初二动态几何问题

初二动态几何问题一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言，有：1、点动（有单动点型、多动点型）.2、线动（主要有线平移型、旋转型）。

线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:1、把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；3、动中取静：（最重要的一点）要善于在“动”中取“静” （让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量” 和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；（某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。

在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解）6、是否以及怎么分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，到画出与之对应情况相吻合的图形，找情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。

例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△ RQR, PQ=PR=5cm ,QR=8cm ,点B、C、Q、R在同一条直线i上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD2与等腰△ PQR重合部分的面积为Scm .•解答下列问题：(1 )当t=3秒时，求S的值；(2 )当t=5秒时，求S的值；(3)当5秒w t w 8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值•实验操作【要点导航】通过实验操作一一观察猜想一一科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法•实验操作探索一一理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实•【典例精析】例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN ,如图1 ;第二步：再把B点叠在折痕线MN上, 折痕为AE,点B在MN上的对应点为B',得Rt A AB'E,如图2;第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3.利用展开图4探究：(1)△ AEF是什么三角形？证明你的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由.例2 已知：在厶ABC 中，/ BAC=90° , M 为BC 中点.操作：将三角板的 90°角的顶点与点M 重合，并绕着点 M 旋转，角的两边分别与边 AB 、AC 相交于点 E 、F .(1) 探究1:线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成 三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想.(2) 探究2:若改变为：“角的两边分别与边 AB 、直线AC 相交于点E 、F .”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的 猜想.【训练】1. ★★★如图，在正方形 ABCD 中，点E 在边AB 上(点E 与点A 、B 不重合)，过 点E 作FG 丄DE , FG 与边BC 相交于点F ,与边DA 的延长线相交于点 G .(1)操作：由几个不同的位置，分别测量 BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现 BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；(2) 连结DF ，如果正方形的边长为 2,设AE= x , △ DFG 的面积为y ，求y 与x 之 间的函数解析式，并写出函数的定义域;2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B ,另一边与射线 DC 相交于点Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x .(1) 当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观 察得到结论；(2) 当点Q 在边CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为y ,求y 与x 之间的函数解析(3)如果正方形的边长为52, FG 的长为5，求点C 到直线DE 的距离.供试验操作用CF B式，并写出函数的定义域;(3) 当点P在线段AC上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由.(图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用)3. ★★★在△ ABC中，AB =AC, CG丄BA交BA的延长线于点G. —等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，—条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点 B .(1) 在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2) 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE + DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想;(3) 当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1) 由图观察易知A (0, 2)关于直线I的对称点A的坐标为(2, 0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2, 5)关于直线I的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?C C(不用说明理由)i归纳与发现:(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐 标平面内任一点 P( a, b)关于第一、三象限的角平分线 I 的对称点P 的坐标为 _______________ (不必证明)； 运用与拓广：(3) 已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线I 上确定点Q ,使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点 坐标.探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论， 需要经过推断，补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型：(1)条件探索型问题；(2)结论探索型问题；(3)探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确， 需要完备条件的题目； 结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下， 需探索发现某种数学关系是否存在的题目.条件探索 【要点导航】“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、 最活跃的思维活动，探索性问题存在于一 切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、 补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去 探索未给予的条件。

由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固 定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用.【典例精析】例1如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形BEFG ( BE AB )，连结 EG 并延长交DC 于点M ，过M 作MN AB ，垂足为N , MN 交BD 于点P .设正方 形ABCD 的边长为1.(1) 证明△ CMG 也△ NBP ；7山yAOE-6 -5 -4 -3 -2 -11C ：'D(? 22? ?)(2) 设BE=x ,四边形MGBN 的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域. (3) 如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长.(4)联结PG ,若 BPG 能否成为直角三角形？如果能，求BE 的长; 如果不能，请说明理由.(5) 联结AC 、AF 、CF ，求证△ ACF 的面积为定值.〖思路分析〗1•第(3)小题把四边形 BGMP 是菱形作为条件探索 BE 的长. 2.BPG 中/ PBG 始终是45°,而/ BPG 和/ PGB 有可能为90°,要分情况讨论.面积.例2 在等边△ ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N. DABC 外一点,且/ MDN = 60°, / BDC = 120°,(1) 如图1所示，当点结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;(3) 如图3所示，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若 (用含有L 的式子表示)3•第(5)小题即可用割补法求也可用利用AC // BF 将厶ACF 的面积转化为△ ABC 的;此时-L(2)如图2所示，点 M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM DN 时, 的数量关系是;(不必证明)猜想(1 )问的两个AN = 2」Q =CN 在边 AB 、AC 上, DM = DN 时, 且 BM、图3NC 、MN 之间BD = DC .探究：当M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及C图1【训练】1. ★★★如图1所示，直线AB交x轴于点A (A, 0),交y轴于点B (0, B),且A、i ____ 2B 满足. a b (a 4)0.(1) 如图1,若C 的坐标为(一1, 0),且AH 丄BC 于点H , AH 交0B 于点P ,试求点P 的坐标； (2) 如图2,连接0H ，求证：/ OHP = 45 ° (3)如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN 丄DM交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S A BDM — S AADN 的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值.2.★★★已知BD 、CE 分别是△ ABC 的AC 边、AB 边上的高，M 是BC 边的中点，分别联结MD 、ME 、DE .(1) 当 BAC 90时，垂足D 、E 分别落在边 AC 、AB 上，如图1.求证：DM EM . (2) 当 BAC 90时，垂足D 、E 分别落在边AC 、AB 所在的直线上，如图2,问(1) 中的结论是否依然成立？无需说明理由，直接写出答案即可；若BAC 135，试判断△ DEM 的形状，简写解答过程.(3 )设 BAC 的度数为x , DME 的度数为y ，求y 与x 之间的函数关系式.图1图23. ★★★如图 1已知/ ABC=90 ° △ ABE 是等边三角形，点 P 为射线BC 上任意一 点（点P 与点B 不重合），连结AP ,将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ,连结 QE 并延长交射线BC 于点F.（1） _________________________________ 如图 2,当 BP=BA 时，/ EBF= ° 猜想/ QFC= ° （2） 如图1,当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想/ QFC 的度数，并加以证明;结论探索 【要点导航】探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论， 需要经过推断，补充并加以证明的题型•探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确， 需要完备条件的题目； 结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下， 需探索发现某种数 学关系是否存在的题目.识.经常用到的知识是： 一兀一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图 殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途 径.因此复习中既要重视基础知识的复习， 又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.点Q 到射线BC 的距离为y ,求y 关于x 的函数关系(3)图1图2【典例精析】例 1 如图1，在△ ABC 中，/ ACB = 90 ° AC = BC, AB = 8 ,图1CD丄AB,垂足为点D . M为边AB上任意一点，点N在射线CB上(点N与点C不重合)，且MC = MN, NE丄AB，垂足为点E.当点M在边AB上移动时，试探索线段ME的长是否会改变？说明你的理由.〖思路分析〗射线CB包括线段CB和线段CB的延长线两部分，点N在射线CB上运动时，可证明△ CMD和厶MEN全等，所以线段ME的长始终和线段CD相等，所以不会改变长度.例2 如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2 , P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP .过点P作PF丄AP,与/ DCE的平分线CF相交于点F .联结AF ,与边CD相交于点G,联结PG .(1) 求证：AP = FP;(2) 探索线段BP、DG、PG之间的数量关系，并给出证明过程;(3 )当BP取何值时，PG II CF .1思路分析〗1. 过点F作FH丄BC,结合所给条件无法证明厶ABP和厶PHF全等.在边AB上截取线段AH，使AH = PC,便可证明△ AHP◎△ PCF .2•由第(1)小题的结论得△ APF是等腰直角三角形，所以/ PAF=45 °将厶ADG绕点A顺时针旋转90°后，BP与DG联结成一条线段，通过全等三角形可证BP与DG的和等于PG.3.当PG II CF时，△ PCG是等腰直角三角形，由第(2)小题结论得PG=DG + BP,在Rt A PCG中，由勾股定理可求得BP的长.【训练】第天，年月日1. ★★已知：在△ ABC中，AB=AC，点P在直线BC 上, PD丄AB于点D , PE丄AC 于点E, BH是厶ABC的高.(1) 当点P在边BC上时，求证：PD+PE=BH(2) 当点P在边BC的延长线上时，试探索PD、PE和BH之间的数量关系.2. ★★★已知等边 △ ABC 和点P ,设点P 到厶ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为H i , H 2, H 3, △ ABC 的高为H . “若点P 在一边BC 上如图(1),此时H 3= 0可得结论：H i + H 2+ H 3= H请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在厶ABC 内如图(2),以及点P 在厶ABC 外如图(3)这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成 H i , H 2, H 3与H 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明.B 不重合)，点N 在边BC 的延长线上，且 AM = CN .联结MN ，交 直线AC 于点D .设AM = x , CD = y .(1) 如图，当点 M 在边AB 上时，求y 关于x 的函数解析式， 并写出自变量x 的取值范围. (2) 当点M 在边AB 上,且四边形BCDM 的面积等于△ DCN 面 积的4倍时，求x 的值. (3) 过点 M 作ME 丄AC ,垂足为点 E .当点 M 在射线 AB 上移 动时，线段DE 的长是否会改变？请证明你的结论.4.★★★在 Rt A ABC 中，/ C=90°,/ A=30°, AB=4，将一个 30° 角的顶点P 放在AB 边上滑动，保持30°角的一边平行于 BC ,且交边AC 于点 E , 30°角的另一边交射线 BC 于点D ,联结ED .(1) 如图1，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求 AP 的长；(2) 四边形PBDE 有可能为平行四边形吗？若可能，求出 PBDE 为平 行四边形时AP 的长；若不可能，说明理由；(3) 若D 在BC 边上(不与B 、C 重合)，试写出线段 AP 取值范围。