2021年高一上学期期末统考数学试题 含答案
2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案
2021年高一上学期期末测试数学试题 Word版含答案一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．A． B． C． D．3.已知△三个顶点的坐标分别为，，，若，那么的值是A. B.3 C. D.44．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为A． B． C． D．5．函数的一个对称中心A．B．C．D．6. 函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．7.如图，点在边长为的正方形的边上运动，设是的中点，则当沿着路径运动时，点经过的路程与△的面积的函数关系为，则的图象是8.已知函数，在下列结论中：①是的一个周期;②的图象关于直线对称;③在上单调递减.正确结论的个数为A. 0B.1C. 2D. 3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.如果向量，，且，共线，那么实数.10.已知集合，则 .11．sin15o sin75o的值是____________.12. 已知函数且，则的值为.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个判断：①的定义域是，值域是；②点是的图象的对称中心，其中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的定义域；（II）求的值；（III）求函数的零点.16. （本小题满分14分）已知. 其中是第三象限角.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；(III) 求πθπθθ⎛⎫+-++⎪⎝⎭sin2sin()cos22的值.17. （本小题满分13分） 已知向量，，其中.（Ⅰ）当时，求的值； （Ⅱ）当时，求的最大值.18. （本小题满分14分）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0， |φ|<π2)的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后得到新函数的图象，求函数的解析式；（Ⅲ）求函数的单调增区间.19. （本小题满分13分） 设二次函数满足条件： ①， ②；③在上的最小值为.（I ）求的值；（II ）求的解析式；（III ）求最大值，使得存在，只要，都有成立.20.（本小题满分13分）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质. （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.①； ②.（Ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.密云县xx学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案及评分参考xx．01二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．-210．11．12．13．14．①③④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）解：（I）由题：, ----------------2分函数的定义域. ----------------4分（II）----------------8分（III）令，函数的零点为----------------13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）且是第三象限角，----------------2分----------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ），----------------6分----------------9分(III)πθπθθ⎛⎫+-++⎪⎝⎭sin2sin()cos22----------------12分----------------14分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，---------------2分----------------5分 （Ⅱ）由题:2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅+⋅++. ----------------10分， .当即时， ----------------11分的最大值为. --------------- ----13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A ＝1， ---------------1分34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.----------------2分 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，-------4分所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ----------------5分（Ⅱ）f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解 析式为＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ----------------7分＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. --------------9分（Ⅲ）由题:12cos 22cos 222x x x x =+-+. ----------------12分222,(),232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈令 ----------------13分.------------14分 19.（本小题满分13分） 解：(I) ∵在上恒成立，∴即. ---------------------------2分 （II ）∵，∴函数图象关于直线对称，∴∵，∴ ---------------------------4分 又∵在上的最小值为，∴，即， 由解得，∴； -------------7分 （III ）∵当时， 恒成立，∴且，由得，解得 ---------------9分 由得：，解得，……………（10分）∵，∴11(4)9m t ≤-≤--=，---------------11分 当时，对于任意，恒有211(4)(109)(9)(1)044f x x x x x x --≤-+=--≤， ∴的最大值为. -------------------12分另解：（酌情给分）且 在上恒成立∵在上递减，∴， ∵在上递减，∴2min (1)11)x m -+=-+=- ∴，∴，， ∵，∴，∴，∴的最大值为 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数具有性质.11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分即，此函数为具有性质.……………2分②函数不具有性质. ……………3分 例如，当时，，，所以，，……………4分 此函数不具有性质.（Ⅱ）假设为中第一个大于的值， 则，因为函数具有性质， 所以，对于任意，均有，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与矛盾，所以，对任意的有. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如……………10分证明：当为有理数时，均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当为无理数时，均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质. ……………12分 而当（）且当为无理数时，.所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分， 如等.）~34923 886B 衫f26355 66F3 曳27695 6C2F 氯K33946 849A 蒚525909 6535 攵d24485 5FA5 徥X24123 5E3B 帻}。
2021年高一上学期期末联考数学试题 含答案
2021年高一上学期期末联考数学试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
并用2B铅笔将相应的信息点涂黑。
不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需变动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，所有答题卡一并交回。
参考公式：1.锥体的体积公式1,,.3V Sh S h其中是锥体的底面积是锥体的高锥体的侧面积公式=，其中是底面周长，是母线的长.2.球的表面积公式,球的体积公式，其中为球的半径.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则是（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.3．过点，且斜率为的直线的方程是（）A. B. C. D.4．如果指数函数在上是减函数，则的取值范围是（）.（第8题图）侧视图俯视图正视图111221Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.5．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．6．圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切7．已知，，则（）Ａ. Ｂ.Ｃ. Ｄ.8．几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．若是定义域为的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序为（）A. B.C. D.10．已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若与异面，且，则与相交；其中正确的命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．函数的定义域为.12．一个球的体积是，则这个球的表面积是.13．若点为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为.14．若函数在上的最大值是其最小值的2倍，则= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）已知函数，且．（1）求m的值；（2）判定的奇偶性,并说明理由；（3）判断在上的单调性并给予证明.P（元）A BCDA1B1C1D1O16．（本小题满分12分）已知两直线，，是和的交点，（1）求的值；（2）求过点且垂直于直线的直线的方程；（3）求过点且平行于直线的直线的方程．17．（本小题满分14分）已知正方体，是四边形对角线的交点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）设正方体的棱长为1，求多面体的体积.18．（本小题满分14分）某种商品在30天内每克的销售价格（元）与时间的函数图像是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在30天内日销售量（克）与时间（天）之间的函数关系如下表所示．(1)根据提供的图象，写出该商品每克的销售价格（元）与时间的函数关系式；(2)根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；(3)在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）19．(本小题满分14分)已知直线与圆相交于两点．（1）求;（2）若为圆上的动点，求的取值范围.20.(本小题满分14分)已知二次函数．（1）若，且,证明有两个零点；（2）若，，，证明方程在区间内有一个实根．xx学年第一学期期末教学质量监测高一数学参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．O 1O D 1C 1B 1A 1DCBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11． 12． 13． (或) 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分12分)（本小题主要考查函数的表示方法及基本性质，考查化归转化的数学思想方法．） 解：（1）因为，，所以. ……………………2分 （2）函数的定义域为. ……………………3分 因为， ………………………5分所以是奇函数. …………………………6分 （3）设， …………………………7分 则 ………………………8分………………………9分因为，所以，， ………………11分所以，因此在上为单调增函数. ………………12分 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查直线平行、垂直的性质以及直线的交点等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及运算求解能力．） 解：（1）因为是和的交点，所以， ……………………………2分解得 ……………………………4分 （2）由（1）得． 因为，，所以， ……………………………6分 由点斜式得， ，即 ．……………8分（3）因为，所以， ……………………………10分 由点斜式得， ，即． ……………12分17．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与平面平行、垂直，平面与平面垂直的判定，空间几何体体积的计算，考查化归转化的数学思想方法，以及空间想象能力和推理论证计算能力） 解：（1）证明：连结，设，连结，因为是正方体 ，所以是平行四边形． ……………2分 所以，且 ．又分别是的中点， 所以，且．所以是平行四边形．所以．……………………4分又平面，平面， 所以平面．…………5分（2）方法一： 因为,，所以． …………6分因为四边形是正方形，所以, ……………………7分而，所以． ………………………………8分 因为,所以． ………………………………9分 因为，所以． ……………………………10分方法二： 连接．因为是正方形，所以． ……………………………6分 因为平面, 由三垂线定理得，． …………………………7分 同理可证，． …………………………………8分 因为平面,平面,,所以平面． …………………………………9分 因为平面, 所以平面平面．……………………………10分(3) 因为四边形是边长为1的正方形，所以, 因为,，所以． ………………11分又，所以． …………………………12分 因为,, 方法一：． …………………………13分所以． …………………………14分方法二：111111111133D DAOB A D DO A D OB D DO D OB V V V S AO S AO --∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ …………………13分…………………………14分18.(本小题满分14分)（本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力） 解：（1）由图可知 , ，,， 设所在的直线方程为，把代入得 ． …………………………1分所以: ． ………………………………………2分 由两点式得所在的直线方程为． ……………………3分 整理得，， …………………………………4分 所以． ………………………………5分 （2）设，把两点的坐标代入得，解得 ………………………………6分 所以． ……………………7分 把点（20,20），（30,10）代入也适合，即对应的四点都在同一条直线上， ……………………8分 所以 ． ……………………9分 （本题若把四点中的任意两点代入中求出，再验证也可以） (3) 设日销售金额为，依题意得，当时，，配方整理得 ． ……………………10分 所以当时，在区间上的最大值为900， ……………………11分 当时，，配方整理得， ……………………12分 所以当时，在区间上的最大值为． ……………………13分综上可知日销售金额最大值为1125元，此时为25． ……………………14分19．(本小题满分14分) （本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力） 解：（1）方法一：由得． ……………2分解得， …………………4分 从而 ．, ……………………5分所以． ……………………6分方法二：由圆方程得圆心,过点作交于点,连结，……2分 则, …………………………………4分 所以 ……………………………6分（2）令，则． ……………………7分 由得． ……………………9分依题意有 2221612(1)4124(13)0k k k ∆=-+=-=-≥，即．………11分 方法一：设，令，则． ……………………12分 由二次函数的图像可知，当时， ， ………………13分 方法二：解不等式，得 ………………………13分故的取值范围是． ………………………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的零点等基础知识，考查化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）（1）证明：因为，所以， ……………………1分 又因为，所以，即， ……………………4分 所以，所以方程有两个不等实根，所以有两个零点． ………………6分 （2）证明：设， ……………………7分则11121211()()[()()][()()]22g x f x f x f x f x f x =-+=-， ……………………8分22122111()()[()()][()()]22g x f x f x f x f x f x =-+=-， ……………………9分212122112111()()[()()][()()][()()]224g x g x f x f x f x f x f x f x ⋅=-⋅-=--，……………11分因为，所以， ……………12分又函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，……………13分所以在内有一个实根．……………………14分34665 8769 蝩40108 9CAC 鲬~Q:d39130 98DA 飚Ly28860 70BC 炼:35643 8B3B 謻29307 727B 牻。
2021-2022年高一上学期期末考试数学试题 含答案(III)
2021-2022年高一上学期期末考试数学试题含答案(III)一、选择题（每小题4分，共32分）1. 设全集U=R,集合A={x|x2-1<0},B={x|x(x-2)>0},则A∩(错误！未找到引用源。
)=A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<1}C.{x|0≤x<1}D. {x|-1<x<0}2．设，向量，，，且，，则＝( )A. 5B.10 C．2 5 D．103.已知是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（）A．＜c＜b B．b＜＜c C．b＜c＜D．c＜b＜4要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度5.函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->+=22,0sin 2πϕπωϕωx x f 的部分图像如图所示，则的值. 2. . 2. 4. 4.6．设，则＝( )A ．－79B ．－19C . 19 D . 797.已知函数(12),1()1log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当时，，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．8.已知函数()()()221,03,0ax x x f x axx ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩有个零点，则实数的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每小题4分，共24分）9．已知函数，则的值是10.的增区间为________．11.边长为1的菱形中，，，，则 .12. 已知函数为R 上的奇函数，满足，当x ∈(0,1)时，，则 = .13.已知函数，若对任意的x ∈[1，3]，不等式恒成立，则实数t 的取值范围是 .14．给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点(,0)对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则，其中；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号）三、解答题：(共64分)15.（本小题10分） 已知，与的夹角为120°｡(1)求的值;(2)当实数为何值时,与垂直｡16.（本小题13分）己知3sin()cos(2)0παπα-+-=．(1)求（2）求（3）求17.（本小题13分）已知函数π()=4cos sin(+)+(>0)6f x ωx ωx a ω⋅图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为．（1）求和的值；（2）求函数在在区间上的单调递减区间．18.（本小题14分）已知函数x x x 22cos 21cos sin 23)6(x 3sin f(x )-++=π (1)求函数在上的最大值与最小值；（2）已知， ，求cos 的值。
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{1,0,1,2}A =-{|lg(1)}B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{0,1,2}{1,2}{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合，然后由交集定义计算．B 【详解】，∴.{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-{0,1,2}A B ⋂=故选：B ．2．命题“，”的否定是 [)x 0,∞∀∈+22x x 0-≥()A ．，B ．，[)x 0,∞∀∉+22x x 0-<[)x 0,∞∀∉+22x x 0-≥C ．，D ．，[)x 0,∞∃∈+22x x 0-<[)x 0,∞∃∈+22x x 0-≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“，”的否定是，，[)0,x ∞∀∈+220x x -≥[)0,x ∃∈+∞220x x -<故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）．A ．B ．C ．D ．tan y x =3xy =y =3y x=【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A: 它是奇函数，它在区间上递增，但在定义域上不是tan y x =(,)()22k k k Z ππππ-+∈单调函数;对B: 是非奇非偶函数；3xy =对C: y =对D:是奇函数，在定义域内是增函数．3y x =4． 设则“且”是“”的,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4；若x 2+y 2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件．故选A ．【解析】本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，224x y +≥包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，2x ≥2y ≥所以选A ．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．5．若，，，则（ ）202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭120202021b =20201log 2021c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数，，的单调性可知，12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021xy =2020log y x =20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，，故.1202020211b =>20201log 02021c =<b a c >>故选：D6．函数在区间的图象大致是（）sin cos xxy x+=[]2,2ππ-A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算时的函数值可排除选项D ，进而x π=-可得正确选项.【详解】因为，且，()sin cos x xf x x-+-=()()f x f x -≠-()()f x f x -≠所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，sin cos x xy x+=因为，排除选项D ，()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）14ABC θ∠=sin 2cos cos sin θθθθ-+A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.12AC AB =1tan 2θ=【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：，()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭由面积之比为，得：，即，14()()2214AC AB =12AC AB =在中，，则，Rt ABC 1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程解的个数为（ ）()1f x =A ．B ．C ．D ．46810【答案】D【分析】当时，作出函数的图象，把方程解的个数，转化为函数与0x >()f x ()1f x =()y f x =的图象交点的个数，结合图象和函数的奇偶性，得到图象交点的个数，即可求解.1y =【详解】由题意，函数当时，，0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩作出函数的图象，如图所示，()f x 又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，()1f x =()y f x =1y =当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，0x >()y f x =1y =又由函数为偶函数，图象关于轴对称，()y f x =y 所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，0x <()y f x =1y =综上可得，函数与的图象有10个交点，()y f x =1y =即方程解的个数为10.()1f x =故选：D.二、多选题9．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）a b c a b >A ．B ．11a b >ln ln a b>C ．D ．()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若，则，所以A 错误；0a b >>11a b <对于B ，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B 错误；ln y x =()0,∞+a b 对于C ，因为，所以，所以C 正确；0a b ->()20221a b ->对于D ，因为，所以，所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选：CD10．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（ ）π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E A ．是曲线的一个对称中心π(,0)12-E B ．若，且，则的最小值为12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -2πC ．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合sin 2y x =π3E D ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12E 【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.sin()y A x ωϕ=+【详解】函数的图象为曲线，π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E 令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A 错误；12x π=-()1f x =-()f x 12x π=-若，且，则的最小值为，故B 正确；12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -122222T ππ=⨯=将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C 错误；sin 2y x =π32sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x A ．B ．的值域为()13f =()f x (),4-∞C ．的解集为D ．若，则()1f x <()1,1-()3f x =x 【答案】BD【分析】将代入可知A 错误；分别在和的情况下，结合一次函数和1x =()2f x x =1x ≤-12x -<<二次函数的值域求法可知B 正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和1x ≤-12x -<<方程求得CD 正误.【详解】对于A ，，A 错误；()2111f ==对于B ，当时，；当时，；1x ≤-()2121f x x =+≤-+=12x -<<()[)20,4f x x =∈的值域为，B 正确；()f x \(),4-∞对于C ，当时，，解得：；1x ≤-()21f x x =+<-3x <-当时，，解得：；12x -<<()21f x x =<11x -<<的解集为，C 错误；()1f x ∴<()(),31,1-∞-- 对于D ，当时，，解得：（舍）；1x ≤-()23f x x =+=1x =当时，，解得：12x -<<()23f x x ==x =x =的解为D 正确.()3f x ∴=x =故选：BD.12．已知函数，且，则（ ）()221xf x a =-+()113f =A ．1a =B ．为非奇非偶函数()f x C ．函数的值域为()f x ()1,1-D ．不等式的解集为()()23130f x f x -+-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】由求得可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由的范围可得的范围，()113f =a x 2121-++x可判断C ；利用的单调性可判断D.()f x 【详解】，求得，A 正确；()211213f a =-=+1a =时，，1a =()22112121x x x f x -=-=++∵，∴为奇函数，B 不正确；()()21122112x x x x f x f x -----===-++x R ∈()f x ∵，∴，∴，，20x >211x+>10121x <<+22021x --<<+∴，C 正确；211121x --<+<+，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，()2121x f x =-+21xy =+R 221x y =+R 所以是上单调递增函数，()2121xf x =-+R ∴，()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-∴，∴，∴解集为，D 正确.2313x x -<-2340x x +-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.π24π3【答案】π6【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为2π1π3224r =⨯4r =.ππ4246⨯=故答案为：.π614．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么＝________.12x -【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值【详解】∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴()113222x --==＝【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．15．已知（，为常实数），若，则())2021log sin 8f x a x b x =--a a ()54f -=___________.()5f =【答案】20-【分析】由得出，进而得出.()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-()5f【详解】，()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-∴，∴，()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-∵，∴.()54f -=()520f =-故答案为：20-四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是,x y 22412x y xy +=+x =121x y xy ++__________．【答案】 612【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式12xy ≤122y x ==121x y xy ++后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.122y x ==【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”224124x y xy xy+=+≥=12xy ≤122y x ==时取等号，，当且仅2121112x yxy xy xy++≥=+=-∴226≥-=当“”时取等号.122y x ==故答案为：，6.12【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知集合，，，全集{A x y =={}260B x x x =--<{}C x x a =<U =R(1)求，；A B ⋃()U A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A C ⋂≠∅a 【答案】(1)；(]2,8A B =- ()()2,2U A B =- (2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并,A B 集、补集和交集的定义可得结果；（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.A C ⋂=∅a A C ⋂≠∅a 【详解】（1）由得：，即；210160x x -+-≥28x ≤≤[]2,8A =由得：，即，；260x x --<23x -<<()2,3B =-(]2,8A B ∴=- ，.()(),28,U A =-∞+∞ ()()2,2U A B ∴=-（2）由题意知：；(),C a =-∞若，则，时，的取值范围为.A C ⋂=∅2a ≤A C ∴≠∅ a ()2,+∞18．已知函数（且）.()()()log 2log 2a a x x f x =+--0a >1a ≠(1)判断的奇偶性并予以证明；()f x (2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x c >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.12a =0c =【详解】（1）要使有意义，必须且，()f x 20x +>20x ->解得，所以的定义域为.22x -<<()f x ()2,2-是奇函数.()f x 证明如下：的定义域为，关于原点对称，()f x ()2,2-∵，()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦∴为奇函数.()f x （2）由不等式的解集为，20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴得，，10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12a =0c =∴，得，()()()1122log 2log 20f x x x =+-->()()1122log 2log 2x x +>-∵为减函数，12log y x =∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：，所以解集为.20x -<<{}20x x -<<19．已知.3sin cos αα=(1)若为锐角，求的值；αcos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)7【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系可解得，然后由余弦的两角和可得；sin ,cos αα（2）由已知可得，由二倍角公式可得，最后由正切的两角和可得.tan αtan 2α【详解】（1）由，为锐角223sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩α解得sin αcos α=∴cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33ππαα=-12==（2）由3sin cos αα=得1tan 3α=则22122tan α33tan2α1tan α4113⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭31πtan2α14tan 2α7341tan2α14++⎛⎫∴+=== ⎪-⎝⎭-20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求在上的增区间;()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移()f x 2πω得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出()g x ()g x ϕ()f x 答案.（2）令 则，则，根据有两解，即23t x π=+4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈()230f x m -=+有两解，从而可得答案.2sin 32t m =-【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，， ()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈得，51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得0k =51212x ππ-≤≤得1k =7131212x ππ≤≤在增区间是()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若23t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦题.22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．()f x ()f x ()f x （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；()|cos |f x x =（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；2()log (sin )1f x x m =++[,]33ππ-m （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．22()4243x x f x m m +=-+- R【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2；（3）答案见解析.1m <≤【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解，结合三角函数的性质即可求解；221sin 4m x -=[,]33ππ-（3）由题意可知，在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，从而在有解，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-224880t mt m -+-=[2,)+∞再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ，()0()22f f ππ-==．((022f f ππ∴-+=是“伪奇函数”．()|cos |f x x ∴=（2）为“伪奇函数”，()f x ，()()0f x f x ∴+-=即，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解．221sin 4m x -=[,]33ππ-，sin [x ∈ ．2211sin [,1]44m x ∴=+∈又在恒成立，sin 0m x +> [,33ππ-max (sin )m x ∴>-=．1m <≤（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，22()4243x x f x m m +=-+- R 则在上有解，()()f x f x -=-R 可化为在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-从而在有解，224880t mt m -+-=[2,)+∞即可保证为“伪奇函数”，()f x 令，22()488F t t mt m =-+-则当时，在有解，①(2)0F ≤224880t mt m -+-=[2,)+∞即，22210m m --≤m ≤≤当时，在有解等价于②(2)0F >224880t mt m -+-=[2,)+∞22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩m <时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+- R。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2021年高一上学期期末考试数学试题含解析
2021年高一上学期期末考试数学试题含解析高一数学 xx.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C 【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C10. 关于函数，给出下列三个结论：①函数的最小值是；②函数的最大值是；③函数在区间上单调递增.其中全部正确结论的序号是（）（A）②（B）②③（C）①③（D）①②③【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确故答案为：D【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.11._____.【知识点】诱导公式【试题解析】因为故答案为：【答案】12.如图所示，为中边的中点，设，，则_____.（用，表示）【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为AB C故答案为：【答案】13.角终边上一点的坐标为，则_____.【知识点】倍角公式【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以，故答案为：【答案】14.设向量，则的夹角等于_____.【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为所以，的夹角等于。
2021-2022学年宁夏石嘴山市高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年宁夏石嘴山市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】本题考查三角函数的性质．由cos 0α>知角α可能在第一、四象限；由sin 0α<知角α可能在第三、四象限； 综上得角α的终边在箱四象限 故正确答案为D 2．已知73cos()6π-=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】D【分析】利用诱导公式对式子进行化简，转化为特殊角的三角函数，即可得到答案；【详解】7373cos cos cos 12cos 6666πππππ⎛⎫⎛⎫-==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D3．等边三角形ABC 的边长为1，,,AB a BC b ==则a b ⋅=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【分析】直接利用向量的数量积定义进行运算，即可得到答案； 【详解】2111cos32a b π⋅=⋅⋅=-， 故选：A4．已知向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，那么m =（ ） A ．2 B ．-2C ．6D ．-6【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m 的方程，解得答案. 【详解】由向量()1,2a =-，(),4b m =，且//a b ，5．集合{α|k ·180°＋45°≤α≤k ·180°＋90°,k ∈Z }中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用赋值法来求得正确答案.【详解】当k ＝2n ，n ∈Z 时,n ⋅360°＋45°≤α≤n ⋅360°＋90°，n ∈Z ； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ⋅360°＋225°≤α≤n ⋅360°＋270°，n ∈Z . 故选：C6．已知()()122,1,0,5P P -且点P 在12PP 的延长线上，122PPPP =，则P 的坐标为（ ） A ．(2,7)- B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,11)-【答案】D【分析】设出P 点的坐标，根据122PP P P =列式，根据向量的坐标运算，求得P 点的坐标.【详解】设(),P x y ，依题意得122PP P P =，即()()()2,12,52,210x y x y x y -+=-=-，故221210x xy y -=⎧⎨+=-⎩，解得2,11x y =-=，所以()2,11P -.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．已知tan 2α=，求cos sin cos sin αααα-+的值（ ）A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系，即可得到答案； 【详解】cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--==-++，故选：A8．将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为【分析】把原函数解析式中的x 换成6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到的图象，再把x 的系数变成原来的12倍，即得所求函数的解析式. 【详解】将函数的图象先向左平移6π，得到的图象，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.故选：C9．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则PQ 的最大值是 ( ) A 2B ．2 C ．4 D 2【答案】B【详解】()cos cos ,sin sin PQ βαβα=--,则PQ ()()()22cos cos sin sin 22cos βαβααβ=-+---则PQ 的最大值是2,故选B.10．y ＝sin(2x-3π)－sin2x 的一个单调递增区间是 A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【详解】1313sin(2)sin 2sin 22sin 2sin 22322y x x x x x x xπ=--=-=-sin(2)3x π=-+，由3222232k x k πππππ+≤+≤+，得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，0k =时，为71212x ππ≤≤，故选B ． 11．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2πϕ<，则（ ）A ．4A =B ．1ω=C ．6π=ϕ D ．4B【答案】C【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ，然后利用图象求得函数的周期，求得ω，最后根据6x π=时取最大值，求得ϕ．【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得40A B A B +=⎧⎨-=⎩求得2,2A B ==函数的周期为54126πππ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，即2,2ππωω== 当6x π=时取最大值，即sin 21,22662k πππϕϕπ⎛⎫⨯+=⨯+=+ ⎪⎝⎭26ππϕϕ<∴=故选C ．【点睛】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，设2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+，若()2f B m -<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．3m >-C ．3m <D ．1m【答案】D【详解】试题分析：先化简2()4sin cos ()cos 242Bf B B B π=⋅-+1cos 24sin cos 22B B B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅+ 12sin B =+，因为()2f B m -<恒成立，所以()2m f B >-恒成立，即2sin 1m B >-恒成立，所以1m ，故选D.【解析】三角函数二倍角公式、降次公式；13．已知1a =，2b =，向量a 与b 的夹角为3π，则⋅=a b ________． 【答案】1【详解】试题分析：由于cos ,12cos 13a b a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=.【解析】平面向量数量积；14．已知向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =，OA AB ⊥，则m =_____. 【答案】4【分析】先根据向量的减法运算求得AB ,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于m 的方程,解方程即可求得m 的值.【详解】因为向量(1,2)OA =-，(3,)OB m =， 所以()()()3,1,24,2AB OB OA m m =-=--=- OA AB ⊥则0OA AB ⋅=即()14220m -⨯+⨯-= 解得4m = 故答案为: 4【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题. 15．求值：1tan151tan15+︒=-︒__________．【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒-︒-︒⋅︒16．给出下列四个命题：①函数y ＝2sin(2x －3π)的一条对称轴是x ＝512π；②函数y ＝tan x 的图象关于点(2π，0)对称；③正弦函数在第一象限内为增函数； ④存在实数α，使sin α＋cos α＝32.以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).【详解】对于①,将x ＝512π代入得55sin 1,6312x πππ⎛⎫-=∴= ⎪⎝⎭是对称轴,命题正确;对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;对于③, 正弦函数在2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；对于④, sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,最大值为2,不正确;故填①②. 三、解答题17．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，用向量的方法（用其他方法解答正确同等给分）证明：DE AF ⊥．【答案】证明见解析【分析】建立直角坐标系，先写出DE AF ，，再按照数量积的坐标运算证明即可.【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则(0,0),(1,0),(0,2),(2,1)A E D F ，()(1,2),(2,1),12210DE AF DE AF =-=⋅=⨯+-⨯=，故DE AF ⊥.18．已知函数()2cos 423f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的最大值. 【答案】(1)2π(2)4【分析】（1）根据余弦函数的周期公式，求得答案；【详解】(1)由题意可得：函数的最小正周期为：242T ππ== ； (2)因为1cos 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故02cos 4243x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即()2cos 423f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为4.19．已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R x ∈.求：(1)求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间． (2)画出函数在[]0,π上的图象；【答案】(1)5[,]88ππ(2)图象见解析 【分析】（1）由3222242k x k πππππ+++，Z k ∈得x 的范围，即可得函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间．（2）根据用五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤和方法，作出函数()f x 在[0，]π上的图象．【详解】(1)因为()2)4f x x π=+，令3222242k x k πππππ+++，k Z ∈，解得588k x k ππππ++，Z k ∈，令0k =得：函数()f x 在区间[0，]π上的单调递减区间为：[8π，5]8π．(2)()224f x x π⎛⎫+ ⎪，列表如下：x8π38π 58π78ππ24x π+4π2ππ32π2π94π描点连线画出函数()f x 在一个周期上[0，]π的图象如图所示：20．如图，在OAB 中，P 为边AB 上的一点2BP PA =，6OA =，2OB =且OA 与OB 的夹角为60︒.（1）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值； （2）求OP AB ⋅的值. 【答案】（1）23x =，13y =；（2）623-.【分析】（1）由向量的加减运算，可得()2233=+=+=+-OP OB BP OB BA OB OA OB ，进而可得答案.（2）用OAOB ，表示OP AB ⋅，利用向量数量积公式，即可求得结果. 【详解】（1）因为2BP PA =，所以23BP BA =. ()22213333OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+.又OP xOA xOB =-，又因为OA 、OB 不共线，所以，23x =，13y =（2）结合（1）可得：21OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+⋅-.2222113333=⋅-+-⋅OA OB OA OB OA OB 22121333=⋅-+OA OB OA OB ， 因为6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒. 所以22112162626232333OP AB ⋅=⨯⨯⨯-⨯+⨯=-.【点睛】本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.21．已知A ，B ，C 是三角形ABC ∆三内角，向量(1,3)m =-，(cos ,sin )n A A =，且1m n ⋅=．（1）求角A ； （2）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan C ．【答案】（1）60A =（2）tan C =【详解】试题分析：（1）用数量积的坐标运算表示出m n ⋅cos 1A A -=，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得A ；（2）化简221sin 23cos sin BB B+=--，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为2221sin 2(sin cos )cos sin (cos sin )(cos sin )B B B B B B B B B ++=--+ cos sin 3cos sin B BB B+==--，再变形得tan 2B =，由tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+可得结论．试题解析：（1）∵1m n ⋅=，∴((cos ,sin )1A A -⋅=cos 1A A -=，1cos )12A A -=，1sin()62A π-=，∵0x π<<，5666A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）由题知：2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=， ∴cos 0B ≠，∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =-， 而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B =，∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A B C A B A B A B π+=-+=-+=-==-【解析】数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ．它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，由向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+．设,OA OB 的夹角为θ，则|cos cos OA OB OA OBθθ⋅=⋅=∣cos cos sin sin αβαβ=+，另一方面，由图（1）可知，2k απβθ=++；由图（2）可知2k απβθ=+-，于是2,k k αβπθ-=±∈Z ． 所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+； 所以，对于任意角,αβ有：()cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+．此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C αβ-．有了公式C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了．阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断1||OC OM OM =是否正确？（不需要证明） （2）证明：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=．【答案】（1）正确；（2）证明见解析．【分析】（1）根据单位向量的定义可得出结论；（2）根据向量相等及坐标运算，化简计算即可证明结论.【详解】（1）因为对于非零向量1,||n n n 是n 方向上的单位向量，又||1OC =且OM 与OC 共线， 所以1||OC OM OM =正确； （2）因为M 为AB 的中点，则OM AB ⊥，从而在OAM △中，||||coscos 22OM OA βαβα--=⋅=， 又1cos ,sin ,22OC OM OC OM αβαβ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又M 是AB 的中点cos cos sin sin ,22OM αβαβ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，cos 2OM αβ-∴= 所以1sin sin sin 22cos 2αβαβαβ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭，化简得，sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=． 结论得证.。
2021年高一上学期期末考试(理)数学试题 含答案
2021年高一上学期期末考试（理）数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，，且，则的值是（）A． B． C． D．或2. 角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．4.函数在区间上的最大值和最小值之和为（）A．2 B．3 C．4 D．55.在中，若，，则角等于（）A． B． C． D．6.若，则（）A． B．C． D．8.三个数，，的大小关系为（）A． B．C． D．9.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（）A． B． C． D．11.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）12.已知函数，如果关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角弧度数为 .14.已知函数的图象过定点，若点也在幂函数的图象上，则 .15.若锐角满足，则 .16.已知函数，且是它的最大值（其中为常数，且），给出下列命题：①为偶函数；②函数的图象关于点对称；③是函数的最小值；④函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为，则；其中正确的是 .（写出所有正确答案）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数的定义域为集合，集合，集合，是的真子集，求（1）；（2）的值.18. （本小题满分12分）sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2fπαπααπαππαα---+=++.（1）化简；（2）若，且，求的值.19. （本小题满分12分）已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间.20. （本小题满分12分）（1）已知，，求的值；（2）已知均为锐角，且，，求.21. （本小题满分12分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数，（为实常数）.（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式.参考答案一、选择题BAACB ACDAB CA二、填空题13. 2 14. 15. 16.①②③三、解答题17.解：（1），，.（2），，，∵，∴，又，∴，，∴.18.（1）.（2），∴，且.∴，∴261 cos cos[()]cos()cos sin()sin666666ππππππαααα-=-+=---=，∴.（2）函数的单调递减区间为，由，，得，所以的单调递减区间为.20.解：（1）tan tan cos sin 4tan[()()]tan()44cos sin 1tan tan 4παππαααββαπααα+++--=+==--， 21tan()tan()3544tan[()()]214221tan()tan()1454παββπαββπαββ-+--+--===++-+⨯. （2）∵均为锐角，∴，∴，又∵，∴，∴cos(2)cos[()()]5105102βαβαβ=+--=+= ∵为锐角，∴，∴.21.解：（1）由条件，，∴，∴，又，∴，∴的解析式为.（2）将的图象先向右平移个单位，得，∴，而，∴，∴函数在上的最大值为1，此时，∴；最小值为，此时，∴.时，不等式恒成立，即恒成立，即，∴，∴.22.解：（1），，∴的单调递增区间为，，的单调递减区间为，.（2）由于，当时，2211()21()2124f x ax x a a x a a a=-+-=-+--， ，，即，在为增函数，，，，即时，，，，即时，在上是减函数，，综上可得：163,04111 ()21,442132,2a ag a a aaa a⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩.40516 9E44 鹄40069 9C85 鲅G36135 8D27 货38199 9537 锷38814 979E 鞞8H 22209 56C1 囁25866 650A 攊u:;。
湖北省2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
湖北省2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{1，x，x2+3}，若2∈A，则x＝（）A．﹣1B．0C．2D．32．命题“∀x∈〖0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈〖0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈〖0，+∞），x03+x0≥03．已知角α的终边经过点P（3，4），则5sinα+10cosα的值为（）A．11B．10C．12D．134．函数f（x）＝ln x+x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．6．化简的结果是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量）．经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据：log2≈1.6，log2≈2.3）A．4011B．3438C．2865D．22928．已知函数f（x）＝，若n＞m，且f（n）＝f（m），设t＝n﹣m，则（）A．t没有最小值B．t的最小值为﹣1C．t的最小值为D．t的最小值为二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a＞b＞0，c∈R，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．ac＞bcC．D．10．下列四组关系中不正确的是（）A．{α|α＝2kπ±，k∈Z}＝{β|β＝kπ±，k∈Z}B．{α|α＝kπ±，k∈Z}＝{β|β＝2kπ±，k∈Z}C．{α|α＝kπ﹣，k∈Z}＝{β|β＝kπ±，k∈Z}D．{α|α＝2kπ±π，k∈Z}＝{β|β＝kπ，k∈Z}11．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A．y＝|sin x|B．y＝cos xC．y＝tan x D．y＝cos2x12．若定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论正确的是（）A．f（x）＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”B．f（x）＝2x+1不是“λ～特征函数”C．“特征函数”至少有一个零点D．f（x）＝e x是一个“λ～特征函数”三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．若命题p是命题“q：xy＞0”的充分不必要条件，则p可以是．（写出满足题意的一个即可）14．已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为．15．设2x＝3y＝72，则+＝．16．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数m满足不等式f（2m+3）+f（﹣m2）＞0，则m的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＞4}，B＝{x|2﹣a≤x≤2a+1}，C＝{x|1≤x≤5}．（1）若a＝1，求（∁U A）∩B；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：C（x）＝（0≤x≤10），若无隔热层（即x＝0），则每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（1）求C（x）和f（x）的表达式；（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．20．（12分）已知关于x的不等式对x∈R恒成立．（1）求tanθ的取值范围；（2）当tanθ取得最小值时，求2sin2θ+3sinθcosθ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣2cos2x+a sin x．（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥0；（2）设g（x）＝﹣2x﹣2，若∀x1∈〖0，1〗，∀x2∈〖0，〗，有g（x1）≤f（x2）求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝3﹣x，函数g（x）的图像与f（x）的图像关于y＝x对称．（1）求g（9）的值；（2）若函数y＝|f（x）﹣3|﹣k在x∈〖﹣2，1〗上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数在〖a，b〗上的值域为〖2a，2b〗，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．C〖解析〗若2∈A，则或，解得x＝2，故选：C．2．C〖解析〗∵命题“∀x∈〖0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈〖0，+∞），x03+x0＜0，故选：C．3．B〖解析〗∵角α的终边经过点P（3，4），则sinα＝＝，cosα＝＝，∴5sinα+10cosα＝4+6＝10，故选：B．4．D〖解析〗∵函数f（x）＝ln x+x﹣5是增函数，f（3）＝ln3+3﹣5＜0，f（4）＝ln4+4﹣5＞0，∴函数f（x）＝ln x+x﹣5恰有一个零点，该零点所在的区间是（3，4），故选：D．5．C〖解析〗设幂函数的〖解析〗式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），∴2＝4a，解得a＝，∴，其定义域为〖0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．对照选项．故选：C．6．B〖解析〗＝＝1，故选：B．7．A〖解析〗当t＝5730时，N＝，故经过5730年后，碳14的质量变为原来的，令N＝，则，两边同时取对数可得，＝log23﹣log25≈﹣0.7，所以t≈0.7×5730＝4011．故选：A．8．B〖解析〗函数f（x）＝，若n＞m，且f（n）＝f（m），即有m≤1，≥n＞1，可得3m+1＝n2﹣1，可得m＝（n2﹣2），则t＝n﹣m＝n﹣（n2﹣2）＝﹣n2+n+，1＜n≤，对称轴为n＝，∴当n＝时，t取最小值﹣1，n＝时，t取最大值．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗对于A，∵a＞b＞0，﹣c＝﹣c，∴a﹣c＞b﹣c，故A正确，对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴，故C正确，对于D，＝，当且仅当，即a＝b时，等号成立，∵a＞b，∴，即，故D正确．故选：ACD．10．AD〖解析〗对于A，α＝2kπ±，k∈Z，表示终边落在射线y＝（x≥0）和射线y＝﹣（x≥0）上的角，β＝kπ±，k∈Z，表示终边落在直线y＝±上的角，故两个集合不相等，A错误；对于B，α＝kπ±，k∈Z，表示终边在y轴上的角，β＝2kπ±，k∈Z，也表示终边在y轴上的角，故两者相等，B正确；对于C，α＝kπ﹣，k∈Z，表示终边在y轴上的角，β＝kπ±，k∈Z，也表示终边在y轴上的角，故两者相等，C正确；对于D，α＝2kπ±π，k∈Z，表示终边在x轴非正半轴上的角，而β＝kπ，k∈Z，表示终边在x轴上的角，故两者不相等，D错误；故选：AD．11．CD〖解析〗对于A：函数y＝|sin x|的最小正周期为π，在区间上单调递减，故A错误；对于B：函数y＝cos x的最小正周期为2π，在区间上单调递减，故B错误；对于C：函数y＝tan x的最小正周期为π，在区间上单调递增，故C正确；对于D：函数y＝cos2x的最小正周期为π，在区间上单调递增，故D正确．故选：CD．12．BCD〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A：当λ＝﹣1时，对于函数f（x）＝c（c为任意常数），都有f（x+1）﹣f（x）＝0，即f（x﹣1）＝f（x），故A错误．对于B：f（x+λ）＝2（x+λ）+1＝2x+2λ+1，若f（x+λ）+λf（x）＝0，即2x+2λ+1+2λx+λ＝0，变形可得2（λ+1）x＝﹣λ，则当λ＝﹣1时，方程等价为0＝1不成立；当λ≠﹣1时，方程只有一个解，此时不满足对任意实数x都成立，故（x）＝2x+1不是“λ～特征函数”，故B正确；对于C，当λ＝时，满足f（x+）+f（x）＝0，令x＝0，得f（）＝﹣f（0），若f（0）＝0，则f（x）＝0显然有实根x＝0，若f（0）≠0，则f（）f（0）＝﹣f2（0）＜0，由于f（x）的图象是连续不断的，则在（0，）内至少存在一个零点，故C正确；对于D，由f（x+λ）+λf（x）＝0得e x+λ+λe x＝0，得e x eλ+λe x＝0，变形可得eλ+λ＝0，方程eλ+λ＝0在区间（﹣1，0）有解，即存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，故f（x）＝e x是一个“λ～特征函数”，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．x＞0，y＞0〖解析〗因为：“xy＞0”，⇒“x＞0，y＞0”或“x＜0，y＜0”；所以命题p：“x＞0，y＞0“⇒命题q：“xy＞0”，命题q：“xy＞0”，推不出命题p：“x＞0，y＞0”，所以p是q的充分不必要条件．故〖答案〗为：x＞0，y＞0．14．〖解析〗设扇形所在的圆心角为α，则＝×α×22，解得α＝．故〖答案〗为：．15．1〖解析〗∵2x＝3y＝72，则x＝log272，y＝log372，∴＝+＝3log722+2log723＝log72（23×32）＝log7272＝1，故〖答案〗为：1．16．（﹣1，3）〖解析〗由题意可知，f（x）＝的定义域为R，又∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（x）＝＝＝1﹣，且g（x）＝在R上为减函数，∴由复合函数的单调性可知f（x）＝1﹣在R上为增函数，∵f（2m+3）+f（﹣m2）＞0，∴f（2m+3）＞f（m2），∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3．∴m的取值范围为（﹣1，3）．故〖答案〗为：（﹣1，3）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）集合A＝{x|2x＞4}＝{x|2x＞22}＝{x|x＞2}，当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，∴∁U A＝{x|x≤2}，故（∁U A）∩B＝{x|1≤x≤2}．（2）∵C⊆B，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是〖2，+∞）．18．解：（1）令，k∈Z，得，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（2）由（1）可知，当k＝1时，f（x）在单调递减，在单调递增，而，从而f（x）在单调递减，在单调递增，故，．19．解：（1）当x＝0时，C＝5，因为C（x）＝（0≤x≤10），所以k＝40，故C（x）＝.∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，∴f（x）＝6x+20×（0≤x≤10）．（2）f（x）＝6x+20×＝2（3x+8）+20×﹣16≥2﹣16＝64，当且仅当2（3x+8）＝20×，即x＝4时取得最小值．即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．20．解：（1）不等式转化为﹣tanθ≤x2﹣2x，令f（x）＝x2﹣2x，则f（x）＝（x﹣）2﹣2，f（x）≥﹣2，故﹣tanθ≤﹣2，tanθ≥2，则tanθ的取值范围〖2，+∞），（2）由（1）知，tanθ的最小值为2，则2sin2θ+3sinθcosθ＝（分子分母同时除以cos2θ），得＝＝，所以2sin2θ+3sinθcosθ＝．21．解：（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥0；得﹣2cos2x+3sin x≥0，所以2sin2x+3sin x﹣2≥0，所以（2sin x﹣1）（sin x+2）≥0，又sin x+2＞0，所以2sin x﹣1≥0，所以sin x≥，所以2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以不等式f（x）≥0的解集为〖2kπ+，2kπ+〗k∈Z；（2）∀x1∈〖0，1〗，∀x2∈〖0，〗，有g（x1）≤f（x2），则有g（x）max≤f（x），又g（x）＝﹣2x﹣2在〖0，1〗上为减函数，g（x）max＝﹣3，所以﹣2cos2x+a sin x≥﹣3对x∈〖0，〗恒成立，当x＝0时，显然成立，当x∈（0，〗，sin x＞0，所以a≥﹣对〖0，〗恒成立，即a≥﹣﹣2sin x对（0，〗恒成立，+2sin x≥2＝2，∴﹣﹣2sin x≤﹣2，当且仅当﹣＝﹣2sin x，即x＝时取等号，故（﹣﹣2sin x）max＝﹣2，所以a≥﹣2，综上所述，实数a的取值范围为〖﹣2，+∞）．22．解：（1）由题意可得，，所以；（2）问题转化为关于x的方程k＝|3﹣x﹣3|在x∈〖﹣2，1〗上有且仅有一个实根，作出函数h（x）＝|3﹣x﹣3|在x∈〖﹣2，1〗上的图像（如图），h（﹣2）＝6，，由题意，直线y＝k与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是；（3）记，其中x＞0，因为函数F（x）在〖a，b〗上单调递增，若存在实数m，使得F（x）的值域为〖2a，2b〗，则F（a）＝2a，F（b）＝2b，所以F（x）＝2x，即a，b是x2+（m﹣4）x+4＝0的两个不等正根，所以Δ＝（m﹣4）2﹣16＞0，a+b＝4﹣m＞0，ab＝4＞0，解得m＜0，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）．湖北省2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{1，x，x2+3}，若2∈A，则x＝（）A．﹣1B．0C．2D．32．命题“∀x∈〖0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈〖0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈〖0，+∞），x03+x0≥03．已知角α的终边经过点P（3，4），则5sinα+10cosα的值为（）A．11B．10C．12D．134．函数f（x）＝ln x+x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（）A．B．C．D．6．化简的结果是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量）．经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据：log2≈1.6，log2≈2.3）A．4011B．3438C．2865D．22928．已知函数f（x）＝，若n＞m，且f（n）＝f（m），设t＝n﹣m，则（）A．t没有最小值B．t的最小值为﹣1C．t的最小值为D．t的最小值为二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a＞b＞0，c∈R，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．ac＞bcC．D．10．下列四组关系中不正确的是（）A．{α|α＝2kπ±，k∈Z}＝{β|β＝kπ±，k∈Z}B．{α|α＝kπ±，k∈Z}＝{β|β＝2kπ±，k∈Z}C．{α|α＝kπ﹣，k∈Z}＝{β|β＝kπ±，k∈Z}D．{α|α＝2kπ±π，k∈Z}＝{β|β＝kπ，k∈Z}11．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A．y＝|sin x|B．y＝cos xC．y＝tan x D．y＝cos2x12．若定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论正确的是（）A．f（x）＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”B．f（x）＝2x+1不是“λ～特征函数”C．“特征函数”至少有一个零点D．f（x）＝e x是一个“λ～特征函数”三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．若命题p是命题“q：xy＞0”的充分不必要条件，则p可以是．（写出满足题意的一个即可）14．已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为．15．设2x＝3y＝72，则+＝．16．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数m满足不等式f（2m+3）+f（﹣m2）＞0，则m的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＞4}，B＝{x|2﹣a≤x≤2a+1}，C＝{x|1≤x≤5}．（1）若a＝1，求（∁U A）∩B；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：C（x）＝（0≤x≤10），若无隔热层（即x＝0），则每年能源消耗费用为5万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（1）求C（x）和f（x）的表达式；（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．20．（12分）已知关于x的不等式对x∈R恒成立．（1）求tanθ的取值范围；（2）当tanθ取得最小值时，求2sin2θ+3sinθcosθ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣2cos2x+a sin x．（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥0；（2）设g（x）＝﹣2x﹣2，若∀x1∈〖0，1〗，∀x2∈〖0，〗，有g（x1）≤f（x2）求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝3﹣x，函数g（x）的图像与f（x）的图像关于y＝x对称．（1）求g（9）的值；（2）若函数y＝|f（x）﹣3|﹣k在x∈〖﹣2，1〗上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数在〖a，b〗上的值域为〖2a，2b〗，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．C〖解析〗若2∈A，则或，解得x＝2，故选：C．2．C〖解析〗∵命题“∀x∈〖0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈〖0，+∞），x03+x0＜0，故选：C．3．B〖解析〗∵角α的终边经过点P（3，4），则sinα＝＝，cosα＝＝，∴5sinα+10cosα＝4+6＝10，故选：B．4．D〖解析〗∵函数f（x）＝ln x+x﹣5是增函数，f（3）＝ln3+3﹣5＜0，f（4）＝ln4+4﹣5＞0，∴函数f（x）＝ln x+x﹣5恰有一个零点，该零点所在的区间是（3，4），故选：D．5．C〖解析〗设幂函数的〖解析〗式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），∴2＝4a，解得a＝，∴，其定义域为〖0，+∞），且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．对照选项．故选：C．6．B〖解析〗＝＝1，故选：B．7．A〖解析〗当t＝5730时，N＝，故经过5730年后，碳14的质量变为原来的，令N＝，则，两边同时取对数可得，＝log23﹣log25≈﹣0.7，所以t≈0.7×5730＝4011．故选：A．8．B〖解析〗函数f（x）＝，若n＞m，且f（n）＝f（m），即有m≤1，≥n＞1，可得3m+1＝n2﹣1，可得m＝（n2﹣2），则t＝n﹣m＝n﹣（n2﹣2）＝﹣n2+n+，1＜n≤，对称轴为n＝，∴当n＝时，t取最小值﹣1，n＝时，t取最大值．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗对于A，∵a＞b＞0，﹣c＝﹣c，∴a﹣c＞b﹣c，故A正确，对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴，故C正确，对于D，＝，当且仅当，即a＝b时，等号成立，∵a＞b，∴，即，故D正确．故选：ACD．10．AD〖解析〗对于A，α＝2kπ±，k∈Z，表示终边落在射线y＝（x≥0）和射线y＝﹣（x≥0）上的角，β＝kπ±，k∈Z，表示终边落在直线y＝±上的角，故两个集合不相等，A错误；对于B，α＝kπ±，k∈Z，表示终边在y轴上的角，β＝2kπ±，k∈Z，也表示终边在y轴上的角，故两者相等，B正确；对于C，α＝kπ﹣，k∈Z，表示终边在y轴上的角，β＝kπ±，k∈Z，也表示终边在y轴上的角，故两者相等，C正确；对于D，α＝2kπ±π，k∈Z，表示终边在x轴非正半轴上的角，而β＝kπ，k∈Z，表示终边在x轴上的角，故两者不相等，D错误；故选：AD．11．CD〖解析〗对于A：函数y＝|sin x|的最小正周期为π，在区间上单调递减，故A错误；对于B：函数y＝cos x的最小正周期为2π，在区间上单调递减，故B错误；对于C：函数y＝tan x的最小正周期为π，在区间上单调递增，故C正确；对于D：函数y＝cos2x的最小正周期为π，在区间上单调递增，故D正确．故选：CD．12．BCD〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A：当λ＝﹣1时，对于函数f（x）＝c（c为任意常数），都有f（x+1）﹣f（x）＝0，即f（x﹣1）＝f（x），故A错误．对于B：f（x+λ）＝2（x+λ）+1＝2x+2λ+1，若f（x+λ）+λf（x）＝0，即2x+2λ+1+2λx+λ＝0，变形可得2（λ+1）x＝﹣λ，则当λ＝﹣1时，方程等价为0＝1不成立；当λ≠﹣1时，方程只有一个解，此时不满足对任意实数x都成立，故（x）＝2x+1不是“λ～特征函数”，故B正确；对于C，当λ＝时，满足f（x+）+f（x）＝0，令x＝0，得f（）＝﹣f（0），若f（0）＝0，则f（x）＝0显然有实根x＝0，若f（0）≠0，则f（）f（0）＝﹣f2（0）＜0，由于f（x）的图象是连续不断的，则在（0，）内至少存在一个零点，故C正确；对于D，由f（x+λ）+λf（x）＝0得e x+λ+λe x＝0，得e x eλ+λe x＝0，变形可得eλ+λ＝0，方程eλ+λ＝0在区间（﹣1，0）有解，即存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，故f（x）＝e x是一个“λ～特征函数”，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．x＞0，y＞0〖解析〗因为：“xy＞0”，⇒“x＞0，y＞0”或“x＜0，y＜0”；所以命题p：“x＞0，y＞0“⇒命题q：“xy＞0”，命题q：“xy＞0”，推不出命题p：“x＞0，y＞0”，所以p是q的充分不必要条件．故〖答案〗为：x＞0，y＞0．14．〖解析〗设扇形所在的圆心角为α，则＝×α×22，解得α＝．故〖答案〗为：．15．1〖解析〗∵2x＝3y＝72，则x＝log272，y＝log372，∴＝+＝3log722+2log723＝log72（23×32）＝log7272＝1，故〖答案〗为：1．16．（﹣1，3）〖解析〗由题意可知，f（x）＝的定义域为R，又∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f（x）＝＝＝1﹣，且g（x）＝在R上为减函数，∴由复合函数的单调性可知f（x）＝1﹣在R上为增函数，∵f（2m+3）+f（﹣m2）＞0，∴f（2m+3）＞f（m2），∴m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3．∴m的取值范围为（﹣1，3）．故〖答案〗为：（﹣1，3）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）集合A＝{x|2x＞4}＝{x|2x＞22}＝{x|x＞2}，当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，∴∁U A＝{x|x≤2}，故（∁U A）∩B＝{x|1≤x≤2}．（2）∵C⊆B，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是〖2，+∞）．18．解：（1）令，k∈Z，得，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（2）由（1）可知，当k＝1时，f（x）在单调递减，在单调递增，而，从而f（x）在单调递减，在单调递增，故，．19．解：（1）当x＝0时，C＝5，因为C（x）＝（0≤x≤10），所以k＝40，故C（x）＝.∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，∴f（x）＝6x+20×（0≤x≤10）．（2）f（x）＝6x+20×＝2（3x+8）+20×﹣16≥2﹣16＝64，当且仅当2（3x+8）＝20×，即x＝4时取得最小值．即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．20．解：（1）不等式转化为﹣tanθ≤x2﹣2x，令f（x）＝x2﹣2x，则f（x）＝（x﹣）2﹣2，f（x）≥﹣2，故﹣tanθ≤﹣2，tanθ≥2，则tanθ的取值范围〖2，+∞），（2）由（1）知，tanθ的最小值为2，则2sin2θ+3sinθcosθ＝（分子分母同时除以cos2θ），得＝＝，所以2sin2θ+3sinθcosθ＝．21．解：（1）当a＝3时，解不等式f（x）≥0；得﹣2cos2x+3sin x≥0，所以2sin2x+3sin x﹣2≥0，所以（2sin x﹣1）（sin x+2）≥0，又sin x+2＞0，所以2sin x﹣1≥0，所以sin x≥，所以2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以不等式f（x）≥0的解集为〖2kπ+，2kπ+〗k∈Z；（2）∀x1∈〖0，1〗，∀x2∈〖0，〗，有g（x1）≤f（x2），则有g（x）max≤f（x），又g（x）＝﹣2x﹣2在〖0，1〗上为减函数，g（x）max＝﹣3，所以﹣2cos2x+a sin x≥﹣3对x∈〖0，〗恒成立，当x＝0时，显然成立，当x∈（0，〗，sin x＞0，所以a≥﹣对〖0，〗恒成立，即a≥﹣﹣2sin x对（0，〗恒成立，+2sin x≥2＝2，∴﹣﹣2sin x≤﹣2，当且仅当﹣＝﹣2sin x，即x＝时取等号，故（﹣﹣2sin x）max＝﹣2，所以a≥﹣2，综上所述，实数a的取值范围为〖﹣2，+∞）．22．解：（1）由题意可得，，所以；（2）问题转化为关于x的方程k＝|3﹣x﹣3|在x∈〖﹣2，1〗上有且仅有一个实根，作出函数h（x）＝|3﹣x﹣3|在x∈〖﹣2，1〗上的图像（如图），h（﹣2）＝6，，由题意，直线y＝k与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是；（3）记，其中x＞0，因为函数F（x）在〖a，b〗上单调递增，若存在实数m，使得F（x）的值域为〖2a，2b〗，则F（a）＝2a，F（b）＝2b，所以F（x）＝2x，即a，b是x2+（m﹣4）x+4＝0的两个不等正根，所以Δ＝（m﹣4）2﹣16＞0，a+b＝4﹣m＞0，ab＝4＞0，解得m＜0，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）．。
高中高一数学上学期期末考试试卷含解析 试题
【点睛】此题主要考察三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于根底题．由函数可求得函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.
5. ， ， ，那么x，y，z的大小关系是
A. B. C. D.
的定义域为______；单调递减区间为______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据函数 的解析式求出使函数有意义的自变量的取值范围，再求函数 的单调递减区间．
【详解】函数 ，
，
解得 或者 ，
函数 的定义域为 ；
又 在 上是减函数，在 上是增函数，
函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
是偶函数，且函数 的图象关于点 成中心对称，当 时， ，那么
A. B. C.0D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数 是偶函数，分析可得 ，又由函数 的图象关于点 成中心对称，那么 ，综合可得 ，变形可பைடு நூலகம் ，那么函数是周期为8的周期函数，据此可得 ，结合函数的解析式即可得答案．
【详解】根据题意，函数 是偶函数，那么函数 的对称轴为 ，
， ，
假设 ，那么 ______；
假设 ， 的夹角为 ，那么 ______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)利用 列方程即可求解。
(2)利用 ， 的夹角为 列方程求解。
单调递减区间为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考察了函数的性质与应用问题，是根底题，注意求单调区间前定义域优先原那么.
13. ，那么 ______； ______．
2021年高一上学期期末数学试题与答案
2021年高一上学期期末数学试题与答案一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对任意的正实数a 及m ，n ∈Q ，下列运算正确的是( D ) A ．(a m )n ＝a m ＋n B ．(a m )n ＝am n C ．(a m )n ＝a m －n D ．(a m )n ＝a mn 解析：由指数运算性质，易知选D.2．函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( C )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53，所以1≤x <53.3.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈[－1，0－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[0，1]，则f (f (log 32))的值为( A )A.33 B ．－33 C ．－12D ．－2 解析：∵f (log 32)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13 log 32 ＝－12，∴f (f (log 32))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3－12 ＝33.4．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x －2＝0的根所在的区间为( A )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x －2，易知f (x )在R 上连续，∵f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋1－2＝1>0，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120－0－2＝－1<0，∴f (－1)·f (0)<0，由函数零点存在性定理知答案选A. 5．已知a ＝log 125，b ＝log 23，c ＝1，d ＝3－0.6，那么( B )A ．a <c <b <dB ．a <d <c <bC ．a <b <c <dD ．a <c <d <b解析：∵a ＝log 125<log 121＝0，b ＝log 23>log 22＝1，c ＝1，d ＝3－0.6<30＝1，且d >0，∴a <d <c <b .6．若函数f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，则g (x )＝log a (x －1)的大致图象是( A )解析：∵f (x )＝a－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x在(－∞，＋∞)上单调递减，∴a >1.又∵g (x )＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移1个单位长度得到的，且g (x )单调递增，故选A.7．已知函数f (x )＝log a (x 2＋1＋x )＋1(a >0且a ≠1)，若f (log 3b )＝5(b >0且b ≠1)，则f (log 13b )的值是( B )A ．3B ．－3C ．5D ．－2解析：∵f (－x )＝log a (x 2＋1－x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝log a (x 2＋1＋x )＋1＋log a (x 2＋1－x )＋1＝log a [(x 2＋1－x )·(x 2＋1＋x )]＋2＝2，∴f (log 3b )＋f (log 13b )＝f (log 3b )＋f (－log 3b )＝2.∵f (log 3b )＝5，∴f (log 13b )＝－3.故选B.8．若x 2－log a (x ＋1)<2x －1在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32－4，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫32－4，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，⎝ ⎛⎭⎪⎫324D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫324 解析：由x 2－log a (x ＋1)<2x －1在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内恒成立，得x 2－2x＋1<log a (x ＋1)在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内恒成立，由分析可知a >1.令f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )＝log a (x ＋1)，作出两个函数的大致图象如图所示．令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，得14≤log a 32，∴a 14≤32，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫324， ∴要使x 2－log a (x ＋1)<2x －1在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内恒成立，故实数a的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫324.故选D.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( AD ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x 2－3 D ．y ＝x |x | E ．y ＝2x解析：A 中，y ＝x 3＋x 为奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符； B 中，y ＝log 2x 为非奇非偶函数，与题意不符； C 中，y ＝2x 2－3为偶函数，与题意不符；D 中，y ＝x |x |是奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符；E 中，y ＝2x不存在零点，与题意不符．故选AD.10.设函数y ＝ln(x 2－x ＋1)，则下列命题中正确的是( ADE ) A ．函数的定义域为R B ．函数单调递增C ．函数的值域为RD ．函数的图象关于直线x ＝12对称E ．函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 34，＋∞解析：A 正确，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴函数的定义域为R ；B 错误，函数y ＝ln(x 2－x ＋1)在x >12时是增函数，在x <12时是减函数；C 错误，E 正确，由x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34可得y ＝ln(x 2－x ＋1)≥ln 34，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 34，＋∞；D 正确，函数的图象关于直线x ＝12对称．故选ADE.11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法错误的有( ABD )A ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B ．f (x )在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C ．f (x )在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D ．f (x )在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 解析：由题知f (0)·f (1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点，又f (1)·f (2)>0，因此无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点．12．函数f (x )＝2x －2－x ( AD )A ．是奇函数B ．在区间(0，＋∞)上单调递减C ．是偶函数D ．在区间(0，＋∞)上单调递增解析：∵f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又∵y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，∴由单调性的性质可知，f (x )＝2x －2－x 在(0，＋∞)上单调递增．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．化简log 2.56.25＋lg0.001＋2ln e －2log 43＝－ 3. 解析：原式＝2－3＋1－3＝－ 3.14．用二分法求方程ln x ＝1x在[1,2]上的近似解，取中点x ＝1.5，则下一个有根区间为(1.5,2)．解析：令f (x )＝ln x －1x.f (1)＝－1<0，f (2)＝ln2－12＝ln2e>ln 1>0， f (1.5)＝ln1.5－23＝13(ln1.53－2)，因为1.53＝3.375，e 2>4>1.53，故f (1.5)＝13(ln1.53－2)<13(lne 2－2)＝0，∴f (1.5)·f (2)<0，所以下一个有根区间是(1.5,2)．15．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为3.75分钟．解析：由图知，曲线p ＝at 2＋bt ＋c 过(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)三点，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，故p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.该二次函数图象开口向下，∴当t ＝－b 2a ＝－1.5－0.4＝3.75时，p取得最大值，此时可食用率最大．16．已知函数f (x )＝lg x,0<x ≤10，,－12x ＋6| ，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是(25,34)．解析：作出函数f (x )的图象如图，不妨设a <b <c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，∴a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)计算： (1)3－43－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0.25 12 ×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12－4；(2)12lg25＋lg2－lg 0.1－log 29×log 32.18.(12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (a －1)<－1，求实数a 的取值范围． 解：(1)令x >0，则－x <0， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝log 12(x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ＋1，x >0，log 12－x ＋1，x ≤0.(2)∵内层函数u ＝－x ＋1在(－∞，0]上单调递减，外层函数y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝log1(－x＋1)在(－∞，0]上单调递增．2又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(a－1)<－1＝f(1)＝f(－1)，∴a－1<－1或a－1>1，解得a<0或a>2.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．19．(12分)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求实数m的取值范围．20．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋ab ·2x＋1是定义域为R 的奇函数． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[－2,2]使不等式f (m ·4x )＋f (1－2x ＋1)≥0成立，求m 的最小值．解：(1)由题知，因为函数f (x )＝2x ＋ab ·2x ＋1是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝1＋ab ＋1＝0，即a ＝－1，所以f (x )＝－f (－x )，即 2x －1b ·2x ＋1＝－2－x －1b ·2－x ＋1，即2x －1b ·2x ＋1＝2x －12x ＋b，即b ＝1， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －12x ＋1.(2)不等式f (m ·4x )＋f (1－2x ＋1)≥0等价于f (1－2x ＋1)≥－f (m ·4x )， 因为函数f (x )为奇函数，所以f (1－2x ＋1)≥－f (m ·4x )＝f (－m ·4x )，又因为f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )在R 上单调递增， 所以1－2x ＋1≥－m ·4x ，即m ≥2×2x －12x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋22x ， 不妨令t ＝12x ，因为x ∈[－2,2]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则问题转化为m ≥－t 2＋2t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上有解，不妨令g (t )＝－t 2＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，则只需满足m ≥g (t )min ，又因为g (t )＝－t 2＋2t 为二次函数，其图象开口向下，对称轴为t ＝1，所以g (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1上单调递增，在(1,4]上单调递减，又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝716，g (4)＝－8，所以g (t )min ＝g (4)＝－8， 所以m ≥－8， 故m 的最小值为－8.21.(12分)已知在函数y ＝log 12x 的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标依次为t ，t ＋2，t ＋4，其中t ≥1.(1)设△ABC 的面积为S ，求S ＝f (t )； (2)判断函数S ＝f (t )的单调性； (3)求S ＝f (t )的最大值．解：(1)作出函数y ＝log 12x 的图象如图所示，A ，B ，C 三点的坐标分别为(t ，log 12t )，(t ＋2，log 12(t ＋2))，(t ＋4，log 12(t ＋4))．分别过A ，B ，C 三点向x 轴作垂线，垂足分别为E ，F ，N ，则△ABC 的面积S ＝S 梯形ABFE ＋S 梯形BCNF －S 梯形ACNE＝－[log 12t ＋log 12(t ＋2)]－[log 12(t ＋2)＋log 12(t ＋4)]＋2[log 12t ＋log 12(t ＋4)]＝log 12t ＋log 12(t ＋4)－2log 12(t ＋2)＝log 2t ＋22t 2＋4t＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋4t 2＋4t ， 即S ＝f (t )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋4t 2＋4t (t ≥1)． (2)f (t )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋4t 2＋4t (t ≥1)是复合函数，其外层函数单调递增，当t ≥1时，内层函数单调递减，故函数f (t )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋4t 2＋4t (t ≥1)是减函数． (3)由(2)的结论，可知函数f (t )在t ＝1时取到最大值，为f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋41＋4＝log 295.22．(12分)已知函数f (x )定义在(－1,1)上且满足下列两个条件：①对任意x ，y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；②当x ，y ∈(－1,1)时，有f x ＋f yx ＋y>0.(1)证明函数f (x )在(－1,1)上是奇函数； (2)判断并证明f (x )的单调性；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，试求函数G (x )＝f (x )＋12的零点．解：(1)证明：令x ＝y ＝0，则2f (0)＝f (0)，则f (0)＝0. 又令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在x ∈(－1,1)上是奇函数．(2)f (x )在(－1,1)上是增函数．证明：设1>x 2>x 1>－1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f x 2＋f －x 1x 2＋－x 1·(x 2－x 1)．因为－1<－x 1<1，由条件知f x 2＋f －x 1x 2＋－x 1>0，而x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以函数f (x )在(－1,1)上单调递增．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，G (x )＝f (x )＋12＝0，等价于2f (x )＝－1，则2f (x )＝f (x )＋f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以2x 1＋x 2＝－12，即x 2＋4x ＋1＝0，则x ＝－2±3，由x ∈(－1,1)，得x ＝3－2，故f (x )的零点为3－2.。
2021-2022学年山东省蓬莱高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则R A B ⋃=（ ）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x【答案】D【解析】根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.【详解】因为{}{242B x x x x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以R A B ⋃={|2}x x . 故选：D【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.2．函数()lg(2)f x x =-的定义域为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,∞+【答案】C【分析】解不等式组310,20x x -≥⎧⎨->⎩即得解. 【详解】解：由题得3101,2203x x x -≥⎧∴≤<⎨->⎩. 所以函数的定义域为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C3．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B4．已知命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)-+∞ B ．()21,+∞ C ．(),21-∞ D ．()3,-+∞【答案】A【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“[]3,3x ∀∈-，240x x a -++≤”为假命题，所以240x x a -++>在[3,3]x ∈-上有解，所以2max (4)0x x a -++>，而一元二次函数24x x a -++在422(1)x =-=⨯-时取最大值，即22420a -+⨯+>解得4a >-， 故选：A5．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()f π，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．若α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则（ ） A ．sin sin 0αβ+= B ．cos cos 0αβ+= C ．22sin sin 1αβ+= D ．tan tan 0αβ-=【答案】A【分析】因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称，则2k αβπ+=，Z k ∈，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【详解】解：因为α，β的终边（均不在y 轴上）关于x 轴对称， 则2k αβπ+=，Z k ∈，选项A ：sin sin sin sin(2)sin sin 0k αβαπααα+=+-=-=，故A 正确， 选项B ：cos cos cos cos(2)2cos 0k αβαπαα+=+-=≠，故B 错误， 选项C ：22222sin sin sin sin (2)2sin 0k αβαπαα+=+-=≠，故C 错误， 选项D ：tan tan tan tan(2)tan tan 2tan 0k αβαπαααα-=--=+=≠，故D 错误， 故选：A ．7．若31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记cos sin cos log ,log cos ,1log tan x y z αααααα===+，则,,x y z 的大小关系正确的是（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．x z y <<D ．y x z <<【答案】C【分析】由题意可得0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>，然后利用对数函数的单调性比较大小 【详解】因为31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos sin 1,tan 1αααα<<<<>， 所以cos cos log log 10x ααα=<=， sin sin log cos log sin 1y αααα=>=，cos cos cos 1log tan log (cos tan )log sin z ααααααα=+==，因为0cos sin 1αα<<<，所以cos cos cos log cos log sin log 1ααααα>>， 所以cos 1log sin 0αα>>，即01z <<， 综上，x z y <<， 故选：C8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解. 【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题9．已知全集U =R ，集合M ，N 的关系如图所示，则（ ）A ．NM M =B ．()U M N ⋂=∅C ．()()U U M N ⊇D ．()()U U UM N N ⋂=【答案】AB【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.【详解】由图可知()()()()(),,,U U U U UUN M M M N M N M N M ==∅⊆=.故选：AB10．幂函数21*()(22),N m f x m m x m --=+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．1m = B ．函数()f x 是偶函数 C ．(2)(3)f f -< D ．函数()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数定义可知2221m m +-=，即可解得m 的值，结合m 是正整数即可对选项做出判断.【详解】由幂函数定义可知，系数2221m m +-=，解得1m =或32m =-，又因为*N m ∈，所以1m =；故A 正确； 1m =时，221()f x xx -==，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足2()()1f f x x x ==-，所以函数()f x 是偶函数，即B 正确； 由21()f x x=可知，函数()f x 在(0,)+∞为单调递减，所以(2)(2)(3)f f f -=>，所以C 错误； 函数21()f x x=的值域为(0,)+∞，即D 正确； 故选：ABD.11．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A ．函数解析式()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线1112x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2【答案】ABC【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可. 【详解】由题图知：函数()f x 的最小正周期453612T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22πωπ==，2A =，所以函数()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得22sin 6πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，得()23k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，因此()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B正确.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1112x π=-时，()2f x =，故C 正确.当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，23x π+∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡∈-⎣故D 错误． 故选：ABC ．12．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z ≥【答案】ACD【分析】令236x y z t ===则1t >，可得：2log x t =，6log z t =，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；【详解】解：令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =， 3log y t =，6log z t =， 对于选项A ：因为()231111lg 2lg 31lg 61lg 2lg 3log 6log log lg lg lg lg t x y t t t t t t z+=+=+=+===， 所以111x y z+=，故选项A 正确；对于选项B ，因为1t >，故lg 0t >，所以232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >； ()3663lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 9363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 选项错误. 对于选项C ：log lg lg a t t a a a =，因为02lg 23lg36lg 6<<<，所以1112lg 23lg 36lg 6>>， 因为lg 0t >，所以lg lg lg 2lg 23lg 36lg 6t t t >>，即362log log log 236t t t >>，即236x y z>>，故选项C 正确；对于选项D ：()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t txy t t =+=⋅=⨯， ()()()222262lg 444log 4lg lg 6lg 6t z t t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⨯<=⎪⎝⎭，因为lg 2lg3≠所以等号不成立， 所以()214lg 2lg3lg 6>⨯，即()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⨯， 所以24xy z >，根据“或”命题的性质可知选项D 正确. 故选：ACD三、填空题13．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________.【答案】{}90180120180,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈， 终边落在图中直线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒Z k ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在直线上的角为120180k ︒+⋅︒，Z k ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈14．已知正数x ，y 满足21x y +=，则12xx y +的最小值为__________.【答案】5【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】()212121124y x x y x y x y-+=+=+-， 由于0,0x y >>，21x y +=,所以()12122222241125x y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y == 时，取等号，故12x x y +最小值为5，故答案为：515．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是________．【答案】2π23-232π-【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.【详解】由已知得2π3AB BC AC ===， 则AB =BC =AC =2，故扇形的面积为2π3， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为22π33222π233⨯-=- 故答案为：2π23-32π-．四、双空题16．已知定义在R 上的奇函数12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩，则(1)f -=________；不等式(())7≤f f x 的解集为________.【答案】 1 (,2]-∞【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得(1)f -；不等式(())7≤f f x 的解集等价于()3f x ≥-的解集，即可求得答案.【详解】解：∵12,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()()()1221x xg x f x f x --==--=-=--，12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-<⎩，∴(1)211f -=-=；又12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在()0,∞+和()0-∞，上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，所以函数12,(0)()21,(0)x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递减，∵不等式(())7,(3)7f f x f ≤-=，()3f x ∴≥-，123xx ≥⎧∴⎨-≥-⎩或0213x x -<⎧⎨-≥-⎩， 解得：2x ≤，即不等式(())7≤f f x 的解集为(,2]-∞. 故答案为：1；(,2]-∞.【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.五、解答题 17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解； （2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）31log 242766194log 3log 8log 82log 33--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．如图，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值；（2）若cos cos sin sin 0αβαβ+=，求()sin αβ+的值． 【答案】（1）1825（2）725【分析】(1)由三角函数的定义首先求得sin ,cos αα的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；(2)由题意首先求得,αβ的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-，4sin 5α， ∴原式2222sin cos 2cos 2cos (sin cos )3182cos 2sin sin cos 5251cos cos αααααααααααα++⎛⎫====⨯-=⎪+⎝⎭+． （2）∵cos cos sin sin cos()0αβαβαβ+=-=，且0βαπ<<<， ∴2παβ-=，2πβα=-，∴3sin sin cos 25πβαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．∴44337sin()sin cos cos sin 555525αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程; (2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.(2)证明函数()y f x =是R 上的减函数； (3)若2(2)()0f x f x -+<，求x 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3){1x x >或}2x <-【分析】（1）利用特殊值求出(0)0f =，从而证明()()f x f x -=-即可；（2）证明出[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-12()f x x =-，再利用当0x >时，()0f x <恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解. 【详解】（1）证明：由()()()f a b f a f b +=+， 令0a b 可得(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，令,==-a x b x 可得()()()f x x f x f x -=+-， 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，而函数()y f x =的定义域为R ，故函数()y f x =是奇函数．（2）证明：设12x x >，且1R x ∈，2x R ∈，则120x x ->， 而()()()f a b f a f b +=+[]121222()()()()f x f x f x x x f x ∴-=-+-1222()()()f x x f x f x =-+- 12()f x x =-，又当0x >时，()0f x <恒成立，即12()0f x x -<，12()()f x f x ∴<， ∴函数()y f x =是R 上的减函数；（3）(方法一）由2(2)()0f x f x -+<， 得2(2)()f x f x -<-， 又()y f x =是奇函数， 即2(2)()f x f x -<-，22x x ∴->-解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是{1x x >或}2x <-. (方法二)由2(2)()0f x f x -+<且(0)0f =，得2(2)(0)f x x f -+<， 又()y f x =在R 上是减函数， 220x x ∴-+>，解得1x >或 2.x <-故x 的取值范围是 {1x x >或}2x <-.21．已知函数()2f x x bx c =++，满足()()1f x f x =-，其一个零点为1-．(1)当0m ≥时，解关于x 的不等式()()21mf x x m ≥--； (2)设()()313f x x h x +-=，若对于任意的实数1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤，求M 的最小值．【答案】(1)答案见解析 (2)242【分析】（1）根据条件求出,b c ，再分类讨论解不等式即可； （2）将问题转化为()()max min M h x h x ≥-，再通过换无求最值即可. 【详解】（1）因为()()1f x f x =-，则()()2211x bx c x b x c ++=-+-+，得1b又其一个零点为1-，则()1110f c -=++=，得2c =-，则函数的解析式为()22f x x x =--则()()2221m x x x m --≥--，即()()()222210mx m x mx x -++=--≥当0m =时，解得：1x ≤当0m >时，①2m =时，解集为R ②02m <<时，解得：1x ≤或2x m≥， ③m>2时，解得：2x m≤或1x ≥， 综上，当0m =时，不等式的解集为}{1x x ≤；当2m =时，解集为R ；当02m <<时，不等式的解集为{1x x ≤或2x m ⎫≥⎬⎭； 当m>2时，不等式的解集为2x x m ⎧≤⎨⎩或}1x ≥.（2）对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有()()12h x h x M -≤， 即()()max min M h x h x ≥-令()222314t x x x =+-=+-，则()3th t =因为[]2,2x ∈-，则min 0t =，max 5t =可得()5max 3h t =，()0min 31h t ==则()()max min 2431242h x h x -=-=， 即242M ≥，即M 的最小值为242．22．某同学用“五点法”画函数()()cos 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请根据上表数据，求函数()f x 的解析式；(2)关于x 的方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求t 的取值范围；(3)求满足不等式()()52043f x f f x f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数解． 【答案】(1)()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)2⎡⎤⎣⎦； (3)2.【分析】（1）由表格中的数据可得出A 的值，根据表格中的数据可得出关于ω、ϕ的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数t 的取值范围；（3）分析可得()0f x <或()1f x >，分别解这两个不等式，得解集，令0k =，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.【详解】（1）解：由表格数据知，2A =，由325362πωπϕπωπϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）解：当2,0x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦， 因为方程()f x t =区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以t的取值范围为2⎡⎤⎣⎦. （3）解：因为552cos 2sin 14266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2432cos 2cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式即：()()10f x f x ⎡⎤-⋅>⎣⎦，解得()0f x <或()1f x >，由()0f x <得cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()3222Z 262k x k k πππππ+<-<+∈， 所以5,36x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈； 由()1f x >得1cos 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()222Z 363k x k k πππππ-+<-<+∈，所以,124x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈.令0k =可得不等式解集的一部分为5,,12436ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，解集中最小的正整数为2．。
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}24A x x =<<，{}260B x x x =--≤，则()U A B ∩等于（ ）A ．(]2,3B ．()3,4C ．[)2,4-D ．()(),23,4-∞-【答案】B【解析】化简集合B ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.【详解】{}260B x x x =--≤{|23}x x =-≤≤，{|2UB x x =<-或3}x >，所以()U A B ∩{|34}x x =<<. 故选：B2．命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A ．0x ∀≥，sin x x > B ．00x ∃<，00sin x x > C ．00x ∃≥，00sin x x > D ．00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是 00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．4．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2A ，1sin ,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()sin1,C n ，则m 与n 的大小关系为（ ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不等确定【答案】B【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助()f x 的单调性即可判断作答.【详解】依题意，设()f x x α=，由()42f =得：42α=，解得12α=，则有()f x x =，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，又sin y x =在(0,)2π上单调递增，即10sin sin12<<，因此有1sin sin12<，则m n <，B 正确.故选：B 5．函数lg 1()x x f x x-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求函数定义域得()()(),00,11,x ∈-∞+∞，再根据定义域分0x <，01x <<，1x >三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：()()(),00,11,-∞+∞， 当0x <时，11x -+>函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-，故排除CD 选项； 当01x <<时，011x <-+<，故函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<，故排除B 选项； 当1x >时，函数()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．在ABC 中，3cos 5A =且5cos 13B =，则cos C 等于（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365-D ．6365【答案】B【分析】在ABC 中， ()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在ABC 中，A B C π++=， ∴()C A B π=-+，又3cos 5A =，5cos 13B =，∴4sin 5A =，12sin 13B =， ∴()()cos cos cosC A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+ 354123351351365⎛⎫=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【解析】令[]sin 21,3t x =+∈，可得出()44f x t t =+-，令()44g t t t =+-，证明出函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，由此可求得函数()g t 在区间[]1,3上的最大值，即为所求.【详解】令[]sin 21,3t x =+∈，则sin 2x t =-，则()()222sin 44sin 2t x f x t x t t-===+-+，令()44g t t t =+-，下面证明函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，任取1t 、[)21,2t ∈且12t t <，则()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，1212t t ≤<<，则120t t -<，1214t t <<，()()120g t g t ∴->，()()12g t g t ∴>，所以，函数()44g t t t =+-在区间[)1,2上为减函数，同理可证函数()44g t t t =+-在区间(]2,3上为增函数，()11g =，()133g =，()max 1g t ∴=.因此，函数()f x 的最大值为1. 故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下： （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,]5∪(5，＋∞)B ． 1(0,)5∪[5,)+∞C ． 11(,)75∪(5，7)D ． 11(,)75∪[5，7)【答案】A【详解】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)，因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是10,5⎛⎤⎥⎝⎦∪(5，＋∞)．故选A .点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅ B ．{}0∅⊆ C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得,A D 错误，,B C 正确. 【详解】,A 0∉∅，所以该选项错误； ,B 空集是任何集合的子集，所以该选项正确；,C 由子集的定义得{}{},,a b b a ⊆，所以该选项正确；,D ∅是一个集合，它和{0}之间不能用∈连接，所以该选项错误.故选：BC10．下列不等式中正确的是（ ） A ．已知a b <，则有2a ba b +<< B ．已知0a b <<，0c d >>，0m >，则m ma cb d<-- C ．已知0a b >>，则22ac bc > D ．已知0a >，0b >，则2aba b≤+【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断. 【详解】因为a b <，所以有：2a a b <+，所以：2a ba +<，又：2a b b +<，所以：2a b b +<，所以：2a ba b +<<，所以A 正确； 因为0c d >>，所以有：0c d -<-<，所以：0a c b d -<-<，所以：110a c b d>>--，又0m >，所以：m ma cb d>--，所以B 错误； 因为2c ≥0，0a b >>，当20c >时，22ac bc >成立，当2c =0时，220ac bc ==，所以C 错误； 因为0a >，0b >，所以有：0a b +≥，10a b>+，所以()11a b a b a b +≥⋅++即：01<≤2ab a b ≤+D 正确. 故选：AD.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A ．()1f x x =+B ．()1f x x x=-，0x > C ．()23f x x x =-+D ．()12log f x x =【答案】BD【解析】对于ABC ：通过解方程()00f x x =可得答案；对于D ，通过作出两个函数的图象可得答案. 【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的， 对于A ：当001x x +=时，该方程无解，故A 不满足； 对于B ：当0001x x x -=，00x >时，解得02x =B 满足；对于C ：当20003x x x -+=，即()20120x -+=时，无实数根，故C 不满足；对于D ；画出()12log f x x =与y x =的图象显然有交点，即存在一个点0x ，使得()00f x x =，故D 满足；综上，BD 均满足. 故选：BD【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.12．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+< 【答案】ABD【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A ；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B ；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C ；由0x >时，lg y x =-和tan y x =的图象，结合正切函数的性质，可判断D.【详解】因为()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-， 所以函数()g x 为奇函数，故A 正确；假设cos 0x =，即2x k π=+π，Z k ∈时， ()sin cos sin cos 02x f x x k k πππ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭，所以当2x k π=+π，Z k ∈时，()0g x ≠， 当2x k ππ≠+，Z k ∈时，()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-，当00x <，00x ->，则()()()000lg f x f x x =--=--，由于()g x 的一个零点为0x ，则()()()00000tan lg lg tan 0x f x x x x =-=-⇒--=，故B 正确；如图：当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，2lg y x =-，的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点有1个，并且()()0sin00cos00g f =+⋅=，所以函数在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C错误；由图可知，()g x 大于1的零点，134x ππ<<，2322x ππ<<，所以12934x x ππ<+<， 而974π>，故推出1273x x π<+<，故D 正确. 故选：ABD.三、填空题13．若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______．【答案】15-【分析】由于22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++，然后代值计算即可 【详解】因为tan 2α=，所以22222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2222sin cos tan 1ααααααααα+++-=-=-++ 214212215+⨯=-=-+，故答案为：15-14．已知,x y ∈R +,且24,x y +=则(1)(21)x y ++的最大值为_______. 【答案】9【解析】将(1)(21)x y ++展开化为221x y x y ⋅+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】24,x y +=且,x y ∈R +,∴ 22(1)(21)2212192x y x y x y x y x y +⎛⎫++=⋅+++≤+++= ⎪⎝⎭， 当且仅当2,1x y ==时取等号，故(1)(21)x y ++的最大值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论.四、双空题16．已知函数22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则f (6)=________；若方程()f x x a =+在区间[4,8]-有三个不等实根，实数a 的取值范围为________.【答案】 8 {2}(4,0)⋃-【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的取值范围．【详解】解：因为22,[4,0]()2(4),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩()()()()62222242228f f f ∴==⨯-=--+=作出函数()f x 在区间[4,8]-上的图象如图：设直线y x a =+，要使()f x x a =+在区间[4,8]-上有3个不等实根， 即函数y x a =+与()y f x =在区间[4,8]-上有3个交点， 由图象可知40a 或2a = 所以实数a 的取值范围是(){}4,02- 故答案为：8；(){}4,02-．【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．五、解答题 17．求值： (1)1030.256341782(23)86；(2)2552lg4lg log 5log 48++⋅.【答案】(1)112 (2)3【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决； （2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决. 【详解】（1）1030.256341782(23)861113110.25336233424432122(23)2223112（2）22555lg5lg 42lg 4lglog 5log 4lg 4lg 88lg 2lg525lg 42lg 2lg 4lg101238lg 2lg 218．已知函数()224x a f x x a =-+-的定义域是[]2,3-.（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；（2）设:p a M ∈，[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由.【答案】（1）[]1,8-；（2）[)4,+∞(答案不唯一)，理由见解析. 【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；（2）求出[]:2,2q x ∀∈-，都有()0f x ≤的充要条件，然后可得答案. 【详解】当2a =时，()()211f x x =--， 所以()()min 11f x f ==-，()()max 28f x f =-= 所以值域是[]1,8-.（2）据题意使“[]2,2x ∀∈-，都有()0f x ≤”为真命题的充要条件是()max 0f x ≤，即有()()2222802280f a a f a a ⎧-=-++≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，其解集是(][),44,-∞-⋃+∞， 故使p 是q 的充分不必要条件的集合M 可以是[)4,+∞. 19．已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)若22(4)()0f x x f x k -++--<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)()f x 在R 上是增函数 (3)2k >【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x -+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x -()()()12122222121x x x x -=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【详解】（1）函数定义域为R .因为函数2()21x f x a =-+为奇函数， 所以有()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 又222()2121xx x f x a a -⋅-=-=-++， 则()()2222121x xx f x f x a a ⋅-+=-+-++222222021x x a a ⋅+=-=-=+， 所以，1a =.（2）由（1）知，2()121xf x =-+. 任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()12122222121x x x x -=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<.又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. （3）因为，函数2()121x f x =-+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k -++--<等价于()222(4)()f x x f x k f x k -+<---=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k -+<+，即2240x x k -+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=--⨯=--<， 解得2k >.20．已知函数()()πsin 03f x x m ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知． 条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()f x 的最大值与最小值之和为0； 条件③：()02f =． (1)求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，求实数a 的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)5π12【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出； （2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解. 【详解】（1）若选择条件①，则2ππω=，故可得2ω=；若选择条件②，则110m m ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，故可得m =若选择条件③，则πsin 23m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得2m =； 根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件． 若选择①②，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；若选择①③，则()πsin 223x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，()πsin 23f x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 又其单调性与()πsin 23h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭相同，故函数()f x 在区间[]0,a 上是增函数，可转化为()h x 在[]0,a 上是增函数． 又当[]0,x a ∈，πππ2,2333x a ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要满足题意，只需ππ232a -≤，故可得50π12a <≤，即实数a 的最大值为5π12．21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==； ②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 22．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2()lg1xf x x =+，()(),10,-∞-+∞；（2）()()0,22,+∞；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lgxf x ax b=+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式； （2）转化为21x t x =+，解得2tx t =-，可求出满足条件的实数t 的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．22lglg lg xxx a ax b b x -=++，即22lglg lg x x ax b a bx-=++， 即2lg lg 2x a bx x ax b+⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+． 整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==． ∴2()lg 1xf x x =+， ∵201xx >+，∴1x <-，或0x >， ∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞．（2）方程()lg f x t =有解，即2lg lg 1xt x =+， ∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2tx t =-，∴12t t<--，或02tt >-，解得2t >或02t <<， ∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅， ∴()2lglg 81x x m x =++，∴281xx m x =++， ∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.。
2021年高一上学期期末考试数学含解析
2021年高一上学期期末考试数学含解析一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}, B．{3，4}, C．{3}, D．{4}2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球, B．三棱锥, C．正方体, D．圆柱【答案】C【解析】试题分析：球的三视图都是大圆，故A正确；如图：这样的三个角都为直角的棱锥的三视图都是等腰直角三角形；故B正确；正方体的三视图都是正方形，故C正确；圆柱的俯视图是圆，正视图，侧视图都是长方形，故D错.考点：几何体的三视图3.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2, B．1：4, C．1：8, D．1：164.已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切, B．相交, C．相离, D．不确定5.在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6.由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间是，则的值为（）-1 0 1 2 30．37 1 2．72 7．39 20．091 2 3 4 5A．-1 B．0 C．1 D．27.若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：函数与轴有公共点，即设函数,,有交点，函数如图:,即,故选B.考点：函数图像8.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增．若实数满足, 则的取值范围是（）A．B．C．D．9.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( ) A．xx B．2013 C．4024 D．4026【答案】C【解析】试题分析：设,,()()[]()()20122212211-+-=+-=x f x x f x x x f x f , ,即所以是单调递增函数，其最大值和最小值是,()()()()20122013201320132013+-+=-+=+f f f N M ,令代入得：,得,所以，,故选C. 考点：抽象函数10.一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，、分别为、的中点．下列结论中正确的个数有( ) ①直线与 相交． ②． ③//平面． ④三棱锥的体积为． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数的定义域为___________．12.在轴上与点和点等距离的点的坐标为．13.已知集合，，且，则实数的取值范围是_______________．考点：1.半圆方程；2.直线与曲线相交；3.数形结合.14.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】15.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设全集为，集合，．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知，若，求实数的取值范围．【答案】(1);(2) .17.已知直线：，（不同时为0），：，（1）若且，求实数的值；（2）当且时，求直线与之间的距离的方程为：即，…………11分则它们之间的距离为．…………12分考点：1.两条直线平行垂直的充要条件；2.平行线间距离.18.已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．19.如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，,求证平面；（2）如果,,求此圆锥的全面积．【答案】(1)详见解析；(2).【解析】考点：1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.20.已知圆的方程:,其中．（1）若圆C与直线相交于,两点，且,求的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．21.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为．……8分288 54 70B6 炶39847 9BA7 鮧27430 6B26 欦25729 6481 撁33319 8227 舧38231 9557 镗25282 62C2 拂23050 5A0A 娊23858 5D32 崲29832 7488 璈1X29747 7433 琳。
2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式： （2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（ ） （1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者 【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（ ） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（ ）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（ ） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________． 【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >． （1）若A B =∅，求a 的取值范围； （2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+． （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。
高一数学上学期期末考试试题及答案
2021－2021学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共４页，总分值120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第一卷〔选择题 共48分〕参考公式：1．锥体的体积公式1,,.3V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高2．球的外表积公式24S R π=,球的体积公式343R V π=，其中R 为球的半径.一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，那么集合U C A = 〔 〕A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线 〔 〕A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能 3．幂函数()αx x f =的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，那么()4f 的值等于 〔 〕 A ．16 B.116 C ．2 D.124. 函数()lg(2)f x x =+的定义域为 〔 〕A.〔-2,1〕B.[-2,1]C.()+∞-,2D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，那么|OP|的最小值为 〔 〕AB ．CD ．26.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是 〔 〕A ．假设m ∥n ，m ∥α，那么n ∥αB ．假设α⊥β，m ∥α，那么m ⊥βＯＯＯ Ｏ１ １１１C ．假设α⊥β，m ⊥β，那么m ∥α D ．假设m ⊥n ，m ⊥α， n ⊥β，那么α⊥β7．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，那么()1f 等于 〔 〕A ．－3B ．－1C ．1D ．3 8．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 〔 〕A ．RB ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(2，＋∞) D. (0，＋∞) 9．圆0964:221=+--+y x y x c ，圆019612:222=-+++y x y x c ，那么两圆位置关系是〔 〕A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离10. 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数xay -=与x y a log =的图象是 〔 〕Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.11. 函数f(x)=e x-x1的零点所在的区间是 〔 〕 A.〔0，21〕 B. 〔21，1〕 C. 〔1，23〕 D. 〔23，2〕 、12. 函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，假设(21)()f a f a +>，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1(,1)(,)3-∞-⋃-+∞ B ． (,3)(1,)-∞-⋃-+∞C ． 1(1,)3-- D ．(3,1)--第二卷〔非选择题，共72分〕二、填空题:本大题共4小题，每题4分，共16分. 13. 计算 =+⨯+2lg 5lg 2lg )5(lg 2________.14. 直线013:1=-+y ax l 与直线()0112:2=+-+y a x l 垂直，那么实数a =_____. 15. 各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，那么这个球的体积为 . 16. 圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，那么该圆的方程是 .三、解答题:本大题共6小题, 共56分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值10分〕设集合{|13}A x x =-≤<，{|242}B x x x =-≥-， {|1}C x x a =≥-.〔Ⅰ〕求A B ；〔Ⅱ〕假设B C C =，求实数a 的取值范围.18．〔本小题总分值10分〕函数()log (1)log (3) (01)a a f x x x a =-++<<. 〔Ⅰ〕求函数()f x 的零点；〔Ⅱ〕假设函数()f x 的最小值为4-，求a 的值.19.〔本小题总分值12分〕圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (Ⅰ)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．20．〔本小题总分值12分〕三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为AB 边中点， 且CC 1=2AB ．〔Ⅰ〕求证：平面C 1CD⊥平面ADC 1； 〔Ⅱ〕求证：AC 1∥平面CDB 1； 〔Ⅲ〕求三棱锥D ﹣CAB 1的体积．21. 〔本小题总分值12分〕f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，假设a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(Ⅰ)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明； (Ⅱ)解不等式：()()x f x f 3112-<-；(Ⅲ)假设f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．2021－2021学年高一上学期期末考试高一数学答案一、选择题C D D D B D A B C D B A 二、填空题13、1 14、35 15、16、x 2＋y 2－10y ＝0三、解答题17、解： (Ⅰ)由题意知，{|2}B x x =≥分 所以{}|23A B x x ⋂=≤<分 (Ⅱ)因为B C C ⋃=，所以B C ⊆分 所以12a -≤，即3a ≤分18、解：(Ⅰ)要使函数有意义：那么有1030x x -⎧⎨+⎩>>，解之得：31x -<<2分函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=即2220xx +-=，1x =-±(3,1)±-∵-1()f x ∴的零点是1-5分(Ⅱ)函数化为：22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦31x -∵<< 201)44x ++≤∴<-(7分01a ∵<<2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴即min ()log 4a f x =由log 44a =-，得44a-=，14242a -==∴ 10分19、解：(Ⅰ)假设直线l 与圆C 相切，那么有圆心〔0,4〕到直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0的距离为21242=++a a3分解得43-=a . 5分 (Ⅱ)过圆心C 作CD ⊥AB ，垂足为D.那么由AB ＝22和圆半径为2得CD ＝ 27分因为21242=++=a a CD所以解得7-=a 或1-.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10分20、解：(Ⅰ)∵CC 1⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AB ∵△ABC 是等边三角形,CD 为AB 边上的中线，∴C D ⊥AB2分∵CD ∩CC 1=C ∴AB ⊥平面C 1CD∵AB ⊂平面ADC 1∴平面C 1CD⊥平面ADC 1；4分 (Ⅱ)连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结DO ．那么O 是BC 1的中点，DO 是△BAC 1的中位线．∴DO∥AC 1．∵DO ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1；8分(Ⅲ)∵CC 1⊥平面ABC ，BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ．∴BB 1 为三棱锥D ﹣CBB 1 的高．=．∴三棱锥D ﹣CAB 1的体积为．12分21、解：(Ⅰ)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，那么－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，2分由得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f(x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．4分(Ⅱ)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-x x x x 3112131111216分∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤520x x . 7分(Ⅲ)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 9分下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m·a＋m 2≥0.①假设m ＝0，那么g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②假设m ≠0，那么g (a )为a 的一次函数，假设g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立， 必须g (－1)≥0且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2. 综上，m ＝0 或m ≤－2或m ≥212分。
2021年高一上学期期末考试数学试题及答案
高一上学期期末考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若{}32，M{}54321，，，，，的个数为：则MA. 5B. 6C. 7D. 8 2. 函数2()lg(31)1f x x x+-的定义域是：A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比是： A ．ππ221+ B. ππ441+ C. ππ21+ D. ππ41+ 4. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是：A.2y x = B.12y x = C.13y x = D.3y x -=5. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二角后，下列命题正确的是：A. BC AB ⊥B. BD AC ⊥C. ABC CD 平面⊥D. ACD ABC 平面平面⊥6. 已知函数2()4,[1,5)f x x x x =-∈，则此函数的值域为：A. [4,)-+∞B. [3,5)-C. [4,5]-D. [4,5)- 7. 已知函数()的图像是连续不断的，有如下的()对应值表：x1 2 3 4 5 6 7()f x123.521.5－7.8211.57－53.7 －126.7 －129.6那么函数()f x 在区间[]1,6上的零点至少有：A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 8. 若函数()f x 在R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是：A.()()34f f <B.()()34f f <--C.()()34f f --<-D.()()34f f ->- 9. 已知直线l 在x 轴上的截距为1，且垂直于直线x y 21=，则l 的方程是： A. 22+-=x y B. 12+-=x y C. 22+=x y D. 12+=x y 10. 若两直线k x y 2+=与12++=k x y 的交点在圆422=+y x 上，则k 的值是： A. 51-或1- B. 51-或1 C. 31-或1 D. 2-或2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上.11. 圆台的上，下底面积分别为ππ4,，侧面积为π6，则这个圆台的体积是12. 对于函数2341()2x x y -+=的值域13. 若平面α∥β平面，点,25,48,,,,==∈∈CD AB D B C A 且点βα又CD 在平面β内的射影长为7，则AB 于平面β所长角的度数是14.若((112,2a b --=+=，则()()2211a b --+++的值是三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15（本小题满分12分） 若02x ≤≤，求函数124325x x y -=-•+的最大值和最小值.16（本小题满分12分）求过点()1,2-A ,圆心在直线x y 2-=上，且与直线01=-+y x 相切的圆的方程. 17（本小题满分14分）已知函数xx x f 2)(+=. （1）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数)(x f 在[)+∞,2内是增函数.18（本小题满分14分）（本小题14分）如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求证：DB D B AC 11平面⊥; (2) 求三棱锥1ACB B - 的体积. 19．（本小题满分12分）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1％，若最初时含杂质2％，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ （已知lg 20.3010=，lg30.4771=） 20．（本小题满分16分） 已知函数()()()lg 10xxf x a ba b =->>>.（1）求()y f x =的定义域；B1D D A1A 1B 1C C（2）在函数()y f x =的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； （3）当,a b 满足什么关系时，()f x 在()1,+∞上恒取正值. 答案：一. B D A C B D B C A B 二. 11.π33712. ⎛ ⎝⎦13.30 14. 23 三. 15. 解：原式可变形为1244325xx y -=•-•+， (2分)即()()212325022x x y x =•-•+≤≤ (4分) 令2xt =，则问题转化为()2135142y t t t =-+≤≤ （6分）将函数配方有()()21131422y t x =-+≤≤ （8分）根据二次函数的区间及最值可知：当3t =，即23x=时，函数取得最小值，最小值为12. （10分） 当1t =，即0x =时，函数取得最大值，最大值为52. （12分） 16. 解：设圆心为()a a 2,-，圆的方程为()()2222r a y a x =++- （2分）则()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-r a a r a a 212212222 （6分）解得1=a ，2=r （10分）因此，所求得圆的方程为()()22122=++-y x （12分） 17. 解：（1）函数的定义域是()()+∞∞-,00, （1分） )()2(2)(x f xx x x x f -=+-=-+-=- )(x f ∴是奇函数 （5分）（2）设[)∞+∈,2,21x x ，且21x x < （6分）则)2(2)()(221121x x x x x f x f +-+=- （7分）（10分）212x x << ，0,02,0212121>>-<-∴x x x x x x （12分）)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即 （13分） 故)(x f 在[)∞，＋2内是增函数 （14分）18. 解:(1)证明：AC BB ABCDAC ABCD BB ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥11平面平面 （3分）在正方形ABCD 中，BD AC ⊥, （5分）DB D B AC 11平面⊥∴ （7分）(2)6131111=••==∆--ABB ABB C ACB B S CB V V 三棱锥三棱锥 （14分） 19.解：每过滤一次可使杂质含量减少13，则杂质含量降为原来的23，那么过滤n 次后杂质含量为221003n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，（2分）结合按市场要求杂质含量不能超过0.1％，则有220.1%1003n ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，即21320n⎛⎫≤⎪⎝⎭， （6分） 则()()lg2lg31lg2n -≤-+， （8分） 故1lg 27.4lg 3lg 2n +≥≈-， （10分）考虑到n N ∈，故8n ≥，即至少要过滤8次才能达到市场要求. （12分）20. 解：（1）由0x xa b ->得1xa b ⎛⎫> ⎪⎝⎭， （2分）由已知1ab>，故0x >， （3分） 即函数()f x 的定义域为()0,+∞. （4分）)2)(()22()(2121212121x x x x x x x x x x --=-+-=（2）设120,10,x x a b >>>>> （5分）1212,,xxxxa ab b ∴><则12xxb b ->-. （6分） 故11220xxxx a b a b->->， （7分）()()1122lg lg x x x x a b a b ∴->- （9分）即()()12f x f x >.()f x ∴在()0,+∞上为增函数. （10分）假设函数()y f x =的图像上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使直线AB 平行于x 轴，即1212,x x y y ≠=，这与()f x 是增函数矛盾.故函数()y f x =的图像上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴. （11分） （3）由（2）知，()f x 在()0,+∞是增函数，()f x ∴在()1,+∞上也是增函数. （12分）∴当()1,x ∈+∞时，()()1f x f >. （13分） ∴只需()10f ≥，即()lg 0a b -≥，即1a b -≥， （15分）1a b ≥+时，()f x 在()1,+∞上恒取正值. （16分）全市平均分估计为80分。
2021学度高一数学上学期期末考试卷含答案
数学试卷第一卷 〔本卷共计40分〕一. 选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分。
每题只有一个正确答案〕。
1．直线3310x y -+=的倾斜角为〔 〕A.030B. 060C. 0120D.01502．如图1，正方体111ABCD AB C D -中，异面直线11BD 与A D 所成角等于〔 〕A 、030B 、045C 、060D 、0903．直线b a 、和平面α，以下推论中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A. b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα B.αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //C.ααα⊂⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a b b a 或// D. b a b a //////⇒⎭⎬⎫αα4．假设012=++ny mx 在x 轴和y 轴上的截距分别是－3和4,那么m 和n 和值分别是〔 〕A. 4, 3 B. －4, 3 C.4, －3 D. －4, －35．几何体的三视图如图2所示，它的表面积是〔 〕 A.24+ B. 22+ C.23+ D.6111主视图侧视图112图26．给出以下关于互不相同的直线n l m ,, 和平面βα, 的四个命题： ①假设不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②假设l m ,是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；③假设m l m l //,//,//,//则βαβα；④假设,,,l m l m A αα⊂⊂⋂=l ∥β，m ∥β，那么α∥β，其中为假命题．．．的是〔 〕A 、① B 、② C 、③ D 、④7．对任意实数k ，圆C ：22(3)(4)13x y -+-=与直线:430l kx y k --+=的位置关系是〔 〕 A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、与k 取值有关8．N M 、分别是三棱锥BCD A -的棱CD AB 、的中点，那么以下各式成立的是〔 〕A. ()BD AC MN +=21 B. ()BD AC MN +<21C.()BD AC MN +>21D. MN 与()BD AC +21无法比较9．半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，那么这个圆柱的全面积是〔 〕A.35Q B.310Q C.95Q D.910Q10 过点〔－4，0〕作直线L 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果|AB|=8， 那么L 的方程为 ( )A 5x +12y+20=0B 5x -12y+20=0C 5x -12y+20=0或x +4=0 D5x+12y+20=0或x+4=0第二卷〔本卷共计60分〕【二】填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕11．空间直角坐标系中，点(3,4,0)A-与点(2,1,6)B-的距离是__________.12. 长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,那么这个长方体的体对角线的长为______.13.与直线3450x y++=关于x轴对称的直线的方程为___________.14.直线1:(3)453;l m x y m++=-直线2:2(5)8l x m y++=.假设1l∥2l,那么m=____.15.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，那么水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)矩形；(3)正方形；(4)正六边形。
【高一】2021年高一上册数学期末试卷(有答案)
【高一】2021年高一上册数学期末试卷（有答案）考生在答题前请认真本注意事项及各题答题要求1.本试卷分为第一卷、第二卷和答题纸，共3页。
满分是120分，考试需要100分钟。
考试结束后，请交回答卷并自行保存试卷。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3.答案必须用0.5mm黑色签字笔写在答题纸指定位置，其他位置的答案无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
一、（每题4分，共48分，请在答题纸相应位置填写正确答案）1.函数的定义域为（）a、（+∞)b、 c.（+∞)d(-∞,)2.的值为（）a、不列颠哥伦比亚省。
3.已知幂函数y＝的图象过点(2，2)，则f(4)的值是( )a、 12b.1c.2d.44.y＝cosxtanx的值域是( )a、（-1,0）∪（0,1）b.[1,1]c.（-1,1）d.[1,0]∪(0,1)5.下列函数中，在区间(0，1)内有零点且单调递增的是（）a、不列颠哥伦比亚省。
6．与函数y＝tan(2x＋π4)的图象不相交的直线是( )a、不列颠哥伦比亚省。
7.在上是增函数，则的取值范围是（）a、不列颠哥伦比亚省。
8.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）a、 b。
c．d．9.如果，，，（）a．b．c．d．10.图中显示了函数f（x）的一些图像，那么以下选项是正确的（）a．b．f(x)＝xcosxc、 f（x）＝x（x－π2）（x－3π2）d.f（x）＝cosxx11.设是上的奇函数，=，当时，x，则的值等于()a、 1b.-1c。
3d。
-三12.已知函数y＝sinx定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的值不可能是( )a、π3b、2π3c、πd、4π3二、题（每小题4分，共计16分，请将正确答案填入答题卡内的相应位置.）13.上函数的最大值和最小值之和为14.化简：（1+）cos=.15.如果是，那么=16.已知函数的图像如图所示，则.a、回答问题（请在答题纸的相应位置写下正确答案，并写下必要的问题解决过程和单词描述。
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2021年高一上学期期末统考数学试题含答案
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.
3、不可以使用计算器.
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.
5、参考公式：球的体积公式，其中是球半径．
锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1．设集合，，则
A．B．C．D．
2．直线在轴上的截距是
A．1 B．C．D．
3．下列说法中错误
．．的是
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．下列函数中，在区间上为增函数的是
A．B．C．D．
5．直线和平行，则实数
A．3 B．C．1 D．
6．若函数是函数且的反函数，其图像经过点，
A C
O
B
P
则
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，三棱锥中，，面 ，垂足为，则点是的
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心 8．已知函数，则 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9. 已知几何体的三视图如右图所示，它的表面积是
A. B. C.
D.
10．设函数和分别是R 上的偶函数和奇函数， 则下列结论恒成立的是 A ．是偶函数
B ．是奇函数
C ．是偶函数
D ．是奇函数
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11．在直角坐标系中，直线的倾斜角 ． 12．若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式 是 ．
13．如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面 直线与所成的角的大小是 ．
14．某同学利用图形计算器对分段函数 作了如下探究：
根据该同学的探究分析可得：当时，函数的零点所在区间为 (填第5行的a 、b )；若函数在R 上为增函数，则实数k 的取值范围是 .
B
A C
D
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）设集合，． （1）若，求实数a 的值； （2）若，求实数a 的值．
16．（本小题满分13分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线. （1）求直线的方程；
（2）求直线关于原点对称的直线方程.
17．（本小题满分13分）如图，已知底角为45 的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为 ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD
有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x,试写出左边部分的面积y 与x 的函数 解析式。
18．（本小题满分13分）如图，正方形的边长为1，正方形所在平面与平 面互相垂直，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
19. （本小题满分14分）定义在R 上的函数,满足对任意,有. （1）判断函数的奇偶性;
（2）如果,,且在上是增函数,试求实数x 的取值范围. 20．（本小题满分14分）集合是由适合以下性质的函数组成：对于任意，，且在上是增函数. （1）试判断及是否在集合中，若不在中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为集合中的函数，不等式是否对任意恒成立，试证明你的结论．
中山市高一年级xx –xx 学年度第一学期期末统一考试
（第18题图）
l F E
D
C B A 。
数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
CDCDB DBBCC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．12．13．
14. ，（前空2分，后空3分）
三、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．解：（1）由得，。
... ......6分
(2 ) 由
因为A=B，所以，代入得... ......9分
这时A={1，4}，故A=B成立，... ......13分
16．解：(1)由解得... ......2分
交点P（-2，2）
直线的斜率为... ......4分
直线的斜率为... ......6分
的方程为，即... ......8分
(2) 直线与x轴、y轴的截距分别为-1与-2
直线关于原点对称的直线与x轴、y轴的截距分别为1与2... ......11分
所求直线方程为，即... ......13分
17．解：过点分别作，，垂足分别是，...2分
因为ABCD 是等腰梯形，底角为，， 所以，... ...4分 又，所以 6分
⑴当点在上时，即时，； ... ...8分 ⑵当点在上时，即时，...10分 ⑶当点在上时，即时， =
... .....12分
所以，函数解析式为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∈+--∈-∈=)7,5(10)7(2
1
]5,2(22]2,0(2122
x x x x x x
y ... .... 13分
18．解. (1)证明：∵ G 、H 分别是DF 、FC 的中点，
∴中，GH ∥CD ... ...1分 ∵CD 平面CDE ， ... ...2分
∴GH ∥平面CDE ... ...3分
(2) 证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ... ...4分 ∴ED ⊥AD ，AD 平面ABCD ... ...5分 ∴ED ⊥平面ABCD ... ...6分
∵BC 平面ABCD ... ...7分
∴ED ⊥BC ... ...8分 又BC ⊥CD ，CD 、DE 相交于D 点， ... ...9分 ∴BC ⊥平面CDE. ... ...10分
（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离等于点F 到平面ABCD 的一半, ...11分
l F E G H
D
C
B
A （第18题图）
即: . ... ... 12分
∴. ... ... 13分
19．解：(1)令x 1=x 2=0, 得f(0)=0; ... ... ... ... ... ...2分 令x 1=x,x 2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x), ... ... ... ... ... ...4分 即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. ... ... ... ... ... ...6分 (2)∵f(4)=1,∴f(8)=f(4)+f(4)=2, ... ... ... ... ... ...7分 ∴原不等式化为f(x-1)<f(8). ... . ... ... ... ...9分 又f(x)在[0,+∞)上是增函数,f(0)=0且f(x)是奇函数,... ... ... ... ...10分 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.因此x-1<8, ... ... ... ... ... ...12分 ∴x<9.∴实数x 的取值范围是(-∞,9). ... ... ... ... ... ...14分
20. 解：（1）当时，，所以. ……………3分 又值域为，所以；
当时为增函数，所以． ……………7分
（2）∵ 212221
11()(2)2(1)46()46()2[46()]222
x x x f x f x f x ++++-+=-+---
∴
对
任
意
不
等
式
总
成
立
.
(14)
分
31966
7CDE
糞
!j 26246 6686 暆•c35091 8913 褓v32690 7FB2 羲26161 6631 昱21612 546C 呬。