第三章 水文统计的基本方法
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第三章 水文统计基本原理与方法
的两端或一端与横轴线渐近相切。
y f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
( )
——
0
)
0
t 1e t dt ，称为 的伽马函数
0
—— 曲线上点的横坐标值，待定参数 —— 特定参数
,
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
第三章 水文统计基本原理与方法 → (1) 概率统计理论基础
概率
随机事件A客观上出现的可能性，称为概率，用 P(A)表示，又称为机率、或然率等。它是描述随 机事件发生可能性大小的数值标准。 设事件A在重复的随机中共有N种结果，且每种 结果发生的可能性均等，其中事件A出现的可 能结果有f0种，按概率定义，有
曲线参数与统计参数之间的关系：
2 x CV 4 C s 2C S
a0 x(1 ) CS
第三章 水文统计基础知识 → 3)水文经验频率曲线、理论曲线及参数估计
p( ) f , C d
p p s
该式包含 Cs、P与Φp的关系，查附表2，由已 知的Cs值，查表可得不同P的 Φp值，然后利用 已知的 x 和Cv值，通过下式即可求出与各种P 相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
上述累积频率是指多年平均出现的机会； 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定 的周期。
例4 某大城市从互不相关的三条河流中取水，各设一个 泵房．每一泵房正常运转受洪水破坏的机率为1﹪。试确 定此城市供水受破坏的机率为多大?
解：水文现象总体容量无限，所述破坏机率只能是一 种估计值。供水受破坏的情况有如下几种： (1)三个泵房运转同时破坏的机率：
•重现期
第三章 水文统计方法
四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中
出现的频率。 W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的 程度。
五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位
0
225 1225 2500
0
-3375 -42875 -125000
1
0.925 0.825 0.75
0
-0.075 -0.175 -0.25
0
-0.00042187 -0.00535938 -0.015625
均值
均方差 变差系数 偏态系数
200
2790
52.8 0.264102
165750
0.10359375
≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30% 意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的
水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi 表 示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。 随机变量分类：
（1）根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列； （2）用经验频率公式计算系列中各项的频率; （3）以水文变量X为纵坐标，以经验频率P为横坐标，
点绘经验频率点据；
（4）根据点群趋势绘出一条平滑的曲线。
例题
年份 （ 1） 1961 年最大洪峰流 量 （2） 720
序号 （3） 1 由大到小排列 （4） 2650 经验频率 （ 5） 9.1
水文学第三章
式中:T-重现期，以年计； P-大于等于某水文变量 XP—事件的频率。
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
b. 当研究枯水问题 水文上关心的是小于XP的事件出现的频率
及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于
某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文 变量大于等于XP的频率为P ，则小于XP事件的 频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次 数应为N(1-P)，因此其重现期为：
物理成因分析法
水文现象也包含着偶然性(Contingency) ， 对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的 规律一般称做统计规律。
概率论和数理统计分析方法
水文分析计算常用到数理统计的方法
进行流域或地区水资源开发利用，首先要了 解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；
进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河 流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。
生的概率等于各个事件发生的概率总和。
[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球， 问：摸出白或黑求的概率是多少？
P(白)＝ 20 2 20 10 3
P(黑)＝ 10 1 20 10 3
P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ 2＋1 1 33
[例] 某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位 H≥2.0m和H≥2.7m的概率？
某站水位频率计算
表3.1
序号
水位H（m）
频数f（a） 频率W（%） 累积频率P （%）
1
4.0
2
5
5
2
3.5
10
25
30பைடு நூலகம்
3
2.7
16
40
70
4
2.0
9
第三章 水文统计
Zuo Qiting
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
经验频率曲线的绘制： 1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；
2）根据经验频率公式计算经验频率；
3）以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，在 概率格纸 ( 或普通坐标上 ) 上点绘经验频率点，然后用目估 法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线； 4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量 值。
p( x 3 x x 3 ) 99.7%
x x x
正态曲线
Zuo Qiting
二、皮尔逊- III型 皮尔逊Ⅲ型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称 单峰曲线，概率密度函数
a f ( x) ( x a0 ) a 1 e ( x a ( )
m p 100 % n 1
P为大于等于xi的经验频率；m为水 文变量从大至小排列的序号；n为
样本容量。
频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这 个词。所谓重现期是指水文事件的平均重现间隔时间，即平 均间隔多少时间出现一次或多少时间遇到一次。 在工程水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单 位。
i
2
n
(k 1)
i
2
n 1
3 3 ( k i 1 ) ( k i 1 ) n2 Cs (n 1)(n 2) nCv3 (n 3)Cv 3
不偏估值 公式
Zuo Qiting
三、抽样误差
用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是 存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总 体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。
3. 总体、样本、样本容量
将随机变量所能取值的全体称为总体。
总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。 从总体中随机抽取一部分个体称为样本。 样本所含个体的数目称为样本容量(大小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列， 现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。
水文学第三章33683-PPT文档资料
m p 100 % n
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn 是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随 着观测年数的增多，总会出现更小的数值。
对上式进行修正，有： 数学期望公式
p m 100 % n1
切哥达也夫公式
m 0 .3 p 100 % n 0 .4
海森公式
m 0 .5 p 100 % n
第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线 型中的参数，如P—Ⅲ型的 、Cv、 Cs。 x
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
n C v n 1
( K 1 ) i
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%）
T 1 P
例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100 年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于 这样的洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%）
T1 1 P
例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称 此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的 流量平均10年会遇到一次。
第三章 水文统计基本原理及方法
第一节
概述
第二节 概率的基本概念 一、事件 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率 随机事件出现的可能性大小 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称 为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即F(x)
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn 是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随 着观测年数的增多，总会出现更小的数值。
对上式进行修正，有： 数学期望公式
p m 100 % n1
切哥达也夫公式
m 0 .3 p 100 % n 0 .4
海森公式
m 0 .5 p 100 % n
第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线 型中的参数，如P—Ⅲ型的 、Cv、 Cs。 x
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
n C v n 1
( K 1 ) i
水文上常用“重现期”来代替“频率” 1. 当研究暴雨或洪水时（一般p≤50%）
T 1 P
例如，当某一洪水的频率为p=1%时，则T=100 年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于 这样的洪水平均100年会遇到一次。 2. 当研究枯水或年径流时（一般p≥50%）
T1 1 P
例如，对于p=90%的枯水流量，则T=10年，称 此为十年一遇枯水流量，表示小于等于这样的 流量平均10年会遇到一次。
第三章 水文统计基本原理及方法
第一节
概述
第二节 概率的基本概念 一、事件 必然事件、不可能事件、随机事件 二、概率 随机事件出现的可能性大小 三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值
第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变量 水文特征值：年径流、洪峰流量 离散型随机变量 连续型随机变量：水位、流量 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称 为随机变量的概率分布。 对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即F(x)
水文统计的基本方法
年份
1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973
年降水量
549 702 563 612 760 658 528 802 554 643 592 586 745
年份
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求：
掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件
1、随机试验
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验所
三、重现期
1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。
2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关 系有两种表示方法 ：
（1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，
则:
T1
（年）
P
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
第三节 随机变量及其频率分布
上节内容提问
1、频率和概率的区别和联系是什么？ 答：区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数， 是个经验值。联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳 定．并趋近于概率。 2、频率P与重现期T的关系如何？ 答：在研究暴雨洪水问题时，T ；1
P
3 水文统计基本原理与方法
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数
F(x)与f(x)的关系式
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
F(x)的几何意义就是表示 位于x轴上边的密度曲线所 包围的面积。 密度函数和分布函数从不同 角度反应了随机变量的概率 分布规律。
频率密度曲线一般为“铃形”。 频率分布曲线通常呈“倒S形”。
式中：F ( x) 为分布函数 F(x)的一阶导数，令 f（x）= F ' ( x) 。
'
3.2 随机变量的概率分布
3.概率密度函数 函数 f(x) 为概率密度函数（密度函数或分布
密度函数）。密度函数f(x)的几何曲线为密度 曲线。通过密度曲线可以很方便地求出随机变 量x落在区间dx上的概率，它等于 f(x) dx。
利用实测流量资料推 求桥涵的设计流量时， 往往需要将频率曲线 的头部外延很远，采 用海森机率格纸，仍 有较大的任意性，同 样会产生很大的误差。 显然，仍不能满足水 文计算的要求，必须 进一步寻求绘制和外 延频率曲线的方法。
3.3 水文经验频率曲线
例：某水文站有22年不连续的年最大流量资料，列于表 2—5第3栏，试绘制该站的经验频率曲线，并目估延长， 推求洪水频率为2％、1％和0.33％的流量。 ①把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表2 －5第5栏； ②采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率P，列入表2— 5第6栏。 ③然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘 出经验频率点，如图2—5中的圆点； ④再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线，如图中的细实线， 就是该水文站的经验频率曲线； ⑤将经验频率曲线向上延长(图2－5中的细虚线)，可由图 中直接读出所求洪水频率的流量
水文学PPT教案0917-第三章水文统计的基本原理与方法
概率运算定理
• 概率运算定律
I. 概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不
能发生，这类事件称为互斥事件； 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于
各个事件发生的概率总和 【例】袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白 或黑求的概率是多少？
概率运算定理
用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事 先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量， 一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。
它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母 表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为随机系列或随机数列。
这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。
随机变量的概率分布
【例】 某站有62年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。
【解】 将62年降水量按大小每隔∆x=200mm划分为一组，统计各组值 出现的次数，计算各组值相应的频率、频率密度、累积次数、累积频率 的值。
表3.2 某站某年降水量分组频率计算表
所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值 的可能性为多少
河川水文现象的特点
1. 多变和不完全重复性 水文现象在发生的时间和数值的大小上都具有随机性。
因此不能依靠短期的观测资料对今后的变化趋势做准确的判 断 2. 地区性
水文现象因地区不同而异。因此引用经验公式要注意其 地区特点 3. 周期性
n
n -1
P(AB) = P(A)· P(B / A) = a(a -1) n(n -1)
随机变量的概率分布
• 对于离散型随机变量：
3第三章 水文统计
相关系数r:是定量表示两种变量之间的密切程 度
r2=1: 变量之间为函数关系 r2=0: 零相关 1>r2>0：相关 r<0：负相关 r>0：正相关 相关系数r多大才算合适？
相关系数的显著性检验
相关系数r多大才能满足要求，取决于样本容 量和精度要求。用相关系数临界值来衡量。
a：显著水平，认为方程有意义时，错误判断可能发 生的概率， a：越小，说明要求越高 ra：临界相关系数 n：自由度 练习查表p74
皮尔逊Ⅲ型曲线
引入参数Φ ， Φ值为离均系数
PIII模型变为
例:设某水文站， 求 Q 1000m3 / s, cv 0.5, cs 1 .5, 此理论频率曲线及水文站附近某桥的设计洪峰流量 Q1％和Q 5％。
解：按公式3-31
Qp Q(1 cv p )
P=1％，Cs＝1.5，查附录B： P= 3.33
I)研究洪峰流量、洪水位、暴雨等最大值问题时
例如，某洪峰流量Qi的频率为P(Q≥Qi)=l％,那么此 洪峰流量的重现期为100年，则称为平均100年出现一 次大干或等于该洪峰流量Qi的事件.或称为百年一遇。
思考题
百年一遇洪水，是指 [________]。 a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出 现一次； b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次； c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现 一次； d、小于等于这样的洪水平均100年可能出现 一次；
三点适线法 通过目估法汇出与经验频率曲线点分布配合较好的理 论曲线，从曲线上选择三点，并据此以选定理论频率 曲线上三个参数
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv ) Q2 Q(1 2 cv ) Q3 Q(1 3cv )
23高职高专工程水文学第三章 水文统计的基本方法
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011年至2012 年第1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
小于或等于P
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
而对于算，而是采用某一个假定值。
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第 1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年月日
可将对应点据
的某一取值，相关点据
指标是
的回归方程式为：以上式中
和
和
相关系数
时，所有的相关点据
时，
）水文计算中，除要求外，一般认为
****************学院
教师授课教案
课程名称：水文2011 年至2012 年第 1 学期第次课
授课教师：授课日期：2011 年9 月日
实际应用时，可以根据给定的偏态系数
的比值称为模比系数
值表，该表给出常用的
得对应于给定参数
随机变量
和三个统计参数中，两个参数不变，仅有一个参数发生变化时：
计算水文变量总体均值和离势系数的初估值。
用无
所选的
）调整理论频率曲线时，如个别点据始终偏离曲线，应注意对其合。
第三章 水文统计基本原理与方法
P( A) m 1 n2
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
【例3-2】掷两个骰子，计算出现点数的概率。
解：掷两个骰子，可能结果总数为36，有限的。出 现哪一面都是等可能的，故为古典概型。
2
3
B=
P(B) =
4
:
:
12
1
36 2
36
3
P( B=1 ) = 0
36
1
36
3.1.4 频率（frequency）
（概率的统计定义）
设事件A在n次试验中出现了m次，则称
P( x x X x) P( X x) P( X x x) F ( x) F ( x x)
称随机变量X出现在区间[x，x+Δx）的平均概率
F ( x) F ( x x) x
为平均概率密度。
令 Δx → 0
lim F ( x) F ( x x) lim F ( x x) F ( x) F '( x)
x0
x
x0
x
记：
f ( x) F '( x) dF( x) dx
称为概率密度函数，简称密 度函数（density function）， 其图形称为密度曲线 （density curve）。
密度函数积分即为分 布函数：
F ( x) P( X x) f ( x)dx
x
(3 5)
分布函数（distribution function）的图形称为分 布曲线（density curve）， 水文学中称为频率曲线 （frequency curve）。
事件（X≥x） 的概率用P（X≥x）表示，它是随随机
变量X的取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，
称为随机变量X的分布函数（distribution function），
第3部分水文学统计基本原理与方法
水文学统计基本原理与方法
3.1.3 数理统计法对水文资料的要求
检查资料的可靠性； 检查资料的一致性； 检查资料的代表性； 检查资料的随机性； 检查资料的独立性
3. 2 频率和概率
3.2.1概率和频率
(1) 频率
指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的次数（频数）m与试验总
次数n的比值，即：
水文学统计基本原理与方法
概率的基本性质：
0 P(A) 1
1) P(A)=1，A属于必然事件；
2) P(A)=0，A属于不可能事件；
3) 0<P(A)<1，A属于随机事件；
(3)频率与概率的关系
lim W (A) P(A)
n
频率是经验值，概率是经验值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推
W ( A) m n
水文学统计基本原理与方法
(2)概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为
机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后 概率：
事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率；
概率：2概) 率投是掷指骰随子即出事现件反某在应一客随个观机上点事出子件现的各的概种可结率能果性的。数可量分。为事先概率和事后概率。 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必 须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率
求频率作为概率的近似值。
水文学统计基本原理与方法
水文统计的基本原理与方法
二、三点试线法
从经验频率曲线上选择三 点，并据以选定理论频率 曲线上三个参数的方法
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程：
Q1 Q(1 1cv )
Q2 Q(1 2cv )
Q3 Q(1 3cv )
解得： Q Q31 Q13
1 3
cv
Q1 Q3
Q31 Q13
s 1 3 22 1 3
甲
x甲
5.0 10
0.50
cv乙
乙
x乙
5.0 1000
0.005
表明：甲系列的离散程度大于乙系列
我国降水量与径流量的变差系数，一般是南方小，北方 大；沿海小，内陆大；平原小，山区大。在0.2～1.5之间
（三）、偏差系数：衡量系列在均值两侧对称程度。
一般有经验关系：
cs (2 ~ 4)cv
三、皮尔逊III型曲线
试线法：由实测系列得到统计参数，根据理论频率 曲线公式算得设计流量得到的曲线与经验频率点 绘相结合选配合适理论频率曲线的方法。
包括试错试线法和三点试线法
采用假定的Cs值，适当调整
一、试错试线法：
均值和Cv值，使理论频率曲 线与经验点据很好的符合
例题：某水文站有1945～1968年共24年实测最大流量资料，见表， 试用试错试线法求合适的理论频率曲线及设计流量Q1％Q2％
解： 1、计算系列流量的经验频率Pi、Ki、Ki2见表
2、点绘经验频率曲线Pi－Ki
3、求理论频率曲线的两个参数
均值＝1500m3/s、Cv=0.51 4、假定Cs＝2Cv,根据公式计算见教材表10-7， 绘
制理论频率曲线（红线）
5、适线得出Cv＝0.6，Cs＝2.5Cv比较适合，可 以采用
水文学 第3章水文统计基本原理与方法
( x)
1
2
e
1 x x 2 ( ) 2
三、抽样误差 水文计算中的误差来源有两方面，一方面是观测 记录整编资料等引起的误差，另一种误差是由 有限的样本资料代替总体所引起的抽样误差。 从总体中随机抽样，可以得到许多个随机样本， 这些样本的统计参数也属于随机变量，它们也 具有一定的频率分布，这种分布称为抽样误差 分布。抽样误差分布大多认为属正态分布。
n i 1 i
3
Cs
n s3
( K i 1) 3
i 1
n
nCv3
（五）矩
（1）原点矩 随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望 ，称为随机变量X的r阶原点矩。
mr E( X r ) (r 1,2,...,n)
r=1时，就是算术平均数
（2）中心矩 随机变量X对分布中心E(X)离差的r次幂的 数学期望，称为随机变量X的r阶中心矩。
二、简单直线相关关系 （一）相关图解法（目估定线）（通过均值点）
第五节 频率曲线参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型 中的参数，如P—Ⅲ型的 x 、Cv、 Cs。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之 间的关系，来估计频率曲线的参数。
1 n 均值 x 的无偏估计： x xi n i 1
Cv的无偏估计量：
Cv
n n 1
( K i 1)
五、设计标准 1.主管部门根据工程的规模、工程在国民经济中的地位以 及工程失事后果等因素，在各种行业标准或工程设计 规范中规定各种水文特征值的设计频率（或重现期） 作为工程设计标准。 2.各地工程业务部门，根据当地实测的水文资料，通过水 文分析计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作 为工程设计的依据。 课本44页。
水文学第3章 水文统计的基本原理与方法
P ( X xi ) p i
(i 1,2......)
离散型随机变量取任何可能值时，其概率都不会是负，即 pi ≥ o (i＝1、2、……)；
连续型随机变量，因其取某一给定值的概率等于零，在 水文上仅讨论随机变量 X 取大于、等于某 xi 值的发生概率:
p ( X xi ) p i
k 1
均值只能反映系列中各变量的平均情况，不能反映系列中各变 量相对于均值集中或离散的程度。
2．均方差
与离势系数 Cv
( xi x )
i 1
n
2
n
1 CV x x
( xi x )
i 1
n
2
n
( K i 1) 2
i 1
n
n
不同系列的均值相同时，可用 均方差比较系列的离散程度。 第一系列， 15 , 20 , 25. 4.08；
m p 100 % (2)用数学期望公式计算各项x≥xm的经验频率。 n 1
(3)在频率格纸上，以变量x为纵坐标，以其对应的经验频率为横 坐标，点绘出经验频率点，依据点群趋势绘出光滑曲线，即为经验 频率曲线（曲线不需经过所有的经验点）。 (4)有了经验频率曲线，即可在曲线上外延求得指定频率p的水文 变量值xp。 （但常用与经验曲线配合较好的理论线外延）
0 p
取标准化随机变量:
xx xCv x p x (CV P 1) p p ( p ) f ( p , cs )d
p
对于具体的Cs，就可 计算出 φ 与p的对应值。 若给定若干个Cs值，就可 制成 p 和φ （离均系数） 的关系表。见附表1。 在进行频率计算时， 由已知的Cs查表即可求得 一组p和 φ p的对应值，便 可绘出理论频率曲线。
第三章 水文统计的基本原理与方法
第三章水文统计的基本原理与方法目的：推算设计流量内容：基本理论、推算方法§3-1 概率统计理论基础*一、随机事件和随机变量*1．事件的分类：必然事件；不可能事件；随机事件（又称偶然事件）。
统计规律：大量同类随机事件的平均情况*2．随机变量随机变量：随机事件的量值*二、样本、总体、系列随机变量系列：由若干或无数个随机变量组成的系列总体：随机变量的全部称为总体样本：总体中的一部分称为样本样本的规律——推断总体的规律。
抽样误差：由样本推断总体规律带来的误差*三、机率与频率机率（又称概率）：机率是事件固有的客观性质，常数，理论值。
频率：试验，经验值。
当试验次数无限增多时，频率——机率。
四、累积频率与重现期*1、累积频率：*2、重现期：将无限长远年代，某一水文现象（或量值）平均多少年出现一次PT 1§3-2 水文经验频率曲线一、经验频率曲线的概念经验累积频率：大于和等于某一数值的流量出现的次数，与年最大洪峰流量总次数之比值 经验累积频率曲线： 流量和频率曲线 流量与累积频率曲线 设计洪水频率：桥涵设计洪水频率二、频率分布及其特征 频率密度： 密度函数：累积频率曲线： *三、经验频率公式 *1．经验频率公式经验频率：在水文计算中，利用实测和调查的水文资料推算的频率 经验频率公式：按递减顺序排列 **1）数学期望公式：（均值公式）%1001⨯+=n mP 式中：P ——经验频率（序号为m 那项变量的累积频率，常以％表示）； n ——有限系列的总项数；m ——系列中随机变量按递减顺序排列的序号。
**2）中值公式：%1004.03.0⨯+-=n m P 四、经验频率曲线得绘制和延长 *1、经验频牵曲线的绘制经验频率曲线：随机变量值i Q 和其累积频率i P 关系的曲线 步骤：i Q 递减排列 算出各i Q 的i Pi Q 为纵坐标，i P 为横坐标，点绘，穿线*2．经验频率曲线延长和局限性外延误差均匀分格：曲线头尾两端较陡，中间缓和平坦，呈卧S 形外延的任意性较大，推求的结果会产生很大的误差。
chap3水文统计的基本知识及方法
2）频率曲线
分布函数代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。其 几何图形如图7-3-1（b）所示， 图中纵坐标表示变量x，横 坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为分布 曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率 曲线。
图3-1
随机变量的概率密度函数和概率分布函数图 （a）概率密度函数；（b）概率分布函数
3.1 水文统计的意义与基本概念
一、水文现象的特性
水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面， 也具有偶然性的一面。
1、必然现象：指事物在发展、变化中必然会出现的现
象；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。
2、偶然现象：指事物在发展、变化中可能出现也可能
不出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。
例 A、B两条河汇合于某一地区。 当任一河流泛滥时，该地区被淹没。 河流A泛滥的概率为0.1；河流B泛 滥的概率为0.2；当河流A泛滥时， 河流B泛滥的概率为0.3。 求:(1) 这个地区被泛滥的概 率？ (2) 当河流B泛滥时，河流 A泛滥的概率？
A
C
B
答案：(1) 0.27 (2) 0.15
解：记河流的甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥 为事件Ｂ。这个地区被淹没的概率为：
第三章
水文统计基本原理与方法
研究对象：频率计算，相关分析 研究内容：频率计算——包括随机变量及其概率 分布、水文频率曲线、水文频率计算适线法。相 关分析——包括两变量直线相关、两变量曲线相 关、复相关。 研究目的：从已知资料寻求河川径流变化规律， 一方面可用成因分析的方法从径流形成的角度去 研究径流的变化规律；另一方面，就是用水文统 计（数理统计）的方法，去寻求水文现象的统计 规律。研究河川径流的统计变化规律，预估径流 未来的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设 计、施工和运行管理的需要。
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X P(X=xi) x1 p1 x2 p2 …… …… xi pi …… ……
第三节 随机变量及其频率分布
2、连续型随机变量的频率分布
对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某
个区间的概率，或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的 概率分布，即P（X≥xi）。有时也研究X的取值小于等于某值的
二 、频率 1、频率计算公式： 设随机事件A在n次随机试验中，实际出现了m次，则
m P( A) n
（3-2）
称为随机事件A在n次试验中出现的频率。
例：随机事件A：某条河流某断面出现大于等于20m3/s的流量。 （1）做随机实验两次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s。
P ( A) m 0 n
（二）均方差和变差系数 1、均方差 均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度。 例：甲系列：10、30、50 x甲 x乙 30 乙系列：1、30、59
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
（3-6）
第三节 随机变量及其频率分布
均方差的计算公式为
第二节 概率、频率、重现期
(二)概率 1、定义：概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的 数量指标。 2、随机事件的概率计算公式
式中 P（A）—在一定条件下随机事件A发生的概率； n —在试验中所有可能出现的结果总数； m—在试验中属于事件A的结果数。 ∵ 0≤m≤n ∴0≤ P（A）≤1 P（A）=0 不可能事件 ； P（A）=1 必然事件
2 2 2
甲 乙
例：甲1系列 5 、20、35 乙1系列
甲 乙 15
1 1
1985、2000、2015
第三节 随机变量及其频率分布
2、变差系数CV（离差系数） 可比较均值不等的系列的离散程度，计算公式为
1 CV x x
( xi x)
i 1
n
2
n 1
(ki 1) 2
第三章
水文统计的基本方法
第一节 概 述
第一节 概 述
教学内容： 一、水文现象的统计规律 二、水文统计及其任务 教学要求： 了解水文现象的统计规律及水文统计的任 务。
第一节 概 述
一、水文现象的统计规律 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。 二 、水文统计及其任务 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由 随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规 律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文 分析与计算上则称为水文统计。 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化 特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在 概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。
概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互转换，水文统计中常用
X ≥xi 的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是样本资料， 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律，所以
重点研究随机变量X ≥xi的频率分布。
【例3-1 】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，试分析该样
第三节 随机变量及其频率分布
二、随机变量的频率分布 1、离散型随机变量的概率分布 随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系，称为 随机变量概率分布或分布律。 离散型随机变量X的概率分布可表示为 P（X=xi)=pi( i=1,2…) (3-5) 也可用表格或图来表示。 离散型随机变量及其概率分布表
CS
( xi x)
i 1 3
n
3
(n 3) x CV
3
(ki 1)3
i 1
n
(n 3)CV
序号
年降水量 (组距 ⊿x=100mm ) ②
各组出现次 数 (次)
累积出现次 数 (次)
各组出现频 率 pi(%) ⑤
累积频率 p(%)
4/6 4
①
③
④
⑥
1 2 3 4 5 6 7 8
900~999 800~899 700~799 600~699 500~599 400~499 300~399 200~299 总计
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求： 掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件 1、随机试验
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
例：P=0.1% P=5% 则 则 T=1000年 T=20年 千年一遇的洪水 二十年一遇的洪水
（2）在研究枯水问题时，一般设计频率P＞50％，则
1 T 1 P
例：P=75% P=80% P=20% 则 则 则 T=4年 T=5年 T=5年 四年一遇的枯水 五年一遇的枯水 五年一遇的洪水
（2）做随机实验三次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。
P ( A) m 1 n 3
第二节 概率、频率、重现期
2、频率和概率的区别和联系 区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数，是个经验值。 联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定．并趋近于概率。
表3-1 掷币实验出现正面的频率 实验者 蒲丰 （Buffon) 皮尔逊 （K.Pearson) 皮尔逊 （K.Pearson） 掷硬币次数 4040 12000 24000 正面出现的次数 2048 6019 12014 正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 频率越 接近概 率0.5
本系列的频率分布规律。 表3-2 某站年降水量
年降水量 年份 年降水量 年份
（单位：mm）
年降水量 年份 年降水量 年份 年降水量
年份
1935 1936 1937
476 486 905
1948 1949 1950
285 528 583
1961 1962 1963
549 702 563
1974 1975 1976
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验
所有可能出现的结果或范围；
③每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现。
2、随机事件 随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情，称之 为事件。
第二节 概率、频率、重现期
事件按照其发生的可能性大小分为三类：
（1）必然事件。即在一定条件下肯定会发生的事件。 （2）不可能事件。即在一定条件下肯定不会发生的事 件。 （3）随机事件。即在一定的条件情况下有可能发生， 也有可能不发生的事件。
1 3 5 12 23 12 5 3 64
1 4 9 21 44 56 61 64
1.6 + 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7 100
1.6 6.3 14.1 32.8 68.8 87.5 95.3 100
1.6 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7
23 64
第二节 概率、频率、重现期
三、重现期 1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。 2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系 有两种表示方法 ： （1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％， 则: 1 （年） T
P
m P ( A) n
（3-1）
第二节 概率、频率、重现期
例：箱子里有黄球4个，白球1个，每次摸到白球的概率为 1 / 5
简单随 机事件
… … …
3
5 0
… 2 … 0 … 5
… … …
Байду номын сангаас
2/5
0
1
例：某条河流某断面的流量出现大于等于20m3/s的概率为
复杂随 机事件 不知道
n=？
第二节 概率、频率、重现期
i 1
n
n 1
（3-8）
xi k 式中，ki为模比系数， i 。 x 代入以上公式得
CV甲1 15 15 0.75 CV乙1 0.0075 20 2000
第三节 随机变量及其频率分布
(三)偏差系数Cs（偏态系数） 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称（偏 态）程度的一个参数，计算式为:
1200
年降雨量x(mm)
1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80
根据表3-3中 ②、⑥栏绘 成，简称频 率曲线。
100 120 累积频率p(%)
图3-2 某站年降水量累积频率分布图
第三节 随机变量及其频率分布
三、随机变量的统计参数 (一)算术平均数 x 表示样本系列的平均情况，反映系列总体水平的高低。
( xi x) 2
i 1 n
n 1
（3-7） 说明该两系 列各值相对 均值的离散 程度相同吗？
代入以上公式得
2 2 2 （10 30） 30 30） 50 30） （ （ 甲 20 3 1
乙
（1 30） 30 30） 59 30） （ （ 29 3 1
第三节
随机变量及其频率分布
教学内容： 一、随机变量 二、随机变量的频率分布 三、随机变量的统计参数 四、抽样误差 教学要求： 了解随机变量及其分类；掌握频率曲线、随机变量统 计参数的含义和计算方法；对抽样误差的定义和计算公 式有一定的了解。
第三节 随机变量及其频率分布
第三节 随机变量及其频率分布
2、连续型随机变量的频率分布
对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某
个区间的概率，或是研究随机变量X取值大于或等于某一数值的 概率分布，即P（X≥xi）。有时也研究X的取值小于等于某值的
二 、频率 1、频率计算公式： 设随机事件A在n次随机试验中，实际出现了m次，则
m P( A) n
（3-2）
称为随机事件A在n次试验中出现的频率。
例：随机事件A：某条河流某断面出现大于等于20m3/s的流量。 （1）做随机实验两次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s。
P ( A) m 0 n
（二）均方差和变差系数 1、均方差 均方差则表示系列中各个值相对于均值的离散程度。 例：甲系列：10、30、50 x甲 x乙 30 乙系列：1、30、59
x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i 1
（3-6）
第三节 随机变量及其频率分布
均方差的计算公式为
第二节 概率、频率、重现期
(二)概率 1、定义：概率就是用来描述某一随机事件发生可能性大小的 数量指标。 2、随机事件的概率计算公式
式中 P（A）—在一定条件下随机事件A发生的概率； n —在试验中所有可能出现的结果总数； m—在试验中属于事件A的结果数。 ∵ 0≤m≤n ∴0≤ P（A）≤1 P（A）=0 不可能事件 ； P（A）=1 必然事件
2 2 2
甲 乙
例：甲1系列 5 、20、35 乙1系列
甲 乙 15
1 1
1985、2000、2015
第三节 随机变量及其频率分布
2、变差系数CV（离差系数） 可比较均值不等的系列的离散程度，计算公式为
1 CV x x
( xi x)
i 1
n
2
n 1
(ki 1) 2
第三章
水文统计的基本方法
第一节 概 述
第一节 概 述
教学内容： 一、水文现象的统计规律 二、水文统计及其任务 教学要求： 了解水文现象的统计规律及水文统计的任 务。
第一节 概 述
一、水文现象的统计规律 水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具 有偶然性的一面。偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是 有规律的，一般称为统计规律。 二 、水文统计及其任务 数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由 随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规 律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文 分析与计算上则称为水文统计。 水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化 特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在 概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及 运营期间的需要。
概率，即P（X≤xi）。后面二者可以相互转换，水文统计中常用
X ≥xi 的概率及其分布。另外，在水文上遇到的都是样本资料， 通常要用样本的频率分布规律去估计总体的概率分布规律，所以
重点研究随机变量X ≥xi的频率分布。
【例3-1 】已知某雨量站1935～1998年共64年的年降水量，如表3-2所示，试分析该样
第三节 随机变量及其频率分布
二、随机变量的频率分布 1、离散型随机变量的概率分布 随机变量各个取值与其概率之间的一一对应关系，称为 随机变量概率分布或分布律。 离散型随机变量X的概率分布可表示为 P（X=xi)=pi( i=1,2…) (3-5) 也可用表格或图来表示。 离散型随机变量及其概率分布表
CS
( xi x)
i 1 3
n
3
(n 3) x CV
3
(ki 1)3
i 1
n
(n 3)CV
序号
年降水量 (组距 ⊿x=100mm ) ②
各组出现次 数 (次)
累积出现次 数 (次)
各组出现频 率 pi(%) ⑤
累积频率 p(%)
4/6 4
①
③
④
⑥
1 2 3 4 5 6 7 8
900~999 800~899 700~799 600~699 500~599 400~499 300~399 200~299 总计
第三章 水文统计的基本方法
第二节 概率、频率、重现期
第二节 概率、频率、重现期
教学内容： 一、概率 二、频率 三、重现期 教学要求： 掌握概率、频率和重现期的概念；掌握频率 和概率的联系和区别；掌握频率和重现期的关系。
第二节 概率、频率、重现期
一 、概率 （一）随机试验与随机事件 1、随机试验
式中：T——重现期，年； P——频率，％。
第二节 概率、频率、重现期
例：P=0.1% P=5% 则 则 T=1000年 T=20年 千年一遇的洪水 二十年一遇的洪水
（2）在研究枯水问题时，一般设计频率P＞50％，则
1 T 1 P
例：P=75% P=80% P=20% 则 则 则 T=4年 T=5年 T=5年 四年一遇的枯水 五年一遇的枯水 五年一遇的洪水
（2）做随机实验三次，分别测得流量为5.1m3/s、16m3/s、21m3/s。
P ( A) m 1 n 3
第二节 概率、频率、重现期
2、频率和概率的区别和联系 区别：概率是抽象数．是个理论值；频率是具体数，是个经验值。 联系：频率随实验次数的增多而逐渐稳定．并趋近于概率。
表3-1 掷币实验出现正面的频率 实验者 蒲丰 （Buffon) 皮尔逊 （K.Pearson) 皮尔逊 （K.Pearson） 掷硬币次数 4040 12000 24000 正面出现的次数 2048 6019 12014 正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 频率越 接近概 率0.5
本系列的频率分布规律。 表3-2 某站年降水量
年降水量 年份 年降水量 年份
（单位：mm）
年降水量 年份 年降水量 年份 年降水量
年份
1935 1936 1937
476 486 905
1948 1949 1950
285 528 583
1961 1962 1963
549 702 563
1974 1975 1976
①可以在相同的条件下重复进行； ②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先知道实验
所有可能出现的结果或范围；
③每次试验之前无法确定究竟哪种结果会出现。
2、随机事件 随机试验中所有可能出现或不可能出现的事情，称之 为事件。
第二节 概率、频率、重现期
事件按照其发生的可能性大小分为三类：
（1）必然事件。即在一定条件下肯定会发生的事件。 （2）不可能事件。即在一定条件下肯定不会发生的事 件。 （3）随机事件。即在一定的条件情况下有可能发生， 也有可能不发生的事件。
1 3 5 12 23 12 5 3 64
1 4 9 21 44 56 61 64
1.6 + 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7 100
1.6 6.3 14.1 32.8 68.8 87.5 95.3 100
1.6 4.7 7.8 18.7 36 18.7 7.8 4.7
23 64
第二节 概率、频率、重现期
三、重现期 1、定义：所谓重现期，是指某随机事件在长期过程中 平均是多少年比现一次，称为“多少年一遇”，用字 母T表示。 2、根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系 有两种表示方法 ： （1）在研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％， 则: 1 （年） T
P
m P ( A) n
（3-1）
第二节 概率、频率、重现期
例：箱子里有黄球4个，白球1个，每次摸到白球的概率为 1 / 5
简单随 机事件
… … …
3
5 0
… 2 … 0 … 5
… … …
Байду номын сангаас
2/5
0
1
例：某条河流某断面的流量出现大于等于20m3/s的概率为
复杂随 机事件 不知道
n=？
第二节 概率、频率、重现期
i 1
n
n 1
（3-8）
xi k 式中，ki为模比系数， i 。 x 代入以上公式得
CV甲1 15 15 0.75 CV乙1 0.0075 20 2000
第三节 随机变量及其频率分布
(三)偏差系数Cs（偏态系数） 反映系列中各值在均值两侧分布是否对称或不对称（偏 态）程度的一个参数，计算式为:
1200
年降雨量x(mm)
1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80
根据表3-3中 ②、⑥栏绘 成，简称频 率曲线。
100 120 累积频率p(%)
图3-2 某站年降水量累积频率分布图
第三节 随机变量及其频率分布
三、随机变量的统计参数 (一)算术平均数 x 表示样本系列的平均情况，反映系列总体水平的高低。
( xi x) 2
i 1 n
n 1
（3-7） 说明该两系 列各值相对 均值的离散 程度相同吗？
代入以上公式得
2 2 2 （10 30） 30 30） 50 30） （ （ 甲 20 3 1
乙
（1 30） 30 30） 59 30） （ （ 29 3 1
第三节
随机变量及其频率分布
教学内容： 一、随机变量 二、随机变量的频率分布 三、随机变量的统计参数 四、抽样误差 教学要求： 了解随机变量及其分类；掌握频率曲线、随机变量统 计参数的含义和计算方法；对抽样误差的定义和计算公 式有一定的了解。
第三节 随机变量及其频率分布