简谐振动-旋转矢量法教程文件

x 矢量以A o的为端原点点在,旋轴转
上的投影点的运动为 简谐运动.
A
t t 时
t
o
x
xAcots()
对应关系
A
t
←→ 振幅 ←→ 圆频率 ←→ 初相位 ←→ 相位
用旋转矢量图画简谐运动的xt图
T 2（π旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v <0
A
简谐振动的描述方法有多种∶代数法、曲线表 示法、旋转矢量法、复数法等等。
一、代数法
xAcos(t)
振幅 系统固有角频率 相位 初相位 其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量
二、图示法： （振动曲线）
xAcots(0)
旋转矢量法
当t 0 时
A
o
x0 x
Hale Waihona Puke x0AcosAt t 时
t
o
x
xAcots()
由图可见
21
例题3 ：
谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置， 最短历时是多少?
首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差
从旋转矢量图上可以得出
210(3)3
由匀速运动的等时性 t T
2
所以，渡越时间为
t T1T 2 6
例题4： 简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式．
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2 s(1)
＝A1cost 1＋A2cost 2
A1cos1 A2cos2cos t A1sin1 A2sin2sint
tgA A11csion 11s A A22csion 2s2
两个同方向同频率简谐运动的合成
二、应用旋转矢量法:
x 1 A 1cot s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) ( A2
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
x0 A x0 A x0 A/ 2 正向运动
x0 A/2 正向运动
0 / 4
2/3
作参考圆
例题2 ：
普通物理学教案
两振子 x10 A/ 2 ， x20 A/2 都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。
解： 判定两振动之间的相位差，是一个在实 际工作中经常遇到的问题。
用旋转矢量法
(1) 21 0,称同;相 (2) 21 ,称反;相 (3) 21 0,称振2动 超前 ,振动 1落后 ; (4) 12 0,称振1动 超前 ,振动 2落后 .
用旋转矢量表示相位关系
同相位
反相位
r
r
A2
A1
x
r A2
r A
1
x
2 1
r
r
A2
A1
x
例题1 ：
普通物理学教案
确定以下几种情况的初相位
解：
A = 5 (m); T = 2 (s),
2 (rad/s)
T
xAcots(0) t = 0 时： co 0sx0/A1/2,
0
3
初速度方向指向平衡位置，
v0Asin00,
0
3
A = 5 (m);
(rad/s)
x5cos(t3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
A
P
x
注意：旋转M 矢量在第 2 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
M
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
1）相位差 212kπ( k 0 ， 1 ， 2 , ) xx
oo
A1 A2
A
A A1 A2
T
t
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
2）相位差 21 (2 k 1 )π(k 0 ， 1 , )
xx
A1 o o
A
A2
A A1 A2
Tt
结论
A A 1 2A 2 22 A 1A 2co s(21)
A
xx1x2
xA cots ()
0
21
x2
x
A1
1
xx
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
tanA A 1 1c sio n 1 1s A A 2 2s cio n2 2s
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
讨论 A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 co 2 s1 )(
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1A1cost1 令 AsinA1sin1A2sin2
x2 A2c ost2
AcosA1co1 sA2cos2
合振动 xx1x2
x＝ A co cso tsA sin si nt
＝ A co st
1、应用解析法
x x1 x2
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
4 3
或 2
3
x-t 图上ω或T 信息不明确， 再看v-t 图 vmax 10m/s
由速度幅 vmax A， vmax/A5s-1
找到谐振动的特征量，问题就解决了。
振动方程为 x2cos(5t 2)
3
16-4 简谐振动的合成
M Px
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v <0
A
M
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v <0
M
A
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
速度v
M
<
0
A
P
x
注意：旋转矢量在第 1 象限
M速度v < 0
A
P
x
注意：旋转矢量M在第 1 象限
速度v <0
A
P
x
注意：旋转矢M量在第 1 象限
速度v <0
速度v 0
A
M Px
一、二象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿负向 三、四象限的旋转矢量对应的简谐振动速度沿正向
相 位
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
x 1 A 1 c o s (t 1 ) , x 2 A 2 c o s (t 2 ) ,
差 两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：