9.柱坐标系和球坐标系下的计算法

关键在于定出 的变化范围
r,θ , z
θ , r 的范围容易定出 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2
z 呢?
注意到 当0 ≤ r ≤ 1时
1≤ z ≤ 2 当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2 z
e e I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
x + y +z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充: 补充:利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意: 使用对称性时应注意: 积分区域关于坐标面的对称性; 1,积分区域关于坐标面的对称性; 2,被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性. 奇偶性.
一般地,当积分区域 关于 xoy 平面对称,且 一般地, 平面对称, 的奇函数, 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数,则三重积分 为零, 的偶函数, 为零,若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数,则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍. 积分的两倍
其值为_______. 其值为_______. _______
3, 3,若空间区域 为二曲面 x 2 + y 2 = az 及 所围, z = 2a x 2 + y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; ______________; _______________; 或二重积分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________ ___________________. 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 , 若 由不 等 式 x 2 + y 2 + ( z a ) 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≤ z 2 所确定, 所确定, 将 ∫∫∫ zdv 表为球面坐标下的三次积分为
x = r sin cos θ , y = r sin sin θ , z = r cos .
规定
A
z
x
r
M ( x , y, z )
z
o
θ
0 ≤ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
r 为常数
x
y
P
y
球 面 圆锥面 半平面
为常数 θ 为常数
z
如图, 如图,球面坐标系中的体积元素为dθ
思考题
xy面对称的有界闭区域, f( 若为R3中关于 面对称的有界闭区域, x, y, z)为 , 上的连续函数则
当f ( x, y, z )关于 ____为奇函数时, ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = 0;
z
当 f ( x , y , z ) 关于 ____ 为偶函数时
z
,
∫∫∫
2 f ( x , y , z ) dv = ___
dz
x
dr
r
∴ ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
o
dθ
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z)rdrd dz. θ
y
x
然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后 θ 积分限是根据 r ,θ , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x 2 + y 2 + z 2 )dv , : z = ∫∫∫
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x2 + y2 , z = 1
2 2
面得D 将 投到xoy 面得
x + y ≤1
1
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 1, r ≤ z ≤ 1
∫∫∫( x
2
+ y + z )dv = ∫ dθ ∫ dr∫ (r + z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2π
1
r 4 4 3π = 2π ∫ ( r + r )dr = 3 3 10 0
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体, 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体, 圆锥体或旋转体时, 圆锥体或旋转体时,通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算. 虑使用柱坐标来计算.
例2
∫∫∫
ez 2 2 dxdydz, : z = x + y , z = 1, z = 2 2 2 x +y
解
x = r cosθ y = r sinθ , z=z
∫
a
例 4 求曲面 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2a 2 与 z ≥ 所围 成的立体体积. 成的立体体积
x2 + y2
解 由锥面和球面围成, 由锥面和球面围成,
采用球面坐标, 采用球面坐标,
由x
2
+ y 2 + z 2 = 2a 2 r = 2a,
x + y
2 2
z =
π = , 4
I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
3
3 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ , x ≥ 0}
三,小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
(1) 柱面坐标的体积元素 )
dxdydz = rdrdθdz
2
(2) 球面坐标的体积元素 dxdydz= r sindrdθd ) (3) 对称性简化运算 )
: 0 ≤ r ≤ 2a ,
π 0≤≤ , 4
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
∫∫∫ dxdydz ,
V = ∫ dθ ∫ d ∫
0 0
2π
π 4
2a
0
r 2 sin dr
= 2π ∫
π 4 0
4 ( 2a )3 sin d = π( 2 1)a 3 . 3 3
注
若 积分区域为球体,球壳或其一部分 积分区域为球体, 被积函数呈 通常采用球坐标. 通常采用球坐标.
1 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ , z ≥ 0} ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时
r sin
dr
r sin dθ rd d
dv = r sindrddθ ,
2
r
∫∫∫
f ( x , y , z )dxdydz =
x
o
θ
dθ
y
f (r sin cosθ , r sin sinθ , r cos )r 2 sindrddθ . ∫∫∫
然后把它化成对 r,θ , 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一,在柱坐标系下的计算法
为空间内一点, 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ,则这样的三 的柱面坐标. 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标.
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ d ∫
2 2
2π
π 5 1 a = 2π ∫ sin ( 5 0)d = a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
5 3
0
π 4 0
a cos 0
r 4 sin 3dr
π 4 0
∵ x 2 + y 2 = z 2 z = r,
1
I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
2 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ∈ , y ≥ 0)}
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时
先r次后θ
例 3 计算 I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz ,其中 是锥面
x 2 + y 2 = z 2 , 与平面 z = a
解一 用球坐标
所围的立体. (a > 0) 所围的立体
∵ z =a
a , r = cos π 2 2 2 x + y =z = , 4
a π , 0 ≤ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , ∴ : 0 ≤ r ≤ cos 4
2π
1
= 2π (e e) + 2π ∫ (e e )dr = 2πe
2 2 r 1
2
2
二,在球坐标系下的计算法
为空间内一点, 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点,则点 M 可用 来确定, 三个有次序的数 r,,θ 来确定,其中 r 为原 间的距离, 点 O 与点 M 间的距离, 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角, 轴正向所夹的角, θ 为从正 z 轴来看自 x 轴按 的角, 逆时针方向转到有向线 段 OP 的角,这里 P 为 面上的投影, 点 M 在 xoy 面上的投影,这样的三 个数 r,, 的球面坐标. θ 就叫做点 M 的球面坐标.
2, 2, ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dv ,其中 由不等式
所确定. 0 < a ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ A, z ≥ 0 所确定. x2 y2 z2 3, 3, ∫∫∫ ( 2 + 2 + 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 其中 = ( x , y , z ) 2 + 2 + 2 ≤ 1 . a b c 三,求曲面 z = 5 x 2 y 2 及 x 2 + y 2 = 4 z 所围成的立 体的体积. 体的体积. 四,曲面 x 2 + y 2 + az = 4a 2 将球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 成两部分,试求两部分的体积之比. 五,求由曲面 z = x 2 + y 2 , x + y = a , x = 0, y = 0, z = 0 所围成立体的重心( 所围成立体的重心(设密度 ρ = 1 ).
_______________________;其值为__________. _______________________;其值为__________. __________
二,计算下列三重积分: 计算下列三重积分: 1, 1, ( x 2 + y 2 )dv ,其中 是由曲面4z 2 = 25( x 2 + y 2 ) ∫∫∫ 所围成的闭区域. 及平面 z = 5 所围成的闭区域.
"你对称,我奇偶" 你对称, 奇偶"
对 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z , ) 时 I = 0
( 2) 当 f ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
规定: 规定:
z
M ( x, y, z )
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
x
o
θ
r
P (r ,θ )
y
∞ < z < +∞ .
z
圆柱面
θ 为常数
z 为常数
z
rdθ
半平面 平 面
z
M ( x, y , z )
如图, 如图,柱面坐标系中的体积元
o
θ
r
P (r ,θ )
y
dv = rdrdθdz ,
: r ≤ z ≤ a,
2 2
D: x + y ≤ a ,
2 2 2
0 ≤ r ≤ a,
0
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a 2 0 r
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz
a4 a5 π 5 3 = 2π r (a r )dr = 2π[a ] = a . 0 4 5 10
∫∫∫
1
f ( x , y , z ) dv
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
填空题: 一 ,填空题: 1 ,若 由曲面 z 2 = 3( x 2 + y 2 )和 x 2 + y 2 + z 2 = 16 所 围, 则三重积分 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下 的三次积分是_________________; 的三次积分是_________________;在柱面坐标下 _________________ 的三次积分是_________________ _________________; 的三次积分是_________________; 在球面坐标下 的三次积分是__________________ __________________. 的三次积分是__________________. 2 ,若 由 曲 面 z = 2 x 2 y 2 及 z = x 2 + y 2 所 围 , 表为柱面坐标下的三次积分_________ _________, 将 ∫∫∫ zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,