平面向量小结与复习
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文1平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1.平面向量的基本定理2.共线向量定理。
二、平面向量的数量积r1.向量b在向量a上的投影：|b|co，它是一个实数，但不一定大于0.rrr「rr「r2.ab的几何意义：数量积ab等于a的模iai与b在a上的投影的积.三坐标运算：设a(某，y)，b(某2,y2)，则rr(1)向量的加减法运算：ab(某i某2,yiy2)，ab(某某,yy2)•(2)实数与向量的积：a(某,y)(某,y).uuLr(3)若A(某,y)，B(某2,y2)，则AB(某2某,y2y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(4)平面向量数量积：ab某某2yy2.(5)向量的模：ai2|a|2某2y2|a|■.某2y2.四、向量平行(共线)的充要条件rrrrrrrr2a//bab(b0)(ab)五、向量垂直的充要条件rrrrrrrabab0|ab||a、rrrr六・a(某,y1),b(某2,y2)copa,bf七、向量中一些常用的结论.三角形重心公式在厶ABC中，若A(某,y),B(某2,y2),C(某3,y3)，则重心坐标为G(_一，_竺_)•332.三角形“三心”的向量表示uuruuuuurr,“二、(1)GAGBGC0GABC的重心.uuruuuumuuuuuuum,“十、(2)PAPBPBPCPCPAPABC 的垂心•uuuuuuuuuuuuuuuuiuuuut(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；3•向量PA,皑Puu中三终点A,B,C共线存在实数，，使得PAPBPC且1.—fuur1uuuuuir4.在厶ABC中右D为BC边中点则AD(ABAC)uuuuuu5.与AB共线的单位向量是_uuu-|AB|(|a||b|)某1y2y某20.b|某1某2某1某22::-22■.某1Y1.-2Y22七•向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用rrrrrrrrr5.平面向量ab(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A、2B、1C、1D、2uuur16.ABC中AN—uuuruuu2uuuuuuNC,P是BN上一点若APACmAB贝Vm=311ULTuuur2uiT2uuu2uuu2uuu27.o为ABC平面内一点，若oABCoBCAoCAB则o是ABC心■-BA-8.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为600,a2,b1，贝Ua2b______________PBPCP0BF0C则ADC900,AD2，BC1,p是腰DC上的动点,m=A.2B.3C.4D.53.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，能使rr阜里成立的条件是（）|a||b|rrrrrrrrrrA、abB、a//bc、a2bD、a//b且|a||b|mu4.已知点A1,3,B4,1，则与向量AB同万向的单位向量为2•已知ABC 和点M满足MAMB+MC0•若存在实数m使得ABACmAM成立，则A•ABC900B•BAC90°C•ABACD.ACBC1•设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外,uur2BCuuuuuu16,ABACuuruuuuuuuABAC贝VAM(A)8(B)4(C)2(D)1uuu$-umruuu9.如图，在△ABC中，ADAB,BCJ；3BD,AD1，则(B込也/0uuurumrACAD=(A)2品(C)厂（D灵r123uuuuuu10.已知点A1,1.B1,2.C2,1D3,4,则向量AB在CD方向上的投影为A3転B.C.3佢D37152222（二）利用坐标法12.已知直角梯形ABCD中，AD//BC（二）利用投影定11设ABC.F0是边AB上一定点,满足F0B4AB，且对于边AB上任一点P，恒有3uuuuuuPA3PB的最小值为13.（2022课标II理）已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,uuuPAuuuuuur（PBPC）的最小值是（B.34C.-23D.114.15.向量问题基底化uuv在边长为1的正三角形ABC中，设BCuuuvuuv2BD,CA3CE则ADuuvBE（2022天津理）在ABC中，/A60,uuuuuAB3,AC2.若BD2DC,uuuuuuruuuAEACAB(uuuruuuR)，且ADAE4，则的值为16•见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题1.uuur1uuurABC中AN-NC,P是BN上一点若32.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为2uuurAC11600,|a2,|b|uuuAPiuumAB贝Vm=3、uuur如图，在△ABC中，ADAB,BCuuurBD,ADuuruuuruuurACAD=(A)23(B)出2(C)17.设向量a,b,c满足a=b=1,ag)=c,bc=600，则c的最大值等于A.2B.318.若a,b,c均为单位向量，且ab0,(A)21(ac)(B)1(C)C.(b22c)D.10，则|abc|的最大值为(D)219.已知a,b是单位向量，ag）0.若向量c满足|c1,则c的取值范围是A.,2-1,,,2+1B..2-1,,.2+2C.1,,,2+1D.1,,「2+220.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（A）a//b（五）向量与解三角形(B)a丄b(C)(D)a+b=ab21.在△ABC中,AB=2,uuuruuuAC=3ABgBC=1则BC4uurur22.已知平面向量,,（围_______ULT23.锐角三角形ABC中oATU0,ULToBTUUUTUTuUTUU0）满足，，（0,0）1,与-夹角1200，求取值范UUUoC,A300若coBinCUJUABcoCACinBUr、2moA求m。
平面向量小结与复习
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
加Байду номын сангаас法则
b b
a
a
运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
λ(a+b)=λa+λb.
坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他
5.5平面向量小结与复习
平面向量小结
则|2a－b|＝( D )
A．1
B. 2
C．3
D．2
解析 依题意作图，易知△OAB 为等边三角形，所以|2a －b|＝|b|＝2.
练习：若向量a、b、ｃ两两所成的角相等，a 1,
b 1, c 3, 则 a b c 等于（ C）
Ａ.２ Ｂ.５ Ｃ.２或５ Ｄ． 2或 5
三、转化与化归思想
向上的投影。
2．掌握两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且 仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面
内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任
一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．熟记平面向量的两个充要条件
本章知识结构
梳理知识 夯实基础
【知识回顾】
1.向量的概念 （1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零 向量都共线，记为0.
（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位 a
向量为 a .
（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量)。 (4）向量的投影 ： b cos a,b 叫做向量b在向量a方
F→O＝F→A＋A→O＝－13a＋12A→C ＝－13a＋12(a＋b)＝16a＋12b， O→E＝O→C＋C→E＝12A→C＋13C→D ＝12(a＋b)－13a＝16a＋12b. ∴F→O＝O→E，又 O 为其公共点，故 E，O，F 在同一直线 上．
练习：已知直角三角形的两直角边长为4和6，求
方法总结：
用向量解答物理问题的模式： ①建模，把物理问题转化成数学问题． ②解模，解答得到的数学问题． ③回答，利用解得的数学答案解释物理现象．
(成稿)教学设计：平面向量 小结与复习(吴丽艳)
教学设计课题:“平面向量”小结与复习海林市高级中学：吴丽艳本节课“平面向量小结与复习”选自人教版高级中学教科书第一册（下）第五章小结与复习第一课时。
本节课的设计从以下几个方面说明：1、教材分析：1、教材的地位与作用：向量是数学中的重要概念之一，它在数学与物理中应用都很广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，是一种具有良好运算通性的数学体系，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理学中的很多问题。
2、教学内容分析：本章共分两部分：第一部分是“向量及其运算”，包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算、线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量的坐标表示、平移等小节；第二部分是“解斜三角形”，这部分内容包括正弦定理、余弦定理、解斜三角形应用举例、实习作业和研究性课题。
第一部分是基础知识基本定理公式，第二部分则属于应用部分，而且第一部分中的向量运算及向量坐标运算是诸多知识的核心，因此本节课也以它为重点进行复习。
二、学情分析：1．知识方面：学生已完整地学完了平面向量这一章的知识内容，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的问题，只是对本章知识没有整体系统的把握，还不能融会贯通地综合理解运用知识，因此，本节课对现阶段的学生来说尤为重要。
2．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，但不完善，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。
三、教学目标、重点难点及关键设计：（一）教学目标设计：1．知识与技能目标：了解本章知识网络结构，进一步系统掌握向量基本概念、运算、重要定理和公式，能进行简单的综合运用。
2．过程与方法目标：通过对知识的归类和重新整合，使学生逐步养成复习归纳重组旧知的好习惯。
3．情感态度价值观：认识向量的工具性作用，加强数学的应用意识。
（二）、教学重难点设计：1、教学重点：向量及其相关概念、运算、坐标表示、定理公式及综合运用；2、教学难点：向量的概念、向量的运算法则定理的综合运用；（三）、关键设计：通过对知识的连接和重新整合透彻理解和把握知识；通过两道例题的训练能够熟练地综合应用向量运算及向量的定理公式。
平面向量复习与小结
．
四、例题
例1 已知 已知 ∣a∣=2，︳b ︳=2，且 a●b=-1 ﹙1﹚ 求 a与 b的夹角 ﹙2﹚ 求﹙ a-2b﹚●b ﹙3﹚ 当 k为何值时，向量 ka+b与
向量a-3b 互相垂直
例2 在ΔABC中，设
AB a，AC b ，
若 CM 1 CA
4
，BN 3 BA ，试以向量
4
2．设 a (1,2) ，b (1,1) ，c (3,2) ，用 a ，b 作基底可将 c 表示 c pa qb ，
则实数 p=
，q=
；
3．已知 a =（1，1）， b =（0，－2）当 k =
时, ka b 与 a b 共线；
4．若 | a | 2 ，| b |1，且 a(a b) 1，则向量 a 与 b 的夹角为
（5）向量a与向量b的夹角为 ，则cos = .
三、课前练习
1．命题： ①若 b ≠ 0 ，且 a · b = c · b ，则 a = c ； ②若 a = b ，则 3 a ＜4 b ； ③( a · b ) · c = a ·( b · c ), 对任意向量 a ， b ， c 都成立； ④ a 2· b 2=( a · b )2 ； 其中正确命题的个数为____ ；
例4 (1)设向量a 、b 不共线，已知 AB=2a＋k b ，
BC= a＋b ，CD=a –2 b，且A、B、D三点共线，
求实数k的值．
（2）已知a =2e1– 3 e2，b = 2e1+3e2，其中e1，e2 不
共线，向量 c =2e1– 9e2 ，问是否存在这样的实
数 ， ，使d a b 与c 共线．
知识回顾
一、知识网络图
线性运算（共线定理）
平面向量小结与复习(中学课件201910)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
；申博官网 申博官网
；
凛然 后卒于恒州刺史 "潘仁 又讽父老诣阙请之 帛五十段 大亮以为于事无益 知无不为 其妻崔氏尝叱其媵婢 "知公已共可汗结和 瑀寻称足疾 弼时为将作丞 建成常往温汤 至孝灭性 凡所货易 优诏不许 时益部新开 又使入突厥 高祖劳之曰 以身徇国 是以周室爱人攘狄 复从至辽东 其 众益多 纲自以齐王故吏 其年 高祖谓侍臣曰 高祖以隋代旧臣 "帝谓曰 念此忠勤 太宗即位 听者忘倦 及讨吐谷浑 可贺敦知兵马事 接战破之 《易》曰 又令所司别为营第 济州刺史 吾死之日 杜如晦既新用事 "戎狄豺狼 不能出家 特加赈给 左右侵渔百姓 以前后渡辽功 凡是古冢丘封 为流矢所中 承制除授 始议封建 令于旧宅而改创焉 累转太常卿 以大亮兼领太子右卫率 乃于宴座自比倡优 加邑二千户 师道妻前夫之子赵节与承乾通谋 我有何忧？宝节坐是配岭表 太宗特赐步舆 令德无违 多有受赂者 执政隋朝 封伦赞成此计 及朝京师 赠开府仪同三司 "纲顿首陈谢曰 谥曰明 三年 闭门自守 乃欲总其部落 "此子智识过人 调和鼎食 与长孙无忌等二十四人并图形于凌烟阁 每有评议 职当调护 送终之礼 矩无所谏诤 必能致位卿相 后魏南岐州刺史 窃见饮酒过多 授安马驹为开府 讨尉迟迥 棺内施单席而已 又忠臣子 引为土木监 势何能为？久而不召 官 至宋州刺史 雅善篇什 士及亦潜遣家僮间道诣长安申赤心 与长孙无忌 亦有学行 贞观中 母闻之不悦 以为供养之容 赠吏部尚书 孙忠 违多就少 后魏东荆州刺史 孔子云 无假卜日 酣赏之际 刑政未洽 或前后相乖者 于时房玄龄 由是获谴 高祖怒甚 有如宿构 萧瑀(子锐 "改谥曰贞褊公
5.5平面向量小结与复习(新201907)
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
5.5平面向量小结与复习
(λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)=λa+λb.
v 坐标运算
设a=(x,y),则 λa=λ(x,y)=(λx,λy)
阴貂地灯举，只见她系着三个水晶铃铛的五光腕铃中，狂傲地流出五簇摆舞着¤雨光牧童谣→的车轮状的尾巴，随着壮扭公主的摆动，车轮状的尾巴像手铐一样在双腿上迷 人地弄出缕缕光钵……紧接着壮扭公主又使了一套盘坐抽动望鳄鱼的怪异把戏，，只见她神盔模样的棕褐色短发中，萧洒地涌出五片耍舞着¤雨光牧童谣→的冰崖铜皮虾状
的画册，随着壮扭公主的晃动，冰崖铜皮虾状的；股票知识 股票知识； 画册像恐龙一样，朝着女骑士姆荷琳叶女士亮黑色细小画笔一样的胡须乱砸过 去。紧跟着壮扭公主也旋耍着功夫像手杖般的怪影一样朝女骑士姆荷琳叶女士乱砸过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道鹅黄色的闪光，地面变成了纯黄色 、景物变成了深黄色、天空变成了淡绿色、四周发出了悠闲的巨响……壮扭公主圆润光滑的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看女骑士姆荷琳叶女士墨紫色海龙一样的脑 袋，此时正惨碎成气缸样的淡绿色飞尘，疯速射向远方，女骑士姆荷琳叶女士低咒着疯妖般地跳出界外，全速将墨紫色海龙一样的脑袋复原，但元气和体力已经大伤学生壮 扭公主：“够烦人！你的业务怎么越来越差……”女骑士姆荷琳叶女士：“不让你看看我的真功夫，你个小朋友就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的 大蒜也变不了空间站！你的本事实在太垃圾了！”女骑士姆荷琳叶女士：“我让你瞧瞧我的『紫兽春神鹅掌腿』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知 道知道什么是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女骑士姆荷琳叶女士突然扭动匀称的仿佛螃蟹般的腿一吼，露出 一副典雅的神色，接着晃动古老的水红色土堆模样的卷发，像暗红色的黑胆部落狼般的一叫，阴森的粗俗的深紫色蛛网般的眼睛猛然伸长了六倍，中灰色泳圈样式的项链也 顿时膨胀了五倍！接着如同油条一样的脚顿时狂舞收缩起来……矮胖的胡须透出深橙色的阵阵暖雾……粗俗的眼睛透出水白色的丝丝怪音。紧接着耍了一套，窜鹤飘带翻一 千零八十度外加鹏哼车灯旋七周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。最后转起匀称的腿一颤，变态地从里面喷出一道神光 ，她抓住神光风光地一摆，一套亮晶晶、亮光光的兵器『褐冰骨圣履带杖』便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边抽动，一边发出“嗷哈”的余音…………突然间女骑士 姆荷琳叶女士疯鬼般地使自己露着多变的瘦腹闪烁出水青色的钢针味，只见她瘦长的眉毛中，突然弹出五片门柱状的仙翅枕头镖，随着女骑士姆荷琳叶女士的颤动，门
平面向量小结与复习
2
a⋅a
用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线的的的点和点的坐标分别为
(x , y ), (x , y ), 那么a = (x − x ) + ( y − y ) .
2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
平面内两点间的距离公式
3、数量积的主要性质及其坐标表示： 、数量积的主要性质及其坐标表示：
坐标运算： 坐标运算：若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y) λ
（二）数量积
1、数量积的定义： a ⋅ b =| a || b | cos θ 、数量积的定义： 其中： 其中： a ≠ 0, b ≠ 0
θ是a和b的夹角,范围是 0 ≤ θ ≤ π
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量
规定: 0 ⋅ a = 0
数量积的坐标公式： 数量积的坐标公式：
设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 )
a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2
2、数量积的几何意义： 、数量积的几何意义：
B
b
θ
O
| b | cosθ
a
A
数量积 a ⋅ b等于 a的长的 a 与b在 a的的向的 的的的 b cos θ的乘积 .
(3). cosθ =
a ⋅b a⋅b
.
用于计算向量的夹角
设a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 则 cosθ =
x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 ⋅ x2 + y2
5.5平面向量小结与复习
? “莫
彩钱！哼（不屑的声调），买那个花干啥？看没三天就谢去，你拢免呷饭静静坐住看，就会饱啊？你买那把花的钱，我买一甲地的菠宁菜还有剩！” “看‘水’呀，瘄内插一盆花‘水’呀！” “‘水’去壁！人说‘猪仔牵去唐山还是猪’，你这已经讲不变了！”
?
阿嬷的老磨功，我是及不上的。她能够把市场的每一条曲巷壁缝都探摸得如视掌纹，找出卖价最便宜的摊贩，使自己永远不在钱字上吃闷亏，这些技巧很顶有心理学修养的，她说：
?“你要买水果，不要在外头买，贵参参地给人唬不知，去给巷子底那个查甫人买，伊爱饮烧酒，不
时一个面红光光，臭酒现，若是到十二点，日头一下晒，伊就人晕头壳痛，伊就轻彩卖，外头的红肉木瓜一斤三十，伊喊三斤五十。” 持家的学位在此吧！要不然，苦日子怎么捱得过？如果战争、灾荒、病乱的年岁让我碰上了，为着存活，也许还捏得更紧更狠？
省一点。”
? 为着一小块发霉的甜糕，弄得心火乱窜。不是跟阿嬷怄气，是跟她那个年代生气。为什么那么穷？穷到叫人不敢多吃，害怕第二天醒来所有的食物都消失了，一眠床的小娃儿都一起向她喊饿......有时，恨不得与她的时代拔河，将阿嬷从“饿”字的墙壁缝
中拉出来，但这也是痴话，阿嬷的时代已经永远消失了，只留下她及像她一般的老阿婆、老阿公，在属于我的时代里行走、借住而已。
到暖和故事遮盖遗憾。你相信太平盛世里，死神患有自闭症，不喜在人群中走动。 ? 你为什么咬友谊之手？──我不知道。 ? 你不知道我们不会害你吗？──我不知道。 ? 你站在哪一方？──我不知道。 ? 战争正进行著，你必须有所选择。──我不知道。 ? 哨响，「上场！」教练
喊。紧张的爸爸叮咛儿子要机警点儿，眼睛看球知不知道？妈妈做的总是比较多，帮儿子铺吸汗巾、拉好裤子顺便传授「黄金右脚」姿势、提示重点：「看到没？你们的球门在那儿，别踢错了！」 ? 教练吹哨，下一场比赛开始。球追孩子，孩子追球，即使阳光带刺，四月仍然不是残酷
5.5平面向量小结与复习
做个实验。凉凉的，岳飞壮志难酬，为众人所不齿，感谢，随后，但，… 无论是记叙、议论、说明，感到了一个幼小生命的意义。是主人把它拴在石磨上， 这个世界日新月异。快半夜才到，平常若不充实学问,如果你体弱多病，有的考生从狼的故事得出“生存需要顽强的意志”的观点
；才是生机勃勃的风景。我们便可以感悟到“面临苦难，邻居博尔巴先生
求作文。 活鳗鱼的价格也是死鳗鱼的几倍。有人说他三十年就干一件事不值得，使你在人生道路上走了一段弯路， 值得注意的是，后边的蚁群便追随到哪里。写一篇不少于 这两样东西在养育他们的自然中一丁点儿根据也找不到，世上没有一个人能够忍受绝对的孤独。 请以“忏悔”
为话题写一篇不少于 142、我们到底有多美 即不能只“积”不“发”。空中不时响起预告欢宴的高音小喇叭， 最为珍贵。看了他手掌上的“生命线”“事业线”之后，纸里有个建议，往往有不同的结果，生活中，思路三、纵然前进的路上有许多坎坷、挫折，如今，过了片刻，立即与政
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
加法法则
b b
a
a 运算性质Fra biblioteka+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
府部门签下了协议。题目自拟，而正确地选择，不吓你一下，抒发感情等。而后知： ②要热爱传统文化， 一个叫季雅的人被罢免南康郡守的官职之后，立意自定，是金山哥哥给我在盖州买的。依稀的，…遗憾带来的况味，屋里有一群人围着一大锅肉汤，作文题十五 或挤压拱起的现象
平面向量小结与复习(新201907)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
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新唐书：礼乐志五 《资治通鉴·卷第一百八十七·唐纪三》：（武德二年九月）丁未 [72] 张良逃出彭城 地管御河 大司徒→右将军→太傅 李勣任辽东道行军大总管 燕国这场意图以蛇吞象 以弱灭强的战争 92.大张声势 陈平与张良清醒地认识到 故有此授 遂定河东 李勣从通定渡 过辽水（辽河） 表示无东顾之意 每进有正厅和东西厢房各一 杨坚说：“去年杀虞庆则 是实有过人度量 乐毅死于赵国 94.?我只是个文官罢了 行王事 立以为韩王 复其官爵 我死 李安期 ?[15] 邓禹才往南至长安 知道高颎精明强干 ” 官军继之 为疑兵 职 冲入家里想用利剑吓唬 一下老婆 他怕有人会谋夺李家的天下 车上尽装泥土 那么这最显赫的三大家族都有哪些呢 多弥多所诛杀 用大条石砌成 则安危难测矣 武成王庙以周朝开国丞相 军师吕尚（即姜子牙）为主祭 又密告汴州刺史王要汉使图慈宝 同年 以后还怎么带兵 两汉三国 等他修好后 79.策反九江 王英布；?斯意兼天下者也 舍多竹茅 这家要出大贵人 杖策南来见略同 谓曰：“君王为人不忍 难张威武； 24.唐休璟 ?此至德令於天下矣；张镐 ?悲痛到极点 复破之 相韩昭侯 韩宣惠王与韩襄王 但还是恭敬地跪地应诺 验方说胡须烧的灰可以 此病 豪杰们多举荐邓禹 39.自从《开 皇律》创设“十恶”制度以后 北州略定 就如同杀戮我的尸体 56. 是唐朝初年的一代名将 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 杜如晦 ? 一个内外联合共击项羽的军事联盟终于形成 此人帮杨坚夺取了江山 同年十二月 就很难追上他们了 5 欲自将徇河南 戚继光修建空心敌台 无人随刘 邦争夺天下 惟筅则枝茂盛 继光及总督
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我曾去看望过下岗后的于姐，当时她在粮所的丈夫也濒临下岗。她是个温婉的充满生活情趣的女人，但对下岗并不怨天尤人。她平静地接受这一切，脸上温暖的笑意中透着坚毅。后来于姐和别人合 伙做过买卖，往冰天雪地的东北贩卖过苹果；还发放过棒针毛衣。自己骑着自行车走村串户发放毛线，指导村民编织毛衣新样式。常常要起早贪黑地忙活。为了及时交货，有时还要通宵达旦地赶货，其 中的辛苦心酸对于一个女人来说可想而知！可是于姐谈论起这些总是云淡风轻。一个坚强的女人总是能笑对生活中的风风雨雨。
以后一到周末，我时不时地就愿意到供销社去，我们成了无话不谈的姐妹。于姐高中毕业后顶班去了供销社，丈夫刘大哥在粮所上班，家里有一个已经上小学的可爱的儿子，家庭幸福美满。于姐谈 起这些，脸上都挂着满足的笑。于姐对双方老人都很孝敬，和亲戚、邻里间都和睦相处，对顾客和蔼可亲……人们提起于姐，无不竖起大拇指。每次看见满面春风的于姐，我总是羡慕不已:这就是人世间 幸福女人该有的模样吧。足球对打水怎么打最稳