历年全国卷高考数学真题汇编解析版定稿版

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历年全国高考数学考试试卷附详细解析.doc

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2015年高考数学试卷1. (5 分)(2015・原题)复数 i (2-i)二( )A. l+2iB. 1—2iC. — 1 +2iD. — 1 — 2ix - y=C02. (5分)(2015*原题)若x, y 满足< x+y^ 1 ,则z=x+2y 的最大值为() .x>03A. 0B. 1C. —D. 2 23. (5分)(2015-原题)执行如图所示的程序框图输出的结果为( )A. ( -2, 2)B. ( -4, 0)C. ( -4, -4)D. (0, -8)4. (5分)(2015•原题)设oc,卩是两个不同的平面,m 是克线且ms,缶//0“是“oc //卩” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 一、选择J (每小题5分,共40分)5.(5分)(2015•原题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()6. (5分)(2015・原题)设{%}是等差数列,下列结论屮正确的是( )八・若 a 1+a 2>0,贝!j a 2+a 3>0 B.若 a 1+a 3<0> 贝lj a]+a 2<07. (5分)(2015•原题)如图,函数f (x )的图象为折线ACB,则不等式f (x ) >1<)& (x+1)A. {x| -l<x<0}B. {x| -Kx<l}C. {x| - 1<x<1}D. {x| -l<x<2}8. (5分)(2015-原题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是( )C.若 0<ai <a 2,则 2〉寸8护3D.若 2]V0,贝lj (a 2-a 1) (a 2-a 3) >0 A. 2+V5 B. 4+^5 C. 2+2A /5 D ・ 5A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车屮,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油9. (5分)(2015•原题)在(2+x )'的展开式中,J 的系数为 __________ (用数字作答)10. (5分)(2015-原题)已知双曲线岭-y2=l (a >0)的一条渐近线为V3x+y=0,贝911. (5分)(2015-原题)在极坐标系中,点(2,牛)到直线° (cosO+V3sinO ) =6的距离 为 ____________ •12. (5 分)(2015・原题)在AABC 中,a=4, b=5, c=6,则二 ____________________ .sinC在AABC 中,点 M, N 满足 AM=2MC, BN=NC,若MN=xAB+yAC,① 若汗1,则f (x )的最小值为 _____________ ;② 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 ____________15. (13 分)(2015・原题)已矢U 函数 F (x ) =V2sin —cos — - V2sin ^―.2 2 2(I )求f (x )的最小正周期;(H ) 求F (x )在区间[■心0]上的最小值.16. (13分)(2015-原题)A, B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位: 天)记录如下:A 组:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组;12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立,从八,B 两组随机各选1人,八组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(I ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;(U )如果沪25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(HI )当a 为何值时,A, B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)17. (14分)(206原题)如图,在四棱锥A-EFCB 中,AAEF 为等边三角形,平面AEF 丄平面 EFCB, EF//BC, BC=4, EF=2a,上EBC 二上FCB 二60° , O 为 EF 的中点.(I )求证:AO1BE.二、填空题侮小丿 5分,共30分)13. (5 分)(2015*原题)14. (5分)(2015•原题)设函数f (x )= 2x-a, 4(x - a ) (x _ 2 a ),x<l 三、解答] (共6小题 ,共80分)(U)求二面角F-AE-B的余弦值;(HI)若BE丄平面AOC,求a的值.18. (13分)(2015*原题)已知函数f (x)二1门丿注,(I )求曲线尸f (X )在点(0, f (0))处的切线方程; 3(H) 求证,当*€ (0, 1)时,f (x) >2(x+^-);3(m)设实数k 使得f (x) >k(x+专-)对乂€ (o, 1)恒成立,求k 的最大值.19. (14分)(2015•原题)已知椭圆C:三+笃二1 (a>b>0)的离心率为李,点P (0, 1)/ b , 2和点A (m, n) (mHO)都在椭圆C±,直线PA 交x 轴于点M.(I) 求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用n 表示);(U )设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N,问:y 轴上是否存 在点Q,使得ZOQM=ZONQ?若存在,求点Q 的坐标,若不存在,说明理由.2(). (13 分)(2013 •原题)已知数列{%}满足: , a t <36,且 a n+1 = (n=l, 2,…),记集合 M ={a n |n€N +}.(I)若引二6,写出集合M 的所有元素;(n )如集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (111)求集合M 的元索个数的最大值.2%,a n <18 2%-36, %>182015年原题市高考数学试卷(理科)1. (5 分)(2015-原题)复数 i (2-i )二()A. l+2iB. 1 -2iC. —l+2iD. - 1 - 2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解:原式=2i - i 2=2i - (-1) =l+2i;故选:A.【点评】本题考查了复数的运算;关键是熟记运算法则.注意i 2=-l. &-y<02. (5分)(2015•原题)若x, y 满足《 x+yCl ,则z=x+2y 的最大值为()、x>03A. 0B. 1C. —D. 2 2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z 二x+2y 对应的直线进行平移, 即可求出z 取得最大值."x-y<0【解答】解:作出不等式组x+y< 1表示的平面区域,.xi>0当1经过点B 时,目标函数z 达到最大值 z 煨大值二0+2X1 —2・【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数Z 二x+2y 的最大值,着重考查了二元一次 不一、选择题(每小, 5分,共40分)等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题•3.(5分)(2015•原题)执行如图所示的程序框图输出的结果为()A. (—2, 2)B. (一4, 0) C- (一4, -4) D. (0, -8)【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;x=l, y=l,k=0 时,s=x - y=0, t=x+y=2 ;x=s=0, y=t=2,k二1 时,s=x - y= - 2, t二x+y二2;x二s二一2,y二t二2,k=2 吋,s=x - y= ~ 4, t=x+y=0 ;x=s= -4, y=t=0,k=3时,循环终止,输出(x, y)是(-4, 0).故选:B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,是基础题目•4.(5分)(2015-原题)设冷卩是两个不同的平面,口是直线且muoc, //0 “是、//卩” 的()A.充分而不必耍条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m // p并得不到a II ,3,根据面面平行的判定定理,只有a内的两相交直线都平行于P,而a//0,并且mua,显然能得到这样即可找出正确选项.【解答】解:mca, 口//(3得不到00”(3,因为oc, 0可能相交,只要m和a,卩的交线平行即可得到m" (3;a // P,mCa, m 和0 没有公共点,.'.m//p,即oc//0 能得到m//0;二“m/邙”是、/人3”的必要不充分条件.故选B.【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定 理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念.5. (5分)(2015-原题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A. 2+^^/5B. 4+A /5C. 2+2A /5D. 5【分析】根据三视图可判断克观图为:()A 丄面ABC,AC=AB,E 为BC 中点,EA=2,E/\=EB=1, OA二 1,: BC 丄 ffi AEO, AC=V5, OE=V5判断儿何体的各个面的特点,计算边长,求解面积.【解答】解:根据三视图可判断立观图为:()八丄面ABC, AC 二AB, E 为BC 屮点,EA=2, EC=EB=1, ()A 二 1,•••可彳导/\E 丄BC, BC 丄OA,运用£[线平面的垂立得岀:BC 丄面AEO, AC=V5, OR=V5S/XBCO 二专 X2x V5-V5.故该三棱锥的表面积是2+2丽, 故选:C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直 观图,得出几何体的性质.6. (5分)(2015•原题)设{%}是等差数列,下列结论中正确的是()• • ^AABCX2X2 二 2, S AO/\C =^AOAB-^ XV5>< 1=^^-A.若引+玄2>0,贝lj a2+a3>0B.若卯+%<0,贝lj a1+a2<0C.若0<旬<近,则阴D・若吗<0,贝lj (a2-aj) (a2-a3) >0【分析】对选项分别进行判断,即可得岀结论.【解答】解:若a1+a2>0,则2a]+d>0, a2+a3=2a]+3d>2d, d>0时,结论成立,即A不正确;若吗+%<(),贝lj a1+a2=2a1+d<0, a2+a3=2a1+3d<2d, dV()日寸,结论丿成立,即B 不止确;{%}是詩差数列,0<则<^2,2屯二引+%>2寸3]阴,;•耳>勺a]巧,即C止确;若引V0,贝I」(迈—吗)(a2-a3) =-d2<0,即D不正确.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.7.(5分)(2015•原题)如图,函数f (x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) >lo& (x+1)-l<x<l}C. {x| - l<x<l}D. {x| -l<x<2}【分析】在已知坐标系内作IB y=log2 (x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集.【解答】解:由已知F(x)的图象,在此坐标系内作出y二1。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题(原卷版及解析版)

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题(原卷版及解析版)
6.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))(12分)等比数列 中, ,
(1)求 的通项公式;
(2)记 为 的前 项和,若 ,求 .
(1) 或 ;(2)
【答案】【官方解析】(1)设 的公比为 ,由题设得
由已知得 ,解得 (舍去), 或
故 或
(2)若 ,则 ,由 ,得 ,此方和没有正整数解
若 ,则 ,由 ,得 ,解得
【答案】解析:(1)设 的公差为 ,由题意得 .
由 得 ,所以 的通项公式为 .
(2)由(1)得 .
所以当 时, 取得最小值,最小值为 .
8.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列 的前 项和 ,其中 .
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)由题意得 ,故 , , .
所以数列 是以 为首项,以 为公差等差数列;
(2)由(1)可得,数列 是以 为首项,以 为公差的等差数列,
,
,
当n=1时, ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【点睛】本题考查等差数列的证明,考查数列的前n项和与项的关系,数列的前n项积与项的关系,其中由 ,得到 ,进而得到 是关键一步;要熟练掌握前n项和,积与数列的项的关系,消和(积)得到项(或项的递推关系),或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法.
【解析】(1)设 的公比为 , 为 的等差中项,


(2)设 前 项和为 , ,
,①
,②
① ②得,


【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质,以及错位相减法求和,考查计算求解能力,属于基础题.

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 统计(原卷版及解析版)

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 统计(原卷版及解析版)
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编统计(精解精析)
一、选择题
1.(2021年高考全国甲卷理科)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入 调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编统计(原卷版)
一、选择题
1.(2021年高考全国甲卷理科)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入 调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元 农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
2.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
6.(2015高考数学新课标2理科)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是()

历年高考数学真题(全国卷整理版)

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式:如果事件A 、B 互斥,则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立,则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,AB =A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为*=-4 ,则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中,AB 边的高为CD ,假设a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角,sin α+sin β=33,则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C:*²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)*<y<z 〔B〕z<*<y (C)z<y<* (D)y<z<*(10) 函数y=*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点,则c=〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不一样,梅列的字母也互不一样,则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。

历年全国卷高考数学真题汇编(解析版)

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全国卷历年高考真题汇编三角1 (2017全国I卷9题)已知曲线G : y cosx , C2: y sin2 n2x —,则下面结论正确的3是()A .把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移上个单6位长度,得到曲线C2B.把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移单位长度,得到曲线C2C.把C上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移丄个单6位长度,得到曲线C2D .把G上各点的横坐标缩短到原来的2倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移单位长度,得到曲线C2【答案】D【解析】C1: y cosx , C2: y sin 2x首先曲线G、C2统一为一三角函数名,可将G:y cosx用诱导公式处理.y cosx cos xsinsin x .横坐标变换需将2 2 21C1上各点横坐标缩短它原来一2ynsin 2x —2注意根据1变成y sin 2x 8 sin23的系数,在右平移需将2提到括号外面,这时"左加右减”原则,“I卷17题)nsin 2 x —4亍平移至n ”到“ x字需加上,即再向左平移n122 (2017全国2的面积为—3sin A(1 )求sin Bsin C ;(2 )若6cos B cosC 1 ,△ABC的内角A , B , C的对边分别为a, b , c,已知△ABC a 3,求△ABC的周长.【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用(1) •/ △ ABC 面积S2a3sinA.且S ^bcsinA2^bcsin A 3sin A 2严2 A23 2••由正弦定理得 sin A —sin BsinCsin A ,2 2由 sin A 0 得 si n Bsi nC— 2,cosB cosC3•/ ABC n又A 0, n2, a.bc l sin A 由①②得b c——.a b c ———,即△ ABC 周长为———3. (2017 •新课标全国n 卷理 17)17. (12分)2 BABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知sin (A C ) 8si n 2—.2(1)求 cosB⑵若a c 6 , ABC 面积为2,求b.【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.【试题分析】在第(I )中,利用三角形内角和定理可知A C B ,将2B 2 Bsin (A C ) 8sin —转化为角B 的方程,思维方向有两个:①利用降幕公式化简 sin 2—,2 222Q B结合sin B cos B 1求出cosB ;②利用二倍角公式,化简 sinB 8sin 2 ,两边约去2B Bsin ,求得tan,进而求得cosB .在第(n )中,利用(I )中结论,禾U 用勾股定理和22面积公式求出a c 、ac ,从而求出b . (I )【基本解法1】(2)由(1)得 sin Bsin C cos A cos n B Ccos B C sin BsinC cosBcosC二 A 60 , sin A由余弦定理得 2 b 2 c 2cos A -2 bc由正弦定理得-sin B , sin Ac — sin C sin Asin BsinC 8、2 B由题设及A B C , si nB 8si n ,故20,si nB 4(1-cosB )上式两边平方,整理得217cos B-32cosB+15=0【基本解法2】由余弦定理及所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的 边角关系进行“边转角” “角转边”,另外要注意a c, ac,a 2 c 2三者的关系,这样的题目 小而活,备受老师和学生的欢迎. 4 (2017全国卷3理)17.( 12分)ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b, c ,已知sin A 3cosA 0 , a 2 H , b 2 .(1) 求 c ;(2) 设D 为BC 边上一点,且 ADAC ,求△ ABD 的面积【解析】 (1)由 si nA3 cos An0 得 2sin A —0 ,3即Ank n k Z , 又A0, n ,3冗n ,得A2n二 A -33 •由余弦定理a 2 b 2 c 2 2bc cosA •又T a 2 7, b 2,cosA —代入并整理2/口2得 c 1 25,故 c 4 •解得cosB= 1 (舍去),cosB=^17由题设及ABC,sin B 8sin2-,所以 2B B 2 BB 2sin cos 8sin ,又 sin - 2 2 2 所以 tan B 1, cosB2 415(n)由 cosB=得 sin B174 + 2 B1 tan -_____ 2 + 2 B tan — 2—,故1715 17SABC1acsin B 24 ac 17又 S ABC =2, 则ac17 2.2 2 2b a c(a+c )2 : 2accosB36 22ac(1 口(12cosB)鸟17命题大多放在解答题的第一题, 主要利用三角(2) •/ AC 2,BC Z 7, AB 4 ,2 2 2由余弦定理cosC a b— ^7. 2ab 7 ••• AC AD ,即△ ACD 为直角三角形,cosC ,得 CD 7. 贝U AC CD由勾股定理AD 』CD | |AC73.n2 n n n 又 A ,贝V DAB -33 2 6 1n S A ABD AD AB sin §35 (2017全国卷文1) 14已知a10(法一) 0,2,tan又 sin 2 cos 21 ,辽 (cos sincos 42(cos2(法二) cos( 7)21sin coscos —4 2sin cos sin cos・2 2 sin cos 由 0,- 知 - __ — 2 4 4 【答案】 n (0,—),tana,=2U cos(-)=24sin22 sin 2coscos解得sin2、553 10)10 •sin ).又tan2tan22cos — tan1 5 4cos— 0,故 cos49 10, —3怖4 1056.( 2017全国卷2 文)3.函数f(x) A. 4 n B. 2 n C. n D. 【答案】C nsin (2x -)的最小正周期为3n2【解析】由题意T —2 【考点】正弦函数周期 ,故选C.【名师点睛】函数 y Asin ( x )B(A 0, 0)的性质(1)y max =A+B, y min A B .⑵周期Tn⑶由x — k M k Z)求对称轴2⑷由上2k n x n 2k^k Z) 求增区间;由2 2n 3 n-2k n x 2k n(k Z)求减区间;2 27 ( 2017 全国卷2 文)13.函数f(x) 2cosx sinx 的最大值为【答案】「5【解析】‘㈤乞Q+1 =/【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过SB公式把三角函数化为—小i贰处+劝我的形式再借助三角函數團象研究性质,解题时注意观察角、函数名,结构等特征,一般可利用七如兀十处"•审后每求最值8 ( 2017全国卷2文)16. ABC的内角代B,C的对边分别为a,b,c ,若2bccosB acosC ccosA,贝U B【答案】—3【解析】由正弦定理可得2 sin^cos5 =5in. J:4CO5 C+ 5inCco5.4 = win(J. + C)=血占=ccs^ = —=>5 =—23[考点】正弦定理【宕师点睛】解三角形问題』多为边和角的求值问風遠就需要根抿正、余弦走理结合已知S件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决冋题的目的一其基本歩靈d第一步:定条件‘艮嚥定三角形中的已infMff求』在團形中标岀来,然后确主转化的方向第二宦走工具,即根揭臬件和所求合理选揺专化的工具,实S4边角之间的互亿第三步:求结果一9 (2017全国卷3文)4.已知Sin COS 43,则sin2=()7A.9C. D. 【答案】A【解析】気3“吐口W帥—町一'工-1 9本题选择A选顶10 (2017全国卷3文)6.函数f(x)=-sin( x+ )+cos( x-)的最大值为(5 3 6A. 65 B. 1 C.-5D.【答案】A【解析】由诱导公式可得: cos cos 一2sin小 1则:f x sin x —5 3 sin6 .Sin x5函数的最大值为65本题选择A选项•7•函数丫=1+*+里器的部分图像大致为(xh/丿-/ /■XA11F 1 ■十41\11 X\)【答案】D【解析】士= 1时,/(1)=1+1 + 511]1=2+3111>2, ®排除民G当工T+H时』PT1+•故科除昆满足条件的只有D故选D1、(2016全国I卷12题)已知函数f(x) sin( x+ )( 0, n,X P f(X)的n n 5 n零点,x 为y f (x)图像的对称轴,且f (x)在(一,二)单调,则的最大值为4 18 36(A) 11 ( B)9 ( C) 7 ( D) 5【答案】B【解析】JT TT JT T r趣另析;因为$为/XE的寧気。

历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版.doc

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参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么球的表面积公式()()()P AB P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立,那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,AB =A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中,AB=2,CC 1=22E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1(5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100(6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)(B )(C)(D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=33,则cos2α=(A)5-3(B)5-9(C)59(D)53(8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos ∠F1PF2=(A)14(B)35(C)34(D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案( 集合)

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案( 集合)

B.{0,1}
C.{1,1, 2}
D.{1, 2}
10.(2020·海南)设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则 A∪B=( )
A.{x|2<x≤3}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|1<x<4}
11.(2020·浙江)已知集合 P={x |1 x 4}, Q {x | 2 x 3} ,则 P Q=( )
A. 7, 9
B. 5, 7, 9
C. 3, 5, 7, 9
D. 1, 3, 5, 7, 9
3.(2021·全国(理))设集合 M
x 0 x4
,N
x
1 3
x
5
,则
M
N (

A.
x
0
x
1 3
C.x 4 x 5
B.
x
1 3
x
4
D.x 0 x 5
4.(2021·全国(理))已知集合 S s s 2n 1, n Z ,T t t 4n 1, n Z ,
A {1,0,1, 2}, B {3,0, 2,3},则 A ðU B ( )
A.{3,3}
B.{0, 2}
C.{1,1}
D.{3, 2, 1,1,3}
9.(2020·北京)已知集合 A {1, 0,1, 2} , B {x | 0 x 3},则 A B ( ).
A.{1, 0,1}
机调查了 100 学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红
楼梦》的学生共有 80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位,则

高考数学真题及答案解析版

高考数学真题及答案解析版

高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容:已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3,且知道a>0,求a+b+c的值。

答案解析:根据题意,函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值,可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1,由此可得b=-2a。

又因为f(1)=3,代入得a+b+c=3。

将b=-2a代入,得到a-2a+c=3,即c=5-a。

由于a>0,所以c>5。

综合以上信息,我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3,解得a=1,进而得到b=-2,c=4。

所以a+b+c=1+(-2)+4=3。

2. 题目内容:设集合A={x|x^2 < 4},B={x|x < 0},求A∪B的值。

答案解析:集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合,即-2 <x < 2。

集合B表示的是所有小于0的x值的集合。

求A∪B,即求A和B的并集,也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。

由于A的范围是-2到2之间,而B是小于0的所有数,因此A∪B的范围是从负无穷到2,即A∪B={x|x < 2}。

3. 题目内容:已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+2(n≥2),求a5的值。

答案解析:根据递推公式an=3an-1+2,我们可以逐步计算数列的前几项。

首先a1=1,然后a2=3a1+2=5,a3=3a2+2=17,a4=3a3+2=53,最后a5=3a4+2=161。

所以a5的值为161。

二、填空题1. 题目内容:若sinθ=0.6,则cosθ的值为______。

答案解析:根据三角函数的基本关系,sin^2θ+cos^2θ=1。

已知sinθ=0.6,所以0.6^2+cos^2θ=1,解得cos^2θ=1-0.36=0.64。

由于cosθ的值在-1到1之间,所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。

2024高考数学真题分类汇编(解析)

2024高考数学真题分类汇编(解析)

一.复数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若1i 1zz =+-,则z =()A .1i --B .1i-+C .1i -D .1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知1i z =--,则z =()A .0B .1C D .2【详解】若1i z =--,则z ==故选:C.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))设5i z =+,则()i z z +=()A .10iB .2iC .10D .2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=.故选:A二.集合1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ()A .{1,0}-B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--,且注意到12<<,从而A B ={}1,0-.故选:A.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,则()A A B ⋂=ð()A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D三.命题与逻辑1.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A .①③B .②④C .①②③D .①③④【详解】对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.四.向量1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥- ,则x =()A .2-B .1-C .1D .2【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-= ,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A .12B C D .1【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+= ,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而2=b 故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则()A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D .“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ,当a b ⊥时,则0a b ⋅= ,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅= ,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.5.解三角形1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .【详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin2C==,又因为sin C B=,即1cos2B=,注意到()0,πB∈,所以π3B=.(2)由(1)可得π3B=,cos2C=,()0,πC∈,从而π4C=,ππ5ππ3412A=--=,而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==,从而,a b====,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=,由已知ABC的面积为32338c+=c=2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A A+=.(1)求A.(2)若2a=sin sin2C c B=,求ABC的周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin2A A=可得1sin122A A+=,即sin()1π3A+=,由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈,故ππ32A+=,解得π6A=方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin2A A=,又22sin cos1A A+=,消去sin A得到:24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=,解得cos A=又(0,π)A∈,故π6A=方法三:利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<,则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭,显然π6x=时,max()2f x=,注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos sin f A A A '==,即tan A =,又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ==,由题意,sin 2a b A A ⋅=+=,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==,则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21tA A t ==+整理可得,222(2(20((2t t t --+-==--,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-,又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos 2B =,得到π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412bc==,解得b c ==故ABC的周长为2+3.(2024年高考全国甲卷数学(理))在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A .32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.6.概率统计1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.3.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410据表中数据,结论中正确的是()A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=,所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.4.(2024年新课标全国Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=.故答案为:24;1125.(2024年高考全国甲卷数学(理))1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z ,设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤,故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤,故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种,若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5,()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种,当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种,当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=,故所求概率为56712015=.故答案为:7157.(2024年高考全国甲卷数学(理))某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】(1)根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=,用频率估计概率可得0.64p =,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈,可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.(2)(i )若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,0p q << ,3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->,P P ∴>甲乙,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛,数学成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15,333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦,32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦,()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛,数学成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15,同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-,因为0p q <<,则0p q -<,31130p q +-<+-<,则()(3)0p q pq p q -+->,∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高)A .B .C .D .【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r =即=,故3r =,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A .12B .1C .2D .3【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -==,解得h =如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,则1AA=DN AD AM MN x=--=,可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++,解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==;解法二:将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC,则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为11113PA A BPA AB==,则111127P A B CP ABCVV--=,可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==,则18P ABCV-=,设正三棱锥-P ABC的高为d,则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯,解得d=,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r,母线长分别为()212r r-和()213r r-,则两个圆台的体积之比=VV甲乙.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲,)12h r r==-乙,所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .【详解】(1)(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥,根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .(2)如图所示,过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角,即sin 7DFE ∠=,即tan DFE ∠=因为AD DC⊥,设AD x =,则CD=DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以2EF =,故22tan4DFEx∠==x=AD=5.(2024年新课标全国Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,8AB=,3CD=,AD=,90ADC︒∠=,30BAD︒∠=,点E,F满足25AE AD=,12AF AB=,将AEF△沿EF对折至PEF!,使得PC=.(1)证明:EF PD⊥;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.【详解】(1)由218,,52AB AD AE AD AF AB====,得4AE AF==,又30BAD︒∠=,在AEF△中,由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=,则AE EF⊥,即EF AD⊥,所以,EF PE EF DE⊥⊥,又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PD⊂平面PDE,故EF⊥PD;(2)连接CE,由90,3ADC ED CD︒∠===,则22236CE ED CD=+=,在PEC中,6PC PE EC===,得222EC PE PC+=,所以PE EC ⊥,由(1)知PE EF ⊥,又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又ED ⊂平面ABCD ,所以PE ED ⊥,则,,PE EF ED 两两垂直,建立如图空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -,由F 是AB的中点,得(4,B ,所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-,设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==,则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=,所以(0,2,3),1,1)n m ==-,所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ,则sin 65θ==,即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.【详解】(1)因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;(2)如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF =,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系,()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E,()(),BM BF ==,()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =,平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =,则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =113,1y z ==,即)m = ,则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==-,即)1n =-,11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅,则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A .4B .3C .2D .2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ,则1228F F c ==,()22164410PF =++=,()2226446PF =+-=,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A .2a =-B .点(22,0)在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+⨯-=,解得2a =-,故A 正确.对于B :又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=,而2x >-,5.(2024年高考全国甲卷数学(理)22410++-=交于Ax y yA.2B.3C.4a b c成等差数列,所以【详解】因为,,++-=,即aax by b a20故选:C.(202427.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8.(2024年高考全国甲卷数学在C上,且MF x⊥轴.(1)求C的方程;由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=,故当12k =时,过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =,所以该直线与9.函数与导数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A .3m -B .3m -C .3mD .3m【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤,即a 的范围是[1,0]-.故选:B.3.(2024年新课标全国Ⅰ卷)当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A .3B .4C .6D .8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =,函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =,所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==,又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.5.(2024年新课标全国Ⅰ卷)设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A .3x =是()f x 的极小值点B .当01x <<时,()2()f x f x <C .当12x <<时,4(21)0f x -<-<D .当10x -<<时,(2)()f x f x ->【详解】对A ,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x >,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D ,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.6.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 27.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则=a ()A .1-B .12C .1D .2【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos a x F x ax G x =-=+,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于()h x 有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则()h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即()h x 有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A .18B .14C .12D .1【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∈-+∞时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+>,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∈-+∞时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12.故选:C.9.(2024年新课标全国Ⅱ卷)对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列正确的有()A .()f x 与()g x 有相同零点B .()f x 与()g x 有相同最大值C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项,令()sin 20f x x ==,解得π,2k x k =∈Z ,即为()f x 零点,令π()sin(204g x x =-=,解得ππ,28k x k =+∈Z ,即为()g x 零点,显然(),()f x g x 零点不同,A 选项错误;B 选项,显然max max ()()1f x g x ==,B 选项正确;C 选项,根据周期公式,(),()f x g x 的周期均为2ππ2=,C 选项正确;D 选项,根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ,()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ,显然(),()f x g x 图像的对称轴不同,D 选项错误.故选:BC10.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数32()231f x x ax =-+,则()A .当1a >时,()f x 有三个零点B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增,(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值,由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <,根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确;B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减,,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-,即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.故选:AD11.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=,则sin()αβ+=.【详解】法一:由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭,,Z k m ∈,则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++,,Z k m ∈,又因为()tan 0αβ+=-,则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭,,Z k m ∈,则()sin 0αβ+<,则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=,解得()sin 3αβ+=-.法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为:3-.12.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A .16B .13C .12D .23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+,则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+,即该切线方程为13y x -=,即31y x =+,令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.13.(2024年高考全国甲卷数学(理))函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为()A .B .C .D .【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除D.故选:B.14.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .1B .1C .2D .1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,tan 13⇒α=-,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭,故选:B.15.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a .【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.16.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.【详解】(1)0b =时,()ln 2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,(2)()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .(3)因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时,则()e 1x f x x =--,()e 1x f x '=-,可得(1)e 2f =-,(1)e 1f '=-,即切点坐标为()1,e 2-,切线斜率e 1k =-,所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--,即()e 110x y ---=.(2)解法一:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立,可知()f x 在R 上单调递增,无极值,不合题意;若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减,在()ln ,a +∞内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,则()120g a a a'=+>,可知()g a 在()0,∞+内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为()1,+∞;解法二:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若()f x 有极小值,则()e '=-x f x a 有零点,令()e 0x f x a '=-=,可得e x a =,可知e x y =与y a =有交点,则0a >,若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;。

2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编 集合(精解精析版)

2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编 集合(精解精析版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编集合(精解精析版)1.(2021年高考全国乙卷理科)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T Ç=()A .∅B .SC .TD .Z【答案】C解析:任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中n Z ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆,因此,S T T = .故选:C .2.(2021年高考全国甲卷理科)设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N = ()A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B .143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤【答案】B解析:因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤,所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选:B .【点睛】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.3.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =()A .–4B .–2C .2D .4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得:{}2|2A x x -=≤≤,求解一次不等式20x a +≤可得:|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤,故:12a-=,解得:2a =-.故选:B .【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3},A ={−1,0,1},B ={1,2},则()U A B ⋃=ð()A .{−2,3}B .{−2,2,3}C .{−2,−1,0,3}D .{−2,−1,0,2,3}【答案】A解析:由题意可得:{}1,0,1,2A B ⋃=-,则(){}U 2,3A B =- ð.故选:A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用,属于基础题.5.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为()A .2B .3C .4D .6【答案】C解析:由题意,A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩,且*,x y N ∈,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A B 中元素的个数为4.故选:C .【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.6.(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{}1,0,1,2A =-,2{|1}B x x =≤,则A B =()A .{}1,0,1-B .{}0,1C .{}1,1-D .{}0,1,2【答案】A 【解析】因为{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,所以{}1,0,1A B =- ,故选A .【点评】本题考查了集合交集的求法,是基础题.7.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设集合{}2560A x x x =-+>,{}10B x x =-<,则A B =()A .(),1-∞B .()2,1-C .()3,1--D .()3,+∞【答案】A【解析】{}{25602A x x x x x =-+>=≤或}3x ≥,{}{}101B x x x x =-<=<,故{}1A B x x =< ,故选A .【点评】本题主要考查一元二次不等式,一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题.本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.8.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知集合{42}M x =-<<,2{|60}N x x x =--<,则M N = ()A .{|43}x x -<<B .{|42}x x -<<-C .{|22}x x -<<D .{|23}x x <<【答案】C 解析:2{|60}{|(2)(3)0}{|23},{|22}N x x x x x x x x M N x x =--<=+-<=-<<∴=-<< .9.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))已知集合{}|10A x x =-≥,{}0,1,2B =,则A B = ()A .{}0B .{}1C .{}1,2D .{}0,1,2【答案】C解析:{}{}|10|1A x x x x =-≥=≥,{}0,1,2B =,故{}1,2A B = ,故选C .10.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理))已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为()A .9B .8C .5D .4【答案】A 解析:(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y xy x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A .11.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))己知集合{}220A x x x =-->,则R A =ð()A .{}12x x -<<B .{}12x x -≤≤C .{}{}12x x x x <-> D .{}{}12x x x x ≤-≥解析:集合{}220A x x x =+->,可得{}12A x x x =<->或,则{}-12R A x x =≤≤ð,故选:B .12.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知集合{}|1A x x =<,{}|31x B x =<,则()A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅【答案】A【解析】由31x<得033x<,所以0x <,故{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<,故选A .【考点】集合的运算,指数运算性质.【点评】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理.13.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为().A .3B .2C .1D .0【答案】B【解析】法1:集合中的元素为点集,由题意,结合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表示直线y x =上所有点组成的集合,联立圆与直线的方程,可得圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎝⎭,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以A B 中有两个元素.法2:结合图形,易知交点个数为2,即A B 的元素个数为2.故选B【考点】交集运算;集合中的表示方法.【点评】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.14.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1A B = ,则B =()A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算,以考查考生的运算能力为目的.【解析】解法一:常规解法∵{}1A B = ∴1是方程240x x m -+=的一个根,即3m =,∴{}2430B x x x =-+=故{}1,3B =解法二:韦达定理法∵{}1A B = ∴1是方程240x x m -+=的一个根,∴利用伟大定理可知:114x +=,解得:13x =,故{}1,3B =解法三:排除法∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根,∴124x x +=,从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点,属于函数范畴,常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合,集合考点有二:1.集合间的基本关系;2.集合的基本运算.15.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设集合{}(2)(3)0S x x x =--≥,{}0T x x =>,则S T =()A .[]2,3B .(][),23,-∞+∞ C .[)3,+∞D .(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤,所以{}23S x x x =或≤≥,所以{}023S T x x x =< 或≤≥,故选D .16.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合{1,2,3}A =,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B =()A .{1}B .{12},C .{0123},,,D .{10123}-,,,,【答案】C【解析】{|(1)(2)0,}={0,1}B x x x x Z =+-<∈,又{1,}A =2,3,所以{0,1,2,3}A B =,故选C .17.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =()(A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3(,3)2【答案】D【解析】{}{}243013A x x x x x =-+<=<<,{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭.故332A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.故选D .18.(2015高考数学新课标2理科)已知集合21,0,1,2A =--{,},{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = ()A .{}1,0A =-B .{}0,1C .{}1,0,1-D .{}0,1,2【答案】A解析:由已知得{}21B x x =-<<,故{}1,0A B =- ,故选A .考点:集合的运算.19.(2014高考数学课标2理科)设集合0,1,2M ={},2{|320}N x x x =-+≤,则M N = ()A .{1}B .{2}C .{0,1}D .{1,2}【答案】D解析:因为N ={x|1x 2}≤≤,所以M N={12},⋂,故选D .考点:(1)集合的基本运算;(2)一元二次不等式的解法,难度:B 备注:常考题20.(2014高考数学课标1理科)已知集合A ={x |2230x x --≥},B ={}22x x -≤<,则A B ⋂=()A .[-2,-1]B .[-1,2)C .[-1,1]D .[1,2)【答案】A解析:∵A ={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或,B ={}22x x -≤<,∴A B ⋂={}21x x -≤≤,选A .考点:(1)集合间的基本运算;(2)一元二次不等式的解法;(3)数形结合思想难度:A 备注:高频考点21.(2013高考数学新课标2理科)已知集合=2{|(1)4,},N {1,0,1,2,3}M x x x R -<∈=-,则M N ⋂=()A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3}【答案】A解析:化简集合M 得{|13,}M x x x R =-<<∈,则{0,1,2}M N ⋂=.考点:(1)7.2.1一元二次不等式的解法;(2)1.1.3集合的基本运算.难度:A 备注:高频考点22.(2013高考数学新课标1理科)已知集合A =2{|20}x x x ->,B ={|x x <<,则()A .AB =∅ B .A B R= C .B A⊆D .A B⊆【答案】D解析:(,0)(2,),A A B R =-∞+∞∴= ,故选B .考点:(1)1.1.3集合的基本运算;(2)7.2.1一元二次不等式的解法.难度:A备注:高频考点23.(2012高考数学新课标理科)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为()A .3B .6C .8D .10【答案】D解析:以x 为标准进行分类:当x =5时,满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2,3,4,共有4个,(确定y 的个数)当x =4时,满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2,3,共有3个,(确定y 的个数)当x =3时,满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,2,共有2个,(确定y 的个数)当x =2时,满足A y x ∈-的y 的可能取值为1,共有1个,(确定y 的个数)得B 中所含元素(x ,y )的个数为4+3+2+1=10个。

全国高考数学真题分类汇编(2019-2021年)(解析版)

全国高考数学真题分类汇编(2019-2021年)(解析版)
故选 C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
11.【2020 年高考天津】设全集U {3, 2, 1, 0,1, 2,3} ,集合
A {1,0,1, 2}, B {3,0, 2,3} ,则 A∩ U B
A.{3,3}
B.{0, 2}
C.{1,1}
D.{3, 2, 1,1,3}
则 A B 中元素的个数为
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 A B 中元素的即可.
【详解】由题意, A
B
中的元素满足
x
y
y
x
8
,且
x,
y
N*

由 x y 8 2x ,得 x 4 ,
所以满足 x y 8 的有 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4) , 故 A B 中元素的个数为 4.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若 a c b c ,则 a b c 0 ,推不出 a b ;若 a b ,则 a c b c 必成立,
故“ a c b c ”是“ a b ”的必要不充分条件
故选:B.
6.【2021·全国高考真题(理)】已知命题 p : x R,sin x 1 ﹔命题 q : x R ﹐ e|x| 1 ,
1 3
x
5
,则
M
N
()
A.
x
0
x
1
3
C.x 4 x 5
B.
x
1 3
x

高中数学必修一十年高考真题汇编(含解析)打印版

高中数学必修一十年高考真题汇编(含解析)打印版

B
35. (2014 湖南)已知集合 A {x | x 2}, B {x |1 x 3} ,则 A A. {x | x 2} B. {x | x 1} C. {x | 2 x 3}
B
D. {x |1 x 3}
36. (2014 陕西)已知集合 M {x | x 0}, N {x | x2 1, x R} ,则 M A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1] D. (0,1)
D. {1, 2}
16. (2016 全国Ⅲ)设集合 A {0, 2, 4,6,8,10}, B {4,8} ,则 A B = A. {4, 8} B. {0, 2, 6} C. {0, 2, 6, 10} D. {0, 2, 4, 6, 8, 10}
17. (2015 新课标 2)已知集合 A {x | 1 x 2} , B {x | 0 x 3} ,则 A A. (1,3) B. (1,0) C. (0,2) D. (2,3)
B
A.
B. 2
C. 0
D. 2
29. (2014 山东)设集合 A {x x 1 2}, B { y y 2 x , x [0,2]}, 则 A B A. [0,2] B.(1,3) C. [1,3)
2
D. (1,4)
30. (2014 山东)设集合 A {x | x 2 x 0}, B {x |1 x 4} ,则 A A. (0, 2] B. (1, 2) C. [1, 2) D. (1, 4)
B=
20. (2015 天津)已知全集U {1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A 2,3,5 ,集合 B {1,3, 4,6} ,则 集合 A
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历年全国卷高考数学真题汇编解析版精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】全国卷历年高考真题汇编 三角1(2017全国I 卷9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C【答案】 D【解析】 1:cos C y x =,22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x 【解析】 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.【解析】 πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,【解析】 即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x . 【解析】 注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+x 平移至π3+x ,【解析】 根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π122 (2017全国I 卷17题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的面积为23sin a A.(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长.【解析】 本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.【解析】 (1)∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =【解析】 ∴21sin 3sin 2a bc A A =【解析】 ∴223sin 2a bc A =【解析】 ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =,由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.(2)由(1)得2sin sin 3B C =,1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈,∴60A =︒,sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅,sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.(12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.【试题分析】在第(Ⅰ)中,利用三角形内角和定理可知A C B π+=-,将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程,思维方向有两个:①利用降幂公式化简2sin 2B ,结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;②利用二倍角公式,化简2sin 8sin 2BB =,两边约去2sin B ,求得2tan B,进而求得B cos .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、,从而求出b .(Ⅰ)【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π,故 上式两边平方,整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB 171(舍去),=【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π,所以2sin 82cos 2sin 22B B B =,又02sin ≠B,所以412tan =B ,17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB (Ⅱ)由158cosB sin B 1717==得,故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=,则 由余弦定理及a 6c +=得所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎. 4 (2017全国卷3理)17.(12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =,2b =.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD △的面积.【解析】(1)由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即()ππ3A k k +=∈Z ,又()0,πA ∈,∴ππ3A +=,得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=,故4c =.(2)∵2,4AC BC AB ===,由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥,即ACD △为直角三角形,则cos AC CD C =⋅,得CD =由勾股定理AD =又2π3A =,则2πππ326DAB ∠=-=, 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅△ 5 (2017全国卷文1)14 已知π(0)2a ∈,,tan α=2,则πcos ()4α-=__________。

【答案】10(法一) 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=,又22sin cos 1αα+=,解得sin α=,cos α=,cos (cos sin )42πααα⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭(法二))sin cos (22)4cos(ααπα+=-21cos sin cos 42πααα⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭.又 tan 2α=222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴===++,29cos 410πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭知444πππα-<-<,cos 04πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭,故cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭6.(2017全国卷2 文) 3.函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.π2【答案】C【解析】由题意22T ππ==,故选C. 【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的性质(1)max min =+y A B y A B =-,. (2)周期2.T πω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间;7(2017全国卷2文)13.函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .8(2017全国卷2文)16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B = 【答案】3π9(2017全国卷3文) 4.已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=( )A .79-B .29-C .29D .79【答案】A10 (2017全国卷3文)6.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x 6π)的最大值为( )A .65B .1C .35D .15【答案】A【解析】由诱导公式可得:cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,则:()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65.本题选择A 选项. 7.函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为( ) A BD .C D 【答案】D1、(2016全国I 卷12题)已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ,ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836,单调,则ω的最大值为 (A )11? (B )9 (C )7? (D )5【答案】B考点:三角函数的性质2、(2016全国I 卷17题)(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I )求C ;(II )若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长.【答案】(I )C 3π=(II )5【解析】试题解析:(I )由已知及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,()2cosCsin sinC A+B =. 故2sinCcosC sinC =.可得1cosC 2=,所以C 3π=. 考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3、(2015全国I 卷2题)sin20°cos10°-con160°sin10°=(A )(B (C )12- (D )12【答案】D【解析】试题分析:原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12,故选D.考点:诱导公式;两角和与差的正余弦公式4、(2015全国I 卷8题) 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为(A)(kπ−14,kπ+34,),k ∈z (b)(2kπ−14,2kπ+34),k ∈z (C)(k −14,k +34),k ∈z (D)(2k −14,2k +34),k ∈z 【答案】D【解析】试题分析:由五点作图知,1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得=ωπ,=4πϕ,所以()cos()4f x x ππ=+,令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈,解得124k -<x <324k +,k Z ∈,故单调减区间为(124k -,324k +),k Z ∈,故选D.考点:三角函数图像与性质5、(2015全国I 卷16题)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是)【解析】试题分析:如图所示,延长BA ,CD 交于E ,平移AD ,当A 与D 重合与E 点时,AB 最长,在△BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠,即o o2sin 30sin 75BE=,解得BE AD ,当D 与C 重合时,AB 最短,此时与AB 交于F ,在△BCF 中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,sin sin BF BC FCB BFC =∠∠,即o o2sin 30sin 75BF =,解得AB 的取值范).考点:正余弦定理;数形结合思想6. (2014全国I 卷8题)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】:B【解析】:∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-,即22παβ-=,选B7、(2014全国I 卷16题)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为 .【解析】:由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-,由及正弦定理得:()()()a b a b c b c +-=-∴222b c a bc +-=,故2221cos 22b c a A bc +-==,∴060A ∠=,∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥,∴1sin 32ABC S bc A ∆=≤,8、(2013全国I 卷15题)设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cosθ=______【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题,是难题.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(sin cos )x x - 令cos ϕ=5,25sin ϕ=-,则()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+, 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=25-. 9、(2013全国I 卷17题)(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°(1)若PB=12,求PA ;(2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74,∴; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,osin sin(30)αα=-4sin αα=,∴tan α=4,∴tan PBA ∠=4. 10、(2016全国II 卷7题)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为(A )()ππ26k x k =-∈Z (B )()ππ26k x k =+∈Z (C )()ππ212Z k x k =-∈ (D )()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得对称轴方程:()ππ26Z k x k =+∈, 故选B .11、(2016全国II 卷9题)若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=(A )725(B )15(C )15-(D )725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D .12、(2016全国II 卷13题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5cos 13C =,1a =,则b = . 【解析】2113∵4cos 5A =,5cos 13C =, 3sin 5A =,12sin 13C =, ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=, 由正弦定理得:sin sin b a B A =解得2113b =. 13、(2015全国II 卷17题)ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,ABD 是ADC 面积的2倍。

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