函数f(x)满足：
f
(
x)

lfo(gx2
(1 1)
x), f
x0 (x 2),
x

0
则f(2009)的值为 ( ) A.－1 B. 0 C.1 D. 2
2、对于函数f (x) ax 1 (其中a为实数，x 1) x 1
3、设f (x)是定义在R上的奇函数且f (x 2) f (x),又当1 x 1时， f (x) x3， (1)证明：直线x 1是函数f (x)图像的一条对称轴； (2)当x [1,5]时，求f (x)的解析式.
指数与指数函数
知识回顾
1.方根的概念：如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中 n＞1且n∈N.
0＜a＜1
y
1
0
x
R
(0, )
当x>0时0<y<1；当x<0时y>1；当x=0时y=1；在R上是减函数
a＞1
y
1
0x
R (0, )
当x>0时y>1；当x<0时0<y<1；当x=0时y=1；在R上是增函数

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