2.3内积空间中的正交和投影

x x0 y
则称 x0 是 x 在 M 上的正交投影，上式也称作 x 的正交 分解。
定理 2.3.5 （正交投影的唯一性） 设 M 为内积空间 X 的线性 子空间， x X ，若 x 在 M 上有正交投影，则该投影是唯一的。
引理 2.3.6 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子空间， x X ，定义 x 到 M 的距离为

M x x X , x M

定理 2.3.3（勾股定理）若 x1 , x2 ,, xn 为内积 空间 X 中彼此正交的矢量组，则有
n 2 n
x
k 1
k
xk
k 1
2
2.3.2 正交投影 定义 2.3.4（正交投影）设 M 为内积空间 X 的线 性子空间， x X ，ห้องสมุดไป่ตู้果 x0 M ， y M ，使得
d x, M inf x y
yM
则必存在 x0 M ，使得
d x, M x x0
引理 2.3.7 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子 空间， x M ， x0 M ，使得
x x0 d x, M
则有 x x0 M
定理 2.3.8 设 M 是希尔伯特空间 X 的线性闭子空间， 则 X 中的元素 x 在 M 中存在唯一的正交投影 x0 ，即有
M 与 N 正交，记作 M N ；
⑷ 设 X 为线性空间， M , N 是 X 的两个子空间， 且 M N 。若对于某个 x X 可唯一地表示成
x y z，
yM ，
zN
则称 X 为 M , N 的正交和，并表示成 X M N 。
定 义 2.3.2 （ 正 交 补 ） 设 X 为 内 积 空 间 ， M X ，称 X 中所有与 M 正交的矢量组成之集合 为 M 的正交补，记作 M ，即
x x0 y ， x0 M ， y M

2.3内积空间中的正交和投影
2.3.1正交性
定义 2.3.1（正交性） 设 X 为内积空间， x, y X ， M , N X ， ⑴ 若 x, y 0 ，则称
x 与 y 正交，记作
x y；
⑵ 若 y M 都有 x, y 0 ，则称 x 与 M 正交，记作 x M ；
⑶ 若对 x M 和 y N 都有 x, y 0 ，则称