中值定理与导数习题

习题3

一、填空题

1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______

区间；

2．函数在上满足拉格朗日定理条件的；

３．函数与在区间上满足柯西定理条件的

；

4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；

５．；

6．；

7．;

8．函数的单调减区间是；

9．设在可导，则是在点处取得极值的条件；

10．函数在及取得极值，则；

11. 函数的极小值是;

12．函数的单调增区间为；

13. 函数的极小值点是；

14. 函数在上的最大值为，最小值为；

14. 函数在的最小值为;

15. 设点是曲线的拐点,则;

16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;

17. 曲线的上凹区间为;

18. 曲线的拐点为;

19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点

处的切线平行于轴,那么函数的表达式是;

20. 曲线的拐点为;

21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;

22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为;

23. 曲线在的曲率;

24. 曲线的曲率计算公式为;

25. 抛物线在顶点处的曲率为;

二. 单项选择题

1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且

是在至少存在一点,使得成立的( ).

必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要

2. 函数，则（）.

在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立；

在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；

3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且,

,则必有( ).

; ;

4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).

; ; ;

5. 函数,它在( ).

不满足拉格朗日中值定理的条件;

满足拉格朗日中值定理的条件,且;

满足中值定理的条件,但无法求出的表达式;

不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论.

6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ).

;

7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) .

在之间恰有一个,使得

在之间至少存在一点,使得

对于与之间的任一点,均有

8. 若在开区间可导,且对任意两点恒有

,则必有( ).

(常数)

9. 已知函数,则方程有( ).

分别位于区间的三个根;

四个根,它们分别为;

四个根,分别位于

分别位于区间的三个根;

10. 若为可导函数,为开区间一定点,而且有

,则在闭区间上必总有( ).

11. 若,则方程( ).

无实根有唯一实根有三个实根有重实根

12. 若在区间上二次可微,且

(),则方程在上( ).

没有实根有重实根有无穷多实根有且仅有一个实根13. 求极限时,下列各种方法正确的是( ).

用洛必达法则后,求得极限为0;

因为不存在,所以上述极限不存在;

原式=

因为不能用洛必达法则,故极限不存在;

14. 设为未定型, 则存在是也存在的( ).

必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要条件15. 若与可导,, 且,则( ).

必有存在,且必有存在,且

如果存在,且如果存在,不一定有

16. 函数在( ).

单调增加单调减少

单调增加,其余区间单调减少单调减少,其余区间单调增加17. 已知在上连续,在可导,且当时,有,又

,则( ).

在上单调增加, 且;

在上单调增加, 且;

在上单调减少, 且;

在上单调增加, 但正负符号无法确定.

18. 当时,有不等式( )成立.

当时,当时

当时,当时

19. 函数的图形,在( ).

处处是凸的; 处处是凹的;

为凸的,在为凹的为凹的,在为凸的. 20. 若在区间,函数的一阶导数,二阶导数,则函数

在此区间是( ).

单调减少,曲线上凹; 单调增加,曲线上凹;

单调减少,曲线下凹单调增加,曲线下凹.

21. 曲线的凹凸区间是( ).

为其凹区间; 为其凸区间;

当时,曲线是凸的, 时是凹的;

当时,曲线是凹的, 时是凸的;

22. 曲线( ).

有一个拐点; 有二个拐点; 有三个拐点; 无拐点;

23. 若点为曲线的拐点,则( ).

必有存在且等于零; 必有存在但不一定等于零;

如果存在,必等于零; 如果存在,必不等于零.

24. 设函数在处有,在处不存在,则( ).

及一定都是极值点; 只有是极值点;

及都可能不是极值点; 及至少有一个点是极值点.

25. 曲线 ( ).

有极值点,但无拐点; 有拐点,但无极值点;

是极值点, 是拐点; 既无极值点又无拐点.

26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则( ).

极大值一定是最大值,极小值一定是最小值;

极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值;

极大值不一定是最大值,极小值不一定是最小值;

极大值必大于极小值.

27. 函数在区间上的最小值为( ).

; 0 ; 1 ; 无最小值.