量子力学解答(1-2 章)

mπ nπ a x ∗ sin xdx = δ mn a a 2
(n = 1,2,3, L) 可见 E 是量子化的。
ww
得
A2
∫
a
sin 2
nπ xdx = 1 a
0≤ x≤a x < a, x > a
w.
∫
∞
ψ ( x) dx = 1
2
kh
由归一化条件
da
∴ψ 2 ( x ) = A sin
nπ x a
x(t ) = A sin(ωt + α ), ω =
A 为振幅.谐振子的能量为 E =
k m
1 2 kA . 以上请读者自行验证.试再利用玻尔-索末菲量子化条 2
da
Ek =
3 kT 2
w.
中子的平均平动动能为
co
2mE k
3 2m kT 2
3mkT
m
解: (a) λ =
h = p
h
=
h
=
h
件或对应原理证明能量及振幅的量子化结果:
Δp mgΔh mgΔh mgΔh 1,67 × 10 −27 × 9.8 × (−1) = = = = = −1.32 × 10 −6 2 − 23 p 2( p / 2m) 2Ek 3kT 3 × 1.38 × 10 × 300
质量为 m 的粒子受弹性力 F= −kx (k>0) 作用而作一维简谐振动,按照经典力学可以 求出其运动规律为
−∞ −∞ −∞ 0
后
课
p 2 = 2mT = h 2 β 2 =
Δp = ( p 2 − p 2 ) 1 / 2 =
ΔxΔp =
mγ h = 2mγ h 2 h2
2−9 粒子在下列势阱中运动，
ψ ( x) = ⎨
− βx ⎧ ⎪ βe
x > 0, x<0
2
βx ⎪ ⎩ βe
β=
mγ h2
、 （10）式，对一维，有 由书上 p38 第（9）
−∞
−∞
−∞
x 2 = ∫ ψ x 2 dx = 2 ∫ β e − 2 βx x 2 dx =
−∞ 0
∞
2
∞
ˆ ψ dx = −ih ∫ ψ *ψ ′dx = −ih[ ∫ β 2 e 2 βx dx − ∫ β 2 e − 2 βx dx] =0 p=∫ ψ*p
//
于是, E n =
w.
∫
co
得 A = An =
2nh 1 2 1 2 , 能量 E n = kAn = mω 2 An = nhω mω 2 2
//
m
Chap 2 波函数和薛定谔方程
2-1 设ψ 1 (r , t ) 和ψ 2 (r , t ) 是两个真实的运动态波函数,满足薛定谔方程.证明
答
案
网
En =
ww
再利用量子化条件或对应原理证明能级的量子化公式:
w.
r
k rω = , m
2
3 3 k2 E = kr = 2 2 mω 2
课
总能量为: E =
1 2 2 1 3 mr ω + kr = kr + kr = kr 2 2 2
2
kh
r
da
,
1−15
v v kr 质量 m 的粒子在大小一定的向心力 F = − (k > 0) 作用下作圆周运动.先用经典力 r 学证明轨道半径 r, 角速度ω, 总能量 E 有如下关系:
求全部束缚态能级 (En)和归一化 质量为m 的粒子被限制在 0<x<a (无限深势阱)运动，
Ⅰ： x < 0
网
−
h2 d 2 ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2m dx 2
ww
。 波函数（ψn） 解： U(x)与 t 无关，是定态问题。写出各区域 Schrodinger 方程的具体形式为 （1）
ww
对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：
//
w.
∂ * h2 h2 * 2 2 * ih (ψ 1ψ 2 ) = − (ψ 1 ∇ ψ 2 − ψ 2 ∇ ψ 1 ) = − ∇ ⋅ (ψ 1*∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ 1* ) ∂t 2m 2m
粒子在一维势场 V(x) 中运动，V(x) 无奇点，设
b
⇒ A=
课
Qk2 =
⇒ En =
后
∴ψ 2 ( x) =
2mE h2
π 2h 2
2ma
答
2 a
nπ 2 sin x a a
2
n2
对应于 E n 的归一化的定态波函数为
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
案
网
由
∫ sin
a
2
，于是有 再利用周期边界条件 ψ (0)=ψ (2π), 可得 k=n（整数）
m
En =
n 2h 2 ，ψ n = 2mR 2
1 2π
e inϕ ， n = 0,±1,±2,...
除 n=0 时, 简并度为 1 外，其余 n 值简并度为 2。 2-8 对于δ 势阱造成的束缚态，计算 T , V , Δx, Δp. 解：δ 势阱只有一个束缚态：
λ=
h
=
h
kh
× 300 = 1.45 × 10 −10 m = 0.145nm
所以
3 × 1.67 × 10
案
答
(b) Δλ = Δ
h h Δp =− 2 , 即 p p
Δλ
λ
=−
Δp p
后
Δλ
λ
1-14
=−
课
由机械能守恒:
p2 + mgh = E ,得 2m
pΔp + mgΔh = 0 ,于是 m
答
S→∞时，态函数有限要求 ψ ~1/r3/2,面积分为零。即 ∂ // ψ 1*ψ 2 dτ = 0 ∫ 全 ∂t
案
网
ih
v ∂ h2 h2 * * * ( ψ ψ ) d τ = − ∇ ⋅ ( ψ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ) d τ = − (ψ 1*∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ 1* ) ⋅ dS 1 2 1 2 2 1 ∫ ∫ ∫∫ ∂t 全 2m 全 2m S
2-2 证明:
j=−
粒子的速度分布 υ
υ=
ρ
其旋度为
∇×υ = −
2-3
课
ρ (r , t ) = ψ * (r , t )ψ ( r , t )
ih [ψ * (r , t )∇ψ ( r , t ) − ψ ( r , t )∇ψ * (r , t ) 2m
j
=−
ψ ih ∇ × ∇(ln )=0 2m ψ*
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
⇒B=0 ⇒ A sin ka = 0
（4）
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
ψ 2 (0) = ψ 1 (0)
ψ 2 (a ) = ψ 3 (a )
QA≠0 ∴ sin ka = 0 ⇒ ka = nπ
（5） （6）
0
&dx = ∫ mx & ∫ pdq = ∫ mx
后
3 h 2 k 2 n 2 1/ 3 ( ) , n = 1,2,3... 2 m v v kr ) 证明: 注意到 F = − = − kr , 径向牛顿力学方程为 r k k = ma n = mrω 2 , 即 rω 2 = m 0 0 v ˆ ⋅ dr = ∫ − kdr = kr 选取 r=0 为势能零点, 势能为 E p = ∫ − kr
量子力学解答 (钱伯初<量子力学>)
Chap1 绪论
1-13 (a) 求室温(T~300K)下中子的德布罗意波长. (b) 如上述中子在地面附近下落 1m,求波长变化的比率.
代入数值得
网
λ=
h 3mkT
=
6.63 × 10 −34
− 27
ww
3 2m kT 2
3mkT
w.
× 1.38 × 10
− 23
v
v
∫ψψ
全 * 1
2
dτ
之值与时间无关. 证明: 由 Schrodinger 方程：
∂ψ 1 h2 2 ih = (− ∇ + V )ψ 1 ∂t 2m ih ∂ψ 2 h2 2 = (− ∇ + V )ψ 2 ∂t 2m ∂ψ 1* h2 2 = (− ∇ + V )ψ 1* ∂t 2m
（1）
ψ 1* × (2) − ψ 2 × (1) 得
对力心的角动量守恒, L=mr ω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件 pdq = nh ,得
∫ pdq = ∫ Ldθ = L ∫ dθ = mr ω 2π =
2
mkr 3 2π =nh
解得:
n 2h 2 1/ 3 r = rn = ( ) mk 3 3 n 2h 2 1/ 3 3 n 2h 2 k 2 1/ 3 krn = k ( ) = ( ) 2 2 mk 2 m n = 1,2,3...
w.
(n = 1, 2, 3, L)
co
m
⎧ h2 ψ ′′ = Eψ ⎪− 或： ⎨ 2m ⎪ψ = 0 ⎩
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
⎧ ⎪ψ ( x) = A cos kx + B sin kx ⎨ ⎪ψ = 0 x ≤ 0, x ≥ a ⎩
由边界条件得：
0< x<a
k=
2mE h
kh
da
ψn , ψm为束缚态波函数，En≠En.
w.
取复共轭（1）∗： − ih
（3）
co
m
（2）
证明ψn 与 ψm正交，即证明 证明:
∫
+∞
−∞
ψ nψ m dx = 0
由定态 Schrodinger 方程：
(−
h2 d 2 + V )ψ n = E nψ n 2m dx 2 h2 d 2 + V )ψ m = E mψ m 2m dx 2
E n = nhω ,
证明:
An =
2nh , mω
n = 0,1,2,...
由玻尔-索末菲量子化条件 pdq = nh ,注意到
∫
& , q = x = A sin(ωt + α ) ,有: p = mv = mx
T T dx 1 & 2 dt = m ∫ A 2ω 2 cos 2 (ωt + α )dt = mTA 2ω 2 =nh dt = m ∫ x 0 0 dt 2 1 T 1 上式利用了 cos 2 (ωt + α )dt = ,注意 Tω = 2π ∫ 0 T 2
后
证明从单粒子薛定谔方程解出的速度场是无旋的，即 ▽×υ =0，其中 υ = j /ρ , ρ为 概率密度，j 为 概率流密度。
ih ∇ψ (r, t ) ∇ψ * (r, t ) ih ih ψ [ − ]=− [∇ lnψ − ∇ lnψ *] = − ∇(ln ) 2m ψ (r, t ) ψ * (r, t ) 2m 2m ψ*
+∞
−∞
ψ nψ m dx = −
h 2 +∞ d h2 ′ ′ ′ − ψ mψ n ′) ( ψ ψ − ψ ψ ) dx = − (ψ nψ m n m m n 2m ∫−∞ dx 2m
w.
co
+∞ −∞
m
=0
（2） （3）
(1)、(3)方程中，由于 U ( x ) = ∞ ，要等式成立，必须
ψ = Ae ikϕ
其中 k =
后
kh
nπ ⎧ x ⎪ψ ( x) = B sin a ⎨ ⎪ ⎩ψ = 0
x ≤ 0, x ≥ a
da
∫
2π
0< x<a
w.
0
nπ , a
⇒ En =
n 2π 2 h 2 , 2ma 2
n = 1,2,3...
co
1 2π
。
2mE R 。利用波函数归一化条件 h
ψ dϕ = A 2 2π = 1 ，可求出 A =
（1）
(−
（2）
ψ n × (2) − ψ m × (1) 得
( E m − E n )ψ nψ m = − h2 h2 d ′′ − ψ mψ n ′′ ) = − ′ − ψ mψ n ′) (ψ nψ m (ψ nψ m 2m 2m dx
对全空间积分，注意束缚态函数在无穷远必须趋于0，得
−∞
2-5
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为
课
Ⅲ： x > a
−
ψ 1 ( x) = 0
ψ 3 ( x) = 0
d 2ψ 2 ( x) 2mE + 2 ψ 2 ( x) = 0 dx 2 h
令k2 =
2mE ，得 h2
d 2ψ 2 ( x) + k 2ψ 2 ( x) = 0 2 dx
其解为
案
后
答
Ⅱ： 0 ≤ x ≤ a
−
h2 d 2 ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x) 2m dx 2 h2 d 2 ψ 3 ( x) + U ( x)ψ 3 ( x) = Eψ 3 ( x) 2m dx 2
w.
kh
当 En≠En时，有
∫
+∞
ψ nψ m dx = 0
//
da
( Em − En )∫
0≤x≤a
x < a, x > a
w.
2 a
) h2 d 2 ，ϕ 为 2mR 2 dϕ 2
2-6
质量为m 的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能力算符为 H = −
解此方程可得
Байду номын сангаас
课
旋转角。求能级 (En)和归一化波函数（ψn） 。讨论各能级的简并度。 解：写出 Schrodinger 方程：
−
h 2 d 2ψ = Eψ 2mR 2 dϕ 2
ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
网
ww
∫
a
0
B 2 sin 2
nπx dx = 1, ⇒ B = a