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第14章第5节曲面的切平面与法线ppt课件

代入方程 z=u)
,得习
于是可以将看成x,y 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。
因此需分别计算对 xy 的偏导数。
§14.5. 曲面的切平面与法线
将
分别对求导，注意到为
的函数按隐函数求导法则有
解方程组，得 9
§14.5. 曲面的切平面与法线于是曲面在点的切平面方程为
例 2 证明对任意常数
，球面
面
是正交的。
与锥
12
证明球面锥面
§14.5. 曲面的切平面与法线
的法线方向数为即
的法线方向数为
在两曲面交线上的任一点
处，两法向量的内积
因
面正交。
在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥 13
§14.5. 曲面的切平面与法线
解
椭球面在给定点的切平面法向量为
切平面方程为法线方程为
§14.5. 曲面的切平面与法线
1.若曲面方程为
过曲面上点
任意作一条在曲面上的
曲线，(如图) 设其方程为
显然有
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在上式两端对求导，得
1
§14.5. 曲面的切平面与法线 2
§14.5. 曲面的切平面与法线
在点（设点对应于参数
）有
由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。
间的夹角，那末在
点的法线与
轴正向之
点的法线方向余弦为
6
§14.5.曲面的切平面与法线
2.若曲面方程为 ()
容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在( ) ( 这里人 ? ) 点的切平面方程为

平面曲线的切线与法线

由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
一、平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F( x, y) 0; 条件：P0( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y(x) ( 或 x x( y) ) ;
L 在 P0 处的切线： y y0 Fx (P0 ) Fy (P0 ) ( x x0 )
论( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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的条件. 容易算出 ( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为 15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
若 P0( x0, y0 ) ( x(t0 ), y(t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为
y y0
y(t0 ) x(t0 )
(
x

x0
),
或
x x0 y y0 . x(t0 ) y(t0 )
下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0

平面曲线的切线与法线-PPT课件

或 x x F ( P )( F P ) ( y y ) .
0 y 0 x 0 0
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F ( P ) ,( F P ) ) ( 0 , 0 ) 时 , 就有总之, 当 ( x 0 y 0
切线方程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 ; 1 ) ( x 0 0 y 0 0 法线方程 :F ( P ) ( x x ) F ( P ) ( y y ) 0 . y 0 0 x 0 0 法向量 :n (F ( P ) ,F ( P ) ) ; x 0 y 0
令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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x ys in (x y ) 0
处的雅可比矩阵:
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FFF xy z 6 81 0 x y z 2 . G xy z 6 8 1 0 P P xG yG z 0 0
由此得到所需的雅可比行列式:
Jxy(P 0)
J P ) y z( 0
F (, x y ,) z 0 , L : G (, x y ,) z 0 . ( 4 )
( x ,,) y z L ; F , G 在点 P 设P 近旁具有连续的 0 0 0 0 0
一阶偏导数, 且
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( J , J , J ) ( 0 , 0 , 0 ) , x y y z z x P

平面与曲线的切线与法线

平面与曲线的切线与法线切线与法线是微积分中的重要概念，在平面与曲线的研究中扮演着重要角色。

切线与法线不仅涉及到数学领域，也与物理、工程等多个学科有关。

本文将介绍切线和法线的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、切线的定义和性质切线是曲线在某一点上与该点切于一点的直线。

为了更好地理解切线，我们需要先了解斜率的概念。

斜率是曲线在某一点上的瞬时变化率，用于描述曲线在该点的陡峭程度。

切线的性质：1. 切线与曲线相切的点都在曲线上；2. 切线与曲线仅有一个公共点；3. 切线与曲线在该点上的斜率相同。

二、法线的定义和性质法线是与切线垂直的直线，它与切线构成了曲线上的两个重要方向。

在物理学中，法线也被用于描述物体表面的垂直方向，它垂直于物体表面，并指向物体的内部。

法线的性质：1. 法线与曲线相交于相切点；2. 法线与曲线在该点上的斜率互为相反数；3. 法线与切线的乘积等于-1。

三、切线和法线的应用1. 曲线的切线可以用于求曲线在某一点的斜率，从而得到该点的瞬时变化率。

这在物理学中具有很大的应用，例如在运动学中，我们可以利用切线的斜率求解物体在某一时刻的速度。

2. 切线还可以用于求解曲线的近似值。

通过在某一点上绘制切线，我们可以利用切线来逼近曲线的形状，并对曲线的性质进行研究。

3. 法线在工程领域中也有广泛的应用。

例如在建筑工程中，通过测量物体表面的法线方向，可以确保建筑物的墙体垂直。

4. 切线和法线的概念在计算机图形学中也被广泛应用。

通过计算曲线在某一点的切线向量，可以实现曲线的平滑插值，并绘制出光滑的曲线。

总结：切线和法线是平面与曲线研究中的重要概念，掌握了它们的定义、性质和应用，对于理解和应用微积分的知识具有重要意义。

在实际问题中，我们可以利用切线求解曲线的斜率和变化率，通过法线来描述曲线的垂直方向。

切线和法线的应用涉及到多个学科领域，如物理学、工程学和计算机科学等，具有广泛的实际意义。

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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
平面曲线的切线与法线
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比