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北京市清华附中2019~2020学年初三上学期12月月考数学试卷及参考答案

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2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(答案版)

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(答案版)

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝06．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB 于点E，则AD的长为．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y＝（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C ．【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．πD ．π【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：扇形的面积＝＝π． 故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形＝πR 2或S 扇形＝lR （其中l 为扇形的弧长）． 3．如图4，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长为（ ）A．B．10C．3D．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a＝﹣，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB ＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB ＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c＝0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP＝BD，有PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC 正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE＝PB•PC；③正确．【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CPA＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△PAC，则＝，＝，+＝+≠1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CPA∴△PBE∽△PAC∴∴PA•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x≤．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【分析】由这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【分析】由图象确定正方形边长，再表示x＞2时△AEF的面积，讨论△AEF面积的最大值．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y＝当x＝﹣时，y最大＝故答案为：【点评】本题是双动点函数图象探究题，考查了学生对动点到达临界点前后函数图象的变化意义的理解，解答时注意数形结合．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA＝DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA＝OB，故DE＝CE，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【分析】（1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD＝，∴BD＝＝；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入y＝，求出k的值；（2）设点P的坐标为（x，），根据OP＝OA列出方程x2+（）2＝12+22，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y＝的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．【分析】（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；（2）①分别利用∠NEB＝90°和∠ENB＝90°，结合切线的性质得出m的值；②首先求出NG：EN＝，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0＝﹣x+m，解得：x＝m，故B点坐标是（用含m的代数式表示），∵一次函数y＝﹣x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴PA＝，∴m＝2+，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2+；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则PA＝m﹣2，PH＝，∵＝，∴EB＝，EN＝EO＝，EG＝，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN＝，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴＝，∴＝，解得：m＝．【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．。

2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题

2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题

清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8B. 12C. 16D. 203.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =B. 2b a =C. 4a b =D. 4b a =4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.2B.2-6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B.C.D.8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题；共30分）9.直线y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.19.已知函数221()(1)2xf x a x eax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。

北京市海淀区清华附中2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(12月份) 解析版

北京市海淀区清华附中2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(12月份) 解析版

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝，＝．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；故选：B．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，﹣2，﹣4．故选：A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12．∴tan B＝＝．故选：A．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可由二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到．故选：D．5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形相似，说法正确；B、有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；C、有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；D、任意两个正方形相似，说法正确；故选：C．7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看能配成一副的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：设其中一副手套分别为a，a′；另一副手套分别为b，b′．共有12种情况，能配成一副的有4种情况，所以刚好是一副的概率是＝，故选：B．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2的对称轴为x＝﹣1，C（0，﹣2），∴C点关于对称轴对称的点C'（﹣2，﹣2），过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE＝C'E，则C'F＝CE+EF＝C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线y＝﹣x+3，∴C'F的解析式为y＝x+，∴F（，），∴C'F＝，故选：C．二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为45°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A＝45°，故答案为：45°．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为27 ．【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的周长为9，∴△ABC的周长为27，故答案为27．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940 ．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.940．【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940．故答案为0.940．12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是96πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：扇面的面积＝S大扇形﹣S小扇形＝﹣＝96πcm2，故答案为96πcm2．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为a＞﹣．【分析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，即：抛物线位于x轴上方，与x轴无交点，也就是△＜0．【解答】解：无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，∴抛物线位于x轴上方，即：（2a+1）2﹣4（a2﹣1）＞0解得：a＞﹣，14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为68°．【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC＝180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵将沿BC翻折，交AC于点D，∴∠A+∠BDC＝180°，设∠A＝α，∴∠BDC＝180°﹣α，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴180°﹣α＝α+44°，∴α＝68°，故答案为：68°．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为（2，2）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，点P即为所求，P（2，2）．故答案为（2，2）．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝67.5°，＝．【分析】根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD＝+1，再证△ADE∽△BDA，得ED＝＝﹣1，BE＝2．所以＝．【解答】解：连接BC、CD，作AF∥CD，交BE于F，∵＝，∴AC＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵点D是弧AC的中点，∴可设AD＝CD＝1，∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝67.5°根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°．∴△ADF是等腰直角三角形，则AF＝，BF＝AF＝．∴BD＝+1．∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∴DE＝＝﹣1，BE＝2．∴＝．故答案为67.5°，．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．【解答】解：原式＝1+4××﹣×，＝1+﹣1，＝．18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．【分析】（1）根据作法即可用直尺和圆规补全图形；（2）根据作图过程即可完成证明．【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B＝∠C＝60°，根据等式性质求出∠BAD＝∠EDC，即可证明△ABD∽△DCE．（2）根据相似三角形的对应边成比例得出＝，列方程解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，（2）解：∵△ABD∽△DCE∴＝，设正三角形边长为x，则＝，解得x＝9，即△ABC的边长为9，周长为27．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．【解答】解：在Rt△ADC中，∵，CD＝100，∴AD＝tan30°•CD＝，在Rt△BDC中，∵，CD＝100，∴BD＝tan20°•CD≈0.36×100＝36∴AB＝57.7+36＝93.7米．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）先确定m的最大整数为0，则方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，解得m≤；（2）m的最大整数为0，方程为x2﹣x﹣1＝0，△＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．【分析】（1）根据交点式得出y＝a（x+4）（x﹣2），将（0，﹣2）代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过点（﹣4，0），∴抛物线经过点（2，0），设y＝a（x+4）（x﹣2），把（0，﹣2）代入解得：a＝，故解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，∴函数有最小值﹣，把x＝4代入得y＝4，∴﹣4＜﹣1＜4，∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是﹣≤y＜4．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠ABD即可解决问题．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝75°+60°＝135°．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，∴BE＝2x﹣x，在Rt△BDE中，∵BD2＝DE2+BE2，∴2＝x2+（2x﹣x）2，解得x＝，∴AD＝2x＝+1．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．【分析】（1）连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，根据圆周角定理得出△PBD是直角三角形，进而求得∠ABC＝∠D，即为直角三角形求得直径BD，根据sin∠ACB＝，得到＝，然后设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，根据勾股定理得到（2x）2+52＝（5+x）2，解得x的值，即可求得AB的长．【解答】（1）证明：连结OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 3.17 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为 1.5 cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为 2.3或5或0.5 cm．【分析】（1）利用测量法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）①根据函数图象寻找最低点解决问题即可．②根据图中A，B，C的横坐标的值即可判断．【解答】解：（1）利用测量法可知当x＝4时，DF＝3.17．故答案为3.17．（2）函数图象如图所示：（3）①观察图象可知，当x＝1.5时，DF的值最小，故答案为1.5．②两个函数的函数值y＝4时，△BDF是等腰三角形，此时A（2.3，4），B（5，4），∴x＝2.3或5时，△BDF是等腰三角形．两个函数的交点C的横坐标约为0.5，∴x＝0.5时，△BDF是等腰三角形．综上所述，x的值为2.3或5或0.5．故答案为2.3或5或0.5．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a即可求出MN的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a ＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，y＝a要在线段AB的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点，∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，∴y＝a要在线段AB的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝α（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形；（2）由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．【解答】解：（1）如图1所示；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵点B关于直线AP的对称点为D，∴AP垂直平分BD，∴AB＝AD，且AP⊥BD，∴∠BAP＝∠PAD＝α，∴∠DAC＝60°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ACD＝＝60°+α，∴∠BCD＝α，故答案为：α；（2）S△DEC＝2S△ABE，理由如下：如图2，过点A作AH⊥CD，连接EH，∵AC＝AD，AH⊥CD，∴DH＝CH，∴S△DEC＝2S△DEH，∵DE∥AH，∴S△AED＝S△DEH，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴S△BAE＝S△DAE，∴S△DEC＝2S△ABE．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．【分析】（1）①根据“正方距”的定义，d（点E）＝EC，d（点G）＝GA．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，由此写出α的范围即可．（2）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，求出OP的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，连接AG．由题意：d（点E）＝EC＝6，d（点G）＝GA＝＝．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°时，满足条件．（3）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，设图中P（m，m），∵PB＝6，∴m2+（4+m）2＝36，解得m＝﹣2+或﹣2﹣（舍弃），∴P（﹣2+，﹣2+），∴OP的最大值＝OP＝m＝﹣2+2，∵OP的最小值＝OP′＝2，∴2≤OP≤﹣2+2．。

2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题(解析版)

2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题(解析版)

清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤【答案】C 【解析】集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】B 【解析】 分析】用1a 和公差d 表示出13S 和439a a a ++即得． 【详解】设数列公差为d ，则131113121313(6)522S a d a d ⨯=+=+=，164a d +=， ∴48911113783(6)3412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.．故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等差数列的基本量运算，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．3.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b = B. 2b a = C. 4a b = D. 4b a =【答案】D 【解析】【因为212log log a b +=222log log log 2b a b a -==,所以224b a==，4b a =，故选D. 4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B 【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱11ABEA DCFD - ，则截去的部分是三棱柱11BB E CC F - ，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.B.C.D.22-【答案】D 【解析】由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即d ===mm =，故选D . 6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】若函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则()()f x f x -=()()f x f x -=-， ∴221ln ln ln 2111x x a a x x x ax-⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭++， ∴()()21lnln12a a x xxa a x-++=-++∴()()2112a a x xxa a x-++=-++，整理得()222221a a x x -+=-,故221(2)1a a ⎧=⎨+=⎩，解得1a =-. 总上可得，“1a =-”是“函数2()ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”的充分必要条件.选C. 7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B 【解析】 【分析】确定立定跳远进入决赛的是1至8号同学，然后根据各选择项对四位同学是否一定进行决赛进行分析． 【详解】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a ≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意； 9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛． 只有5号可肯定进入跳绳决赛． 故选：B.【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的概念是解题基础．（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略．（2）演绎推理常考的推理形式还包括假言推理，即根据假言命题的逻辑性质进行的推理，解决这类问题常用方法①充分条件假言推理，②必要条件假言推理二、填空题（共6小题；共30分）9.直线3y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________.【答案】【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】直线方程一般式为0x -=，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为1d ==，圆半径为2r =，所以弦长为==．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何方法，由垂径定理知可用勾股定理求出弦长． 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π.【解析】 【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin sin A a C c ==所以2sin 1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc=．【考点】解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【此处有视频，请去附件查看】12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【解析】过点Q 作QN ⊥平面ABCD ，垂足为N ， 则点N 在线段AC 上，连接,PQ PN ,在Rt PNQ V 中，PQ ==，在平面ABCD 内过点M 作ME AC ⊥，垂足为E ，则2ME =，即M 到直线AC 的最短距离为2， 又1PM =，当P ME ∈时，此时min 11PN ME =-=,所以min PQ ==.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.【答案】-3. 【解析】 【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案. 【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ,AC 中点1,22N ⎛- ⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+u u u u r，32BN ⎛=- ⎝⎭u u u r3(1)22AM BN x y⋅=-++u u u u r u u u r .∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x y =，∴3AM BN ⋅=-u u u u r u u u r∵0y剟0y =时，AM BN ⋅u u u u v u u u v的最小值为-3.故答案为-3【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．【答案】10 【解析】解：设AC m =，由题意可得：3,DC m AB == ，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯ ， ABC构成三角形，则：2{2m m +>-<，解得：24m <<，由余弦定理：BD ===，当4m =时，BD u u u r取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列； (2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n b n n =+；（2）2(1)n nS n =+．【解析】 【分析】 （1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性； （2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和． 【详解】（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n是等差数列，公差为2，又141b=，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+． 2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列． （2）11111()2(1)21n b n n n n ==-++， ∴111111[(1)()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++L ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的单调性，考查裂项相消法求和．在数列求和中有些特殊数列求和方法需要掌握：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法等等．16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- ，，）求()f x 的单调递增区间； ，，）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.【答案】，，，5[,],.1212k k k ππ-+π+π∈Z ，，，5π12- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()()2cos sin f x x x x =+22cos sin x x x =⋅+πsin22sin 23x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 由π222,232k x k k Z ππππ-+≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间是5,,.1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）因为π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π22,333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-， 即πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,6m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 所以ππ232m +≤-，即5π12m ≤-. 所以m 的最大值为5π12-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，，13PE PD =. 【解析】【分析】 （1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，得PO ⊥平面ABCD ，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角；（3）假设棱PD 上存在一点E ，使得//AE 平面PBC ，设PE PD λ=u u u r u u u r ，由AE u u u r 与平面PBC 的法向量垂直求得λ，如果求不出，说明不存在.【详解】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，由于PAD ∆是等边三角形，所以PO AD ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD，PO =，以AP 为x 轴，AC 为y 轴，过A 平行于PO 直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)D ，(0,1,0)C ，11(,,0)22B -，P ，(1,1,PC =-u u u r ，11(,,0)22BC =u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则011022n PC x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =-，则1y =，3z =，(1,1,3n =-r ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =u r ， 的cos,10m nm nm n⋅<>===u r ru r ru r r，∴平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为10；（3）假设棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，设PE PDλ=u u u r u u u r(01)λ≤≤，由（2）(1,0,PD=u u u r，AP=u u u r，10AE AP PE AP PDλλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(，又平面PBC的一个法向量是(1,1,3n=-r，∴1)0AE nλ⋅=--+=u u u r r，解得13λ=，∴13PEPD=.∴棱PD上存在一点E，使得//AE平面PBC，，13PEPD=.【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行．解题是建立空间直角坐标系．18.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为1F，2F，离心率为12，点P为椭圆C上一动点，且12PF F△，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点()11,M x y，()22,N x y为椭圆C上的两个动点，当1212x x y y+为多少时，点O到直线MN的距离为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）当1212x x y y+＝0时，点O到直线MN.【解析】【分析】（1）12PF F△的面积最大时，P是短轴端点，由此可得bc=222a b c=+可得,a b，从而得椭圆方程；（2）在直线MN斜率存在时，设其方程为y kx m=+，现椭圆方程联立消元（y）后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．【详解】（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c aa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆方程为22143x y +=． （2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的距离为d =2221m d k =+， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+， 所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，7d =为常数． 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的距离为定值7. 【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 19.已知函数221()(1)2x f x a x e ax a x -=-----，其中()a a ∈R 为常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.【答案】（1）1y =-；（2）(1,0)-．【解析】【分析】（1）求出导数，得切线斜率，可得切线方程；（2）求出导函数()f x '，分类讨论求()0f x '=的根，讨论()f x 的单调性，得极值点．要极值点在(0,1)上才能满足题意．【详解】（1）1()x x f x e +=-，()x x f x e '=，(0)0f '=，又(0)1f =-，所以切线方程为1y =-． （2）2()()()()xx f x a x e ax a x a e a --'=+--=+-， 由（1）知0a =不合题意，当0a <时，由()0f x '=得x a =-，且当x a <-时，()0f x '<，x a >-时，()0f x '>，x a =-是()f x 的极小值点，由题意01a <-<，所以10a -<<．当0a >时，由()0f x '=得1x a =-或2ln x a =-，10x a =-<，若1a ≥，则2ln 0x a =-≤，则当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数，所以()f x 在(0,1)上是单调函数，无极值点，当01a <<时，ln 0a ->，x a <-或ln x a >-时，()0f x '<，ln a x a -<<-时，()0f x '>，即()f x 在(,)a -∞-，(ln ,)a -+∞上递减，在(,ln )a a --上递增，所以()f x 在(0,1)上无极小值点．综上a 的取值范围是(1,0)-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，函数的极值，考查了分类讨论思想、转化与化归思想．属于难题．20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14 1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．【答案】（1）3n d =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义可直接求得4,1n n A B ==，从而可计算n d .（2）先证明充分性，可根据数列的单调性得到11,n n n A a B a +==，从而可得0n d <，再证明必要性，先从10d <可得12a a <，再根据20d <可得23a a <，依次类推可以得到34n a a a <<<L L ，从而得到数列为单调增数列.（3）当1n =时，我们得到{}23min ,,,,0n a a a =L L ，就23,,,,n a a a L L 全为零和23,,,,n a a a L L 不全为零分类讨论即可.【详解】（1）当14n ≤≤，数列{}n a 是递减数列，最大为14a =，又451n a a a ==⋯==⋯=，所以4,1n n A B ==， 1,2,3,n =⋯，所413n n n d A B =-=-=.（2）充分性：数列{}n a 单调递增，则12n a a a <<<<L L ，则11,n n n A a B a +==，所以110n n n n d A B a a +=-=-<.必要性：对于数列{}n a ， *,0,0n n n n n N d d A B ∀∈<=-<即n n A B <，当1n =时，{}111212min ,,,n a A B a a α+==<≤L L ，所以12a a <， 当2n =时，222a A B =<，{}2313min ,,,n B a a a +=≤L L ，所以23a a <，同理34n a a a ⋯<<⋯<即数列{}n a 单调递增，故“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件． （3）当1n =时，11A a =，因为11d a =，所以10B =，所以{}23min ,,,,0n a a a =L L ，若设23,,,,n a a a L L 全为零，则{}21234,min ,,,,0n A a B a a a ===L L ，时22100d A a =-==，故0n a =，其中任意*n N ∈.若23,,,,n a a a L L 不全为零，设诸23,,,,n a a a L L 中第一个为零．．．．．的记为0i a ， 则00231,,,,,i i a a a a -L L 中，{}11min ,,,,0m m m n B a a a ++==L L 即0m B =，其中011m i ≤≤-，所以{}12max ,,,m m m d A a a a ==L ，因为m m d a =，所以{}12max ,,,m m a a a a =L 对任意的011m i ≤≤-总成立，所以0121i a a a -≤≤≤L ，下面考虑0i A ，因{}0001231max ,,,,,i i i A a a a a a -=L 即{}0002311max ,,,,0i i i A a a a a --==L ， 因为000i i d a ==，所以{}0000121min ,,,,0i i i n i B a a a a ++-==>L L， 故对任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>， 则{}0000+1123111max ,,,,,0,i i i i A a a a a a a -++==L ，因为00+11i i d a +=，所以{}000+123min ,,,,0i i i n B a a a ++==L L ，这与任意的01s i ≥+，总有010s i a a -≥>矛盾，所以23,,,,n a a a L L 不全为零不成立，所以0n a =，其中任意的*n N ∈.【点睛】本题以数列新定义为载体，考查了数列通项的求法、充分必要条件的证明以及数列性质的讨论，解题中注意从具体到一般的思维方法，注意抓住关键元素进行讨论（如本题中的零元素），此类问题属于难题.的。

2019-2020学年北京市101中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含答案)

2019-2020学年北京市101中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含答案)

2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x =2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:24．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 35．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒6．（3分）如图，在ABC==，以点C为中心，把ABC∆逆时AB AC∠=︒，4BAC∆中，90针旋转45︒，得到△A B C''，则图中阴影部分的面积为()A．2B．2πC．4D．4π7．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()A．1-B．3-C．5-D．7-8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 ．10．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）在反比例函数32m y x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 ．12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为 ．13．（3分）如图，双曲线k y x =与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20k ax bx c x<<++的解集为 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： ．15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 步．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法）17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k y x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 ．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠．求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ．由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠．B B '∠=∠，A DEB '∴∠=∠．A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 ．21．（6分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：E 是AC 中点；（2）若10AB =，6BC =，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ．（1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；（2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm 01 2 3 4 5 /y cm5.2 4.4 3.8 3.5 8.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt CDE∆斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当O的半径为3时，在点1(1,0)P，2(3P1)，37 ( 2P，0)，4(5,0)P中，O的和睦点是；（2）若点(4,3)P为O的和睦点，求O的半径r的取值范围；（3）点A在直线1y=-上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点(2E2)，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标Ax的取值范围．2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x = 【解答】解：2223(1)2y x x x =++=++，∴抛物线的对称轴为直线1x =-．故选：B ．2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:2【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，2AD =，3A D ''=， ∴23AB AD A B A D ==''''， ABC ∴∆与△A B C '''的面积的比224()39==， 故选：A ．4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 3【解答】解：0k >，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，由题意得，02m <<，故选：C ．5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【解答】解：如图，连接OC ．14AB =，7BC =，7OB OC BC ∴===，OCB ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒， 1302CDB COB ∴∠=∠=︒， 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C ''，则图中阴影部分的面积为( )A ．2B ．2πC ．4D ．4π【解答】解：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==， 2242BC AB AC ∴=+=，45ACB A CB ''∠=∠=︒，∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360πππ=-⨯⨯+⨯⨯-=， 故选：B ．7．（3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为( )A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-【解答】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为(2,0)-，当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1,0)，M点的坐标为(5,0)-，故点M的横坐标的最小值为5-，故选：C．8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，DM E∠逐渐减小，到A点时，为36︒，②P在AC之间，DM E∠保持36︒，大小不变，③P在CO之间，DM E∠逐渐增大，到O点时，为72︒；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 3 ．【解答】解：正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF 的边长为3，故答案为：310．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 902α︒-（用含α的式子表示）．【解答】解：ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转α得到△A B C ''， AC AC ∴='，CAC α∠'=，C C ∠=∠'， 1(180)9022C αα∴∠'=︒-=︒-，902C α'∴∠=︒-．故答案为：902α︒-．11．（3分）在反比例函数32my x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 32m <． 【解答】解：120x x <<，12y y >，320m ∴->，解得：32m <， 故答案为：32m <． 12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为3 ．【解答】解：连接OA ．PA ，PB 切O 于点A ，B ，90OAP ∴∠=︒，1302APO APB ∠=∠=︒，3633OA ∴===60AOP ∠=︒ 132OC OA ∴==313．（3分）如图，双曲线ky x=与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20kax bx c x<<++的解集为 23x x x << ．【解答】解：由图可知，23x x x <<时，20kax bx c x<<++， 所以，不等式组20kax bx c x<<++的解集是23x x x <<． 故答案为：23x x x <<．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： 以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆ ．【解答】解：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆， 故答案为：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 6 步．【解答】解：90C ∠=︒，8AC =步，15BC =步，2217AB AC BC ∴=+=步，ABC ∴∆的内切圆O 直径815176=+-=步，故答案为：6．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法） 【解答】解：22410x x --=21202x x --= 212112x x -+=+23(1)2x -=1612x ∴=+，261x =-．17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒．【解答】解：原式21222223(2=⨯+-+1122232=+-+1222=- 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线ky x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 (0,2)或(0,6)- ．【解答】解：（1）把(,2)M a 、(1,)N b 代入22y x =--中得：222a --=，224b =--=-， 2a ∴=-，4b =-，即(2,2)M -，(1,4)N -， 把(2,2)M -代入ky x=中，得4k xy ==-， 4k ∴=-，2a =-，4b =-；（2）设直线22y x =--与y 轴交于点A ，令0x =，即2y =-，故(0,2)A -， 11()(12)622MPN PAM PAN N M S S S PA x x PA ∆∆∆=+=⨯-=⨯⨯+=， 4PA ∴=(0,2)P ∴或(0,6)-，故答案为(0,2)或(0,6)-．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与ABC ∆全等；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A B C '''相似；ABC ∆全等．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 1或52．【解答】（1）证明：正方形ABCD ， //CD AB ∴，90D ∠=︒AED PAF ∴∠=∠，又PF AE ⊥，90PFA D ∴∠=∠=︒．PFA ADE ∴∆∆∽．（2）解：情况1，当EFP ADE ∆∆∽，且PEF EAD ∠=∠时， 则有//PE AD∴四边形ADEP 为矩形．1PA ED ∴==；情况2，当PFE ADE ∆∆∽，且PEF AED ∠=∠时，PAF AED ∠=∠， PEF PAF ∴∠=∠． PE PA ∴=． PF AE ⊥，∴点F 为AE 的中点．2AE =，AF ∴=PFA ADE ∆∆∽，PA AFAE DE=，∴21=，52PA ∴=∴满足条件的PA 的值为1或52． 故答案为1或52．21．（6分）如图，在ABCC∠=︒，以BC为直径的O交AB于点D，O的切线∆中，90DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若10BC=，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．AB=，6【解答】（1）证明：连接CD，ACB∠=︒，BC为O直径，90∴为O切线，且90ED∠=︒；ADCED切O于点D，∴=，EC ED∴∠=∠；ECD EDCA ECD ADE EDC∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，A ADE∴=，AE EDAE CE∴=，即E为AC的中点；BE CE ∴=；（2）解：连接OD ，90ACB ∠=︒， AC ∴为O 的切线，DE 是O 的切线，EO ∴平分CED ∠，OE CD ∴⊥，F 为CD 的中点，点E 、O 分别为AC 、BC 的中点， 1110522OE AB ∴==⨯=， 在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，由勾股定理得：8AC =， 在Rt ADC ∆中，E 为AC 的中点， 118422DE AC ∴==⨯=， 在Rt EDO ∆中，116322OD BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得：5OE =， 由三角形的面积公式得：1122EDO S DE DO OE DF ∆=⨯⨯=⨯⨯，即435DF ⨯=⨯， 解得： 2.4DF =，在Rt DFO ∆中，由勾股定理得：2222324 1.8OF DO DF =--=．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．【解答】（1）1l 的对称轴为：842ax a-=-=， 6AB =，(1,0)A ∴，(7,0)B ，把(1,0)A 代入1l ， 得12a =-，∴2117:422l y x x =-+-， (5,4)C ∴，由题意，设221:2l y x bx c =++， ∴10225542b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得232b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2213:222l y x x =-+， 综上，2117:422l y x x =-+-，2213:222l y x x =-+；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点1(2,)2E -，顶点9(4,)2F ，所以24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为：24x ．（3）由图象知，当8m =时，MN 最大， 此时7(8,)2M -，35(8,)2N ，21MN ∴=．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形； （2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm0 1 2 3 4 5 /y cm5.24.43.83.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt CDE ∆斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为 5.2 cm （结果保留一位小数）．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图2，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，6AB =， 3BC ∴=，33AC =过点C 作CG AB ⊥于G ， 在Rt BCG ∆中，1322BG BC ==，33CG =， 6AB =，4AD =， 316422DG AB AD BG ∴=--=--=， 过点E 作EF AB ⊥于F ， 90DFE CGD ∴∠=∠=︒． 90DCG CDG ∴∠+∠=︒， DE CD ⊥，90CDG EDF ∴∠+∠=︒， DCG EDF ∴∠=∠， 90EFD DGC ∠=∠=︒，DEF CDG ∴∆∆∽，∴EF DFDG CG=， ∴11233332EF DF ==， 33DF EF ∴=，在Rt AEF ∆中，3AF EF =，233AE AF =， 3DF AF ∴=，44AD AF DF AF ∴=+==， 1AF ∴=，233AE ∴=， 2373330.433y CE AC AE ∴==-=-=≈， 故答案为：4.0；（3）函数图象如图3所示，（4）如图4，AD 是Rt CDE ∆的斜边的中线，12AD CE AC ∴==，由（2）知，33AC =， 33 5.2AD ∴=，故答案为：5.2．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2(3P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是 2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点(2E 2)，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点， 观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ． 故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．P，(4,3)∴=，5OP满足条件的O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA=时，得到r的最小值为4，当6OB=时，得到r的最大值为6，∴．r46（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-． 当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 的横坐标为25-，∴253A x --时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1 当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 的横坐标为21-，∴211A x -时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 253A x -211A x ．。

2019-2020学年度第一学期部分学校九年级十二月联合测试数学参考答案(A)

2019-2020学年度第一学期部分学校九年级十二月联合测试数学参考答案(A)

∴∠CAB=2∠BCD ……4 分
（2）解：由（1）知∠CAB=2∠BCD，∠BCE=15°，∴∠CAB=30° ……5 分
连 OC，OE，∴∠BOE=2∠BCE=30°，∠COB=2∠CAB=60° ……6 分
∴∠COE=∠COB+∠BOE=90°，∵AB=4 ∴OC=OE=2
∴CE= OC 2 OE 2 =2 2 ……8 分
第 16 题：①若 a2－3a＋2＝0，则 a＝1 或 a＝2
当 a＝1 时，则不等式变为 2＞0，成立
当 a＝2 时，则不等式化简为 x＞－2，与条件不符合，舍去
②若
a2－3a＋2≠0，则
a2 3a 2


a

12

0 8
a
2
3a 2
0.
解得
a a
22.解：（1）根据题意，得：
∵若 7.5x＝70，得：x＝ 28 ＞4，不符合题意；…1 分 3
∴5x＋10＝70，
解得：x＝12，…2 分
答：工人甲第 12 天生产的产品数量为 70 件；…3 分
（2）由函数图象知，当 0≤x≤4 时，P＝40，…4 分
当 4＜x≤14 时，设 P＝kx＋b，
2
2
2
F（2， 3 ）…7 2
设 T(x，y) ∴M(2t，0)，N(2， 3 －t)，F（2， 3 ）
2
2
当 1＜t＜ 5 时 2
SOFT
=
1 2
OM·(
3 2
－y)=
1 2
FN·x
∴y=

1 2
x+
3 2
当 5 ＜t 时，同理可求 y= 1 x+ 3 故 T 在直线 a:y= 1 x+ 3 上…9 分

精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)

精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)

北京市海淀区北京交通大学附属中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.点P （2，﹣1）关于原点对称的点P ′的坐标是（ ）A. （﹣2，1）B. （﹣2，﹣1）C. （﹣1，2）D. （1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P （2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2.抛物线()21y x =+的对称轴是（ ） A. 直线1x =B. 直线0x =C. 直线1x =-D. 直线0y =【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数顶点式的性质判断即可.【详解】()21y x =+的对称轴是:x =-1.故选C.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于牢记基础知识.3.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则S △ADE :S △ABC 等于（ ）A. 1:5B. 1:4C. 1:3D. 1:2【答案】B【解析】【分析】 证出DE 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC ，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、C 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC ， ∴△ADE∽△ABC，∴S △ADE ：S △ABC =（12）2=14； 故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．4.O e 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，点P 与O e 的位置关系是( )A. 无法确定B. 点P 在O e 外C. 点P 在O e 上D. 点P 在O e 内 【答案】D【解析】【分析】根据点在圆上，则d r =；点在圆外，d r >；点在圆内，d r(d <即点到圆心的距离，r 即圆的半径)，进行判断即可．【详解】解：OP 35=<Q ，∴点P 与O e 的位置关系是点在圆内．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 5.已知近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数解析式为（ ）A. y ＝200xB. y ＝200xC. y ＝100xD. y ＝100x【答案】D【解析】【分析】 首先由题中给出y 与x 成反比例写出反比例函数函数解析式的一般形式y ＝k x；把当x ＝0.5，y ＝200，代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程；解方程求出待定系数的值，从而得到函数解析式.【详解】解：∵近视镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，∴设y ＝k x（k ≠0）， ∵200度近视镜的焦距为0.5m ，∴当x ＝0.5时，y ＝200，∴k ＝xy ＝0.5×200＝100. ∴眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为y ＝100x. 故选D.【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.用待定系数求函数解析式的一般步骤：（1）写出函数解析式的一般形式；（2）把已知条件代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.6.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，»»AD CD=，如果∠CAB ＝40°，那么∠CAD 的度数为（ ）A. 25°B. 50°C. 40°D. 80°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC =50°，进而判断出∠ABD =∠CBD =25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】如图，连接BC ，BD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵∠CAB =40°，∴∠ABC =50°．∵弧AD =弧CD ，∴∠ABD =∠CBD 12=∠ABC =25°，∴∠CAD =∠CBD =25°． 故选A ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线．7.在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，2OE =，则OB 的长为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】 由△AEO ∽△CBO ，可知OE ：BO=3:1，即可得出OB 的长.【详解】∵:1:2AE ED =∴:1:3AE AD =，则:1:3AE BC =∵△AEO ∽△CBO ， ∴13OE AE OB CB ==， ∴OB=6，选C.【点睛】此题主要考察相似三角形的应用.8.对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a★b＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2★x 的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据规定得出函数y ＝2★x 的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x ，即x ＞2时，y ＝2+x ，y 是x 的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A 、D 错误；当2≥x ，即x ≤2时，y ＝﹣2x，y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x ≤2，故B 错误．故选C ．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x 的解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小題2分）9.已知反比例函数1myx+=的图象经过点()2,3-，则m=______.【答案】-7【解析】【分析】将点(2,-3)代入反比例函数即可求出m的值. 【详解】将点(2,-3)代入得: 132m+-=, 解得:m=-7 故答案为:-7. 【点睛】本题考查反比例函数的代入求值,关键在于理解图象过点的意思.10.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是______mm．【答案】200【解析】【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【详解】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA=OA=500mm．∵OD⊥AB，AB=800mm，∴AC=400mm，=300mm，∴CD=OD-OC=500-300=200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为200【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．11.已知二次函数221y x bx=-+-图象的顶点在x轴上.则b=______.【答案】±【解析】【分析】根据二次函数的顶点公式得出顶点纵坐标,令其等于零即可解出.【详解】由题意得,顶点纵坐标:244ac ba-=即:()()()242142b⨯-⨯--=⨯-.解得:b=±.故答案为: ±【点睛】本题考查二次函数顶点的几何意义,关键在于理解顶点纵坐标为零.12.在－1，0，1这三个数中任取两个数m，n，则二次函数()2y x m n=-+图象的顶点在坐标轴上的概率为______.【答案】2 3【解析】【分析】将所有的可能的情况枚举出来,再根据频率计算概率即可.【详解】由题意顶点坐标m,n共有(-1,0)(-1,1)(0,-1)(0,1)(1,-1)(1,0)6种情况,其中在坐标轴的由4种,概率为:42 63 =.故答案为: 23. 【点睛】本题考查二次函数与概率计算,关键在于把顶点坐标表示出来.13.已知1(1)y -，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______．【答案】2y x -=(答案不唯一). 【解析】【分析】先根据题意判断出k 的符号，再写出符合条件的解析式即可．【详解】∵（-1，y 1），（2，y 2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y 1＞y 2，∴函数图象的分支在二四象限，则k ＜0．故答案为y=-2x ，答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k 的符号．14.已知点A 在反比例函数k y x=的图象上，点B 在x 轴上，O 是坐标原点，若AO AB =，AOB ∆的面积等于3，则k 的值为______.【答案】3±【解析】【分析】根据题意画出图象,利用公式法列出式子求出即可.【详解】由题意画如下图象:∵A(x A ,y A )在反比例函数上,∴OB=2 |x A |且x A ·y A =k .S △AOB =1||2A OB y ⋅⋅=3 即: 12||||2A A x y ⋅⋅=3,解得:|k|=3, ∴k=3±.故答案为: 3±.【点睛】本题考查反比例函数与几何的结合,主要在于画出图形了利用公式解题. 15.如图，一次函数3y x =-与反比例函数()0k y k x =<的图象交于A 、B 两点，点P 在以()3,0C 为圆心，1为半径的C e 上，M 是AP 的中点，已知OM 长的最小值为1，则k 的值为______.【答案】2725-【解析】【分析】 作辅助线,先确定OM 长的最大时,点P 的位置,当BP 过圆心C 时,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,根据勾股定理计算t 的值,可得k 的值.【详解】 如图,连接BP ,由对称性得:OA=OB,∵M 是AP 的中点,∴OM=12BP ,∵OM 长是最小值为1,∴BP 长的最小值为1×2=2,如图,当BP 过圆点C 时,BP 最长,过B 作BD ⊥x 轴于D, ∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,∵B 在直线y=-2x 上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t, Rt △BCD 中,由勾股定理得:BC 2=CD 2+BD 2,∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或35,∴B(35,95-),∵点B 在反比例函数()0ky k x =<的图象上,∴k=35×95-=2725-.故答案为: 2725-.【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与圆的结合,关键在于合理作出辅助线.16.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子中大约有100kg的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【解析】【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.三、解答题（本题共68分，第17~22题每小题5分，第23~26题每小题6分，第27~28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解方程：22530x x --=． 【答案】x 1=3，212x =- 【解析】 【分析】 因式分解法解.【详解】22530x x --= (-2x-1)(-x+3)=0 x 1=3，212x =-. 【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键． 18.已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式； ()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【答案】（1）2(x 2)1--；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1Q =--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．Q 函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键． 19.下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程. 已知：如图1，O e 和O e 外的一点P .求作：过点P 作O e 的切线. 作法：如图2，①连接OP ；②作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交O e 于点A 和B ； ④作直线PA 和PB .则PA ，PB 就是所求作的O e 的切线. 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（______）（填依据）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（______）（填依据）.【答案】（1）详见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【解析】 【分析】(1)根据题中描述画图即可.(2)利用圆周角的性质求得OA PA ⊥，OB PB ⊥，即可得切线. 【详解】(1)如图所示:(2) 连接OA ，OB ，∵由作图可知OP 是C e 的直径，∴90OAP OBP ∠=∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ∴OA PA ⊥，OB PB ⊥， 又∵OA 和OB 是O e 的半径，∴PA ，PB 就是O e 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. 【点睛】本题考查圆的尺规作图,关键在于掌握尺规作图的方法. 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，()4,0B ，()0,1C -.（1）以点C 为旋转中心，把ABC ∆逆时针旋转90︒，画出旋转后的A B C '''∆； （2）在（1）的条件下，①点B 经过的路径¼BB '的长度为______（结果保留π）；②点A '的坐标为______. 【答案】（1）详见解析；（2）①172；②()4,2-. 【解析】 【分析】(1)利用网格和旋转的性质画出点A 、B 对应的点A ′和B ′,相连得到所求三角形.(2)①先根据勾股定理求出CB 的长,然后根据弧长公式求解即可;②根据所画图形写出A ′坐标即可. 【详解】(1)如图所示, A B C '''∆即为所求:(2)①BC=221417+=,∠BCB ′=90°.所以点B 经过的路径¼BB'=901717ππ⋅⋅=,②由图象可得:A ′坐标为:()4,2-【点睛】本题考查旋转变化作图,关键在于先找到旋转后对应的点,也需要牢记弧长公式.21.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，12AC =，5BC =.当DE DC =时，求AD 的长.【答案】263AD = 【解析】 【分析】由题意得出ADE ABC ∆∆∽,利用对应边成比例列出式子解出即可. 【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90DEA ∠=︒. 又∵90ACB AED ∠=︒=∠，A A ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∴AD DEAB BC= 在Rt ABC ∆中，∵12AC =，5BC =， ∴13AB =. 设AD x = ∵DE DC =∴12135x x -= 解得263x =∴263AD =.【点睛】本题考查相似的判定和性质,关键在于找到判定条件并利用性质列出式子. 22.如果抛物线2y x 2x 2k 4=++-与x 轴有两个不同的公共点．()1求k 的取值范围；()2如果k 为正整数，且该抛物线与x 轴的公共点的横坐标都是整数，求k 的值．【答案】（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【解析】 【分析】()1利用判别式的意义得到()2242k 40=-->V ，然后解不等式即可；()2先确定正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，然后分别解方程2x 2x 20+-=和2x 2x 0+=可确定满足条件的k 的值．【详解】解：()1根据题意得()2242k 40=-->V， 解得5k 2<；()52k 2<Q ， ∴正整数k 的值为1，2，当k 1=时，抛物线解析式为2y x 2x 2=+-，当y 0=时，2x 2x 20+-=，解得1x 13=-+，2x 13=--，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标不是整数；当k 2=时，抛物线解析式为2y x 2x =+，当y 0=时，2x 2x 0+=，解得1x 0=，2x 2=-，该抛物线与x 轴的公共点的横坐标为0和2-，k ∴的值为2．故答案为:（1）5k 2<；（2）k 的值为2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：抛物线与x 轴的交点个数由判别式确定：2b 4ac 0=->V 时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=V 时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<V 时，抛物线与x 轴没有交点．23.在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与双曲线ky x=相交于点()1,A m . （1）求反比例函数的表达式： （2）画出直线和双曲线的示意图；（3）直接写出4kx x≥-+的解集______； （4）若点P 是坐标轴负半轴上一点，且满足2PA OA =.直接写出点P 的坐标______. 【答案】（1）3y x=；（2）详见解析；（3）01x <≤或3x ≥；（4）()131,0P 或(0,339P 【解析】 【分析】(1)将点A 代入直线坐标中求出m,再将点A 代入反比例函数中求出即可.(2)根据题意画出图象即可. (3)由图象即可看出.(4)设P(x,y)代入等式即可算出.【详解】（1）∵将A 代入直线4y x =-+,m =-1+4=3.∴()1,3A . ∴反比例函数的表达式为:3y x=. （2）如图所示:（3）由上图可得:01x <≤或3x ≥ （4）设P 点坐标(x,y) 223110+=10()()2213x y -+-()()2213x y -+-10.当x=0时,y=339-当y=0时,x=131∴()131,0P 或(0,339P【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于数形结合,熟悉基础知识.24.已知：如图，点C 是以AB 为直径的O e 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F .（1）求证：CF 是O e 的切线；（2）若3ED =，5EF =，求O e 的半径. 【答案】（1）详见解析；（2）O e 的半径为6. 【解析】 【分析】(1)连接CB 、OC,根据切线得∠ABD=90°,根据圆周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF 是O 得切线;(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接CB ，OC ， ∵BD 为O e 的切线，AB 是O e 的直径， ∴DB AB ⊥，90ACB ∠=︒. ∴90ABD ∠=︒. ∴90BCD ∠=︒. ∵E 为BD 的中点， ∴CE BE =. ∴BCE CBE ∠=∠. 又∵OCB OBC ∠=∠∴90OBC CBE OCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒. ∴OC CF ⊥. ∴CF 是O e 的切线.（2）解：∵3CE BE DE ===，5EF =∴8CF CE EF =+=∵90ABD ∠=︒，∴90EBF ∠=︒，∵90OCF ∠=︒，∴EBF OCF ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴EBF OCF ∆∆∽ ∴BE OC BF CF=， ∴348OC = ∴6OC =，即O e 的半径为6.【点睛】本题考查了切线的判定定理、勾股定理、圆周角定理,关键在于熟悉圆的基础知识及性质. 25.阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工.处理这种材料时，材料温度()y ℃是时间()x min 的函数.下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：()1在这个函数关系中，自变量x 的取值范围是______．()2如表记录了17min 内10个时间点材料温度y 随时间x 变化的情况： 时间()x min 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 ⋯温度()y ℃15 24 42 60 3007 1003 30011 30013 m 30017⋯ 上表中m 的值为______．()3如图，在平面直角坐标系xOy 中，已经描出了上表中的部分点.根据描出的点，画出该函数的图象．()4根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0x 5≤≤时，y 与x 之间的函数表达式为______，当x 5>时，y 与x 之间的函数表达式为______．()5根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为______min ．【答案】（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253. 【解析】【分析】（1）根据自变量x 表示的实际意义即可求解；（2）观察表格，可得x 5>时，时间与温度乘积不变；（3）用平滑曲线连接即可；（4）根据图象或表格，可知当0x 5≤≤时，函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题； 根据图象或表格可知，当x 5>时，函数是反比例函数，利用待定系数法即可解决问题；（5）将30℃分别代入两个表达式，结合图象确定加工时间．【详解】解：()1根据题意知x 0≥，故答案为x 0≥；()2x 5>时，时间与温度乘积不变，故15m 300=，m 20=，故答案为20；（3）()4当0x 5≤<时，设，y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，把()0,15、()1,24代入得{15b 24k b ==+,解得k 9=，b 15=，y 9x 15∴=+；当5≥时，设，y 与x 之间的函数表达式为ky x =，把()15,20代入得k 300=，300y x ∴=，故答案为y 9x 15=+，300y x =；()5当y 30=时，309x 15=+，30030x =， 解得5x 3=，x 10=，5251033-=， 故答案为253．故答案为（1）x 0≥；（2）20；（3）见解析；（4）y 9x 15=+，300y x =；（5）253.【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的应用，正确确定函数表达式是解答关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++经过点()0,2A ，()3,4B -. （1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有一个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为2242y x x =-++，抛物线的对称轴为1x =；（2）4433t -≤<或4t =. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 代入利用待定系数法解出即可.(2)由题意确定C 坐标,以及二次函数的最小值,确定出D 纵坐标的最小值,求直线AC 解析式,令x =1求出y 的值,由对称性即可得范围. 【详解】解：（1）∵点A ，B 在抛物线22y x mx n =++上， ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩ 解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为2242y x x =-++.∴抛物线的对称轴为1x =.（2）由题意得:C(-3,4),二次函数2242y x x =-++的最大值为4.设直线AC:y=kx+b, 将点A 和C 代入得:234b k b =⎧⎨-+=⎩,解得: 223b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩. ∴直线AC 的表达式为223y x =-+. 当x =1时, 43y =. 由对称性可知,此时与BC 交点的纵坐标为: 43-. ∴点D 纵坐标t 的范围为:4433t -≤<或4t =. 【点睛】本题考查二次函数的图象,关键在于掌握待定系数法和画图方法.27.如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE BD ⊥于E .（1）求证：CAE CBD ∠=∠.（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE .①依题意补全图形；②用等式表示线段AF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②22AF CE BE =+，理由详见解析.【解析】【分析】(1)利用同角的余角即可解出此问.(2)①根据题意补全图形;②过点C 作CG ⊥CE 角AE 于G,进而判断出∠CAE=∠CBD,即可判断△ACG ≌△BCE,得出AG=BE,CG=CE,进而判断出EC=2CE,得出AE=BE+2CE,再判断出EF=AE,即可.【详解】（1）证明：如图1，∵90ACB ∠=︒，AE BD ⊥，∴90ACB AEB ∠=∠=︒，又∵12∠=∠，∴CAE CBD ∠=∠.（2）①补全图形如图2.②22AF CE BE =.证明：在AE 上截取AM ，使AM BE =.又∵AC CB =，CAE CBD ∠=∠，∴ACM BCE ∆∆≌.∴CM CE =，ACM BCE ∠=∠.又∵90ACB ACM MCB ∠=∠+∠=︒.∴90MCE BCE MCB ∠=∠+∠=︒.∴ME =.又∵射线AE 绕点A 顺时针旋转45︒后得到AF ，且90AEF ∠=︒，∴EF AE AM ME BE ==+=+.∴2AF CE ==+【点睛】本题考查三角形的综合知识,关键在于利用全等将线段进行转换.28.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，如果PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 的“近距离”，记为(,)d M N .特别地，当图形M 与图形N 有公共点时，(,)0d M N =.已知(4,0)A -，(0,4)B ，(2,0)C -，（1）(d 点A ，点)B = ，(d 点A ，线段)BC = ；（2）⊙O 半径为r ，①当1r =时，求⊙O 与线段AB 的“近距离”(d ⊙O ，线段)AB ；②若(d ⊙O ，)ABC ∆1=，则r = .（3）D 为x 轴上一点，⊙D 的半径为1，点B 关于x 轴的对称点为点'B ，⊙D 与'BAB ∠的“近距离”(d ⊙D ，')1BAB ∠<，请直接写出圆心D 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）（2）①1;1或5;（3）64m -<< 【解析】【分析】(1) 根据图形M ，N 间的“距离”的定义即可解决问题;(2) ①设P 为⊙O 上一点，Q 为线段AB 上一点，根据当O 、P 、Q 共线时，PQ 最小求解即可; ②利用圆外一点到圆上的最近距离即可确定出半径的范围；(3)分两种种情形分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图所示：(d 点A ，点)B = 22443242+==，(d 点A ，线段)BC =4-2=2;（2）①作OD⊥AB 交AB 于D,交⊙O 于点E,OD=442242⨯=，∴(d ⊙O ，线段)AB =DE=22-1，②若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)BC 时，(d ⊙O ，)BC =45525DO ==,14515r =- ；若(d ⊙O ，)ABC ∆=(d ⊙O ，)AB 时，(d ⊙O ，)AB =MN=2415r =+=,∴r 的值为455或5；(3)6224m -<<①D 在A 点左侧时，近距离为AM 的长；②D在A点右侧时，近距离为PN垂线段的长.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，图形M，N间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题．。

2019-2020学年北京市清华附中九年级(上)统练数学试卷(4)

2019-2020学年北京市清华附中九年级(上)统练数学试卷(4)

北京市清华附中九年级（上）统练数学试卷（4）一、选择题（本题共16分每小题2分1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜53．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．24．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣25．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．三、解箸题（本题共68分，第17-22颗，每小题5分；第23-26题，每题6分；第27，28题，每题7分1）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝（只用a，b表示）．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5【分析】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝x+1．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1）．当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故选：B．4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，故选：D．5．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹【分析】根据旋转的性质与特点判断即可．【解答】解：A、图中利用的是对称，错误；B、图中利用的是旋转，正确；C、图中利用的位似，错误；D、图中利用的是平移，错误；故选：B．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可求得∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等边三角形，∴α＝∠ACA′＝60°．故选：C．7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y ＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则．解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共8小题）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155 °．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴y＝，故答案为：y＝．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠APC＝120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA＝PC，由等边三角形的性质得出AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD ＝∠ABC＝30°，求出PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．三．解答题（共12小题）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值【分析】（1）函数的图象与x轴有两个公共点，则方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，求得：m＞﹣且m≠0，m＞且m≠0，m取其内的最小整数，故m＝1，即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣＝，n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，即：n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，∴n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n＝1﹣．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣，即可求解；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），即可求解；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，即可求解．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，而0＜m≤2，即：﹣1≤≤8，解得：a≤﹣3或a≥．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt △CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝ab（只用a，b表示）．【分析】利用AA1⊥l，BB1⊥l可得AA1∥BB1，证明∠AFA1+∠BFB1＝90°，确定△∠A1FB1是直角三角形，则可求△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab．【解答】解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，∵AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1∥BB1，∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣∠BFB1＝180°，∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，∴∠A1FB1＝90°，∴△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；故答案为：ab．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【分析】（1）由F为弧BC中点，且EF为圆的直径，利用垂径定理的逆定理得到EF与BC垂直，再由直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，根据圆心角与圆周角的关系得到一对同位角相等，即可得证；（2）由CN与FB平行，以及等边对等角得到内错角相等，进而得到AE与FB平行，可得出AE与CN平行，得AENC 为平行四边形，得到AC＝EN＝2，利用垂径定理的逆定理得到BC与EF垂直，由AB＝6，得到半径为3，利用勾股定理求出BD的长，再证明三角形OFH与三角形OBD全等，即可求出FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝ 4 ．【分析】（1）直接代入求值即可；（2）根据题意，建立方程求解即可；（3）分两种情况：①图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2），根据题意解不等式组即可，②图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，最高点坐标为（1，﹣m+1），解不等式组即可；（4）分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，分别求解即可．【解答】解：（1）把点（1，3）代入y＝﹣x2+2x﹣m，则﹣1+2﹣m＝3，∴m＝﹣2．（2）当m≥2时，﹣m2+m+m＝﹣3，解得：m1＝3，m2＝﹣1（舍去）；∴AB＝2m＝6．当m＜2时，﹣m2+2m﹣m＝﹣3，解得：m1＝（舍去），m2＝；∴AB＝﹣2m＝﹣1；（3）当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2）∴2≤m﹣2≤，解得：4≤m≤；当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，∵y＝﹣x2+2x﹣m＝﹣（x﹣1）2﹣m+1，∴最高点坐标为（1，﹣m+1）∴2≤﹣m+1≤，解得：≤m≤﹣1综上所述，m的取值范围为：≤m≤﹣1或4≤m≤；（4）∵图形G与线段AB恰有两个公共点，A（m，﹣3），B（﹣m，﹣3）∴分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，当两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，则﹣22+2×2﹣m＝﹣3，解得：m＝3，但此时，线段AB的端点B刚好在G1上，即线段AB与图形G有三个公共点，不符合题意．当线段AB与G1，G2上各有一个交点时，∴﹣m+1＝﹣3，解得m＝4，综上所述，m＝4；故答案为：4．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原点坐标代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2可计算出对应a的值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设A（m，0），B（n，0），利用抛物线与x轴的交点问题，则m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，利用判别式的意义解得a＞0或a＜﹣2，再利用根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝，然后根据完全平方公式利用n﹣m≤4得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以42﹣4•≤16，接着解关于a的不等式，最后确定a的范围．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2得3a﹣2＝0，解得a＝；（2）①y＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）设A（m，0），B（n，0），∵m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，∴△＝16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，∴m+n＝4，mn＝，而n﹣m≤4，∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，∴42﹣4•≤16，即≥0，解得a≥或a＜0．∴a的范围为a＜﹣2或a≥．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）【分析】（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）①根据题意画图；②在AB上截取AG＝EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，∴EC＝3．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．∴△AGE∽△ECF，∴，即，∴FC＝；（2）①依题意补全图形：②证明：在AB上截取AG＝EC，连接EG．∵AB＝BC，∴GB＝EB．∵∠B＝90°，∴∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分线，∴∠ECP＝135°．∴∠AGE＝∠ECP．在△AGE和△ECP中，，∴△AGE≌△ECP．∴AE＝PE．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解（1）∵﹣5＜0∴y'＝﹣y＝2即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上，∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣故答案为：3或﹣（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16∴x＝4当x＝﹣5时，x2﹣16＝9当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0）∴x＝∴实数a的取值范围≤a≤4。

2019-2020学年九年级上数学12月月考试题及答案.doc

2019-2020学年九年级上数学12月月考试题及答案.doc

2019-2020 学年九年级上数学12 月月考试题及答案12 月检测试卷请同学们注意：1、考试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120 分，考试时间为 90 分钟．2、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3、考试结束后，只需上交答题卷。

祝同学们取得成功！一、仔细选一选（本题有10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ OBC=40°，则∠ A 等于（▲）A.30 °B.40 °C.50 °D.60 °2、若当x 3 时，正比例函数y k1 x k1 0 与反比例函数y k2 k2 0 的值相等，则 k1与 k2的比是（▲）。

xA.9:1B.3:1C.1:3D.1:93、将函数y 3x2 1 的图象向右平移2个单位得到的新图象的函数解析式为（▲）。

y 3 x 2y 3 x21A. 2 1B. 2C. y 3x2 2D. y 3x2 24、如图，四边形ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形。

若OA:OC=OB:OD，则下列结论中一定正确的是（▲ ）A ．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似5、平面有 4 个点，它们不在一条直线上，但有 3 个点在同一条直线上。

过其中 3 个点作圆，可以作的圆的个数是（▲ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6、已知点P 是线段 AB 的一个黄金分割点(AP＞PB)，则 PB:AB 的值为（▲）A. 5 1B.3 5C.1 5 3 52 2 2D.47、在四边形 ABCD中， AC平分∠ BAD，且∠ ACD=∠ B。

则下列结论中正确的是A.AD CD AD B.AC 2 AB ADAB BCACC.BCABD.ACD 的面积 CDADABC 的面积BCCD8、若反比例函数yk与二次函数yax 2 的图象的公共点在第三象限，则一次函数xy ax k 的图象不经过（ ▲ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9、如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 AC ， BC 的长分别为 4 和 6，∠ ACB 的平分 线交⊙ O 于 D ，则 CD 的长为（ ▲ ）A. 7 2B.5 2 C.7D.910 、 如 图 ， 直 线 y3 k x 0交 于 点 A 。

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。

这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。

2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。

根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)含答案解析

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)含答案解析

2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．（2分）（2005•苏州）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．（2分）（2018春•沂源县期中）半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．（2分）（2017秋•辉县市期末）如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．（2分）（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．（2分）（2017•苏州）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a （x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1，x2D．x1＝﹣4，x2＝06．（2分）（2018•济宁模拟）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．（2分）（2012•菏泽）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c 和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2分）（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，P A与BC 交于点E，有如下结论：①P A＝PB+PC；②；③P A•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018春•邹城市期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．（2分）（2017秋•孟津县期末）有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．（2分）（2018秋•蓟州区期中）当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．（2分）（2018•海宁市二模）若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．（2分）（2018•青海二模）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．（2分）（2019•滨州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．（2分）（2018春•驿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．16．（2分）（2018•淮阳县二模）如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x 的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（5分）（2018秋•江都区期中）解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．（5分）（2018秋•江都区期中）阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2时x2∴x3，x4．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3，x4．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．（5分）（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．（6分）（2018•平谷区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y的图象与直线y＝x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．（6分）（2016•扬州二模）已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP 为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当时，求m的值．25．（6分）（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．（7分）（2018春•赣榆区期中）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．（7分）（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′，，＜，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上，求m 的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．（2分）（2005•苏州）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C．2．（2分）（2018春•沂源县期中）半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π【解答】解：扇形的面积π．故选：D．3．（2分）（2017秋•辉县市期末）如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB．故选：A．4．（2分）（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴，即，解得BD＝8．故选：A．5．（2分）（2017•苏州）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a （x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1，x2D．x1＝﹣4，x2＝0【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．6．（2分）（2018•济宁模拟）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝3，而S△OAB|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．7．（2分）（2012•菏泽）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c 和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．8．（2分）（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，P A与BC交于点E，有如下结论：①P A＝PB+PC；②；③P A•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CP A＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴P A＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△P AC，则，，1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CP A∴△PBE∽△P AC∴∴P A•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018春•邹城市期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x，故答案为：x．10．（2分）（2017秋•孟津县期末）有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．11．（2分）（2018秋•蓟州区期中）当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．12．（2分）（2018•海宁市二模）若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．13．（2分）（2018•青海二模）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．14．（2分）（2019•滨州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．15．（2分）（2018春•驿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD3；故答案为：3．16．（2分）（2018•淮阳县二模）如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x 的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y当x时，y最大故答案为：三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（5分）（2018秋•江都区期中）解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．20．（5分）（2018秋•江都区期中）阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2时x2∴x3，x4．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3，x4．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1，t2＝﹣3．当t1时，y2，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1，y2；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．21．（5分）（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△F AE≌△CDE，∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．22．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD，∴BD；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE．23．（6分）（2018•平谷区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y的图象与直线y＝x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．24．（6分）（2016•扬州二模）已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP 为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当时，求m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0x+m，解得：x m，故B点坐标是，（用含m的代数式表示），∵一次函数y x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP 若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴P A，∴m＝2，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则P A＝m﹣2，PH，∵，∴EB，EN＝EO，EG，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN：，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴，∴，解得：m．25．（6分）（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y x．②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y x+4．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0），∴该二次函数图象的对称轴是直线x1，故答案为：x＝1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，∴当x＝5时，y取得最大值，即M（5，），∴，得a，∴该二次函数的表达式为y＝ax2﹣2ax﹣2a＝a（x﹣1）2﹣3a，即点N的坐标为（1，）．（3）当a＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），解得，t≥3或t≤﹣2；当a＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴，∴﹣1≤t≤2．27．（7分）（2018春•赣榆区期中）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝115度．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP，DP＝DP，∴△DP A≌△DPC，∴∠DAP＝∠DCP，P A＝PC，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠E＝∠PCD，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠CPF＝∠EDF，∵∠ABC＝∠ADC＝65°，∴∠CPE＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝115°故答案为115．28．（7分）（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′，，＜，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是（，﹣1）；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？A（1，﹣2）；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上，求m 的取值范围．【解答】解：（1）点（，﹣1）理想点的坐标是（，1），∵点C（1，2）的理想点为（1，﹣2），∴点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2）故答案为（，﹣1），A（1，﹣2）；（2）①如图1中，点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q必在函数＜上，∵理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，观察图象可知﹣1≤k≤7．②如图2中，直线AB的解析式为y＝2x﹣4，易知直线y＝2x﹣4①与直线y＝﹣x的交点坐标为（，），当反比例函数的解析式y②经过（，）时，m，∴反比例函数的解析式y②，联立①②得，2x2﹣4x﹣m＝0，当观察图象可知，当m＜时，点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上．第31页（共31页）。

北京市九年级上学期数学12月月考试卷

北京市九年级上学期数学12月月考试卷

北京市九年级上学期数学12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018九上·达孜期末) 二次函数的图像的顶点坐标（）A . ( -1 , 2 )B . ( 1 , 3 )C . （ -1 ，3 ）D . ( -1 , -3 )2. （2分） (2020九下·云南月考) 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的取值为（）A . m=B . m=-C . m=D . 无法确定3. （2分） (2020九下·镇江月考) 如图，已知AB∥CD∥EF， AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018九上·江都月考) 如图，点A，B，C在上，，则的度数是A .B .C .D .5. （2分）掷两枚硬币，则一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是A . 1B .C .D .6. （2分）下列说法正确的是（）A . 所有的等腰三角形都相似B . 所有的直角三角形都相似C . 所有的等腰直角三角形都相似D . 有一个角相等的两个等腰三角形都相似7. （2分）如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D ，若OD＝3，则弦AB的长为（）A . 10B . 8C . 6D . 48. （2分）一次函数y=x+4与y=﹣x+b的图象交点不可能在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限二、填空题 (共8题；共9分)9. （1分） (2017九上·金华开学考) 数3和12的比例中项是________.10. （1分） (2018九上·渠县期中) 如果线段成比例，且，则d=________。

11. （1分）面积为5的正方形的边长________有理数；面积为9的正方形的边长________有理数．（填“是”或“不是” ）12. （1分）(2018·牡丹江模拟) 圆锥的底面半径为1，它的侧面展开图的圆心角为180°，则这个圆锥的侧面积为________．13. （2分）已知△ABC∽△DEF ，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为________．14. （1分） (2017九上·黄石期中) 若点A(2，m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是________.15. （1分）观察以下几组勾股数,并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数________，________，________.16. （1分）(2016·黔西南) 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为________．三、解答题 (共11题；共129分)17. （10分）(2017·兰州模拟) 解方程：x2+3x﹣2=0．18. （11分） (2017九上·芜湖开学考) 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8）19. （10分） (2019九上·海门期末) 甲、乙两名同学从《中国好声音》、《歌手》、《蒙面唱将猜猜猜》三个综艺节目中都随机选择一个节目观看.（1）甲同学观看《蒙面唱将猜猜猜》的概率是________；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率.20. （15分） (2018八上·天台期中) 如∠MON=30°、OP=6，点A、B分别在OM、ON上；（1）请在图中画出周长最小的△PAB（保留画图痕迹）；（2）请求出（1）中△PAB的周长．21. （10分） (2019七下·顺德月考) 如图，直线AB和CD被直线MN所截．（1）如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE（平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足________时，AB∥CD．（2）如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足________时，AB∥CD．（3）如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD．为什么？22. （10分） (2019九上·西城期中) 已知抛物线C：y＝x2+2x﹣3.抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C：y＝x2+2x﹣3A（）B（）(1，0)(0，﹣3)变换后的抛物线C1（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C．（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是抛物线，(记为C1)，求抛物线C1对应的函数表达式.23. （10分）(2018·凉州) 已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点.（1）求证：；（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.24. （11分）(2017·荆门) 我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．时间t（天）0510********日销售量y1（百件）025*********（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．25. （10分） (2020八下·西安月考) 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。

2019-2020北京市清华大学附属中学数学中考模拟试卷(及答案)

2019-2020北京市清华大学附属中学数学中考模拟试卷(及答案)

2019-2020北京市清华大学附属中学数学中考模拟试卷(及答案)一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+94．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（）A．体育场离林茂家2.5kmB．体育场离文具店1kmmC．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50minmD．林茂从文具店回家的平均速度是60min5．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形6．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4B．3C．2D．17．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A．B．C．D．8．已知命题A：“若a为实数，则2a a”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．a＝1B．a＝0C．a＝﹣1﹣k（k为实数）D．a＝﹣1﹣k2（k为实数）9．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A．B．C．D．10．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4个11．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（）A．B．C．D．12．8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．14．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,111n n a a a a a a a -=-===---L L ，则1232014a a a a ++++=L L __________. 15．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．16．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数k y x =在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ，若点E 是BC 的中点，则OD 的长为_____．17．已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm18．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为_____．19．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2．20．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是三、解答题21．如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ．（1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问：当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y ＝k x（x ＞0）的图象交于点A （m ，2），B （2，n ）．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使OD ＝12OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC ． （1）求m ，k ，n 的值；（2）求△ABC 的面积．23．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．24．已知点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，线段OB 的长是方程x 2﹣2x ﹣8=0的解，tan ∠BAO=12． （1）求点A 的坐标； （2）点E 在y 轴负半轴上，直线EC ⊥AB ，交线段AB 于点C ，交x 轴于点D ，S △DOE =16．若反比例函数y=k x的图象经过点C ，求k 的值； （3）在（2）条件下，点M 是DO 中点，点N ，P ，Q 在直线BD 或y 轴上，是否存在点P ，使四边形MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．B解析：B【解析】【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA， ∴AB DE =AP AD AB AP DE AD=， 即34x y =， ∴y=12x， 纵观各选项，只有B 选项图形符合，故选B ．3．D解析：D【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A 、x 2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B 、x 2+2x ﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C 、x 2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D 、x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，故选项正确．故选D ．4．C解析：C【解析】【分析】从图中可得信息：体育场离文具店1000m ，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度．【详解】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5 1.511000km m -==，所用时间是()453015-=分钟， ∴体育场出发到文具店的平均速度1000200min 153m ==/ 故选：C ．本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键．5．A解析：A【解析】【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.【详解】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.6．A解析：A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．故选A．8．D解析：D【解析】a=可确定a的范围，排除掉在范围内的选项即可.【详解】解：当a≥0a=，当a＜0a=-，∵a＝1＞0，故选项A不符合题意，∵a＝0，故选项B不符合题意，∵a＝﹣1﹣k，当k＜﹣1时，a＞0，故选项C不符合题意，∵a＝﹣1﹣k2（k为实数）＜0，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】a aaa a≥⎧==⎨-≤⎩，正确理解该性质是解题的关键. 9．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；②由横纵坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故②正确；③由横纵坐标看出，乙比甲先到达终点，故③错误；④由纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故④正确；故选C．11．A解析：A【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，12．无二、填空题13．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上∴AC=A′C ∴△A′AC 是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上，∴AC=A′C ，∴△A′AC 是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°. 14．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a 3+…+a2014=671×（-1++2 解析：20112【解析】【分析】分别求得a 1、a 2、a 3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．【详解】 解：123412311111,,2,1,1211a a a a a a a =-======----… 由此可以看出三个数字一循环，2014÷3=671…1，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=671×（-1+12+2）+（-1）=20112． 故答案为20112． 考点：规律性：数字的变化类.15．2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC=12可得；同理EC=2BE 即EC=可得又等量代换可知S △ADF －S △BEF=2解析：2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC =12，可得1112622ABD ABC S S ∆∆==⨯=；同理EC=2BE 即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =216．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E ∴2x ＝x+2 解析：12x x 【解析】【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【详解】解：设D （x ，2）则E （x+2，1）， ∵反比例函数k y x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， ∴2x ＝x+2，解得x ＝2，∴D （2，2），∴OA ＝AD ＝2，∴OD ==故答案为:【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D 、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k ． 17．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm 根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面解析：1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm ，根据题意得2πr=904180π⨯，解得r=1． 故答案为：1.点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．【解析】【分析】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为（x ﹣40 解析：13201320304060x x -=-． 【解析】【分析】 设“复兴号”的速度为x 千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x 千米/时，则原来列车的速度为（x ﹣40）千米/时， 根据题意得：13201320304060x x -=-． 故答案为：13201320304060x x -=-． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 19．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD 中连接OCOD 过O 作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD 是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD【解析】【分析】【详解】如图所示，正六边形ABCD 中，连接OC 、OD ，过O 作OE ⊥CD ；∵此多边形是正六边形，∴∠COD=60°；∵OC=OD ，∴△COD 是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=82=，∴S △OCD =12CD•OE=12×8×2．∴S 正六边形=6S △OCD =6×cm 2．考点：正多边形和圆20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题21．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE 即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.22．(1) m＝4，k＝8，n＝4；（2）△ABC的面积为4．【解析】试题分析：（1）由点A的纵坐标为2知OC=2，由OD=OC知OD=1、CD=3，根据△ACD的面积为6求得m=4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代入函数解析式求得n；（2）作BE⊥AC，得BE=2，根据三角形面积公式求解可得．试题解析：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，∴OC=2，AC⊥y轴，∵OD=OC，∴OD=1，∴CD=3，∵△ACD的面积为6，∴CD•AC=6，∴AC=4，即m=4，则点A的坐标为（4，2），将其代入y=可得k=8，∵点B（2，n）在y=的图象上，∴n=4；（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，∴S △ABC =AC•BE=×4×2=4，即△ABC 的面积为4．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．23．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO ，求得∠CAD=∠ADO ，根据平行线的性质得到CD ⊥OD ，于是得到结论；（2）连接BD ，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽，∴CD AD DE BE=，∴CD BE AD DE⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（1）（-8，0）（2）k=-19225（3）（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）【解析】【分析】（1）解方程求出OB的长，解直角三角形求出OA即可解决问题；（2）求出直线DE、AB的解析式，构建方程组求出点C坐标即可；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【详解】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，∴OB=4，在Rt△AOB中，tan∠BAO=12 OBOA=，∴OA=8，∴A（﹣8，0）．（2）∵EC⊥AB，∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°，∴∠OAB+∠ADC=90°，∠DEO+∠ODE=90°，∵∠ADC=∠ODE，∴∠OAB=∠DEO，∴△AOB∽△EOD，∴OA OB OE OD=，∴OE：OD=OA：OB=2，设OD=m，则OE=2m，∵12•m•2m=16，∴m=4或﹣4（舍弃），∴D （﹣4，0），E （0，﹣8），∴直线DE 的解析式为y=﹣2x ﹣8，∵A （﹣8，0），B （0，4），∴直线AB 的解析式为y=12x+4， 由28142y x y x --⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得24585x y ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ， ∴C （245-，85）， ∵若反比例函数y=k x的图象经过点C ， ∴k=﹣19225． （3）如图1中，当四边形MNPQ 是矩形时，∵OD=OB=4，∴∠OBD=∠ODB=45°，∴∠PNB=∠ONM=45°，∴OM=DM=ON=2，∴BN=2，PB=PN=2，∴P （﹣1，3）．如图2中，当四边形MNPQ 是矩形时（点N 与原点重合），易证△DMQ 是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P （0，2）；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P （0，6）如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR=MR，可得P（2，6）．综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；【点睛】考查反比例函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.25．（1）0【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】x-得（1）方程两边同时乘以()2()+-=-5321xx=解得0x=是原分式方程的解.经检验，0（2）设？为m，x-得方程两边同时乘以()2()+-=-321m xx=是原分式方程的增根，由于2x=代入上面的等式得所以把2()m+-=-3221m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。

北京人大附中2019届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析.doc

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北京人大附中2019 届九年级上月考数学试卷(12 月)含答案解析一、选择题（本题共32 分，每小题 4 分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A ．（﹣ 3， 1） B．（﹣ 3，﹣ 1）C．（ 1，3）D．（，2）2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( )A ．B．C．D．4．如图，⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，则弦 DE 的长为 ( )A ． 3B． 2C． 4D． 65．如图，正△ ABC 的边长为3，以 A 为圆心， AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．B．C．﹣D． 36．如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD ，∠ CBD=23 °，则∠ CAD 为 ( )A ． 47°B ． 46°C． 45°D． 44°7．如图， AB 为⊙ O 的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦 CD⊥AB ，∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 E，当点 C 在左半圆（不包括 A ，B 两点）上移动时，关于点 E 的说法：①到 CD 的距离始终不变；② 位置始终不变；③ 始终平分；④位置随点 C 的移动而移动，正确的是 ( )A ．①②B．②③C．②D．④8．如图，正△ ABC 的边长为 3，点 N 在 AC 从点 A 出发，沿 A →B→C 的方向运动，到达点边上且 AN ： NC=1 ： 2，三角形边上的动点M C 时停止．设点 M 运动的路程为 x，y=MN 2，则 y 关于 x 的函数图象大致为( )A ．B．C．D．二、填空题（本题共16 分，每小题 4 分）9．如图， DE ∥BC ， AD ： DB=2 ： 3， EC=6，则 AE 的长是 __________．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=5 ， AB=13 ， tanA 的是 __________ ．11．如，用一个交叉卡（OA=OB ， OC=OD ）量零件的内孔直径AB ，若 OC：OA=1 ： 2，且量的CD=12mm ，零件的内孔直径AB 是 __________mm ．12．如，△ ABC 中， AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1， B1做 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，作 B2B 3平分∠ AB 2B 1交 AC 于 B3， B3作 B 3B4∥ BC 交 AB 于B4，⋯段 B1B 2的度 __________ ，段 B 2n﹣1B2n的度 __________ ．三、解答（本共30 分，每小 5 分）13．用配方法解方程：．14．算： 3sin30°2cos 45°+2tan60°cos30°．15．如，△ ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，且∠ BAC= ∠ DAE=90 °，找出一条与段 CE 相等的段（以中已知点的端点），画出条段并出明．16．已知 m 是方程 x 2﹣ x ﹣3=0 的根，求代数式（ 1+） ?（ m ﹣ 3）的值．17．如图，半径为 5 的⊙ O 中， AB 是直径，弦 BC=8 ，OD ⊥ AB 交 BC 于 D ，求 CD 的长及△ OCD 的面积．18．列方程或方程组解应用题：150 元，双人间每天每间 140 元，为了某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了 一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510 元，则该旅行团 住了三人间和双人间客房各多少间？四、解答题（本题共20 分，每小题 5 分）19．如图，直线 y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，交反比例函数 y= 的图象于点 C ， CB ： BA=2 ： 1．（1）求反比例函数 y= 的解析式；（2）若点 P 在 y 轴上且以点 B ， C ，P 为顶点的三角形与 △ AOB 相似，直接写出点 P 的坐标．20．如图，已知，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BC 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 交于点 D，点E 为 AB 的中点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．（1）求证： ED 是⊙ O 的切线；（2）如果 CF=1， CP=2， sinA=，求⊙ O的直径BC．21 ．据报道，历经一年半的调查研究， PM 2.5 源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为 PM 2.5 的最大来源，一辆车一天行驶 20 千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放 0035 千克污染物．以下是相关的统计图、表：年全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污中度污重度污严重污染染染染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到 0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100 辆机动车，了解到其中每天出行超过 20 千米的有 40 辆．已知年机动车保有量已突破 520 万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过 20 千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？22．如图 1，给定锐角三角形ABC ，小明希望画正方形 DEFG ，使 D， E 位于边 BC 上，F， G 分别位于边 AC ， AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK ，是的 H， I ，位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，而不需要求 J 必须位于 AC上．这是他发现可以将正方形HIJK 通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG ．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图 2，给定锐角三角形ABC ，画出所有长宽比为 2： 1 的长方形 DEFG ，使 D ， E 位于边 BC 上， F， G 分别位于边AC ， AB 上．（2）已知三角形 ABC 的面积为 36， BC=12 ，在第（ 1）问的条件下，求长方形 DEFG 的面积．五、解答题（本题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23．已知关于 x 的二次函数 y 1=x 2﹣（ m+3） x+m+2 ， y 2=﹣ x 2+bx+c ．（1）求证：方程 x 2﹣（ m+3 ） x+m+2=0 必有实根；（2）若 m 为整数， y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜ a ＜ 7，求 m 的值；（3）在第（ 2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x 的不等式 y 1 ＜y 2，正确解得该不等式的解 集为 3＜ x ＜4，求 y 2 的解析式．24．过正方形 ABCD 的顶点 A 任作一条直线 l （ l 不过点 B ，C ， D ） ，过点 B ，C ，D 作 l的垂线段 BF ，CG ，DH ．（ 1）如图 1，若直线 l 过线段（ 2）如图 2，若直线 l 与线段BC 的中点 E ，则 BF ： CG ： DH=__________ ．BC 相交于点 E ，则 BF ， CG ， DH 满足等量关系式 __________，请证明你的猜想；（3）如果直线 l 与线段 CB 的延长线相交，直接写出BF ， CG ， DH 满足的等量关系式__________，在直线 l 旋转一周的过程中（ l 不过点 B ， C ， D ），直接写出 y=的取值范围 __________．25．定义：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M （ x M ， y M ）， N （ x N ， y N ），对于给定的实数 a ， b ，作 a|x M ﹣x N |+b|y M ﹣ y N |为 M ， N 的权重为 a ， b 的直角距离，记为 d xy （ M ，N ），例如： d 2， 3（（ 1， 0），（ 4， 7）） =2|1﹣4|+3|0﹣ 7|=27． 特别地，权重为 1、1 的直角距离，又称为等权重距离，则记为 d （ M ，N ），例如： d（（ 1， 0），（ 4， 7）） =|1﹣4|+|0﹣ 7|=10． 根据以上定义，回答以下问题：（1） d （（ 0， 0），（﹣ 3，﹣ 2）） =__________， d 3， 2（（ 0， 0），（﹣ 1， 2）） =__________ ．（2） P 为直线 y=2x+4 上一动点，求 OP 的等权重距离的最小值及此时 P 点的坐标； （3） P 为直线 y=2x+4 上一动点， Q 为以 O 为圆心的单位圆上的动点，则 d （ P ， Q ）的最 小值是 __________ ，d 3，2（ P ， Q ）的最小值是 __________．-学年人大附中九年级（上）月考数学试卷（12 月份）一、选择题（本题共32 分，每小题 4 分）1．反比例函数 y= 的图象不一定经过点( )A ．（﹣ 3， 1） B．（﹣ 3，﹣ 1）C．（ 1，3）D．（， 2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解： A 、∵（﹣ 3）×1=﹣3≠3，∴函数图象不过此点，故本选项正确；B、∵（﹣ 3）×（﹣ 1） =3，∴函数图象过此点，故本选项错误；C、∵3×1=3 ，∴函数图象过此点，故本选项错误；D、∵×2=3，∴函数图象不过此点，故本选项错误．故选 A ．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解： A 、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选 A ．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( )A ．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共 4 种情况，正面都朝上的情况数有 1 种，所以概率是．故选 B ．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4．如图，⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，则弦 DE 的长为 ( )A ． 3B． 2C． 4D． 6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接 OD ，先求出OD 及 OC 的长，再由勾股定理求出DE 的长即可．【解答】解：连接 OD，∵⊙ O 的直径 AB=8 ，弦 DE 经过 OB 的中点 C 且 DE ⊥ OB，∴O D=4 ， OC=2， DE=2CD ．∵CD===2，∴DE=2CD=4．故选： C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．5．如图，正△ ABC 的边长为3，以 A 为圆心， AB 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．B．C．﹣D． 3【考点】扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ ABC 的面积，根据扇形的面积公式S= 求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC 的边长为3，∴正△ ABC 的面积为×3×= ，扇形 ABC 的面积为= ，则图中阴影部分的面积是﹣．故选： C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD，∠ CBD=23°，则∠CAD为()A． 47°B ． 46°C． 45°D． 44°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形 ABCD 中， AB=AC=AD 可知， B、 C、 D 三点在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形 ABCD 中， AB=AC=AD ，∴B 、 C、 D 三点在以 A 为圆心， AD 为半径的圆上．∵∠ CBD=23 °，∴∠ CAD=2 ∠CBD=46 °．故选 B ．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图， AB 为⊙ O 的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦 CD⊥AB ，∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 E，当点 C 在左半圆（不包括 A ，B 两点）上移动时，关于点 E 的说法：①到 CD 的距离始终不变；② 位置始终不变；③ 始终平分；④位置随点 C 的移动而移动，正确的是 ( )A ．①②B．②③C．②D．④【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接 OE，由 CE 平分∠ OCD ，得到∠ 1=∠ 2，而∠ 1=∠ E，所以有 OE∥ CD，则OE⊥AB ，即可得到 OE 平分半圆 AEB ．【解答】解：连 OE，如图，∵CE 平分∠ OCD ，∴∠ 1=∠ 2，而OC=OE ，有∠ 1=∠ E，∴∠ 2=∠ E，∴OE∥ CD ，∵点 O 到 CD 的距离在变，∴点 E 到 CD 的距离发生变；故①错误；又∵弦 CD ⊥AB ，∴OE⊥ AB ，∴OE 平分半圆AEB ，即点 E 是半圆的中点，∴点 E 位置始终不变；故② 正确．故选 C．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．8．如图，正△ ABC 的边长为 3，点 N 在 AC 边上且 AN ： NC=1 ： 2，三角形边上的动点M 从点 A 出发，沿 A →B→C 的方向运动，到达点 C 时停止．设点M 运动的路程为x，y=MN 2，则 y 关于 x 的函数图象大致为 ( )A ．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC 的边长为3， N 为 AC 的三等分点，∴AN=1 ．∴当点 M 位于点 A 处时， x=0， y=1 ．①当动点 M 从 A 点出发到 AM=0.5 的过程中， y 随 x 的增大而减小，故排除 D ；②当动点 M 到达 C 点时， x=6 ， y=4，即此时 y 的值与点M 在点 A 处时的值不相等．故排除A 、C．故选： B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断 y 的变化情况．二、填空题（本题共16 分，每小题 4 分）9．如图， DE ∥BC ， AD ： DB=2 ： 3， EC=6，则 AE 的长是 4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求AE ．【解答】解：∵ DE ∥ BC ，∴=，即=∴A E=4 ．故答案为 4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 °，AC=5 ， AB=13 ，则 tanA 的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC 的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，AC=5 ， AB=13 ，由勾股定理，得BC===12 ，tanA==，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB ， OC=OD ）测量零件的内孔直径AB ，若 OC：OA=1 ： 2，且量的CD=12mm ，则零件的内孔直径AB 是 24mm．【考点】相似三角形的用．【】算．【分析】由于 OC： OA=OD ： OB=1 ：2，加上∠ COD= ∠ AOB ，可判断△COD ∽△ AOB ，然后利用相似比开始算出AB ．【解答】解：∵ OC：OA=OD ： OB=1 ： 2，而∠ COD= ∠ AOB ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴= = ，∴A B=2CD=2 ×12mm=24mm ．故答案 24．【点】本考了相似三角形的用：利用点和盲区的知构建相似三角形，用相似三角形的比相等的性求物体的高度或度．12．如，△ ABC 中， AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1， B1做 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，作 B2B 3平分∠ AB 2B 1交 AC 于 B3， B3作 B 3B4∥ BC 交 AB 于B4，⋯段 B1B 2的度，段B2n﹣1B2n的度（）n﹣2．【考点】相似三角形的判定与性．【分析】因 B1作 B 1B2∥BC 交 AB 于 B2，于是得到△ AB 2B1∽△ ABC ，得到成比例，因AB=AC=m ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B1，所以△ BCB 1和△B 2B1B 是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC 的，根据相似三角形段成比例，可求出 B 2B1的，同理，可求得段【解答】解：∵ AB=AC=1 ，∠ ABC=72 °， BB 1平分∠ ABC 交 AC 于 B 1，∴△ BCB 1和△B 2B1B 是等腰三角形，∵ B 1作 B1B 2∥BC 交 AB 于 B2，∴= ，2 2 22AB ?ACcos36 °，∵BC =AB +ACB2n﹣1B 2n的度．∴BC=，设 B 2B 1 是 x ，则 B 2B 是 x ．∴= ，∴x=即： B 1B 2=．同理可求出 B 2n ﹣ 1B 2n =（ n ﹣ 2） ．故答案为：，（）n ﹣ 2．【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出 BC 的长，找出规律求出值．三、解答题（本题共30 分，每小题 5 分）13．用配方法解方程：．【考点】 解一元二次方程 -配方法．【分析】 先把常数项﹣ 3 移项后；然后等上的两边同时乘以 2 把二次项的系数化为 1；最后左右两边同时加上一次项系数﹣ 4 的一半的平方． 【解答】 解：由原方程，得x 2﹣ 2x=3 ，等上的两边同时乘以 2，得2x ﹣4x=6 ，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x 2﹣4x+4=10 ，配方得（ x ﹣ 2） 2=10． ∴ ， ∴，．【点评】 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法． 配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．14．计算： 3sin30°﹣ 2cos 45°+2tan60°cos30°．【考点】 特殊角的三角函数值． 【分析】 将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】 解：原式 =3× ﹣ ×（ ）2+2× ×= ﹣．【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．如图， △ ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形，且∠ BAC= ∠ DAE=90 °，请找出一条与线段 CE 相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】 连接 BD ，则 BD=CE ，证明 △AEC ≌△ ADB 即可． 【解答】 解：连接 BD ，则 BD=CE ；理由：∵△ ABC 与 △ADE 都是等腰直角三角形，∴ A B=AC ， AE=AD ，∵∠ BAC= ∠DAE=90 °， ∴∠ BAD= ∠ CAE ，在△ AEC 和 △ADB 中，，∴△ AEC ≌△ ADB （ SAS ）， ∴BD=CE ．【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．已知 m 是方程 x 2﹣ x ﹣3=0 的根，求代数式（ 1+ ） ?（ m ﹣ 3）的值．【考点】 分式的化简求值；一元二次方程的解．m 是方程 x 2﹣ x ﹣ 3=0 的根【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据【解答】解：原式 =?（m﹣ 3）=，2∵m 是方程 x ﹣ x﹣ 3=0 的根，∴原式 ==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，半径为 5 的⊙ O 中， AB 是直径，弦 BC=8 ，OD ⊥ AB 交 BC 于 D ，求 CD 的长及△ OCD 的面积．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E，根据相似三角形的判定定理可得出△ ODE∽△ BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD 的长，由勾股定理得出DE 的长，进而得出CD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，∵B C=8 ，∴C E=BE=4 ，OE=3 ．∵OD ⊥AB ，∴∠ BEO= ∠OED=90 °，∵∠ ODE+ ∠ OBE=90 °，∠ ODE+ ∠DOE=90 °，∴∠ DOE= ∠ OBE ，∴△ ODE∽△ BDO ，∴=，即=，解得DE=，∴CD=CE ﹣ DE=4 ﹣=，∴S△OCD= CD ?OE=× ×3=．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150 元，双人间每天每间 140 元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50 人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510 元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中的等量关系有两个：三人间所住人数+二人间所住人数 =50 人；三人间费用×0.5+二人间费用×0.5=1510 ，据此可列方程组求解．【解答】解：设三人间和双人间客房各x 间、 y 间，根据题意，得，解得．答：该旅行团住了三人间和双人间客房各8 间、 13 间．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19．如图，直线 y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，交反比例函数y= 的图象于点C， CB ： BA=2 ： 1．（1）求反比例函数 y= 的解析式；（2）若点 P 在 y 轴上且以点 B， C，P 为顶点的三角形与△ AOB 相似，直接写出点 P 的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由直线的解析式求得 A 、 B 的坐标，进而根据CB ：BA=2 ： 1 求得 C 的纵坐标，将 C 坐标代入直线y= ﹣ 2x+1 中求出横坐标，代入反比例函数y=，确定出反比例解析式；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【解答】解：（ 1）∵直线y=﹣ 2x+1 分别交 x 轴， y 轴于点 A ， B ，∴A （，0），B（0，1），∵CB ： BA=2 ： 1，∴=，作CD⊥ x 轴于 D ，则 CD ∥OB ，∴△ ACD ∽△ ABO ，∴= ，∴= ，∴C D=3 ，把y=3 代入 y= ﹣ 2x+1，解得 x= ﹣1，∴C（﹣ 1， 3），代入 y=得，3=，∴k= ﹣ 3，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣；（2）当△CPB ∽△ AOB 时，则= ，即 = ，∴B P=2 ，∴O P=OB+BP=1+2=3 ，∴P（ 0， 3）；当△ PCB∽△ AOB 时，则= ，∵OA=，OB=1，∴AB==，∵CB ： BA=2 ： 1，∴CB=，∴=，∴P B= ，∴O P=PB+0B= +1= ，∴P（ 0，）；故 P 的坐标为（ 0， 3）或（ 0，）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，已知，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BC 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 交于点 D，点E 为 AB 的中点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．（1）求证： ED 是⊙ O 的切线；（2）如果 CF=1， CP=2， sinA= ，求⊙ O 的直径 BC ．【考点】 切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【专题】 几何综合题．【分析】 （1）连接 OD ，证 OD ⊥ DE 即可．易证∠ ADB=90 °，又点 E 为 AB 的中点，得 DE=EB ．根据等腰三角形性质可证 ∠ODE= ∠ OBE=90 °，得证；（2）可证∠ A= ∠ DBC ，所以要求 BC 需先求 DC ．结合已知条件，证明 △ PDC 与 △FPC 相似可求 CD ，得解．【解答】 （1）证明：连接 OD ．∵BC 为直径，∴△ BDC 为直角三角形． 在 Rt △ ADB 中，E 为 AB 中点，∴ BE=DE ， ∴∠ EBD= ∠ EDB ．又∵ OB=OD ，∴∠ OBD= ∠ ODB ，∵∠ OBD+ ∠ ABD=90 °，∴∠ ODB+ ∠ EDB=90 °． ∴ED 是⊙ O 的切线．（2）解：∵ PF ⊥BC ，∴∠ FPC=90°﹣∠ BCP （直角三角形的两个锐角互余）．∵∠ PDC=90 °﹣∠ PDB （直径所对的圆周角是直角），∠ PDB= ∠ BCP （同弧所对的圆周角相等），∴∠ FPC=∠ PDC （等量代换）． 又∵∠ PCF 是公共角， ∴△ PCF ∽△ DCP ． ∴= ，则 PC 2=CF?CD （相似三角形的对应边成比例）． ∵CF=1 ， CP=2，∴CD=4 ．可知 sin ∠DBC=sinA=，∴= ，即 = ，∴直径 BC=5 ．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．21．据报道，历经一年半的调查研究，PM 2.5 源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为 PM 2.5 的最大来源，一辆车一天行驶 20 千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放 0035 千克污染物．以下是相关的统计图、表：年全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污中度污重度污严重污染染染染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到 0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100 辆机动车，了解到其中每天出行超过 20 千米的有 40 辆．已知年机动车保有量已突破 520 万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过 20 千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法．【分析】（1）用单位 1 减去其他原因所占的百分比即可确定答案；（2）用重度污染和严重污染的天数除以所有的天数即可确定出现的频率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（ 1） 31.1；（2）≈0.16．该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）=7 280 0，20 千米的机动车至少要向大气里排放72800 千克污染物．估计年一天中出行超过【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图 1，给定锐角三角形ABC ，小明希望画正方形 DEFG ，使 D， E 位于边 BC 上，F， G 分别位于边 AC ， AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK ，是的 H， I ，位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，而不需要求 J 必须位于 AC上．这是他发现可以将正方形HIJK 通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG ．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图 2，给定锐角三角形ABC ，画出所有长宽比为2： 1 的长方形 DEFG ，使 D ， E 位于边 BC 上， F， G 分别位于边 AC ， AB 上．（2）已知三角形 ABC 的面积为 36， BC=12 ，在第（ 1）问的条件下，求长方形DEFG 的面积．【考点】位似变换．【分析】（1）如图 2，先画长方形 HIJK ，使得 HI=2HK ，并且 H ， I 位于射线 BC 上， K 位于射线 BA 上，连结 BJ 并延长交 AC 于点 F，再将长方形 HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；如备用图，先画长方形HIJK ，使得 HK=2HI ，并且 H ， I 位于射线BC 上， K 位于射线BA 上，连结BJ 并延长交AC 于点 F，再将长方形HIJK 通过放大可得到满足要求的长方形DEFG ；（2）作△ABC 的高 AM ，交 GF 于 N ．由三角形ABC 的面积为36，求出 AM=6 ．再设AN=x ，由 GF∥BC ，得出△ AGF ∽△ ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式 = ，由此求出 x 的值，进而求解即可．【解答】解：（ 1）如图 2 与备用图1，长方形DEFG 即为所求作的图形；（2）在长方形 DEFG 中，如果 DE=2DG ，如备用图 2，作△ ABC 的高 AM ，交 GF 于 N ．∵三角形 ABC 的面积 = BC ?AM= ×12AM=36 ，∴A M=6 ．设AN=x ，则 MN=6 ﹣ x， DG=MN=6 ﹣x， DE=GF=2 （ 6﹣x） =12﹣2x．∵GF∥ BC ，∴△ AGF ∽△ ABC ，∴= ，∴= ，解得 x=3 ，∴D G=6 ﹣ x=3， DE=2DG=6 ，∴长方形 DEFG 的面积 =6×3=18；在长方形 DEFG 中，如果 DG=2DE ，同理求出 x= ，∴DG=6 ﹣ x=，DE= DG= ，∴长方形 DEFG 的面积 =× =．故长方形 DEFG 的面积为 18 或．【点评】 本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形 DEFG 是解题的关键．五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23．已知关于 x 的二次函数 y 1=x 2﹣（ m+3） x+m+2 ， y 2=﹣ x 2 +bx+c ．（1）求证：方程 x 2﹣（ m+3 ） x+m+2=0 必有实根； （2）若 m 为整数， y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标a 满足 5＜ a ＜ 7，求 m 的值； （3）在第（ 2）问的条件下，小明利用函数图象解关于 x 的不等式 y 1 ＜y 2，正确解得该不等式的解集为 3＜ x ＜ 4，求 y 2 的解析式．【考点】 二次函数与不等式（组）；抛物线与 x 轴的交点．【分析】 （1）利用根的判别式即可得出结论；（2）根据 y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜a ＜ 7 可知当 x=5 时， y 1＜ 0，当x=7 时， y 1 ＞0 求出 m 的取值范围，再由 m 为整数即可求出 m 的值； （3）先求出当 x=3 ，x=4 时 y 1 的值，再由 y 2 也经过此点即可得出结论． 【解答】 解：（221）∵△ =[ ﹣（ m+3）] ﹣ 4（ m+2） =（ m+1） ≥0，∴方程 x 2﹣（ m+3） x+m+2=0 必有实根； （2）∵ y 1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜ a ＜ 7，且抛物线开口向上，∴f （5）＜ 0， f （7）＞ 0，∴，解得 3＜ m ＜ 5．∵m 为整数， ∴ m =4 ；（3）∵由（ 2）知， m=4，22∴关于 x 的二次函数 y 1=x ﹣（ m+3） x+m+2 可化为 y 1=x ﹣ 7x+6 ，2∵二次函数 y 2=﹣ x + bx+c 经过（ 3，﹣ 6），（ 4，﹣ 6）， ∴，解得，∴y 2 的解析式为 2﹣ 72．y 2=﹣ x +25x【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．24．过正方形 ABCD 的顶点 A 任作一条直线 l （ l 不过点 B，C， D），过点 B， C，D 作 l 的垂线段 BF ，CG，DH ．（1）如图 1，若直线 l 过线段 BC 的中点 E，则 BF ： CG： DH=1 ： 1： 2．（2）如图 2，若直线 l 与线段 BC 相交于点 E，则 BF ， CG， DH 满足等量关系式DH=BF+CG ，请证明你的猜想；（3）如果直线l 与线段 CB 的延长线相交，直接写出BF， CG， DH 满足的等量关系式BF=DH+CG ，在直线l 旋转一周的过程中（l 不过点 B ， C， D），直接写出y=的取值范围1＜ y≤2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图 1 所示：设AB=2a ，根据题意得：BE=a ，由勾股定理可求得AE= a，由面积法可求得 BF 和 HD 的长度，然后再证明△ BFE≌△ CGE，得到BF=CG ，从而可求得答案；（2）如图 2 所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH= ∠ FBE= ∠ GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：，由 AD=BC ，于是可得到DH=BF+CG ；（3）如图 3 所示：先证明∠ABF= ∠ HDE= ∠ GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得，由 AB=DC 于是得到 BF=DH+CG ；如图 4、 5 所示可求得 BF+CG+DH 的最大值为 2BD ，最小值为 BD ，从而可求得 y 的范围．【解答】解：（ 1）如图 1 所示：连接ED ．设AB=2a ，根据题意得： BE=a ．在 Rt△ ABE 中， AE=，∵，即：，∴BF=．在△ BFE 和△ CGE 中，，∴△ BFE ≌△ CGE．∴BF=CG ．∵，即，∴HD=．∴B F ： CG： DH=1 ：1：2．（2） DH=BF+CG ．理由：如图 2 所示：∵∠ ADH+ ∠ DAH=90 °，∠ BAH+ ∠DAH=90 °，∴∠ ADH= ∠ BAH ．同理∠ FBE= ∠BAH ．∴∠ ADH= ∠ FBE ．∵B F ⊥ AE ， GC⊥AE ，∴BF ∥ GC．∴∠ FBE= ∠ GCE．∴∠ ADH= ∠ FBE= ∠GCE．∴．由可知：，∴，即．∴．∴．∵AD=BC ，∴DH=BF+CG ．（3） BF=DH+CG ．理由：如图 3 所示：根据题意可知：∠ABF= ∠ HDE= ∠ GCE．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵AB=DC ，∴BF=DH+CG ．如图 4 所示：当直线经过点 C 时， BF+DH+CG 有最小值，最小值=BD ，∴y=1 ．如图 5 所示：BF+DH+CG 有最大值，最小值=2AC=2BD ，∴y=2 ．∵直线 l 不经过点 B 、C、 D，∴y 的取值范围是：1＜y≤2．。

2019-2020学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)--含详细解析

2019-2020学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)--含详细解析

2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.方程x2−x=0的解是()A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=−1D. x1=0，x2=13.有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的，则下列各图中涂色方案正确的是()概率为23A. B. C. D.4.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是()A. 它的图象经过点(−1,−2)B. 当x<0时，y随x的增大而减小C. 它的图象的对称轴是直线x=2D. 当x=0时，y有最大值为05.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是(),5) C. (3,5) D. (3,6)A. (2,5)B. (527.如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在()A. 点A与点B之间靠近A点B. 点A与点B之间靠近B点C. 点B与点C之间靠近B点D. 点B与点C之间靠近C点8.如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：(1)分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；AC长为半径作弧，两(2)分别以A，C为圆心，大于12弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；(3)连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC//OD；③CE=OE；④AD2=OD⋅CE；所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若10.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为______．11.已知反比例函数y=m−2x，当x>0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．12.若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是______．13.小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm和170cm之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则______(填“1班”，“2班”或“3班”)的可供挑选的空间最大．身高/厘米频数班级150≤x<155155≤x<160160≤x<165165≤x<170170≤x<175合计1班181214540 2班1015103240 3班51010874014.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______．15.为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.6米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为______米．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC−AC，在平面直角坐标系xOy中，定义(x,y)为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点(x,y)对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=√2BC；(x>0)的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形②在函数y=2019x相似；③对于函y=(x−2020)2−1(x>0)的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y=−2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P，Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．(1)求证：∠F=∠BAC；(2)若DF//AC，若AB=8，CF=2，求AC的长．四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）18.解方程：x2−2x=2(x+1)．19.如图，已知∠B=∠C=90°，点E在BC上，且满足AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，求证：AE⊥DE．20.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；(3)当0≤x≤3时，y的取值范围是______．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=2，AC=2√2(1)求点O到AC的距离；(2)求∠ADC的度数．22.某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t 天运输完成．(1)请直接写出v关于t的函数关系式；(2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？x2+bx+c=023.已知关于x的一元二次方程14(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．求b、c的值使方程14(x>0)的24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数y=mx 图象交于点A(3,2)．(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t(t>0)个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，(x>0)的图象交于点C．Q，与函数y=mx①当t=2时，求线段QC的长．<3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．②若2<QCPQ25.如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24______ 5.486(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为______26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2ax+a2−a+4的顶点为A，点B，C为直线y=3上的两个动点(点B在点C的左侧)，且BC=3．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(3)过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE//AC交直线AD于点E．(1)依题意补全图形；(2)找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；(3)延长BD交直线AC于点F，过点F作FH//AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28.新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y=2x+2；②直线y=−x+3；③双曲线y=2，是⊙O的关联图形的是x______(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T的圆心为T(1,0)，半径为1，直线l：y=−x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B(0,2)，C(2,0)，D(0,−2)，⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】解：x(x−1)=0，x=0或x−1=0，所以x1=0，x2=1．故选：D．先把方程左边分解，这样把原方程化为x=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．3.【答案】C，故选项错误；【解析】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=13B、指针指向灰色的概率为3÷6=1，故选项错误；2C、指针指向灰色的概率为4÷6=2，故选项正确；3D、指针指向灰色的概率为5÷6=5，故选项错误．6故选：C．指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．4.【答案】B【解析】解：二次函数y =2x 2，当x =−1时，y =2，故它的图象不经过点(−1,−2)，故A 选项不合题意；当x <0时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确； 它的图象的对称轴是直线 y 轴，故C 选项不合题意； 当x =0时，y 有最小值为0，故D 选项不合题意； 故选：B ．直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴ABA′B′=ADA′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49， 故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】B【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2,0)，D(5,0)，∴OBOD =25，∵A(1,2)，∴C(52,5)．故选B．7.【答案】C【解析】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．画出图象，利用图象法即可解决问题；本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．8.【答案】D【解析】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠AOD=12∠AOC=45°，∵OB=OC，∴∠OBC=45°，∴∠AOD=∠OBC=45°，∴OD//BC，故②正确，∴ODBC =OEEC<1，∴OE<EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE=∠DCO，∠CDE=∠COD=45°，∴△DCE∽△OCD，∴CDOC =CECD，∴CD2=OD⋅CE，∵∠AOD=∠DOC，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD，∴AD2=OD⋅CE，故④正确，故选：D．由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】2.5【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB，∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+BD=5，∴1：BC=2：5，∴BC=2.5，故答案为：2.5．首先由DE//BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．10.【答案】135°【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB=45°，∴∠AOC=135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB=45°得到∠AOC的度数即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11.【答案】m>2【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m−2>0是解题的关键．，当x>0时，y随x增大而减小，可得出m−2>0，解之即可根据反比例函数y=m−2x得出m的取值范围．【解答】，当x>0时，y随x增大而减小，解：∵反比例函数y=m−2x∴m−2>0，解得：m>2．故答案为m>2．12.【答案】3π=3π，【解析】解：扇形的面积=120⋅⋅π⋅32360故答案为3π．利用扇形的面积公式计算即可．．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr236013.【答案】1班【解析】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．根据各个班身高在160cm和170cm之间同学的人数，进行判断即可．考查频数分布表的表示方法，从表格中获取数据和数据之间的关系是正确判断的前提．14.【答案】2【解析】解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC=S△OBD=12×2=1，∴S△OAC+S△OBD=1+1=2．故答案为2．根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=12×2=1，再相加即可．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于12|k|．15.【答案】10.6【解析】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF=∠ACD，∵∠ADC=∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴DECD =EFAC，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DC=18米，∴0.518=0.25AC，∴AC=9米，∵DG=1.6米，∴BC=1.6米，∴AB=10.6米，故答案为：10.6．根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．16.【答案】①③④【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点(x,y)，∴y=0，∴AC=BC，∴AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，∴x22=x12，∵x>0，∴x1=x2，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，∴(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，∵x>0，∴x1x2+1=20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，x2=−x1+2020，∴x2+x1=2020，∵x>0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．①在x轴正半轴上的任意点(x,y)，则y=0，所以AC=BC，由勾股定理可得AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，可得x22=x12，当x>0时x1=x2；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，由条件可得x1x2+1=20202；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，可得x2+x1=2020．本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∴∠F+∠DBC=90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=90°，∵∠DBC=∠DAC，∴∠BAC=∠F(2)解：连接CD，∵DF//AC，∠ODF=90°，∴∠BEC=∠ODF=90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE=CE=12AC，∴AB=BC，∵AB=8，∴BC=8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，∵∠DBC+∠F=90°，∴∠BDC=∠F，∵∠BCD=∠FCD=90°，∴△BCD∽△DCF，∴BCDC =DCCF，∵BC=8，CF=2，∴DC=4，∴BD=√BC2+CD2=4√5．∵在△BCD中，S△BCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE，∴CE=85√5，∴AC=2CE=165√5．【解析】(1)证∠F+∠DBC=90°，可得∠BAC+∠DAC=90°，又∠DBC=∠DAC，则∠BAC=∠F，结论得证；(2)连接CD，证明△BCD∽△DCF，可得BCDC =DCCF，求出DC=4，BD=4√5，由三角形面积可得出CE，则AC可求出．本题考查了相似三角形的性质及判定，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解答时运用好切线的性质求解是解答本题的关键．18.【答案】解：整理得x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，即(x−2)2=6，∴x−2=±√6，∴x1=2+√6，x2=2−√6．【解析】整理得x2−4x=2，然后利用配方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19.【答案】证明：∵AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，∴ABCE =BECD，∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A=∠CED，∵∠B=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠AED=180°−∠AEB−∠CED=90°，∴AE⊥DE．【解析】证明△ABE∽△ECD，可得∠A=∠CED，则∠CED+∠AEB=90°，可得出∠AED= 180°−∠AEB−∠CED=90°，则结论得证．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解答此题的关键．20.【答案】(1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1；(2)这个二次函数的图象如图：(3)−1≤y≤3【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)当0≤x≤3时，−1≤y≤3．故答案为−1≤y≤3．【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；(3)运用数形结合思想解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．21.【答案】解：(1)连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH=12AC=√2，即点O到AC的距离为√2；(2)由圆周角定理得，∠B=12∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°−45°=135°．【解析】(1)连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；(2)根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．22.【答案】解：(1)由题意得：v=2000×50t =100000t；(2)当t=40时，v=10000040=2500，2500−2000=500(m3)，答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．【解析】(1)根据题意得等量关系：平均每天运输土方=土方总量÷时间，然后可得v关于t的函数关系式；(2)求出当t=40时v的值，然后其计算与2000的差即可．此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．23.【答案】(1)证明：∵△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴将c=2b−1代入得：△=b2−(2b−1)=b2−2b+1=(b−1)2≥0，∴方程一定有两个实数根；(2)解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴b2=c，满足条件的结果有(1,1)和(2,4)，共2种，∴P(b、c的值使方程14x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率)=16．【解析】(1)直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)中，得2=3k−1，2=m3，∴k=1，m=6；(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点(0,−1)，∴当t=2时，Q(0,1)．此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解得x1=−3(舍去)，x2=2，∴C(2,3)，∴QC=√(2−0)2+(3−1)2=2√2．②如图，作CD⊥x轴于D，若QCPQ =2时，则ODOP=2，CDOQ=3，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=2a，CD=3a，∴CD=62a =3a，∴3a=3a，解得a=1，∴此时t=1+1=2，若QCPQ =3时，则ODOP=3，CDOQ=4，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=3a，CD=4a，∴CD=63a =2a，∴4a=2a，解得a=√22，∴此时t=1+√22，∴若2<QCPQ <3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+√22<t<2．【解析】(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)，即可求出k、m的值；(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点C的坐标，即可求出QC的长；②观察图象解答即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25.【答案】4.90 1.50或4.50【解析】解：(1)利用测量法可知：当x=4时，y2=4.90．故答案为4.90．(2)函数图象如图所示：(3)函数y1与直线y=√3x的交点的横坐标为1.50，x的交点的横坐标为4.50，函数y1与直线y=√33故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．(1)利用测量法解决问题即可．(2)利用描点画出函数图象即可．(3)利用图象法求出函数y1与直线y=√3x，直线y=√3x的交点的横坐标即可解决问题．3本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，故点A(a,4−a)；(2)点A所在的直线为：y=4−x，联立y=4−x与y=−x并解得：x=1，故两个直线的交点为(1,3)；①当点C的坐标为：(1,3)时，则点B(−2,3)，点A(−2,6)，a=−2，故抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6；②当点B的坐标为：(1,3)时，则点A(4,0)，则a=4，故抛物线的表达式为：y=(x−4)2；综上，抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6或y=(x−4)2；(3)点A(a,4−a)，则点D(a,3)，BC=3BD，则点B、C的坐标分别为：(a−1,3)、(a+2,3)，将抛物线y=x2−2ax+a2−a+4与直线y=3联立并解得：x=a±√a−1，故点E、F的坐标分别为：(a−√a−1,3)、(a+√a−1,3)，①当a=1时，点E、B、C、F的坐标分别为：(1,3)、(0,3)、(2,3)、(1,3)，而点A(1,3)，此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a>1时，当点C、F重合时，则a+√a−1=a+2，解得：a=5；当点B、E重合时，a−√a−1=a−1，解得：a=2，故2<a≤5；综上，a=1或2<a≤5．【解析】(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，即可求解；(2)分当点C的坐标为：(1,3)时、点B的坐标为：(1,3)时，两种情况分别求解；(3)分a=1、a>1两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中(2)、(3)，都要注意分类求解，避免遗漏．27.【答案】解：(1)如图1所示：(2)与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH=DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD=AC，BC=BD，且AB⊥CD，∴∠ACD=∠ADC，∠CAB=∠DAB，∠BCD=∠BDC，∠DBA=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，且∠ABC+∠BCH=90°，∠BAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠BAC，∠ACD=∠ABC，∴∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，∵AC//BE，∴∠CAB=∠ABE，∴∠CDB=∠ABE，且∠DAB=∠BCD，∴△BCD∽△EAB；(3)BH⋅FC=BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB=90°，∴BC2+CF2=BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB=∠CBD，∵AE//FH，∴∠H=∠AEB=∠CBD，∵AC//BE，∴∠CFB=∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴BHBF =BFFC，∴BF2=BH⋅FC，∴BH⋅FC=BC2+CF2．【解析】(1)由题意补全图形；(2)由轴对称的性质可得AB是CD的垂直平分线，可得AD=AC，BC=BD，由等腰三角形的性质和余角的性质，可得∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，由平行线的性质可得∠CAB=∠ABE=∠CDB，可证△BCD∽△BAE；(3)由勾股定理可得BC2+CF2=BF2，通过证明△FCB∽△BFH，可得BHBF =BFFC，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，找到正确的相似三角形是本题的关键．28.【答案】①③【解析】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=−x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN=√2，OT=1，∴N(1+√2,0)，把N(1+√2,0)代入y=−x+b中，得到b=1+√2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=−√2+1，∴点N的横坐标的取值范围为−√2+1≤≤√2+1．(3)如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，综上所述，−6≤ℎ<0，0<ℎ≤2．(1)根据⊙A的关联图形的定义判断即可．(2)直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，求出两种特殊情形的点N的横坐标即可解决问题．(3)分两种情形：如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2.如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，由此即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了⊙A的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市海淀区清华附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(12月份) 解析版

北京市海淀区清华附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(12月份) 解析版

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝，＝．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；故选：B．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，﹣2，﹣4．故选：A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12．∴tan B＝＝．故选：A．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可由二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到．故选：D．5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形相似，说法正确；B、有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；C、有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；D、任意两个正方形相似，说法正确；故选：C．7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看能配成一副的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：设其中一副手套分别为a，a′；另一副手套分别为b，b′．共有12种情况，能配成一副的有4种情况，所以刚好是一副的概率是＝，故选：B．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2的对称轴为x＝﹣1，C（0，﹣2），∴C点关于对称轴对称的点C'（﹣2，﹣2），过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE＝C'E，则C'F＝CE+EF＝C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线y＝﹣x+3，∴C'F的解析式为y＝x+，∴F（，），∴C'F＝，故选：C．二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为45°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A＝45°，故答案为：45°．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为27 ．【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的周长为9，∴△ABC的周长为27，故答案为27．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940 ．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.940．【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940．故答案为0.940．12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是96πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：扇面的面积＝S大扇形﹣S小扇形＝﹣＝96πcm2，故答案为96πcm2．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为a＞﹣．【分析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，即：抛物线位于x轴上方，与x轴无交点，也就是△＜0．【解答】解：无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，∴抛物线位于x轴上方，即：（2a+1）2﹣4（a2﹣1）＞0解得：a＞﹣，14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为68°．【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC＝180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵将沿BC翻折，交AC于点D，∴∠A+∠BDC＝180°，设∠A＝α，∴∠BDC＝180°﹣α，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴180°﹣α＝α+44°，∴α＝68°，故答案为：68°．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为（2，2）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，点P即为所求，P（2，2）．故答案为（2，2）．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝67.5°，＝．【分析】根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD＝+1，再证△ADE∽△BDA，得ED＝＝﹣1，BE＝2．所以＝．【解答】解：连接BC、CD，作AF∥CD，交BE于F，∵＝，∴AC＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵点D是弧AC的中点，∴可设AD＝CD＝1，∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝67.5°根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°．∴△ADF是等腰直角三角形，则AF＝，BF＝AF＝．∴BD＝+1．∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∴DE＝＝﹣1，BE＝2．∴＝．故答案为67.5°，．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．【解答】解：原式＝1+4××﹣×，＝1+﹣1，＝．18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．【分析】（1）根据作法即可用直尺和圆规补全图形；（2）根据作图过程即可完成证明．【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B＝∠C＝60°，根据等式性质求出∠BAD＝∠EDC，即可证明△ABD∽△DCE．（2）根据相似三角形的对应边成比例得出＝，列方程解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，（2）解：∵△ABD∽△DCE∴＝，设正三角形边长为x，则＝，解得x＝9，即△ABC的边长为9，周长为27．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．【解答】解：在Rt△ADC中，∵，CD＝100，∴AD＝tan30°•CD＝，在Rt△BDC中，∵，CD＝100，∴BD＝tan20°•CD≈0.36×100＝36∴AB＝57.7+36＝93.7米．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）先确定m的最大整数为0，则方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，解得m≤；（2）m的最大整数为0，方程为x2﹣x﹣1＝0，△＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．【分析】（1）根据交点式得出y＝a（x+4）（x﹣2），将（0，﹣2）代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过点（﹣4，0），∴抛物线经过点（2，0），设y＝a（x+4）（x﹣2），把（0，﹣2）代入解得：a＝，故解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，∴函数有最小值﹣，把x＝4代入得y＝4，∴﹣4＜﹣1＜4，∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是﹣≤y＜4．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠ABD即可解决问题．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝75°+60°＝135°．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，∴BE＝2x﹣x，在Rt△BDE中，∵BD2＝DE2+BE2，∴2＝x2+（2x﹣x）2，解得x＝，∴AD＝2x＝+1．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．【分析】（1）连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，根据圆周角定理得出△PBD是直角三角形，进而求得∠ABC＝∠D，即为直角三角形求得直径BD，根据sin∠ACB＝，得到＝，然后设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，根据勾股定理得到（2x）2+52＝（5+x）2，解得x的值，即可求得AB的长．【解答】（1）证明：连结OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 3.17 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为 1.5 cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为 2.3或5或0.5 cm．【分析】（1）利用测量法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）①根据函数图象寻找最低点解决问题即可．②根据图中A，B，C的横坐标的值即可判断．【解答】解：（1）利用测量法可知当x＝4时，DF＝3.17．故答案为3.17．（2）函数图象如图所示：（3）①观察图象可知，当x＝1.5时，DF的值最小，故答案为1.5．②两个函数的函数值y＝4时，△BDF是等腰三角形，此时A（2.3，4），B（5，4），∴x＝2.3或5时，△BDF是等腰三角形．两个函数的交点C的横坐标约为0.5，∴x＝0.5时，△BDF是等腰三角形．综上所述，x的值为2.3或5或0.5．故答案为2.3或5或0.5．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a即可求出MN的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a ＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，y＝a要在线段AB的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点，∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，∴y＝a要在线段AB的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝α（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形；（2）由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．【解答】解：（1）如图1所示；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵点B关于直线AP的对称点为D，∴AP垂直平分BD，∴AB＝AD，且AP⊥BD，∴∠BAP＝∠PAD＝α，∴∠DAC＝60°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ACD＝＝60°+α，∴∠BCD＝α，故答案为：α；（2）S△DEC＝2S△ABE，理由如下：如图2，过点A作AH⊥CD，连接EH，∵AC＝AD，AH⊥CD，∴DH＝CH，∴S△DEC＝2S△DEH，∵DE∥AH，∴S△AED＝S△DEH，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴S△BAE＝S△DAE，∴S△DEC＝2S△ABE．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．【分析】（1）①根据“正方距”的定义，d（点E）＝EC，d（点G）＝GA．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，由此写出α的范围即可．（2）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，求出OP的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，连接AG．由题意：d（点E）＝EC＝6，d（点G）＝GA＝＝．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°时，满足条件．（3）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，设图中P（m，m），∵PB＝6，∴m2+（4+m）2＝36，解得m＝﹣2+或﹣2﹣（舍弃），∴P（﹣2+，﹣2+），∴OP的最大值＝OP＝m＝﹣2+2，∵OP的最小值＝OP′＝2，∴2≤OP≤﹣2+2．。

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