高三数学一轮复习课时作业 (9)对数与对数函数 理 新人教B版
2023届高考数学一轮复习作业对数与对数函数新人教B版
对数与对数函数一、选择题1．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋bB [由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b ＝log 0.32<0．∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋bab<1．又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0．]2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a ＞0，且a ≠1)的图象可能为( )A BC DA [由a ＞0知，函数f (x )＝2－ax 为减函数，则排除C ． 当0＜a ＜1时，函数f (x )的零点x ＝2a＞2，则排除D ．当a ＞1时，函数f (x )的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2a＞0，则排除B ．故选A ．]3．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为( )A ．2 566B ．2 567C ．2 568D ．2 569 B [由题可知，lg N ＝lg(4.02×102 567)＝2 567＋lg 4.02．因为1＜4.02＜10，所以0＜lg 4.02＜1， 所以lg N 的整数部分为2 567．故选B ．] 4．(2021·河南郑州高三三模)已知55>3213，a ＝log 23，b ＝log 35，c ＝2135，则( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a >c >bD ．b >c >aA [由对数函数的性质，可得a ＝log 23>log 28＝32，b ＝log 35<log 327＝32，所以a >b ；又由lg 55>lg 3213，所以5lg 5>213lg 3，即lg 5lg 3＝log 35>2135，所以b >c ，所以a >b >c ．]5．已知函数f (x )＝log a (6－ax )在区间[2,3]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1,3) D ．(1,3]A [由a ＞0知，函数y ＝6－ax 为减函数，要使f (x )＝log a (6－ax )在[2,3]上为减函数，则a ＞1，且6－ax ＞0在x ∈[2,3]上恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，6－3a ＞0，解得1＜a ＜2，故选A ．]6．已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则下列说法正确的是( ) ①f (x )在(2,6)上单调递增； ②f (x )在(2,6)上的最大值为2ln 2； ③f (x )在(2,6)上单调递减；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④D [f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2,6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则f (x )＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2,6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选D ．]二、填空题7．计算：log 510＋log 50.25－⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝________．32[log 5 10＋log 50.25－⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝2log 510＋log 50.25－3－log 32＝log 5100＋log 50.25－3log 312＝log 525－12＝2－12＝32．]8．若函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________． 2 [∵a >1，所以函数f (x )在区间[a,2a ]上为增函数， 由已知条件可得log a (2a )＝3log a a ＝log a a 3，∴a 3＝2a ，∵a >1，解得a ＝2．]9．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (lg m )>f (2)，则实数m 的取值范围是________． (1，10)∪(100，＋∞) [如图，画出f (x )＝|lg x |的大致图象，易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)，所以0<lg m <12或lg m >2，解得1<m <10或m >100，即实数m 的取值范围是(1，10)∪(100，＋∞)．]三、解答题10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2． (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解](1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2．由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2．11．设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9．(1)求f (3)的值；(2)求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值． [解](1)∵函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9，故f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6．(2)令t ＝log 3x ，则－2≤t ≤2，且f (x )＝(log 3x ＋2)(1＋log 3x )＝t 2＋3t ＋2，令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，故当t ＝－32时，函数g (t )取得最小值为－14，此时求得x ＝3－32＝39；当t ＝2时，函数g (t )取得最大值为12，此时求得x ＝9．1．已知函数f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2，若f (2a－5)<f (3)，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B [∵f (x )＝ln(|x |＋1)＋x 2，∴f (－x )＝ln(|－x |＋1)＋(－x )2＝ln(|x |＋1)＋x 2＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数，当x ∈[0，＋∞)时f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2，由y ＝ln(x ＋1)，y ＝x 2都在[0，＋∞)上单调递增，得f (x )＝ln(x ＋1)＋x 2在[0，＋∞)上单调递增，因为f (x )为R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以由f (2a －5)<f (3)，可得－3<2a－5<3，解得1<a <3．] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x<2y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13y．设f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为增函数，所以f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解](1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1．故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1．所以x 的取值范围是(0,1)．1．已知函数f (x )＝log 3ax ＋6x ＋3在区间(－3,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C ．(－2,2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C [令u ＝ax ＋6x ＋3，由题意可知，u ＝ax ＋6x ＋3>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立， 因为x ＋3>0，则ax ＋6>0对任意的x ∈(－3,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋6≥0，3a ＋6>0，得－2<a≤2．因为函数f (x )＝log 3ax ＋6x ＋3在区间(－3,3]上单调递减，外层函数y ＝log 3u 为增函数， 故内层函数u ＝ax ＋6x ＋3＝a x ＋3＋6－3a x ＋3＝a ＋6－3ax ＋3在区间(－3,3]上为减函数， 所以，6－3a >0，可得a <2． 综上所述，－2<a <2．]2．若函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．[解] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a ＞0， 即0＜43－a ＜1．又2×12－a ＞0，解得13＜a ＜43，且a ＜1，故13＜a ＜1； 当a ＞1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )＞0， 即1－a ＞1，且2×12－a ＞0，解得a ＜0，且a ＜1，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1．。
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
高三数学一轮复习课时作业 (9)对数与对数函数 文 新人教B版
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·辽宁五校二联] 若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则( )A ．a ＝2，b ＝2B ．a ＝2，b ＝2C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 22．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)3．[2011·莆田质检] 已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )4．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 能力提升5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 86．[2012·淄博模拟] 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c7．[2012·金华一中月考] 函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．原点对称8．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．49．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝ln x －1与y ＝－x (x >0)的图象的一个交点，则ln x 20＋2x 0＝________.11．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.12．已知log a (3a －1)恒为正数，那么实数a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)、f (1)、f (3)的大小关系为________．14．(10分)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．求f (log 2x )的最小值及对应的x值．15．(13分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若已知函数的值域为R，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知f(x)＝log a x，g(x)＝2log a(2x＋t－2)(a>0，a≠1，t∈R)．(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．课时作业(九)【基础热身】1．A [解析] 由题意列方程可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a－1＋b ，1＝log a 0＋b ，解得a ＝2，b ＝2，故选择A.2．A [解析] 因为3x＋1>1，所以log 2(3x＋1)>0，故选A.3．D [解析] 由题可知0<a <1，函数g (x )的图象由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.4．D [解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.【能力提升】5．C [解析] 依题意有log a (x 1x 2…x 2011)＝8，而f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22011＝log a (x 1x 2…x 2011)2＝2log a (x 1x 2…x 2011)＝2×8＝16.6．D [解析] 由对数函数的性质知，log 45>1,0<log 54<1,0<(log 53)2<1，即c 最大，排除A 、B ；又b ＝(log 53)2<(log 54)2<log 54＝a ，所以b <a <c ，选D.7．D [解析] f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x ，易得其定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x1－x＝0，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称．故选D.8．C [解析] 无论a >1还是0<a <1总有a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x－2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．2 [解析] 由已知得ln x 0－1＝－x 0，即ln x 0＋x 0＝1，所以ln x 20＋2x 0＝2(ln x 0＋x 0)＝2.11.54 [解析] 原式＝12log 23＋13log 23log 32＋12log 32＝56log 23·32log 32＝54. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞) [解析] 当a >1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得3a －1>1，解得a >23，故a >1；当0<a <1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得0<3a －1<1，解得13<a <23.13．f (1)＜f (－2)＜f (3) [解析] 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．14．[解答] 因为f (x )＝x 2－x ＋b ，所以f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. 因为a ≠1，所以log 2a ＝1，所以a ＝2. 又log 2f (a )＝2，所以f (a )＝4.所以a 2－a ＋b ＝4，所以b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.所以当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.15．[解答] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， 所以函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是[1,3)．(2)由图象可知需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，解得0<a ≤13.(3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.【难点突破】16．[解答] (1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a 2x ＋22x，x ∈[1,2]．令h (x )＝2x ＋22x＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2，∵x ∈[1,2]，∴h (x )∈[16,18]． 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2，解得a ＝32>1，舍去； 当a >1时，F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2，解得a ＝4>1，∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立 ⇔log a x ≥log a (2x ＋t －2)对x ∈[1,2]恒成立 ⇔t ≥－2x ＋x ＋2对x ∈[1,2]恒成立⇔t ≥1.。
高考数学复习课时作业9对数与对数函数理新人教A版 3109
课时作业(九)第9讲对数与对数函数时间/ 30分钟分值/ 75分基础热身1.若函数y=log a(x+b)(a>0,a≠1)的图像过(-1,0)和(0,1)两点,则()A.a=2,b=2B.a=,b=2C.a=2,b=1D.a=,b=2.[2018·烟台一模]计算:log3[log3(log28)]=()A.1B.16C.4D.03.若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a4.已知函数y=的定义域为[a,b],值域为[0,1],则b-a的取值范围为()A.(0,3]B.C.D.5.[2018·成都七中三诊] log318-log32+e ln 1= .能力提升6.已知θ为锐角,且log a sin θ>log b sin θ>0,则a和b的大小关系为()A.a>b>1B.b>a>1C.0<a<b<1D.0<b<a<17.[2018·安庆二模]函数f(x)=log a(0<a<1)的大致图像是 ()A B C D图K9-18.[2018·山西运城康杰中学一模]已知函数f(x)=ln(e x+e-x)+x2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是()A.(-1,3)B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-3,3)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)9.设实数a,b,c分别满足2a3+a=2,b log2b=1,c log5c=1,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b10.[2018·重庆5月调研]函数f(x)=ln(-x2-x+2)的单调递减区间为.11.[2018·上海松江区二模]若函数f(x)=log a(x2-ax+1)(a>0且a≠1)没有最小值,则a的取值范围是.12.(10分)已知函数f(x)=log a(a x-1)(a>0,a≠1).(1)当a>1时,求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集;(2)当a=2时,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.难点突破13.(5分)[2018·宜昌一中月考]若函数f(x)=log0.9(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递增,且b=lg 0.9,c=20.9,则 ()A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c14.(5分)[2018·信阳一模]已知关于x的不等式log m mx2-x+>0在[1,2]上恒成立,则实数m的取值范围为.课时作业(九)1.A[解析] 若函数y=log a(x+b)(a>0,a≠1)的图像过(-1,0)和(0,1)两点,则则则2.D[解析] log3[log3(log28)]=log3[log3(log223)]=log3(log33)=log31=0,故选D.3.C[解析] ∵a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1,∴b>c>a.故选C.4.D[解析] 因为函数y=的定义域为[a,b],值域为[0,1],且当=0时,x=1,当=1时,x=或x=3,所以当a=时,b∈[1,3],当b=3时,a∈,所以b-a∈,故选D.5.3[解析] log318-log32+e ln 1=log3+1=log39+1=2+1=3.6.D[解析] ∵log a sin θ>log b sin θ>0,0<sin θ<1,∴0<b<a<1,故选D.7.C[解析] 易知f(x)=log a=故选C.8.D[解析] 因为f(-x)=ln(e-x+e x)+(-x)2=ln(e x+e-x)+x2=f(x),所以函数f(x)是偶函数, 又f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(2x)>f(x+3),即|2x|>|x+3|,解得x<-1或x>3.故选D.9.C[解析] 令f(x)=2x3+x-2,则f(x)在R上单调递增,且f(0)·f(1)=-2×1=-2<0,即a∈(0,1).在同一坐标系中作出y=,y=log2x,y=log5x的图像,由图像得1<b<c,故c>b>a.故选C.10. [解析] 由-x2-x+2>0可得-2<x<1.设t=-x2-x+2,因为函数t=-x2-x+2在上单调递减,函数y=ln t单调递增,所以函数f(x)的单调递减区间为.11.(0,1)∪[2,+∞)[解析] 分类讨论:当0<a<1时,函数y=log a u单调递减,而u=x2-ax+1∈,所以函数f(x)没有最小值;当a>1时,函数y=log a u单调递增,则u=x2-ax+1应满足a2-4≥0,所以a≥2.综上可得,a的取值范围是(0,1)∪[2,+∞).12.解:(1)由题意知,f(x)=log a(a x-1)(a>1)的定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,故由f(x)<f(1)知∴所求解集为(0,1).(2)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log2,x∈[1,3],再设t==1-,x∈[1,3],∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,9],∴t=1-∈,故g(x)min=g(1)=log2.∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意x∈[1,3]恒成立,∴m<g(x)min,即m<log2.13.B[解析] 由5+4x-x2>0,得-1<x<5,又函数t=5+4x-x2图像的对称轴方程为x=2,∴复合函数f(x)=log0.9(5+4x-x2)的单调递增区间为(2,5).∵函数f(x)=log0.9(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递增,∴则3≤a≤4,而b=lg 0.9<0,1<c=20.9<2,∴b<c<a,故选B.14.∪[解析] 设函数f(x)=log m,①当0<m<1时,可知函数y=log m u单调递减,函数u=mx2-x+为二次函数.当<1,即<m<1时,二次函数在区间[1,2]内单调递增,所以函数f(x)在区间[1,2]内单调递减, 所以f(x)min=f(2)=log m>0,所以<m<;当=1,即m=时,f(1)=log m无意义;当1<<2,即<m<时,二次函数在区间[1,2]内先减后增,所以函数f(x)在区间[1,2]内先增后减,则需f(1)>0且f(2)>0,无解;当≥2,即0<m≤时,f(1)=log m无意义.②当m>1时,可知函数y=log m u单调递增,函数u=mx2-x+为二次函数.因为<,所以二次函数在区间[1,2]内单调递增,所以函数f(x)在区间[1,2]内单调递增,所以f(x)min=f(1)=log m>0,解得m>.综上所述,<m<或m>.。
高中数学一轮复习考点专题训练：专题09 对数与对数函数(解析版)
高考数学一轮考点扫描 专题09 对数与对数函数一、【知识精讲】 1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n m log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限. 二、【典例精练】 考点一 对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【答案】 (1)－20 (2)1【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.【解法小结】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1 【解析】 (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx －1，x >1，lg 1－x ，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示． 由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1. 【解法小结】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 角度1 对数函数的性质【例3－1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【答案】 C【解析】 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1).(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2xD.3y <2x <5z【答案】D【解析】 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 【解法小结】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【思维升华】]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错注意点】]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 三、【名校新题】1. (2019·武汉月考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1 【答案】D【解析】 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b .3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )【答案】A【解析】 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.4.(2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数 【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2). ∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减. 5. (2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )【答案】D【解析】由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到. 因此选项D 正确.6.(2019·商丘二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞， ＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )【答案】A【解析】 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.7.(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．8. (2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.【答案】4,2【解析】 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 9.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.【答案】 (－1，0)【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.10.(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________. 【答案】-2【解析】 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1. 解得a ＝－12，不合题意.当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.11(2019·日照调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【答案】{0}∪[2，＋∞)【解析】作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞).12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.【解析】 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5). 13.已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0恒成立， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。
高三数学一轮基础巩固 第2章 第5节《对数与对数函数》(含解析)新人教B版
2016届 高三数学一轮基础巩固 第2章 第5节 对数与对数函数 新人教B 版一、选择题1．(2014·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(文)为了得到函数y ＝ln x －3e 的图象，只需把函数y ＝lnx 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案] D[解析] 由y ＝ln x －3e 得到y ＝ln(x －3)－1，由y ＝lnx 图象上所有点向右平移3个单位，得到y ＝ln(x －3)的图象，再向下平移一个单位得到y ＝ln(x －3)－1的图象．故选D. (理)(2013·江苏无锡)函数y ＝log22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 由2－x 2＋x >0得－2<x<2，f(－x)＝log22＋x 2－x ＝－log22－x2＋x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴选A.3．(文)(2015·湖北省教学合作十月联考)已知a ＝(15)12 ，b ＝log513，c ＝log 15 13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．c>a>b C ．a>c>b D ．c>b>a [答案] B[解析] a ＝(15)12 ＝15<12；c ＝log 15 13＝log53>log55＝12；b ＝log513<log51＝0，故c>a>b.(理)(2013·湖南模拟)下面不等式成立的是( ) A ．log32<log23<log25 B ．log32<log25<log23C ．log23<log32<log25D ．log23<log25<log32 [答案] A[解析] log32<1<log23<log25，故选A. 比较对数式的值大小的方法： ①利用中间量0、1.(2014·河北石家庄一模)已知a ＝312 ，b ＝log 13 12，c ＝log213，则( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>b>aD ．b>a>c [答案] A[解析] 因为312 >1,0<log 13 12<1，c ＝log213<0，所以a>b>c ，故选A. ②指数互化(2014·湖北省重点中学联考)∀α∈(π4，π2)，x ＝，y ＝，则x 与y 的大小关系为( ) A ．x>y B ．x<y C ．x ＝y D ．不确定 [答案] C[解析] 因为logπx ＝logπsinαlogπcosα，logπy ＝logπsinα·logπcosα，所以logπx ＝logπy ，所以x ＝y ，故选C. ③作差法 (2014·山东临沂市重点中学月考)若x ∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<a<c D ．b<c<a [答案] C[解析] 因为x ＝(e －1,1)，所以－1<a ＝lnx<0，而b －a ＝lnx<0，故b<a ，而c －a ＝(ln2x －1)·lnx>0，故c>a ，综上b<a<c. ④化同真借助图象 (2013·新课标Ⅱ)设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c [答案] D[解析] 本题考查了对数的运算性质． ∵a ＝log36＝1＋log32； b ＝log510＝1＋log52； c ＝log714＝1＋log72.∵log32>log52>log72，∴a>b>c. ⑤用单调性 (2014·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f(3)<f(－2)<f(1)B ．f(1)<f(－2)<f(3)C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2) [答案] B[解析] 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)． 又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)． ⑥转化法若函数f(x)＝log2(x ＋1)且a>b>c>0，则f a a 、f b b 、f cc 的大小关系是( ) A.f a a >f b b >f c c B.f c c >f b b >f aa C.fb b >f a a >fc c D ．f a a >f c c >f b b[答案] B[解析] ∵f a a 、f b b 、f cc 可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x ＋1)的图象及a>b>c>0可知f c c >f b b >f aa .故选B. ⑦综合法(2013·宣城二模)若a ＝ln264，b ＝ln2·ln3，c ＝ln2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>b>c B ．c>a>b C ．c>b>a D ．b>a>c [答案] A[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a>c ，排除B ，C ；b ＝ln2·ln3<(ln2＋ln32)2＝ln264＝a ，排除D ，故选A.4．(文)(2014·云南统一检测)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋xx ，x<0log 12 x ，x>0，则f(x )≥－2的解集是( )A ．(－∞，－13]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－13]∪(0,4] C ．[－13，0)∪[4，＋∞) D ．[－13，0)∪(0,4] [答案] B[解析] 当x<0时，f(x)≥－2，即1＋x x ≥－2，可转化为1＋x≤－2x ，得x≤－13； 当x>0时，f(x)≥－2，即log 12 x≥－2，可转化为log 12 x≥log 124，解得0<x≤4.综上可知不等式的解集为(－∞，－13]∪(0,4]．(理)(2014·宁夏银川质检)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0， log 12 －x ，x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] f(a)>f(－a)化为⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，log2a>log 12 a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0， log 12 －a >log2－a . ∴a>1或－1<a<0，故选C.5．(2014·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A ＝{x|y ＝log2(x2－1)}，B ＝{y|y ＝(12)x －1}，则A ∩B ＝( ) A ．(12，1)B ．(1,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] D[解析] A ＝{x|y ＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B ＝{y|y ＝(12)x －1}＝{y|y>0}，∴A ∩B ＝{x|x>1}．6．定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2014x ＋log2014x ，则方程f(x)＝0的实根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 [答案] C[解析] 当x>0时，f(x)＝0即2014x ＝－log2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2014x ，f2(x)＝－log2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3. 二、填空题7．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. [答案] 10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ， ∴a ＝log2m ，b ＝log5m ， ∴1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m ＝10. 8．(文)(2014·南京模拟)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值范围是________． [答案] [1e ，e][解析] 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )，由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故1e ≤t≤e. (理)(2014·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R ，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a 的取值范围是________． [答案] 12<a<1或1<a<2[解析] 由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2， ∴loga4>2或loga4<－2， ∴1<a<2或12<a<1.9．(2014·广东韶关调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，3x ， x≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞)[解析] 如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f(x)，y2＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴的截距，结合图形可知当a>1时，直线y2＝－x ＋a 与y1＝log2x 只有一个交点．三、解答题10．(2014·江西南昌第二中学第一次月考)已知f(x)＝log 12 (x2－mx －m)．(1)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设g(x)＝x2－mx －m ，要使得函数f(x)的值域为R ，则g(x)＝x2－mx －m 能取遍所有的正数，则有(－m)2－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.(2)函数f(x)＝log 12 (x2－mx －m)的底数是12，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，则函数g(x)＝x2－mx －m 在区间(－∞，1－3)上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3，1－32－m 1－3－m≥0，解得2－23≤m≤2.一、选择题11．(2015·山西省忻州一中等四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ，x≤1log0.5x ，x>1，若对于任意x ∈R ，不等式f(x)≤t24－t ＋1恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[1,3] D ．(－∞，2]∪[3，＋∞) [答案] B[解析] 当x≤1时，y ＝－x2＋x ＝－(x －12)2＋14，在(－∞，12]上递增，在(12，1]上递减，故此时ymax ＝f(12)＝14；当x>1时，y ＝log0.5x 是减函数，此时y<log0.51＝0；综上知函数f(x)的最大值为14，故不等式f(x)≤t24－t ＋1恒成立，只需t24－t ＋1≥14即可，解得t≤1或t≥3.故选B.12．(文)(2013·江西省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．a<b<c [答案] B[解析] 依题意，0<0.64.2<0.60＝1,70.6>70＝1，log0.67<log0.61＝0，因此c<a<b ，选B. (理)(2013·天津模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12 a ，(12)b ＝log 12 b ，(12)c ＝log2c ，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c [答案] A[解析] 由2a ＝log 12 a 可知a>0⇒2a>1⇒log 12 a>1⇒0<a<12；由(12)b ＝log 12 b 可知b>0⇒0<(12)b<1⇒0<log 12 b<1⇒12<b<1；由(12)c ＝log2c 可知c>0⇒0<(12)c<1⇒0<log2c<1⇒1<c<2，从而a<b<c.∴选A.[点评] 比较一组幂式、对数式形式的数的大小步骤： 第一步：判正负，把正数与负数区分开；第二步：正数与1比较，找出大于1的数和小于1的数，负数转化为比较其绝对值的大小； 第三步：构造函数，利用函数单调性或图象比较，底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用． 第四步：下结论．13．(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x3中有3个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x －1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x≤2log3x －1，x>2，则方程f(x)＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12 ，y ＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n ，故0<n<m<1，②正确；③中函数y ＝f(x －1)的图象是把y ＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f(x －1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log312<2，当log3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f(x)＝12有2个实数根，④正确．故选C.14．已知符号函数sgn(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x 的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln2x ， x>1，－ln2x ， x ＝1，－1－ln2x ， 0<x<1，则令1－ln2x ＝0⇒x ＝e 或x ＝1e (舍去)；令－ln2x ＝0⇒x ＝1； 当－1－ln2x ＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x 有两个零点，故选C. 二、填空题 15．(2014·河南郑州模拟)已知函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(3)＝________. [答案] －2[解析] 由题意y ＝f(x)的图象与函数y ＝2－x －1的图象关于直线y ＝x 对称，令f(3)＝a ，则点(a,3)必在函数y ＝2－x －1的图象上，所以2－a －1＝3，解得a ＝－2，即f(3)＝－2. 16．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间．若g(x)＝x ＋m ＋lnx 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为________． [答案] －1[解析] 由题意得，g(x)的值域为[e ，＋∞)，由x≥e 时，g ′(x)＝1＋1x >0，所以当x≥e 时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.(理)(2014·山东郯城一中月考)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b .则函数f(x)＝log 12 (3x －2)*log2x 的值域为________．[答案] (－∞，0][解析] 易知函数f(x)的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log2x 的图象，由a*b 的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，∴由图象可得f(x)＝⎩⎨⎧log2x ，23<x≤1，log 123x －2，x>1.的值域为(－∞，0]．三、解答题 17．(文)(2014·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a 的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间[0，32]上的最大值．[解析] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x ∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在[0，32]上的最大值是f(1)＝log24＝2.(理)(2013·大连二十四中期中)已知函数f(x)＝ax ＋lnx(a ∈R)． (1)若a ＝2，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处切线的斜率．(2)设g(x)＝x2－2x ＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a 的取值范围．[解析] (1)∵a ＝2，∴f(x)＝2x ＋lnx ，∴f ′(x)＝2＋1x ，∴f ′(1)＝3，故y ＝f(x)在x ＝1处切线的斜率为3.(2)由条件知，f(x)max<g(x)max.∵g(x)＝x2－2x ＋2，x ∈[0,1]，∴g(x)max ＝g(0)＝2，当a≥0时，f(x)＝ax ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故无最大值，不合题意． 当a<0时，∵f ′(x)＝a ＋1x ；当x ∈(0，－1a )时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(－1a ，＋∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在x ＝－1a 时取到极大值，f(－1a )＝－1－ln(－a)．也是f(x)的最大值， ∴－1－ln(－a)<2，∴a<－1e3.18．(文)已知函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋2kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f(x)＝m 有解，求m 的取值范围．[解析] (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x ＋1)＋2kx ＝log4(4－x ＋1)－2kx ， 即log44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log44x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k)x ＝0， 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14. (2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－12x ＝log44x ＋12x ＝log4(2x ＋12x )， ∵2x>0，∴2x ＋12x ≥2，∴m≥log42＝12.故要使方程f(x)＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)．(理)(2014·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋ax(a ∈R)． (1)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，求a 的值；(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt ＋m 对任意x ∈R ，t ∈[－2，1]恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由函数f(x)是定义在R 上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立， 即log4(4x ＋1)＋ax ＝log4(4－x ＋1)－ax ， 所以2ax ＝log44－x ＋14x ＋1＝log414x ＝－x ，所以(2a ＋1)x ＝0恒成立， 则2a ＋1＝0，故a ＝－12.(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4x ＋1)＋ax ＋log4(4－x ＋1)－ax ＝log4(4x ＋1)＋log4(4－x ＋1)＝log4[(4x ＋1)·(4－x ＋1)]＝log4(2＋4x ＋4－x)≥lo g4(2＋24x×4－x)＝1. 所以mt ＋m≤1对任意t ∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧h －2＝－2m ＋m≤1，h 1＝m ＋m≤1，解得－1≤m≤12，故实数m 的取值范围是[－1，12]．。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：对数与对数函数
§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念在表达式a b ＝N (a >0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N .以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N .2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域(0，＋∞)值域R性过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0质当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数一般地，如果在函数y ＝f(x )中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y ＝f (x )的反函数．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m nab ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .(×)(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为()A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增，因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案(3,2)解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．e ln 2＋log 202216log 20224＝________.答案4解析e ln 2＋log 202216log 20224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是()A ．－1 B.12C.710D ．1答案D解析由2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)计算：log 535＋122log －log 5150－log 514＝________.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log ＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a－3b＝________.答案925解析因为2a ＝3，所以a ＝log 23，又b ＝log 85，所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案－1解析原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f (x )＝|ln x |的图象如图，因为f (a )＝f (b )，所以|ln a |＝|ln b |，因为0<a <b ，所以ln a <0，ln b >0，所以0<a <1，b >1，所以－ln a ＝ln b ，所以ln a ＋ln b ＝ln(ab )＝0，所以ab ＝1，则b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令g (x )＝x ＋2x (0<x <1)，则g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )>g (1)＝1＋2＝3，所以a ＋2b >3，所以a ＋2b 的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是()答案B解析∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．log∴函数f(x)＝a x与g(x)＝1b(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝a x的图象如图所示，则函数f(x)＝log a(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝a x的图象可得a>1.当a>1时，y＝log a x经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝log a x与y＝log a(－x)关于y轴对称，所以y＝log a(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝log a(－x＋1)可以看作y＝log a(－x)的图象向右平移一个单位得到的，所以f(x)＝log a(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<a<b答案C解析a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2解对数方程、不等式例4若log a(a＋1)<log a(2a)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案解析由题意log a(a＋1)<log a(2a)<log a1，>1，＋1<2a <1a <1，＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )()A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}，f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|，令g (x )＝|x 2－9|，则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减，当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案A解析令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数．又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减，可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，>1，－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log 2－ax a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案(1，2)解析令u (x )＝x 2－ax ＋12＝＋12－a 24，则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log 2－ax ，－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为()1 B.12，－∞，12D ．[1，＋∞)答案A解析由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )1.2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．3答案B解析依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)，则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1，所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为()答案A解析函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20A 时，放电时间t ＝20h ；当放电电流I ＝30A 时，放电时间t ＝10h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.43B.53C.83D ．2答案B解析根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10，两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即23n ＝12，所以n ＝23321log log 22＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．∅答案B解析不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |，分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)，即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是()A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0)B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2]答案ACD解析将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确；当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈－12，1时，x ＋1∈12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确；当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)2＋log 4＝______.答案10解析2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a >0，解得－14<a ≤2，∴a －14，2.10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解(1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ，∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )，则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12，即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则()A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案A 解析由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6，而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c.12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是()A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案BC 解析函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2时，4x －x 2取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确；因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确；因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为()A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案D 解析因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2，则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是()A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4D ．x 4∈[4，＋∞)答案AC解析作函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈B 错误；x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4C 正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±3，由图象可知x4∈(4＋3，6)，故选项D错误．。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业9对数与对数函数+Word版含解析.docx
课时作业9对数与对数函数［授课提示：对应学生用书第201页］一、选择题1.若函数y=fix)是函数y=a x (a>0,且aHl)的反函数，且./(2)=1,则,心) =() A ・ log2兀 B.y C ・ log )xD. 2X_22解析：夬兀)=log 忒，/(2) = 1, /. log«2 = 1.・：a=2.・\/(x) = log2X. 答案：AA. ( —3,0) B. (-3,0|C. (—I -3)U(0, +oo )D. ( — 8, —3)u (—3,0).*•要使函数yw 有意义, 需使IT ：二，即 _3<x<0-l-2v >0 答案:A3. (2018-河南新乡二模,4)设 a=604, Z?=log 0.40.5, c=log 80.4,则 a, b, c 的大小关系是()A. a<b<cB. c<h<aC. c<a<bD. h<c<a解析：a —6°1 2 3 4> 1, b=logo.40.5W(0,l), c=log8().4v0, /.a>b>c.故选 B. 答案：B]—X 14. (2018-金华模拟)已知函数A^) = lg 丰，若弘)=刁则7(—。
)=( )A- 2 B. -2C2 D * ~2I —x解析:\W = lg 的定义域为-1<X<1,1 +兀 1 —X・・・几_兀)=仗 口 =_览扁=一几力， • •fix)为奇函数，/./ — a)= —j[d) = — 答案:D2. 函数沧的定义域是(解析：•・7(兀)=ln(x+3)、/1一2"5・如果log | x<log | y<0,那么（）2 2A. y<x<\B. x<y<1C. l<x<yD. l<y<x解析:log i x<log i yvlog j 1, /. x>y> 1.2 2 2答案：D6.（2018-河南平顶山模拟）函数^x）=logjx+l|（a>0, aHl）,当兀丘（一1,0）时，恒有yu）〉o,贝9（）A.ZU）在（一8, 0）上是减函数B.几Q在（一8, —1）上是减函数c.几兀）在（0, +8）上是增函数D・.心）在（一 8, —1）上是增函数解析:由题意，函数/U） = 10g侬+l|（Q0且dHl）,则说明函数尢）关于直线兀=一1 对称,当xG（-l,0）时，恒有他>0,即k+l|W（0,l）, 3>0,则0SV1. 又M=k+l|在（一8, —1）上是减函数,（—1, +oo）上是增函如，结合复合函数的单调性可知，/U）在—1）上是增函数.答案：D7.（2018-郑州模拟）己知«=log29-log2V3, b=l+log2苗，c=|+log2Vl3, 则（）A. a>b>cB. b>ci>cC.c>a>bD. c>b>a解析：G = 10g29 —10g2羽= 10g23 羽，b= 1 + log2*\/7 = \ogj2\l7, c=^+ Iog2*\/13 = log2*\/26,因为函数,y=log2x是增函数，且2yli>3y[3>\[26,所以b>a>c.答案：B[l+lg（2—x）, x<l,8.（2018-河北正定质检）设函数伦）= 】则X-98）+XlgI 1 U 9 1 ,30） = （）A. 5B. 6C・ 9 D. 221 （）lg 30解析:几一98）+./（lg 30） = 1 + lg[2-（-98）] +10,g 30'1 = 1 + lg 100+—^~=1 +2+3=6,故选B・答案：B9.（2018-江西九江七校联考，7）若函数/U） = log2（“一or—3a）在区间（一〜一2]上是减函数，则实数a的取值范圉是（）A. （— 8, 4）B. （—4,4]C. （—oo, 4）U[2, +s） D・[—4,4）解析：由题意得^—ax—3a>0在区间（一8, —2]上恒成立且函数y=^—ax —3d在（一I —2]上递减，贝呀$—2且（一2尸一（一2）d—3d>0,解得实数d的取值范围是[-4,4）,选D.答案：D10. 若实数a, h, c 满足log 6/2<log/,2<log r 2,则下列关系中不可能成立的是 （） A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. a<c<h 解析：由log«2<log /?2<log r 2的大小关系，可知a, b, c 有如下四种可能: ①1<c<b<a ；②0Sv1<c<b ；③0<b<a<1<c ；④0<c<b<a<I.作出函数的图象（如图所示）.⑶ （4）由图象可知选项A 不可能成立. 答案：A 二、填空题10<x<100,故函数的定义域为{x|10<x<100}・ 答案:{x|10<r<100}Q12. ______________________________________ 已知 2' = 3, log43=y,则x+2y 的值为 _____________________________11・ （2018•山东济南一模）函数阳=1^-(lg x)2+ 31gx-2 的定义域是 解析：「（閱+3W2>。
高考数学一轮复习 2-6对数与对数函数课时作业 理 新人教B版
第6 讲 对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．logab·logcb ＝logcaB ．logab·logca ＝logcbC ．loga(bc)＝logab·logacD ．loga(b ＋c)＝logab ＋logac解析 logab·logca ＝logab·1logac ＝logab logac＝logcb ，故选B. 答案 B2．(2014·日照模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是 ( )解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(2014·通州模拟)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln3x ，则 ( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，∴a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝2ln x ＝ln x2.又y ＝ln x 是增函数，x2＜x ，∴b ＜a.∵c －a ＝ln3x －ln x ＝ln x(ln2x －1)＞0，∴c ＞a ，∴b ＜a ＜c ，故选C.答案 C4．函数f(x)＝loga(ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，13) D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D. 答案 D5．(2014·长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则 ( )A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)解析 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．答案 B二、填空题6．函数y ＝log 12(3x －a)的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a 3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．(2014·重庆卷)函数f(x)＝log2x·log 2(2x)的最小值为________．解析 显然x ＞0，∴f(x)＝log2x·log 2(2x)＝12log2x·log2(4x2)＝12log2x·(log24＋2log2x)＝log2x ＋(log2x)2＝⎝⎛⎭⎫log2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f(x)min ＝－14. 答案 －148．(2014·淄博一模)已知函数f(x)为奇函数，当x ＞0时，f(x)＝log2x ，则满足不等式f(x)＞0的x 的取值范围是________．解析 由题意知y ＝f(x)的图象如图所示，则f(x)＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝lg 1－x 1＋x， (1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．解 (1)要使f(x)有意义，需满足1－x 1＋x＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)．设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝lg 1－x11＋x1－lg 1－x21＋x2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x11＋x1·1＋x21－x2＝lg 1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＝(1＋x1)(1－x2)＞0，∴1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－＞1， ∴lg 1－x1x2＋x2－x11－x1x2－－＞0， 即f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f(x)＝12(logax ＋1)(logax ＋2) ＝12()log2a x ＋3logax ＋2＝12⎝⎛⎫logax ＋322－18. 当f(x)取最小值－18时，logax ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f(x)是关于logax 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎫loga2＋322－18＝1，则a ＝2，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫2－13 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎫loga8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x ＋15，则f(log220)＝ ( ) A ．1 B ．45C ．－1D ．－45解析 由f(x －2)＝f(x ＋2)，得f(x)＝f(x ＋4)，因为4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x≤12时，4x ＜logax ，则a 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜logax ⎝⎛⎭⎫0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝logax 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝logax ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝logax 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 答案 B13．(2015·湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln x 1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________． 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a(1－a)＝－a2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 14．已知函数f(x)＝3－2log2x ，g(x)＝log2x.(1)当x ∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x ＝－2(log2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log2x ∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x ，令t ＝log2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log2x ∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t ∈[0,2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k<－－t 恒成立，即k<4t ＋9t －15，因为4t ＋9t≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3， 综上，k ∈(－∞，－3)．。
2020届高考数学一轮复习：课时作业9《对数与对数函数》(含解析)
课时作业9 对数与对数函数1．(2019·湖北孝感统考)函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0，ln (3x ＋1)≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B. 2．(2019·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B.3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2.又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝2(lg a －lg b )2＝ 2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4，故选B. 4．若函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 37＋log a 1123＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若a ＞1，则y ＝a －a x 在[0,1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －a ＝0，a －1＝1，解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 1123＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －a ＝1，a －1＝0，无解，故选D. 5．(2019·广东省际名校联考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln5)的值为( B )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4.6．(2019·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )解析：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1＜x ＜0， ∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1＜x ＜0时，函数g (x )单调递减，故选C.7．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，e)B ．(0，e)C ．(e ，＋∞)D ．(－∞，1) 解析：由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x －ln(x ＋a )＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，则ln a ＜1，即0＜a ＜e ，则a 的取值范围是(0，e)，当a ≤0时，y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象总有交点，故a 的取值范围是(－∞，e)，故选A.8．(2019·广东省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)，∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为－14 .解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.10．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝9__. 解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1， 所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增， 所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )＝log a (a 2x ＋t )，其中a ＞0且a ≠1.(1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．解：(1)∵log 2(22x ＋t )＜x ＝log 22x ，∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x 恒成立，即t ≥－22x ＋2x ＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122＋14， ∴当2x ＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x ＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m ，f (n )＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m ，a 2n ＋t ＝a n ， 问题等价于关于k 的方程a 2k －a k ＋t ＝0有两个不相等的实根， 令a k ＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根， 即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎨⎧ t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2＞0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则( B )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2＞0， 故x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)同号，则x 1－x 2与x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫即f (x 1)x 1－f (x 2)x 2同号， ∴函数y ＝f (x )x 是(0，＋∞)上的增函数，∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log 25＞2，∴0.32＜30.2＜log 25，∴b ＜a ＜c ，故选B.14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知．要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a (6＋2)＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值范围是(8，＋∞)． 15．(2019·吉林长春模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是奇函数；③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017.其中真命题的序号是①②③④__.(写出所有真命题的序号)解析：对于①，∵x2＋1＞x2＝|x|≥－x，∴x2＋1＋x＞0，∴f(x)的定义域为R，∴①正确．对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋x2＋1)＋ln(－x＋(－x)2＋1)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln1＝0.∴f(x)是奇函数，∴②正确．对于③，令u(x)＝x＋x2＋1，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋x2＋1＝1x2＋1－x，而y＝x2＋1－x在(－∞，0]上单调递减，且x2＋1－x＞0.∴u(x)＝1x2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u(0)＝1，∴u(x)在R上单调递增，∴f(x)＝ln(x＋x2＋1)在R上单调递增，∴③正确．对于④，∵f(x)是奇函数，而f(a)＋f(b－1)＝0，∴a＋(b－1)＝0，∴a＋b＝1，∴④正确．对于⑤，f(x)＝g(x)－2 017是奇函数，当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max＝M－2 017，f(x)min＝m－2 017，∴(M－2 017)＋(m－2 017)＝0，∴M＋m＝4 034，∴⑤不正确．16．已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m (x －1)(7－x )恒成立， ∴x ＋1x －1＞m (x －1)(7－x )＞0， ∵x ∈[2,6]，∴0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0＜m ＜7.故实数m 的取值范围为(0,7)．。
2019高三数学北师大版理科一轮：课时规范练9 对数与对
课时规范练9对数与对数函数基础巩固组1.函数y=log23(2x-1)的定义域是()A.[1,2]B.[1,2)C.1,1D.1,12.已知函数f(x)=log2x,x>0,3-x+1,x≤0,则f(f(1))+f log31的值是()A.2B.3C.4D.53.(2017广西名校联考,理7)已知x=ln π,y=lo g1332,z=π-12,则()A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x4.(2017安徽淮南一模)已知e是自然对数的底数,a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,则“log a2>log b e”是“0<a<b<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017福建龙岩模拟)已知y=log a(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上是减少的,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.[2,+∞)6.若函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上是增加的,则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C.0,1D.(3,+∞)7.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为()A.12B.14C.2D.48.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.12xC.lo g12xD.2x-29.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-1,且在区间(0,1)内f(x)=3x,则f(log354)=()A.32B.23C.-32D.-23〚导学号21500710〛10.(2017湖北荆州模拟)若函数f(x)=log a x,x>2,-x2+2x-2,x≤2(a>0,且a≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a的取值范围是.11.函数f(x)=log2x·lo g2(2x)的最小值为.12.已知函数f(x)=log a(ax2-x+3)在[1,3]上是增加的,则a的取值范围是.综合提升组13.(2017全国Ⅰ,理11)若x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+15,则f(log220)等于()A.1B.45C.-1D.-4515.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c16.已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是.创新应用组17.(2017北京,理8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093 〚导学号21500711〛18.(2017安徽马鞍山一模)已知函数f (x )=x-a ln x ,当x>1时,f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(e,+∞)D.(-∞,e)参考答案课时规范练9 对数与对数函数1.D 由lo g 2(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒12<x ≤1.2.D ∵log 312<0,由题意得f (f (1))+f log 312 =f (log 21)+3-log 312+1=f (0)+3log 32+1=30+1+2+1=5. 3.D x=ln π>1,y=lo g 122<lo g 1 33=12,z=π-12=π∈ 12,1 .∴x>z>y.故选D .4.B 当a>1,0<b<1时,log a 2>0,log b e <0,推不出0<a<b<1,不是充分条件;当0<a<b<1时,log a 2>log b 2>log b e,是必要条件,故选B .5.C 因为y=log a (2-ax )(a>0,且a ≠1)在[0,1]上是减少的,u=2-ax 在[0,1]上是减少的,所以y=log a u 是增加的,所以a>1.又2-a>0,所以1<a<2.6.D ∵a>0,且a ≠1,∴u=ax-3为增加的,∴若函数f (x )为增加的,则f (x )=log a u 必为增加的,因此a>1.又y=ax-3在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即a>3,故选D .7.C 显然函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.8.A 由题意知f (x )=log a x.∵f (2)=1,∴log a 2=1. ∴a=2.∴f (x )=log 2x.9.C 由奇函数f (x )满足f (x+2)=-1f (x ),得f (x+4)=-1f (x +2)=f (x ),所以f (x )的周期为4,f (log 354)=f (3+log 32)=f (-1+log 32)=-f (1-log 32)=-31-log 32=- 3×12 =-32.10. 12,1 当x ≤2时,f (x )=-x 2+2x-2=-(x-1)2-1,f (x )在(-∞,1)内是增加的,在(1,2]上是减少的,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是-1.又f (x )的值域是(-∞,-1],∴当x>2时,log a x ≤-1,故0<a<1,且log a 2≤-1,∴12≤a<1. 11.-14 显然x>0,∴f (x )=log 2 x ·lo g 2(2x )=12log 2x·log 2(4x 2)=12log 2x·(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2= log 2x +12 2−14≥-14.当且仅当x= 22时,有f (x )min =-14.12. 0,16 ∪(1,+∞) 令t=ax 2-x+3,则原函数可化为y=f (t )=log a t.当a>1时,y=log a t 在定义域内是增函数,故t=ax 2-x+3在[1,3]上是增加的,所以 12a≤1,a -1+3>0,a >1,可得a>1;当0<a<1时,y=log a t 在定义域内是减函数,故t=ax 2-x+3在[1,3]上是减少的,所以 12a≥3,9a -3+3>0,0<a <1,可得0<a ≤16.故a>1或0<a ≤16.13.D 由2x =3y =5z ,同时取自然对数,得x ln2=y ln3=z ln5.由2x 3y =2ln 33ln 2=ln 9ln 8>1,可得2x>3y ;再由2x 5z =2ln 55ln 2=ln 25ln 32<1,可得2x<5z ; 所以3y<2x<5z ,故选D .14.C 由f (x-2)=f (x+2),得f (x )=f (x+4). 因为4<log 220<5, 所以f (log 220)=f (log 220-4) =-f (4-log 220) =-f log 245=- 2log 245+15=-1.15.C (特殊值验证法)取a=3,b=2,c=12,因为 3> 2,所以A 错; 因为3 = 2 = 所以B 错; 因为3log 212=-3<-2log 32=2log 312,所以C 正确; 因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错,故选C .16.(-∞,-2)∪ 0,12 由已知条件可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-log 2(-x ).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<12;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪0,12.17.D设MN =x=336110,两边取对数,得lg x=lg336110=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D.18.D f'(x)=1-ax =x-ax,当a≤1时,f'(x)≥0在(1,+∞)内恒成立,则f(x)是增加的,则f(x)>f(1)=1恒成立,∴a≤1.当a>1时,令f'(x)>0,解得x>a;令f'(x)<0,解得1<x<a,故f(x)在(1,a)内是减少的,在(a,+∞)内是增加的.所以只需f(x)min=f(a)=a-a ln a>0,解得1<a<e.综上,a<e,故选D.。
高考数学一轮复习全程复习构想·数学(理)【统考版】课时作业9 对数与对数函数练习
课时作业9 对数与对数函数[基础落实练]一、选择题1．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n ＝( ) A ．3 B ．34C ．9D ．922．函数y ＝log 3（2x －1）＋1 的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 3．[2022·天津南开区模拟]函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( )A ．[－2，0)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[2，＋∞)4．[2021·河北九校第二次联考]设a ＝4−12，b ＝log 1213 ，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a5．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 二、填空题6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________． 7．已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x >1，e x －2，x ≤1， 若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．三、解答题9．已知函数f (x －3)＝log a x 6－x(a >0，a ≠1). (1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32 上的最大值．[素养提升练]11．[2023·福建漳州调研]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )为减函数，则不等式f (log 13(2x −5))>f (log 38)的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4116 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >132 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4116或x >132 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <132 12．[2023·济南检测]已知函数y ＝log a (2x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则b ＝________．13．[2023·吉林长春模拟]若函数f (x )＝log a (x 2－26 x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________．14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数． (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[培优创新练]16．形如y ＝1|x |－1的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f (x )＝log a (x 2＋x ＋1)(a >0，a ≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y ＝log a |x |的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．617．[2023·重庆调研]设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调增函数；②存在[m ，n ]⊆D (n >m )，使得f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，那么就称y ＝f (x )是定义域为D 的“成功函数”．若函数g (x )＝log a (a 2x ＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，14B ．⎝⎛⎦⎤0，14 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，14 D ．⎝⎛⎭⎫14，＋∞。
高考数学一轮复习 课时作业(九)第9讲 对数与对数函数 文-人教版高三全册数学试题
课时作业(九)第9讲对数与对数函数时间/30分钟分值/80分基础热身1.[2017·某某三模]已知集合M=x f(x)=,N=x>1,则集合M∩N=()A.B.(1,+∞)C.D.2.[2017·孝义模拟]函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.[2017·某某某某二模]已知a=log0.34,b=log43,c=0.3-2,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b4.[2017·某某如东县、某某丰县联考]计算÷10=.5.已知函数f(x)=则f[f(1)]+f的值是.能力提升6.函数y=lg|x-1|的大致图像是()A B C D图K9-17.若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值X围是 ()A.(0,1)B.C.D.(0,1)∪(1,+∞)8.若函数f(x)=log a(a>0且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.9.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为()A.3B.2C.D.10.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则+的值为()A.36B.72C.108D.11.设直线x=m(m>1)与函数f(x)=log a x,g(x)=log b x的图像及x轴分别交于A,B,C三点,若|AB|=2|BC|,则()A.b=a2或a=b2B.a=b-1或a=b3C.a=b-1或b=a3D.a=b312.设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0成立的x的取值X围是.13.设函数f(x)满足f(x)=1+f log2x,则f(2)=.14.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是. 难点突破15.(5分)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A.B.3C.D.416.(5分)已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值X围是.课时作业(九)1.D[解析] 由f(x)=求得其定义域为M=,而N={x|0<x<1},所以M∩N=x<x<1.故选D.2.A[解析] 因为3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>0,所以函数f(x)的值域为(0,+∞),故选A.3.A[解析] 因为a=log0.34<log0.31=0,0<b=log43<log44=1,c=0.3-2==>1,所以a<b<c.故选A.4.-20[解析]÷10=lg÷10-1=-20.5.5[解析] 由题意可知f(1)=log21=0,所以f[f(1)]=f(0)=30+1=2,又f=+1=+1=2+1=3,所以f[f(1)]+f=5.6.A[解析] 因为y=lg|x-1|=当x=1时,函数无意义,故排除B,D.又当x=0时,y=0,所以排除C.故选A.7.C[解析] 由题意得0<a<1,故必有a2+1>2a,且2a>1,所以1>a>.故选C.8.A[解析] 令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=log a x为增函数,又M=-,所以M的单调递增区间为,又x2+x>0,所以x>0或x<-,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).故选A.9.B[解析] 函数y=a x与y=log a x在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=a x+log a x在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+log a1)+(a2+log a2)=a+a2+log a2=log a2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选B.10.C[解析] 设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,所以+===108.所以选C.11.C[解析] 由题意可知A(m,log a m),B(m,log b m),C(m,0),因为|AB|=2|BC|,所以log a m=3log b m或log a m=-log b m,所以log m b=3log m a或log m a=-log m b,所以b=a3或a=b-1.故选C.12.(-1,0)[解析] 由f(x)是奇函数可得a=-1,所以f(x)=lg,定义域为(-1,1).由f(x)<0,可得0<<1,所以-1<x<0.13.[解析] 由已知得f=1-f·log22,则f=,则f(x)=1+·log2x,故f(2)=1+·log22=.14.(1,2][解析] 当x≤2时,f(x)≥4.又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以解得1<a≤2,所以实数a的取值X围为(1,2].15.C[解析] 由已知得2x=5-2x,2log2(x-1)=5-2x,即2x-1=-x,log2(x-1)=-x,作出y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图像(图略),由图可知y=2x-1与y=log2(x-1)的图像关于直线y=x-1对称,它们分别与直线y=-x的交点A,B的中点就是直线y=-x与直线y=x-1的交点C,x C==,所以x1+x2=,故选C.16.(-∞,4][解析] 令t(x)=x2-ax+a,则由函数f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t(x)在区间(2,+∞)上是增函数,且t(2)≥0,所以解得a≤4,所以实数a的取值X围是(-∞,4].。
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[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·辽宁五校二联] 若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则( )A ．a ＝2，b ＝2B ．a ＝2，b ＝2C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 22．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)3．[2011·莆田质检] 已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )4．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 能力提升5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 86．[2012·淄博模拟] 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c7．[2012·金华一中月考] 函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．原点对称8．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．49．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝ln x －1与y ＝－x (x >0)的图象的一个交点，则ln x 20＋2x 0＝________.11．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.12．已知log a (3a －1)恒为正数，那么实数a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)、f (1)、f (3)的大小关系为________．14．(10分)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．求f(log2x)的最小值及对应的x值．15．(13分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)若已知函数的值域为R，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知f(x)＝log a x，g(x)＝2log a(2x＋t－2)(a>0，a≠1，t∈R)．(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．课时作业(九)【基础热身】1．A [解析] 由题意列方程可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a－1＋b ，1＝log a 0＋b ，解得a ＝2，b ＝2，故选择A.2．A [解析] 因为3x＋1>1，所以log 2(3x＋1)>0，故选A.3．D [解析] 由题可知0<a <1，函数g (x )的图象由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.4．D [解析] 原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.【能力提升】5．C [解析] 依题意有log a (x 1x 2…x 2011)＝8，而f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22011)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22011＝log a (x 1x 2…x 2011)2＝2log a (x 1x 2…x 2011)＝2×8＝16.6．D [解析] 由对数函数的性质知，log 45>1,0<log 54<1,0<(log 53)2<1，即c 最大，排除A 、B ；又b ＝(log 53)2<(log 54)2<log 54＝a ，所以b <a <c ，选D.7．D [解析] f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg 1＋x 1－x ，易得其定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x1－x＝0，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以图象关于原点对称．故选D.8．C [解析] 无论a >1还是0<a <1总有a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x－2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．2 [解析] 由已知得ln x 0－1＝－x 0，即ln x 0＋x 0＝1，所以ln x 20＋2x 0＝2(ln x 0＋x 0)＝2.11.54 [解析] 原式＝12log 23＋13log 23log 32＋12log 32＝56log 23·32log 32＝54. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞) [解析] 当a >1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得3a －1>1，解得a >23，故a >1；当0<a <1时，由log a (3a －1)>0＝log a 1，得0<3a －1<1，解得13<a <23.13．f (1)＜f (－2)＜f (3) [解析] 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．14．[解答] 因为f (x )＝x 2－x ＋b ，所以f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. 因为a ≠1，所以log 2a ＝1，所以a ＝2. 又log 2f (a )＝2，所以f (a )＝4.所以a 2－a ＋b ＝4，所以b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.所以当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.15．[解答] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， 所以函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)由图象可知需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，解得0<a ≤13.(3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.【难点突破】16．[解答] (1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a 2x ＋22x，x ∈[1,2]．令h (x )＝2x ＋22x＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2，∵x ∈[1,2]，∴h (x )∈[16,18]． 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a 18＝2，解得a ＝32>1，舍去； 当a >1时，F (x )min ＝log a 16，令log a 16＝2，解得a ＝4>1，∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立 ⇔log a x ≥log a (2x ＋t －2)对x ∈[1,2]恒成立 ⇔t ≥－2x ＋x ＋2对x ∈[1,2]恒成立⇔t ≥1.。