第2章习题答案

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第 2 章 谓词逻辑
若 F(x，y)表示示“x＝y”，则∃x"y(F(x，y)→F(y，x))⇔∃x"y((x＝y)→( y＝x))⇔T。 若 F(x，y)表示示“x＞y”，则∃x"y(F(x，y)→F(y，x))⇔∃x"y((x＞y)→( y＞x))⇔F。 所以，∃x"y(F(x，y)→F(y，x)) 为可满足足式。 9.设个体域为 A＝{a，b，c}，消去公式"xP(x)∧∃xQ(x)中的量词。 解 "xP(x)∧∃xQ(x)⇔(P(a)∧P(b)∧P(c))∧(Q(a)∨Q(b)∨Q(c))。 10.给定解释 I 如下： (1) 个体域为 D＝{－2，3，6}； (2) F(x)：x≤3，G(x)：x＞5，R(x)：x≤7。 在解释 I 下，求下列各式的真值： (1)"x(F(x)∧G(x))。 (2)"x(R(x)→F(x))∨G(5) 。 (3)∃x(F(x)∨G(x))。 解 (1)"x(F(x)∧G(x))⇔(F(－2)∧G(－2))∧(F(3)∧G(3))∧(F(6)∧G(6))
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第 2 章 谓词逻辑
(2) 若 xy≠0，则 x≠0 和 y≠0。 (3) 若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0。 (4) 若 x≤y 和 x≥y，则 x＝y。 解 (1) 符号化为："y(E(1，y)→"x P(x，y，x))。 (2) 符号化为："x"y(¬P(x，y，0)→(¬E(x，0)∧¬E(0，y)))。 (3) 符号化为："x"y(¬P(x，y，0)→(E(x，0)∧E(0，y)))。 (4) 符号化为："x"y(((E(x，y)∨G(y，x))∧((E(x，y)∨G(x，y)))→ E(x，y))。 3.设个体域为自自然数集 N，令 P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x，y)：x 整除 y。将 下列各式译成自自然语言言： (1)∃x(E(x)∧D(x，6))。 (2) "x(O(x)→"y(P(x)→¬D(x，y))) 。 (3)"x(¬E(x)→¬D(2，x))。 (4) "x(E(x)→"y(D(x，y)→E(y))) 。 解 (1)存在 x，x 是偶数，且 x 整除 6。 (2)对任意 x，如果 x 是奇数，则对任意 y，若 y 是素数，则 x 不整除 y。 (3)对任意 x，如果 x 不是偶数，则 2 不整除 x。 (4)对任意 x，如果 x 是偶数，则对任意 y，若 x 整除 y，则 y 是偶数。 4.指出下列公式中量词的辖域，并指出个体变元是约束变元还是自自由变元： (1)"x(P(x)∧∃xQ(x))∨"x(P(x)→Q(x))。 (2)"x(P(x，y)∧∃yQ(y))∧("xR(x)→Q(x))。 (3)"x(P(x，y)∨Q(z))∧∃y(R(x，y)→ "zQ(z))。 解 (1) 在公式"x(P(x)∧∃xQ(x))∨("x(P(x)→Q(x))中，第一一次出现的"x 的辖域为 P(x)∧∃xQ(x)，∃x 的辖 域为 Q(x)，而而第二二次出现的"x 的辖域为 P(x)→Q(x)。公式中只出现了变元 x，所有 x 都是约束变元。 (2) 在公式"x(P(x，y)∧∃yQ(y))∧("xR(x)→Q(x))中，第一一次出现的"x 的辖域为 P(x，y)∧∃yQ(y)，而而第 二二次出现的"x 的辖域为 R(x)，∃y 的辖域为 Q(y)。P(x，y)中的 y 是自自由变元，x 是约束变元。Q(y)中的 y 是 约束变元。R(x)中的 x 是约束变元，而而 Q(x)中的 x 是自自由变元。 (3) 在公式"x(P(x，y)∨Q(z))∧∃y(R(x，y)→ "zQ(z))，"x 的辖域为 P(x，y)∨Q(z)，∃y 的辖域为 R(x， y)→"zQ(z)，"z 的辖域为 Q(z)。公式中第一一次出现的 x 是约束变元，第二二次出现的 x 是自自由变元，第一一次 出现的 y 和 z 都是自自由变元，而而第二二次出现的 y 和 z 都是约束变元。 5.对公式"x(P(x，y)∧∃yQ(y)∧M(x，y))∧("xR(x)→Q(x))应用用换名规则，使每个个体变元在公式中只以 一一种形式出现(即约束出现或自自由出现)。 解 "x(P(x，y)∧∃yQ(y)∧M(x，y))∧("xR(x)→Q(x))
⇔"x(a－x＜a) ⇔"x(0－x＜0) ⇔"x(0＜x) ⇔F (2)"x"y(¬F(f(x，y)，x))⇔"x"y(¬(f(x，y)＜x))
⇔"x"y(¬(x－y＜x)) ⇔"x"y(¬(0＜y)) ⇔"x"y(y≤0) ⇔F (3) "x"y"z(F(x，y)→F(f(x，z)，f(y，z))) ⇔"x"y"z(( x＜y)→(f(x，z)＜f(y，z)))
⇔"x"y"z((x＜y)→(x－z＜y－z)) ⇔"x"y"z((x＜y)→(x＜y)) ⇔T (4)"x∃yF(x，f(f(x，y)，y))⇔"x∃y(x＜f(f(x，y)，y)) ⇔"x∃y(x＜(f(x，y)－y)) ⇔"x∃y(x＜(x－y－y))
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第 2 章 谓词逻辑
⇔"x∃y(x＜x－2y) ⇔T 8.判断下列公式的类型： (1)¬∃xP(x)→"xP(x)。 (2)¬"xA(x)↔∃x源自文库¬A(x))。 (3)∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x))。 (4) ∃x"y(F(x，y)→F(y，x))。 解 (1)设论域为{1，2}。 若 P(1)＝P(2)＝T，则 ¬∃xP(x)→"xP(x)⇔¬( P(1)∨P(2))→( P(1)∧P(2)) ⇔¬(T∨T)→(T∧T) ⇔F→T ⇔T 若 P(1)＝P(2)＝F，则 ¬∃xP(x)→"xP(x)⇔¬( P(1)∨P(2))→( P(1)∧P(2)) ⇔¬(F ∨F) →(F ∧F) ⇔T→F ⇔F 所以，¬∃xP(x)→"xP(x)为可满足足式。 (2)¬"xA(x)↔∃x(¬A(x))⇔∃x(¬A(x))↔∃x(¬A(x))⇔T，所以¬"xA(x)↔∃x(¬A(x))为永真式。 (3)设论域为{1，2}。 若 P(1)＝P(2)＝Q(1) ＝Q(2) ＝F，则 ∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x)) ⇔((P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2))) →(( P(1) ∨P(2))→¬Q(x)) ⇔((F ∧F) ∨(F∧F))→((F ∨F) →¬Q(x)) ⇔T 若 P(1)＝Q(1)＝Q(2) ＝T，P(2)＝F，则 ∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x)) ⇔((P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2))) →(( P(1) ∨P(2))→¬Q(x)) ⇔((T ∧T)∨(F∧T)) →((T ∨F) →¬Q(x)) ⇔T→(T→F) ⇔F 所以，∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x))为可满足足式。 (4)设论域为实数集 R。
第 2 章 谓词逻辑
习题
1.用用谓词和量词将下列语句符号化： (1)没有不犯错误的人人。 (2)并非非一一切推理都能用用计算机完成。 (3)每个计算机系的学生生都学离散数学。 (4)任何自自然数都有惟一一的一一个后继数。 (5)对每一一个 x 和 y，有一一个 z，使 x＋y＝z。 (6)对任何整数 x 和 y，若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0。 (7)至至多存在一一个偶素数。 (8)不存在既是奇数又又是偶数的自自然数。 (9)有些有理数是实数但不是整数。 (10)对于每一一个实数 x，存在一一个更大大的实数 y。 解 (1)设 F(x)表示示“x 犯错误”，N(x)表示示“x 为人人”，则此语句符号化为：¬∃x(N(x)∧¬F(x))。 (2)设 F(x)表示示“x 是推理”，M(x)表示示“x 是计算机”， H(x，y)表示示“x 能由 y 完成”，则此语句符号化为： ¬"x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。 (3)设 C(x)表示示“x 是计算机系的学生生”，D(x)表示示“x 学习离散数学”，则此语句符号化为："x(C(x)→ D(x))。 (4)因原语句与“一一切自自然数 x，都有一一个自自然数 y，使得 y 是 x 的后继数；并且对任意自自然数 x，当 y 和 z 都是 x 的后继时，则有 y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为： "x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧"x"y"z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中 N(x)表示示 x 是自自然数，M(x，y)表示示 y 是 x 的后继数。 (5)设 S(x，y，z)表示示“x＋y＝z”，则此语句符号化为："x"y∃z S(x，y，z)。 (6)设 Z(x)表示示“x 是整数”，S(x，y)表示示“xy＝0”，T(x，y)表示示“x＝y”，则此语句符号化为："x"y(Z(x)∧ Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。 (7)设 E(x)表示示“x 是偶数”，P(x)表示示“x 是素数”，S(x，y)表示示“x＝y”，则此语句符号化为："x(E(x)∧ P(x)→"y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。 (8)设 E(x)表示示“x 是偶数”，O(x)表示示“x 是奇数”，N(x)表示示“x 是自自然数”，则此语句符号化为：¬∃x(E(x) ∧O(x)∧N(x))。 (9)设 R(x)表示示“x 是实数”，Q(x)表示示“x 是有理数”，Z(x)表示示“x 是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x) ∧Q(x)∧¬Z(x))。 (10)设 R(x)表示示“x 是实数”，Q(x，y)表示示“y 大大于 x”，则此语句符号化为："x(R(x)→∃¬y(R(y)∧Q(x，y)))。 2.设个体域是全体整数集 Z，令 P(x，y，z)：xy＝z；E(x，y)：x＝y；G(x，y)：x＞y。将下列命题符号化： (1) 若 y＝1，则对任何 x 都有 xy＝x。
⇔"u(P(u，y)∧∃yQ(y)∧M(u，y))∧("xR(x)→Q(x)) ⇔"u(P(u，y)∧∃vQ(v)∧M(u，y))∧("xR(x)→Q(x))
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第 2 章 谓词逻辑
⇔"u(P(u，y)∧∃vQ(v)∧M(u，y))∧("wR(w)→Q(x)) 6. 对公式∃y(P(x，y)→("zQ(x，y)∧R(x，y，z))) ∧"x∃zS(x，y，z)应用用换名或代入入规则，使每个个体变元 在公式中只以一一种形式出现。 解 ∃y(P(x，y)→("zQ(x，y)∧R(x，y，z)))∧"x∃zS(x，y，z)
⇔∃y(P(u，y)→("zQ(u，y)∧R(u，y，z))) ∧"x∃zS(x，y，z) ⇔∃y(P(u，y)→("zQ(u，y)∧R(u，y，z))) ∧"x∃zS(x，v，z) ⇔∃y(P(u，y)→("zQ(u，y)∧R(u，y，z))) ∧"x∃wS(x，v，w) 7.给定解释 I 如下： (1) 个体域为实数集 R； (2) 元素 a＝0； (3) 函数 f(x，y)＝x－y； (4) F(x，y)：x＜y。 在解释 I 下，求下列各式的真值？ (1)"xF(f(a，x)，a)。 (2)"x"y(¬F(f(x，y)，x))。 (3) "x"y"z(F(x，y)→F(f(x，z)，f(y，z))) 。 (4)"x∃yF(x，f(f(x，y)，y))。 解 (1)"xF(f(a，x)，a)⇔"x(f(a，x)＜a)
⇔(T ∧F) ∧(T ∧F) ∧(F ∧T) ⇔F (2)"x(R(x)→F(x))∨G(5) ⇔((R(－2)→F(－2))∧(R(3)→F(3))∧(R(6)→F(6)))∨G(5)
⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F)) ∨F ⇔(T ∧T∧F) ∨F ⇔F (3)∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(－2)∨G(－2))∨(F(3)∨G(3))∨(F(6)∨G(6)) ⇔(T ∨F) ∨(T ∨F) ∨(F ∨T) ⇔T 11.完成定理 2.3 中未给出的证明。 证明 (1)"x(A(x)∨B)为假⇔∃a 使(A(a)∨B)为假⇔∃a 使 A(a)为假且 B 为假⇔"xA(x)为假且 B 为假 ⇔"xA(x)∧B 为假，故"x(A(x)∧B)⇔"xA(x)∧B。 (2) "x(A(x)∧B)为假⇔∃a 使(A(a)∧B)为假⇔∃a 使 A(a)为假或 B 为假⇔"xA(x)为假或 B 为假⇔"xA(x)∧ B 为假，故"x(A(x)∧B)⇔"xA(x)∧B。 (4) "x(B→A(x))⇔"x(¬B∨A(x)) ⇔¬B∨"x A(x) ⇔B→"xA(x) (5) ∃x(A(x)∨B)为真⇔∃a 使(A(a)∨B)为真⇔∃a 使 A(a)为真或 B 为真⇔∃xA(x)为真或 B 为真⇔∃xA(x)∨B 为真，故∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B。 (6) ∃x(A(x)∧B)为真⇔∃a 使(A(a)∧B)为真⇔∃a 使 A(a)为真且 B 为真⇔∃xA(x)为真且 B 为真⇔∃xA(x)∧B 为真，故∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B。