9.柱坐标系和球坐标系下的计算法
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式
F ( x, y , z ) 1 r sin F F F ex ey ez x y z
F F F 2 sin cos cos sin r sin cos sin cos er cos cos e sin e r
由（1‐12）可以得到：
F 1 F F cos sin x F F F 1 sin cos （1‐13） y F F z z
接下来我们将求在球坐标系下，空间某点 F ( x, y, z ) 分别对 r , , 求偏导数：
F F x F y F z r x r y r z r F F x F y F z （2‐13） x y z F F x F y F z x y z
因为这个矢量为单位矢量，且指向 方向，其向量一定为 e ，即：
e sin ex cos ey 0 ez （2‐10）
因为， 我们得到： e e er ， e cos sin ex cos sin ey sin ez （2‐11） 联立式（2‐6） 、 （2‐10）和（2‐11）我们可以得到：
ex sin cos er cos cos e sin e e y sin sin er cos sin e cos e （2‐12） ez cos er sin e
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。
本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。
[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分[中图分类号]：O13 [文献标识码]：A [文章编号]: 1672-1452(2015)**-****-041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。
在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。
在电动力学课本[3]中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。
但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。
现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。
本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。
此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。
建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。
2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的分量()z y x ,,与柱坐标系的分量()z ,,ϕρ有如下的转换关系：222y x +=ρ（1） x =ϕρcos （2） y =ϕρsin（3） z z =（4）（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得ϕρρcos ==∂∂xx（5）ϕρρsin ==∂∂yy（6）（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得1sin cos =∂∂-∂∂xx ϕϕρϕρρϕϕsin -=∂∂x（7）同理可知， ρϕϕcos =∂∂y（8）假设所研究的函数为),,(z y x f f =由于z 关于x ，y 是独立的变量，故ρϕϕϕρϕϕρρsin cos ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f x f x f x f （9）同理 ρϕϕϕρϕϕρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f y f y f y f（10）利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导2222222222222222222cos sin 2sin sin cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ρϕϕϕρϕρρϕϕρϕϕϕρϕρρϕρϕϕρϕϕϕϕρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂f f f f f f f f f f f f x f x x f x xf （11）类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
§135 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法
§13-5 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法158 158§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法1.柱坐标计算法 当积分区域Ω在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。
读者从图13-26中看出，点(,,)P r z θ的柱坐标实际上是它到Oxy 坐标平面上垂足N 的平面极坐标(,)r θ与点P 的竖坐标z 的组合。
根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。
定理13-6 在定理13-5的假设条件下，则有21(cos ,sin )(cos ,sin )(,,)d d d d d (cos ,sin ,)d r z r r D z r r f x y z x y z r r f r r z z θθθΩθθθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13-28)其中rD θ是Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影（图13-27）。
例17 求三重积分d d d z x y z Ω=⎰⎰⎰I ，其中Ω是由球面2224x y z ++=的上半球面与抛物面223xy z+=围成的区域cos ,sin )r θθ图图cos ,sin )r θθ§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法 159159（图13-28⑴）。
解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为2222r z +=与23r z =。
它们围成的区域Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影为圆(3)rD r θ≤。
根据式（13-28），222422π320031d d d d (4)d 29rz r r D z r r r z z r r θθθ=-=⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰I354633209113π4d π2π6π9454424r r r r r r r ⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2.球坐标计算法 当积分区域Ω是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
圆柱坐标和球坐标系哈密顿算子推导
圆柱坐标和球坐标系哈密顿算子推导引言在量子力学中，哈密顿算子是描述一个物理系统的总能量的算子。
在处理不同坐标系下的问题时，推导出相应的哈密顿算子是十分重要的。
本文将推导在圆柱坐标和球坐标系下的哈密顿算子，分别讨论了两个常见的坐标系，并给出了相应算子的推导过程。
圆柱坐标系哈密顿算子推导在圆柱坐标系中，哈密顿算子必须适应该坐标系的特性。
我们可以利用拉普拉斯算子在圆柱坐标系下的表示形式来推导圆柱坐标系下的哈密顿算子。
首先，拉普拉斯算子在三维笛卡尔坐标系中的表示形式为：$$ \\Delta = \\frac{\\partial^2}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial z^2} $$接下来，我们需要将该算子表示为圆柱坐标系下的形式。
在圆柱坐标系中，有以下变换关系：$$ \\begin{align*} x &= r \\cos \\phi \\\\ y &= r \\sin \\phi \\\\ z &= z\\end{align*} $$其中，r为径向距离，$\\phi$ 为极角，z为高度。
通过对上述变换关系求一阶和二阶偏导数，可以得到：$$ \\begin{align*} \\frac{\\partial}{\\partial x} &= \\frac{\\partial r}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial \\phi}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial z}{\\partial x} \\cdot\\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial y} &= \\frac{\\partial r}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} + \\frac{\\partial\\phi}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partialz}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial z} \\\\ \\frac{\\partial}{\\partial z} &= \\frac{\\partial r}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial r} +\\frac{\\partial \\phi}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial \\phi} +\\frac{\\partial z}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial z} \\end{align*} $$将上述关系代入拉普拉斯算子的表达式中，并进行整理和化简，可以得到：$$ \\Delta = \\frac{1}{r} \\frac{\\partial}{\\partial r} \\left( r\\frac{\\partial}{\\partial r} \\right) + \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial^2}{\\partial \\phi^2} + \\frac{\\partial^2}{\\partial z^2} $$ 这就是圆柱坐标系下的拉普拉斯算子表达式。
球坐标和柱坐标的转换
球坐标和柱坐标的转换球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们和直角坐标系是相互转换的。
本文将介绍球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法。
球坐标球坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（r）、极角（θ）和方位角（φ）来描述点的位置。
半径（r）表示点到坐标系原点的距离，极角（θ）表示点与z轴的夹角，方位角（φ）表示点在xy平面的投影与x轴的夹角。
球坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (r * sinθ * cosφ, r * sinθ * sinφ, r * cosθ)柱坐标柱坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（ρ）、极角（θ）和高度（z）来描述点的位置。
半径（ρ）表示点到柱坐标系极轴的距离，极角（θ）表示点与柱坐标极轴的夹角，高度（z）表示点在z轴上的坐标。
柱坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (ρ * cosθ, ρ * sinθ, z)球坐标转换为柱坐标球坐标系和柱坐标系之间的转换是通过数学公式进行的。
球坐标转换为柱坐标的公式如下：ρ = r * sinθz = r * cosθ柱坐标转换为球坐标柱坐标转换为球坐标的公式如下：r = √(ρ^2 + z^2)θ = arctan(ρ / z)总结球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们的转换可以通过数学公式进行。
球坐标由三个参数（半径、极角和方位角）表示，柱坐标由三个参数（半径、极角和高度）表示。
通过球坐标转换为柱坐标，可以得到柱坐标系中的坐标值，同样地，通过柱坐标转换为球坐标，可以得到球坐标系中的坐标值。
以上是球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法的介绍。
了解球坐标和柱坐标的概念及其转换方法，有助于我们更好地理解和应用三维空间中的坐标系统。
柱坐标系和球坐标系下的计算法
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 5 1 a 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
2 2
将 投到xoy 面得D
x y 1
1
0 2 ,0 r 1, r z 1
(x
2
y z )dv d dr ( r z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2
1
r 4 4 3 2 ( r r )dr 3 3 10 0
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 2 2 2 2 2 4 z ( x y ) dv 25 ( x y ) 1、 , 其中 是由曲面 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
4 5 a a 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析柱坐标和球坐标是常见的坐标系，导热微分方程（heat conduction equation）描述了物体内部的温度分布随时间的演化规律。
本文将介绍柱坐标和球坐标下导热微分方程的推导及分析。
1.柱坐标下的导热微分方程推导：在柱坐标系下，空间点由径向坐标$r$、轴向坐标$z$和角度坐标$\theta$表示。
设物体的温度分布为$u(r,z,t)$，其中$t$为时间。
首先考虑物体内部的导热传导，可以利用热传导定律得到：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$其中，$\mathbf{q}$为热流密度矢量，$k$为导热系数。
将柱坐标系下的梯度算子运算展开，并考虑到$u$仅与$r$和$z$有关，导热传导方程可以表示为：$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial u}{\partial t}$$2.球坐标下的导热微分方程推导：在球坐标系下，空间点由径向坐标$r$、极角坐标$\theta$和方位角坐标$\phi$表示。
设物体的温度分布为$v(r,\theta,\phi,t)$。
同样考虑物体内部的导热传导，应用热传导定律可得：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$展开梯度算子运算后可得：$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partialr}\left(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial v}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2}= \frac{1}{k}\frac{\partial v}{\partial t}$$3.导热微分方程的分析：导热微分方程是一个二阶偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的演化规律。
拉普拉斯在柱坐标和球坐标的推导
拉普拉斯在柱坐标和球坐标的推导一、柱坐标系下的拉普拉斯算子推导在物理学和数学领域中，拉普拉斯算子是一个重要的偏微分算子，通常用于描述无源场中的波动，热传导等现象。
在柱坐标系下，拉普拉斯算子的表达式可以通过坐标变换和偏微分算子一起推导出来。
假设柱坐标系下某个标量场的函数表示为φ(ρ,φ,z)，其中ρ表示极径，φ表示方位角，z表示高度。
柱坐标系下的拉普拉斯算子abla2φ的表达式可以通过以下推导获得：首先，拉普拉斯算子的定义为以下形式：$$\ abla^2φ=\\frac{∂^2}{∂x^2}φ+ \\frac{∂^2}{∂y^2}φ+\\frac{∂^2}{∂z^2}φ$$其中x,y,z为笛卡尔坐标系下的坐标。
接下来我们通过坐标变换将x,y,z转换为柱坐标系下的ρ,φ,z。
柱坐标系下的坐标变换关系如下：x=ρsinφ,y=ρcosφ,z=z根据链式法则，我们可以得到柱坐标系下的偏导数表达式：$$\\frac{∂}{∂x}=sinφ\\frac{∂}{∂ρ}+cosφ\\frac{1}{ρ}\\frac{∂}{∂φ}$$$$\\frac{∂}{∂y}=cosφ\\frac{∂}{∂ρ}-sinφ\\frac{1}{ρ}\\frac{∂}{∂φ}$$$$\\frac{∂}{∂z}=\\frac{∂}{∂z}$$将以上偏导数表达式代入拉普拉斯算子的定义中并化简，可以得到柱坐标系下的拉普拉斯算子表达式为：$$\ abla^2φ=\\frac{1}{ρ} \\frac{∂}{∂ρ} (ρ \\frac{∂φ}{∂ρ})+ \\frac{1}{ρ^2}\\frac{∂^2φ}{∂φ^2}+ \\frac{∂^2φ}{∂z^2}$$这就是柱坐标系下拉普拉斯算子的表达式。
通过该表达式，我们可以在柱坐标系下描述标量场的拉普拉斯算子的计算。
二、球坐标系下的拉普拉斯算子推导类似地，拉普拉斯算子在球坐标系下的表示也是重要的。
圆柱坐标系与球坐标系的变换关系公式
圆柱坐标系与球坐标系的变换关系公式在数学和物理学中，我们经常需要在不同坐标系之间进行变换。
其中，圆柱坐标系和球坐标系是常用的三维坐标系之一。
本文将探讨圆柱坐标系和球坐标系之间的变换关系，并给出相应的公式。
圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系。
它由一个直角坐标系和一个极坐标系组成。
其中，直角坐标系由三个轴组成：x轴、y轴和z轴。
而极坐标系则由径向r、极角φ和z轴坐标组成。
在圆柱坐标系下，一个点在三维空间中的位置可以由径向r、极角φ和高度z来表示。
其中，径向r代表点到z轴的距离，极角φ表示点在x-y平面上与x轴的夹角，而高度z则代表点在z轴上的坐标。
球坐标系球坐标系也是一种常用的三维坐标系。
它由一个直角坐标系和一个极坐标系组成。
其中，直角坐标系仍由三个轴组成：x轴、y轴和z轴。
而极坐标系则由径向r、极角θ和方位角φ组成。
在球坐标系下，一个点在三维空间中的位置可以由径向r、极角θ和方位角φ来表示。
其中，径向r代表点到原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，而方位角φ则表示点在x-y平面上与x轴的夹角。
圆柱坐标系与球坐标系的变换关系公式接下来，我们将推导出圆柱坐标系与球坐标系之间的变换关系公式。
考虑一个点 P 在圆柱坐标系下的坐标为(r, φ, z)，而在球坐标系下的坐标为 (R, θ, φ)。
我们要找到从圆柱坐标系到球坐标系的变换关系。
首先，我们可以通过以下公式将点 P 的直角坐标系坐标与极坐标系坐标联系起来：•在圆柱坐标系下：x = r * cos(φ)y = r * sin(φ)z = z•在球坐标系下：x = R * sin(θ) * cos(φ)y = R * sin(θ) * sin(φ)z = R * c os(θ)根据这些公式，我们可以把圆柱坐标系下的坐标(r, φ, z) 向量表示为：P_cylindrical = [r * cos(φ), r * sin(φ), z]而球坐标系下的坐标(R, θ, φ) 向量可以表示为：P_spherical = [R * sin(θ) * cos(φ), R * sin(θ) * sin(φ), R * cos(θ)]为了找到圆柱坐标系与球坐标系之间的变换关系，我们需要解出r, φ 和 z 与 R, θ 和φ 之间的关系。
柱坐标与球坐标的互换方法
柱坐标与球坐标的互换方法在空间几何中，柱坐标系和球坐标系是描述点的常用坐标系。
柱坐标系由径向距离、方位角和高度组成，而球坐标系由径向距离、极角和方位角组成。
在实际问题中，有时候需要在这两种坐标系之间进行转换。
本文将介绍柱坐标系与球坐标系之间的互换方法。
柱坐标转球坐标假设柱坐标点为$(r, \\theta, z)$，球坐标点为$(\\rho, \\varphi, \\theta)$，其中$r, \\rho$为径向距离，$\\theta, \\varphi$为方位角，z为高度。
则柱坐标系转为球坐标系的方法如下：1.计算球坐标系的径向距离$\\rho$：\[\rho = \sqrt{r^2 + z^2}\]2.计算球坐标系的极角$\\varphi$：\[\varphi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)\]3.方位角$\\theta$保持不变。
球坐标转柱坐标反之，若已知球坐标系下的点$(\\rho, \\varphi, \\theta)$，需要将其转换为柱坐标系下的坐标$(r, \\theta, z)$，方法如下：1.计算柱坐标系的径向距离r：\[r = \rho \sin \varphi\]2.计算柱坐标系的高度z：\[z = \rho \cos \varphi\]3.方位角$\\theta$保持不变。
示例假设柱坐标系下的点为$(3, \\frac{\\pi}{4}, 4)$，现在需要将其转换为球坐标系下的坐标。
首先计算球坐标系的径向距离$\\rho$：\[\rho = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]计算球坐标系的极角$\\varphi$：\[\varphi = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) = \arccos\left(\frac{4}{5}\right) ≈ 0.927\]所以，柱坐标系下的点$(3, \\frac{\\pi}{4}, 4)$转换为球坐标系下的坐标为$(5, 0.927, \\frac{\\pi}{4})$。
球坐标与柱坐标转换
球坐标与柱坐标转换引言在三维坐标系中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述空间中的点坐标。
然而，有时候使用球坐标或柱坐标系可以更方便地描述一些问题。
本文将介绍球坐标和柱坐标之间的转换关系，以及如何在二者之间进行转换。
球坐标系球坐标系是一种常用的三维坐标系，通过半径、极角和方位角来确定空间中的点。
在球坐标系中，一个点的位置可以由以下三个参数来描述：•半径（r）：点到坐标原点的距离。
•极角（θ）：以直线与极轴的夹角来度量。
•方位角（φ）：以x轴正向为参考，逆时针方向到直线的夹角。
球坐标系中点的坐标表示为(r, θ, φ)。
柱坐标系柱坐标系也是一种常用的三维坐标系，通过半径、极角和高度来确定点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置可以由以下三个参数来描述：•半径（ρ）：点到柱坐标系的极轴的距离。
•极角（θ）：以直线与极轴的夹角来度量。
•高度（z）：点在z轴上的坐标。
柱坐标系中点的坐标表示为(ρ, θ, z)。
球坐标转柱坐标将球坐标系中的点转换为柱坐标系中的点，需要使用以下公式：•ρ = r * sin(θ)•z = r * cos(θ)其中，r为球坐标系中点到原点的距离，θ为球坐标系中的极角。
柱坐标转球坐标将柱坐标系中的点转换为球坐标系中的点，需要使用以下公式：•r = sqrt(ρ^2 + z^2)•θ = arctan(ρ / z)其中，ρ为柱坐标系中点到极轴的距离，z为柱坐标系中点在z轴上的坐标。
结论球坐标和柱坐标是描述空间中点坐标的两种常用方式。
在某些问题中，使用球坐标或柱坐标可以更方便地描述和计算。
本文介绍了球坐标和柱坐标之间的转换关系，可以根据需要将点的坐标从球坐标转换为柱坐标，或者从柱坐标转换为球坐标。
这些转换公式在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用，能够方便地将问题转换到适合的坐标系进行处理。
希望本文对读者理解球坐标和柱坐标的转换关系有所帮助，并能在实际问题中灵活运用。
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"你对称,我奇偶" 你对称, 奇偶"
对 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z , ) 时 I = 0
( 2) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
r sin
dr
r sin dθ rd d
dv = r sindrddθ ,
2
r
∫∫∫
f ( x , y , z )dxdydz =
x
o
θ
dθ
y
f (r sin cosθ , r sin sinθ , r cos )r 2 sindrddθ . ∫∫∫
然后把它化成对 r,θ , 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
1 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ , z ≥ 0} ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时
2, 2, ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dv ,其中 由不等式
所确定. 0 < a ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ A, z ≥ 0 所确定. x2 y2 z2 3, 3, ∫∫∫ ( 2 + 2 + 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 其中 = ( x , y , z ) 2 + 2 + 2 ≤ 1 . a b c 三,求曲面 z = 5 x 2 y 2 及 x 2 + y 2 = 4 z 所围成的立 体的体积. 体的体积. 四,曲面 x 2 + y 2 + az = 4a 2 将球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 成两部分,试求两部分的体积之比. 五,求由曲面 z = x 2 + y 2 , x + y = a , x = 0, y = 0, z = 0 所围成立体的重心( 所围成立体的重心(设密度 ρ = 1 ).
dz
x
dr
r
∴ ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
o
dθ
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z)rdrd dz. θ
y
x
然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后 θ 积分限是根据 r ,θ , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x 2 + y 2 + z 2 )dv , : z = ∫∫∫
关键在于定出 的变化范围
r,θ , z
θ , r 的范围容易定出 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2
z 呢?
注意到 当0 ≤ r ≤ 1时
1≤ z ≤ 2 当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2 z
e e I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
x2 + y2 , z = 1
2 2
面得D 将 投到xoy 面得
x + y ≤1
1
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 1, r ≤ z ≤ 1
∫∫∫( x
2
+ y + z )dv = ∫ dθ ∫ dr∫ (r + z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2π
1
r 4 4 3π = 2π ∫ ( r + r )dr = 3 3 10 0
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ d ∫
2 2
2π
π 5 1 a = 2π ∫ sin ( 5 0)d = a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
5 3
0
π 4 0
a cos 0
r 4 sin 3dr
π 4 0
∵ x 2 + y 2 = z 2 z = r,
x = r sin cos θ , y = r sin sin θ , z = r cos .
规定
A
z
x
r
M ( x , y, z )
z
o
θ
0 ≤ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
r 为常数
x
y
P
y
球 面 圆锥面 半平面
为常数 θ 为常数
z
如图, 如图,球面坐标系中的体积元素为dθ
思考题
xy面对称的有界闭区域, f( 若为R3中关于 面对称的有界闭区域, x, y, z)为 , 上的连续函数则
当f ( x, y, z )关于 ____为奇函数时, ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = 0;
z
当 f ( x , y , z ) 关于 ____ 为偶函数时
z
,
∫∫∫
2 f ( x , y , z ) dv = ___
∫∫∫
1
f ( x , y , z ) dv
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
填空题: 一 ,填空题: 1 ,若 由曲面 z 2 = 3( x 2 + y 2 )和 x 2 + y 2 + z 2 = 16 所 围, 则三重积分 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下 的三次积分是_________________; 的三次积分是_________________;在柱面坐标下 _________________ 的三次积分是_________________ _________________; 的三次积分是_________________; 在球面坐标下 的三次积分是__________________ __________________. 的三次积分是__________________. 2 ,若 由 曲 面 z = 2 x 2 y 2 及 z = x 2 + y 2 所 围 , 表为柱面坐标下的三次积分_________ _________, 将 ∫∫∫ zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
∫
a
例 4 求曲面 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2a 2 与 z ≥ 所围 成的立体体积. 成的立体体积
x2 + y2
解 由锥面和球面围成, 由锥面和球面围成,
采用球面坐标, 采用球面坐标,
由x
2
+ y 2 + z 2 = 2a 2 r = 2a,
x + y
2 2
z =
π = , 4
其值为_______. 其值为_______. _______
3, 3,若空间区域 为二曲面 x 2 + y 2 = az 及 所围, z = 2a x 2 + y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; ______________; _______________; 或二重积分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________ ___________________. 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 , 若 由不 等 式 x 2 + y 2 + ( z a ) 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≤ z 2 所确定, 所确定, 将 ∫∫∫ zdv 表为球面坐标下的三次积分为
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一,在柱坐标系下的计算法
为空间内一点, 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ,则这样的三 的柱面坐标. 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标.
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
: r ≤ z ≤ a,
2 2
D: x + y ≤ a ,
2 2 2
0 ≤ r ≤ a,
0
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a 2 0 r
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz
a4 a5 π 5 3 = 2π r (a r )dr = 2π[a ] = a . 0 4 5 10
_______________________;其值为__________. _______________________;其值为__________. __________
二,计算下列三重积分: 计算下列三重积分: 1, 1, ( x 2 + y 2 )dv ,其中 是由曲面4z 2 = 25( x 2 + y 2 ) ∫∫∫ 所围成的闭区域. 及平面 z = 5 所围成的闭区域.
x + y +z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充: 补充:利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意: 使用对称性时应注意: 积分区域关于坐标面的对称性; 1,积分区域关于坐标面的对称性; 2,被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性. 奇偶性.
一般地,当积分区域 关于 xoy 平面对称,且 一般地, 平面对称, 的奇函数, 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数,则三重积分 为零, 的偶函数, 为零,若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数,则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍. 积分的两倍