数学思想方法专题讲解第二讲降次法
数学思想方法专题讲解降次法
数学思想方法专题讲解降次法Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】考点二：降次法降次法：解时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：1．已知2=1-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
2．已知2330x x +-=，求代数式325310x x x ++-的值。
3．已知2310-+=x x ，求代数式322372009x x x --+的值。
4．已知210a a +-=，求代数式4322343a a a a +--+的值.（二）与方程的解有关的降次：1．已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值。
2．已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式42110m m -+的值。
3．已知m 是方程25350--=x x 的一个根，求代数式22152525----m m m m 的值。
4．已知a 是方程2200910-+=x x 一个根，求22200920081-++a a a 的值。
（三）先变形，后降次：1．（处理根号）已知：x =，求代数式4323652x x x x --++的值。
2．（处理代数式）若2240a a --=， 求代数式()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦的值。
（四）降次法解一元二次方程：1．已知()()22222230a b a b +-+-=，求22a b +的值。
2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）（1）224325440()()x x x ---+= （2）22142212()()()x x x +-=-+。
数学思想方法专题讲解第二讲---降次法(最新整理)
考点二：降次法降次法：解数学题时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：1．已知，求代数式的值。
2=1-+x x 3223++x x 2．已知，求代数式的值。
2330x x +-=325310x x x ++-3．已知，求代数式的值。
2310-+=x x 322372009x x x --+4．已知，求代数式的值.210a a +-=4322343a a a a +--+（二）与方程的解有关的降次：1．已知是方程的一个根，求的值。
m 2250x x +-=32259m m m +--2．已知是方程的根，求代数式的值。
m 2310x x -+=42110m m -+3．已知是方程的一个根，求代数式的值。
m 25350--=x x 22152525----m m m m4．已知是方程一个根，求的值。
a 2200910-+=x x 22200920081-++a a a （三）先变形，后降次：1．（处理根号）已知：，求代数式的值。
x =4323652x x x x --++2．（处理代数式）若， 求代数式的值。
2240a a --=()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦（四）降次法解一元二次方程：1．已知，求的值。
()()22222230a b a b +-+-=22a b +2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）（1） （2）224325440()()x x x ---+=22142212()()()x x x +-=-+走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。
这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
21.2降次——因式分解解一元二次方程
21.2降次——因式分解解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可； 方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为210 4.9．x x你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P45练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
降次-解一元二次方程课件
1、复习巩固所学内容 2、 P 第 3题 17
2 2
解： (1)3 x 2 3,3 x 2 3
5 1 x1 , x2 3 3
降次，化成两个一 元一次方程
(2) x 2 3
2
x 2 3, x 2 3 x1 3 2, x2 3 2
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法。
x n
2
p p 0
x n= p
xn p
配方是为了降次，把一个一元二次 方程转化为两个一元一次方程。
理一理
例1: 用配方法解方程
(1) x 8x 1 0 (2)2 x 6x 3 0;
2 2
解:
2
(1) x 8x 1 0
2
x 8x 42 1 4
(1)
2
2
x px 共同点：
(4)
2
p 2 ( ) =( 2
x
p 2 ) 2
观察(1)(2)看 所填的常数 与一次项系 数之间有什 么关系?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方;
右边:所填常数等于一次项系数一半。
(1) x 49 0;(2)49x 25 2 2 (3)2x 6;(4)3x 15 0
x 3 2 2 x 3 2 ____________ ，________________。 1
x n
2
p
降次， 转化
xn p
xn p
n、p是常数，p 0
练一练： 解下列方程:
(1) 3 x 2 9; (2) x 4 x 4 3
数学思想方法专题讲解第二讲---降次法
考点二：降次法
降次法：解时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：
1．已知2=1-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
2．已知2330x x +-=，求代数式325310x x x ++-的值。
3．已知2310-+=x x ，求代数式322372009x x x --+的值。
4．已知210a a +-=，求代数式4322343a a a a +--+的值.
（二）与方程的解有关的降次：
1．已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值。
2．已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式42110m m -+的值。
3．已知m 是方程25350--=x x 的一个根，求代数式22152525--
--m m m m 的值。
4．已知a 是方程2200910-+=x x 一个根，求22200920081
-+
+a a a 的值。
（三）先变形，后降次：
1．（处理根号）已知：x =
，求代数式4323652x x x x --++的值。
2．（处理代数式）若2240a a --=， 求代数式()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦
的值。
（四）降次法解一元二次方程：
1．已知()()22222230a b
a b +-+-=，求22a b +的值。
2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）
（1）224325440()()x x x ---+= （2）22142212()()()x x x +-=-+。
降次--解一元二次方程说课课件
四、说过程
直接开平方法和配方法
说
过
公式法
程
因式分解法
直接开平方法解一元二次方程
和黎明 老师
说 课 流 程
（一）创设情境、提出问题 (二) 问题拓展、发展思维 (三) 共性探究、抽象概括 （四）实践新知、反馈调控 （五）反思评价、发展提高 （六）分层作业，拓展提高
（一）创设情境、提出问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面。你能算出盒子的棱长吗？
交流得出:
如果方程能化 x 2 p或 (mx n)2 p ( p 0) 的形式，
那么可得
x 或p mx n . p
这种直接开平方法解一元二次方程的本质都是“降次”.
设计意图：通过学生自己的观察、思考、归纳；从而 发现问题，有助于学生对直接开平方法应用的理解。
（四）实践新知、反馈调控.
问题5：以上三个方程在形式上有什么共同点？
结论（1）方程等号的左边是一个完全平方式， 右边是一个非负常数;
（2）这类方程都可以表示为 x2 p( p 0) 或 (mx n)2 p ( p 0) 的形式.
(三)共性探究、抽象概括
x2 25…① (2x 1)2 9 …② x2 6x 9 2 …③ 问题6：由问题5的结论，谈谈此类方程解法的特点.
解下列方程
① 2x2 8 0 ； ② 9x2 5 3 ；
③ ( x 6)2 9 0； ④ 3( x 1) 2 6 0；
⑤ x 2 4x 4 5； ⑥ 9x2 6x 1 4.
设计意图：通过这一组练习，加深学生对直接开平方 法的应用和掌握，同时深化对直接开平方解法方程的 理解。
③
第二十二章第2节降次——解一元二次方程(一)(1)
二.知识要点：
1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．
2.配方的原理及过程
原理：完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
过程：以方程2x2－3x－1＝0为例．
第一步：二次项系数化为1，移项得x2－x＝，即x2－2×x×＝；
（2）计算b2－4ac的值；
（3）若b2－4ac≥0，则代入求根公式求解．
6.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
（1）当b2－4ac＞0时，方程有实数根： ；
（2）当b2－4ac＝0时，方程有实数根：x1＝x2＝；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
三.重点难点：
本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．
x＝＝＝±，
x1＝＋，x2＝－．
评析：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；②求出b2－4ac的值；③若b2－4ac≥0，则把a、b、c及b2－4ac的值代入一元二次方程的求根公式x＝，求出x1、x2，若b2－4ac＜0，则方程没有实数根．
例4.不解方程判断下列方程根的情况．
第二步：方程两边同时加上（）2，x2－2×x×＋（）2＝＋（）2．
第三步：完成配方，（x－）2＝．
通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．
3.用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方．
降次——解一元二次方程的教案.
22.2降次——解一元二次方程（教师用）一、教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．二、教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．三、重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．四、教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？CQA老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1x2=可以验证，p2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2所以PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±即方程的两根为t1例题示范一：变式1：解方程x-25=0变式2：解方程4x-100=0变式3：解方程4x-7=0变式4：解方程(2x-1)2-25=0总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。
降次——解一元二次方程
降次——解一元二次方程教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排3课时教学过程设计第一课时一、复习引入请同学们解下列方程：（1）x2=4 （2）(x+3)2=9找两个学生回答这两个方程的解。
师总结强调：象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。
（2）对于形如“(x+a) 2=b (b ≥0)”型的方程，只要把x+a 看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b ≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
（3）在对方程(x+3) 2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种数学方法 此引入教师总结的要详细一点，这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性的认识，并且是对学生的一种提醒。
这两个方程也是以前学过的内容，根据平方根的知识就可以解决，这里要说明是一元二次方程的特殊形式。
二、新课讲解下面我们来看一个实际问题：问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生共同完成此题，教师要引导学生依据已有的知识列出方程，再比较引言中的例题解此方程。
分解降次法
分解降次法
分解降次法呀，这可真是个挺有趣的数学小妙招呢。
你知道吗，在数学的世界里，有些式子看起来超级复杂，就像一团乱麻似的。
比如说那些高次的方程，看着就头疼。
这时候分解降次法就像一个小救星一样出现啦。
就好比你面前有个大怪兽，这个大怪兽就是那个复杂的高次式子。
分解降次法呢，就像是有魔法的宝剑，把这个大怪兽一点点分解成小怪兽。
比如说，一个二次方程，我们可以把它分解成两个一次方程。
这就像是把一个大麻烦分成了两个小麻烦，而小麻烦总是更容易解决的嘛。
我们可以把这个过程想象成拆礼物。
那个复杂的式子就是一个包装得很严实的大礼物，我们通过分解降次法，一层一层地剥开它的包装纸，最后看到里面简单的小零件。
这感觉可太酷啦。
而且呀，这种方法还很实用呢。
在生活中也能找到类似的感觉哦。
比如说你要整理一屋子乱七八糟的东西，你不会一下子去对付这一屋子的混乱，而是先把东西分成几类，再分别整理。
这和分解降次法是不是有点像呢？
在学习分解降次法的时候，可别觉得它很枯燥哦。
你就把它当成是一场小冒险，你是那个勇敢的探险家，去探索如何把那些复杂的式子变得简单。
有时候可能会遇到一点小挫折，就像在冒险中遇到了小陷阱，但是只要坚持一下，就会发现其实很简单的啦。
我还想起我刚开始学这个方法的时候呢，那真是一头雾水，就
像走进了一个大雾弥漫的森林里，根本找不到方向。
但是后来慢慢地理解了，就像是突然雾散了，看到了眼前美丽的风景一样。
所以呀，大家要是在学这个方法的时候遇到困难，可不要轻易放弃哦，它其实是很有趣又很有用的呢。
降次——一元二次方程的解法课件(45页)
一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二 次方程，其步骤是：
（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为
x2 c . a
（2）根据平方根的意义，可知 当a、c异号时， c 0,方程的根是 a
c
c
x1
a , x2
; a
当a、c同号时， c 0,方程没有实数根；
a
当c
0时，
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得 可得
x 1 4 x 1 4
所以，原方程的根是
或x 1 4
x1 3, x2 5.
上面这种解法中，实质上 是把一个一元二次方程
“降次”，转化为两个一 元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
就直接因式分解，否则移项后先化成一 般式再因式分解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x;
(3) x2+9=-6x ;
(5)
x2 4
9
0
(2) (x -2)(2x -3)=6; (4) 9x2=(x-1)2
例2 解方程x2=2√2x－2 解 移项，得 x2 －43;(√2)2=0. ∴(x －√2)2=0, ∴x1=x2=√2
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=
降次积分法
降次积分法
降次积分法是一种数学优化算法，是一种经典的非线性最优化算法。
它可以将一般问题转换为一个二次型优化问题，然后通过求解此
二次型最优化问题来求解原始问题。
降次积分法通常在拟牛顿法或共
轭梯度法较慢时使用，因为它已被证明比其他迭代方法更快。
降次积分法的主要特点是，它不直接求解最优解，而是根据可用
的上界函数和下界函数，使用一系列的积分来求解原始问题的最优解。
首先，根据最大次数K，将最优化问题分割为子问题。
这些子问题
将用于寻找最优值。
其次，假设K次，我们可以对原始数学模型添加一个上界函数和
一个下界函数，使原始数学模型属于一个更精确的模型。
然后，根据
上界函数和下界函数可以定义K个二次子问题。
接下来，根据K个二次子问题和它们之间的关系，我们可以将原
始问题的运算量分解为若干个积分。
这些积分可以通过使用线性规划
算法，如梯度下降法，进行计算，并得到解决最优化问题的最优解。
最后，根据求解的最优解和最大次数K，可以恢复出最优解。
总的来说，降次积分法是一种高效的最优化算法，具有较快的计
算速度。
它的主要优势在于，无论对于对偶问题，还是导数比较困难
的情况，都可以有效地求解，同时不受局部最优性的影响，因此可以
获得更好的最优化效果。
教案：22.2降次——解一元二次方程(2)
22.2降次——解一元二次方程（2）配方法南通市观河中学 初二备课组一、教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
二、教学目标知识技能：探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考：（1）在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
（2）渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度：继续体会由未知向已知转化的思想方法．三、教学重点、难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式.四、教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容五、 教学过程（一）复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=7老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】 教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．（二）探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。
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考点二：降次法
降次法：解数学题时,把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
(一)直接代入降次:
１。
已知2=1-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
2。
已知2330x x +-=,求代数式325310x x x ++-的值.
3．已知2310-+=x x ，求代数式322372009x x x --+的值.
4。
已知210a a +-=,求代数式4322343a a a a +--+的值。
（二)与方程的解有关的降次：
1．已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.
２．已知m 是方程2310x x -+=的根,求代数式42110m m -+的值。
3．已知m 是方程25350--=x x 的一个根,求代数式22152525--
--m m m m 的值。
４。
已知a 是方程2200910-+=x x 一个根，求22200920081
-+
+a a a 的值。
(三)先变形，后降次：
１．（处理根号)已知:x =
,求代数式4323652x x x x --++的值。
2.（处理代数式）若2240a a --=, 求代数式()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦
的值.
(四)降次法解一元二次方程:
1．已知()()22222230a b
a b +-+-=,求22a b +的值。
2.用适当的方法解下列方程(这里也有降次哦）
(1）224325440()()x x x ---+= (2)22142212()()()x x x +-=-+ﻫ。