天体运动计算题

(2)

解析:有

天体运动计算题

1.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间

t,小球落到星

球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L .若抛出时的初速增大到 2倍，则抛出点与落 地点之间的距离为、一3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ,万有引力常

数为G,求该星球的质量 M.

解：设抛出点的高度为 h ，第一次抛出时水平射程为 x ;当初速度变为原来 2倍时，水平射

由几何关系可知：L 2 = h 2+ x 2① M L)2= h 2+ (2x) 2 ②

设该星球表面的重力加速度为 g

则竖直方向h = : gt 2③

又因为二 =mg(或GM = gR 2)④

2•在地球某处海平面上测得物体自由下落高度 h 所需的时间为t ，到某高山顶测得物体自由

落体下落相同高度所需时间增加了

t ，已知地球半径为 R ，求山的高度。

由③④联立，得M =

2©但

3Gt :

程为2x ，如图所示

①②联立，得:

■1/1 = ---

由以上各式可以得出

T

3.人类对宇宙的探索是无止境的。 随着科学技术的发展， 人类可以运送宇航员到遥远的星球

去探索宇宙奥秘。假设宇航员到达了一个遥远的星球，此星球上没有任何气体。此前， 宇航

员乘坐的飞船绕该星球表面运行的周期为

T ，着陆后宇航员在该星球表面附近从

h 高处以初

速度V 。水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为

L ,已知万有引力常量为 G 。

（1）求该星球的密度；（2 ）若在该星球表面发射一颗卫星，那么发射速度至少为多大？

_GT 2

5

4. 一组宇航员乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面

h =6.0 10 m 的圆形轨道上的哈

勃太空望远镜H 。机组人员使穿梭机 s 进入与H 相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则 在穿梭机前方数千米处，如图所示。设

G 为引力常量， M 为地球质量（已知地球半径为

6 2

R =6.4 10 m ，地球表面重力加速度取 9.8m/ s ）。

【解析】（1）在星球表面

GMm

R 2

二 m —2

T 2

GMm

R 2

=mg 4

二 R 3

解得

另得到:

R 二 g T

2

（2）设星球表面的重力加速度为

1 2

故有 h = £ gt w L = v 0t _

g ，小球的质量为 m ，小球做平抛运动,

解得

2

2hv

o

该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度,

设为为v ,设卫星的质量为 m-i ，

则在星球表面

2

m 1M v G —2

mi -

R

R

mM G-R ^

gg

代入（1）问中的R 解得v 二

2

hTv

。

5.2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心发射升空， 11 月26日，中国第一幅月图完美亮相，中国首次月球探测工程取得圆满成功•我国将在 2017 年前后发射一颗返回式月球软着陆器， 进行首次月球样品自动取样并安全返回地球. 假设探

月宇航员站在月球表面一斜坡上的

M 点，并沿水平方向以初速度 V 。抛出一个质量为 m 的小

球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点 N,斜面的倾角为［，已知月球半径为 R,月球的 质量分布均匀，万有引力常量为 G 求:

(1 )月球表面的重力加速度 g / ； (2) 小球落在斜面上时的动能；

(3) 人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度.

(1) 在穿梭机内，一质量为 m =70kg 的太空人站在台秤上视重是多少? (2) 计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率。

(3)

穿梭机需首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜。试判断穿梭机

要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，说明理由。

【解析】(1)穿梭机内物体由地球万有引力提供向心力，处于完全失重状态， 故该太空人视重为 0.

(2)在距地球表面h 高处：G Mm =：mg

(R+h)

在地球表面G —mm R =mg

gR

2

(R h)2

2

:8.2m/s 2

v

由 mg ' = m —

R +h

得v = , g '(R h^ .8.2 7 1 06m/s ： 7.6 103m/s

(3)要减小其原来速率。

v 减小，则m

2

v

(R h)

Mm (R h)2

，穿棱机做靠近地球的运动，进入较低轨道

答案：(1)0

(2) 7.6 103m/s

1 2

(1) v 0t = Leos ：

2 gt Lsin :

/

2v 0 tan 二

g

/

t 、2/3 >.

d 二R-R=( ) R-R

t —T

7.火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动， 已知火星的

轨道半径r 火=1.5 1011 m ，地球的轨道半径r 地=1.0 1011 m ，从如图所示的火

星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球 年？（保留两位有效数字）

解：设行星质量m ，太阳质量为 M ,行星与太阳的距离为 r ，根据万有引力定律， 行星受太

阳的万有引力 F 二（ 2分）

r

行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

(2) V y

二

g 't 二 2v 0 tan:-

E k

1

2

2

1 2

2

m(v 0 V y ) mv 0(1 4tan :) 2 2

(3) mg / 二m*

^ g /^ 细 tan ： R

R

li t

6.科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔 时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是 R ,周期是T ,设地球和小行星都

是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

解：设小行星绕太阳周期为

T ，T>T,地球和小行星没隔时间 t 相遇一次，则有

丄-丄T T / tT

T T /

设小行星绕太阳轨道半径为

"t -T

R,万有引力提供向心力有

/ 2 Mm / 4-

/

二m — R

R

T

同理对于地球绕太阳运动也有

Mm

7

由上面两式有

R /3 T /2

宀(丄

t —T

)2/3R (1 分)

以上式子联立

m M 4 二 G

7J r

故T 2

4 二 3

r GM

(1 分) 所以当地球和小行星最近时

火星