《材料力学》讲义5-2梁挠曲线近似微分方程及积分 PPT
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材料力学 ppt课件
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；
④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度
计算。
PPT课件
20
2、两相互垂直平面内的弯曲
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲
有棱角的截面
max
FN ,max A
（4）确定最大剪力和最大弯矩
3、弯曲应力与强度条件
（1）弯曲正应力
My
I PPT课件 z
12
M max Wz
yt，max yc，max
Oz y
PPT课件
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
13
（2）梁的正应力强度条件
M max
Wz
M
2 z
M
2 y
T
2
Mr4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
PPT课件
22
5、连接件的强度条件
剪切的强度条件
FS [ ]
AS
挤压强度条件
bs
Fbs Abs
[ bs ]
PPT课件
M z,max Wz
M y,max Wy
[ ]
圆截面
max
FN ,max A PPT课件
M max W
[ ]
21
4、弯曲与扭转
《材料力学》讲义5-2梁挠曲线近似微分方程及积分ppt课件
A
EI z
aB L
y 连续条件
Me
x
C
共有四个积分常数 边界条件
x0
xaL
A 0 A 0 C 0
xaB1 B2EI 2Fb 6Lx3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22 a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
d 2
dx 2
M (x) EI Z
o
xo
x
M
M
d2y dx 2
0
M
M
d2y dx 2
0
y
y
d 2
dx 2
M (x) EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2
dx 2
M (x) EI Z
A
C
Bx
C y
d
dx
B
M (x) EI Z
dx
C1
tan d
dx
M (x) EI Z
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截
EI z 2
x
A
L2
B
L2
C
y
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
边界条件
x0
连续条件
A 0 A 0
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分 方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边 界条件
材料力学第5章-弯曲变形2
+
D
B
F1L2 F2 La 0.4 400 200 qB ( ) 0.423 104 (rad) 16 EI 3EI 210 1880 16 3
F1L2 a F2 a3 F2 a 2 L yC 5.19 106 m 16 EI 3EI 3EI
200mm F1=1kN
A
图1
F2=2kN
C
D
B
F1L2 a F2 a3 F2 a 2 L yC 16 EI 3EI 3EI
=
+
a F1=1kN B F2
C
I
图2
F2 A
图3
M C
( D 4 d 4 ) 64 3.14 4 (80 404 )1012 64 188 108 m 4
梁的挠曲线近似微分方程及其积分 挠曲线近似微分方程 y C
上节回顾
q
F x
M ( x) y ( x ) EI
y
C1
EIy( x) M ( x)
EIy( x) ( M ( x))dx C1
EIy ( x) ( ( M ( x))dx)dx C1 x C2
max 2 m
当
D12
4
2a12时, a1 2 D1
bh2 4a13 Wz 4 1.67Wz1 6 6
4 bh3 8a1 Iz4 2.09I z1 12 12
2a1
z
max 1.5 m
a1
当
D12
4
2 2 2 a2 0.8 1.6a2 时, a2 1.05D1
EIy M x
按叠加原理求梁的挠度与转角(叠加法) 叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
材料力学梁的挠度 ppt课件
建立坐标系并写出弯矩方程13应用位移边界条件求积分常数paeifpaei14写出弹性曲线方程并画出曲线eipamaxeipa试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程并求c截面挠度和a截面转角
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
§7-4 叠加法计算梁的位移
一、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独
作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 、 P 2 、 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
f ( P 1 、 P 2 、 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
叠加法：
yy 1y 21 2 lf1 2F E B 2 A 33 5 q E 8 2 1 I 44 7 .39 m 5m
说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移， 与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。
[例9] 下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、 D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001，B点
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
解： 结构变换，查表求简 单载荷变形。
1
B
P1 16
L2 EI
2B0
f1C1Ba1P16LE2aI
f
2C
P2a3 3EI
3B3MELIL3Ea2PI
f3C3BaP32LEaI2
L=400mm a=0.1mP
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
§7-4 叠加法计算梁的位移
一、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独
作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 、 P 2 、 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
f ( P 1 、 P 2 、 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
叠加法：
yy 1y 21 2 lf1 2F E B 2 A 33 5 q E 8 2 1 I 44 7 .39 m 5m
说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移， 与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。
[例9] 下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、 D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001，B点
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
解： 结构变换，查表求简 单载荷变形。
1
B
P1 16
L2 EI
2B0
f1C1Ba1P16LE2aI
f
2C
P2a3 3EI
3B3MELIL3Ea2PI
f3C3BaP32LEaI2
L=400mm a=0.1mP
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
逆时针） （逆时针）
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
材料力学——5梁的变形与刚度计算
3、积分常数由位移边界条件确定。
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
d
dx
M (x) EI Z
dx
C1
M (x) EI Z
dx
•
dx
C1 x
C2
可写成：
EIZ M xdx C1
EIz M xdx • dx C1x C2
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EI z1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最
大挠度。 F
a
b
A
C
Fb
l
L
x
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
Fa
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出
现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界
条件。
挠曲线方程应分两段AB,BC.
q
EI z
L
Cx
共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
yB 0 yC 0
xa
yB1 yB2
B1 B2
例题 5.6
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列
各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
材料力学(I)第五章
挠曲线近似微分方程为 q EIw M x lx x 2 ( 2) 2 q lx 2 x 3 C1 ( 3) 通过两次积分得： EIw 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C 2 ( 4 ) 2 6 12
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
b x2 F x a EIw C 2 (1 ) 2 F l 2 2
2
b x2 F C1 (1) EIw1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 ( 2) l 6
b x3 F x a EIw 2 F l 6 6 C 2 x D2 ( 2 )
26
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁 (0 x a )
1 w1
右段梁 (a x l )
2 w 2
Fb l 1 2 2 2 2 Fb 1 2 2 2 x a x l b ( 3 ) l b x ( 3 ) 2lEI b 3 2lEI 3 w2 Fbx 2 Fb l 3 3 2 2 w1 l b 2 x 2 ( 4) x a x l b x (4 ) 6lEI 6lEI b
材料力学I第五章 ppt课件
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程
材料力学-梁的挠度ppt课件
BC段：由于 y2 M E 2(x2I)E F(I2 3lx2) ，积分后得：
2(x2)y E FI(2 3lx2)d2 xC 2 E F (2 3 Il2 xx 2 2 2)C 2 y2(x2) E FI(2 3l2 x1 2x2 2)d2 xC 2x2D 2 E F (4 3 Il2 2 x1 6x2 3)C 2x2D 2
. dx
(1
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
(1)
x
EI z
M>0
f(x)0 f
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 .
40 3
. 40 12 3
边界条件：当 x0时，y 0 ； 当 x2m时， yl2.2 910 3m
代入上式得
C 1.1 1 4 1 5 3 ， 0D 0
故 y3 1 2 ( 0 2x 4 0 2x 3 0 ) 1.1 1 4 1 3 5 x 0 40 123
当 x1m 时，y7.39 150 3m 7.39 m 5m 。
对于图(b)有：
y C 2M 2 0 E l2 IF 2 E l3(向 I )， 下 C 2M E 0 l IF E l2(I顺)时针
故梁C截面挠度为：yCyC 1yC 24 5F E 8 3l I2 F E 3l I2 4F E 9 83(l向 I )下
转角为：CC1C28 F E2l IF E2l I9 8F E2lI(顺时针)
最大挠度及最大转角
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学(I)第五章
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
【解】1. 列挠曲线近似微分方程并积分 FA=FB=ql/2
M x ql 1 q x qx 2 lx x 2 (1) 2 2 2
q EIw M x lx x 2 ( 2) 2
q lx 2 x 3 EIw C1 ( 3) 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C2 (4) 2 6 12
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
1
第 5 章
梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角 §5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5-4 梁挠曲线的初参数方程 §5-5 梁的刚度校核· 提高梁的刚度的措施
§5-6 梁内的弯曲应变能
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
平面弯曲时,梁轴线为一条光滑连续的曲线. 梁弯曲后的轴线称为挠曲线,见图曲线AB'. 取轴线上C点,弯曲变形后该点变成C'. 由于小变形,不考虑C点沿x轴方向的位移,且认
为CC'垂直于轴线AB.
轴线上的C点的横向位 移wC称为该点的挠度.
A x w
C wC C' B'
w AL w AR
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
3. 解题步骤 求支座约束反力； 求弯矩方程M(x),有时可能要分段；
d w M ( x) (分段)求解微分方程 ； 2 dx EI
2
由边界条件、连续条件、光滑条件确定积分常数；
dw 写挠度方程 w w( x) 和转角方程 ( x ) ； dx
《材料力学》课件5-2梁的挠曲线近似微分方程及积分
q L x4 4L3x L4 24 EI z
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
B
M1x x
Fb L
x
0 xa
C
Fb
l
L
x
y
x
Fa
M 2x
Fb L
x
F x
a
axL
L
AC段
EEIIzz11M2F1Lbxx 2
CF1b L
x
CB段
EI
C
q
EA
L1
x
B EI Z
L
全梁仅一个挠曲线方程
共有两个积分常数
边界条件
x0
A 0
xL
B
LBC
qLL1 2EA
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
A
EI z
zz222FMLb2xx2
1FFbx
2L
x
aF2 xC2
a
EI z1
Fb 6L
x3
C1x
D1
x 0D1 00 0 x L L 0
EI z2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
B
M1x x
Fb L
x
0 xa
C
Fb
l
L
x
y
x
Fa
M 2x
Fb L
x
F x
a
axL
L
AC段
EEIIzz11M2F1Lbxx 2
CF1b L
x
CB段
EI
C
q
EA
L1
x
B EI Z
L
全梁仅一个挠曲线方程
共有两个积分常数
边界条件
x0
A 0
xL
B
LBC
qLL1 2EA
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
A
EI z
zz222FMLb2xx2
1FFbx
2L
x
aF2 xC2
a
EI z1
Fb 6L
x3
C1x
D1
x 0D1 00 0 x L L 0
EI z2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
C2 x
D2
x a 1Da1 D22a 1aC1C22a
6FEELbI2FIzaZLb32Ca1L3C1aCC2F1Lb2 D6FxL1b26FL2FLb3L12b6FLFa16Lb22Fax3bL122aF162aFa3aFaCba22L6L23LC0bC2 22a D2
材料力学A_(梁弯曲变形的描述,挠曲线近似微分方程,积分法和叠加法)
2
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
材料力学课件5(新)
例5-5. 悬臂梁，长L，弯曲刚度EI，受力F。 试求弯曲应变能与自由端挠度。
F A B x
解： 弯矩 M = − F ( L − x) 应变能
2 2 L F ( L − x) M2 Vε = ∫ dx = ∫ dx 0 2 EI 2 EI L
F 2 L3 = 6 EI 1 功能关系 W = Vε ，W = FwB 2 3 FL ⇒ 挠度 wB = （↓） 3EI
1 τ2 1 2 剪切应变能密度 vεS = τγ = = Gγ 2 2G 2 梁的弯曲应变能 σ2 M2 Vεb = ∫ vεb dV = ∫ dx ∫ dA = ∫ dx ≥ 0 2E 2 EI z V L A L
M 2L E、Iz、M为常数时， Vεb = 2 EI z n 2 M i Li E、Iz、M分段为常数时， Vεb = ∑ i =1 2 Ei I zi 2 n Mi dx E、Iz、M为分段函数时， Vεb = ∑ ∫ i =1 Li 2 Ei I zi
(4) 求杆基本变形的内力、应力、变形等 可推广于杆系（桁架）、刚架等（限于静定） 考虑拉压杆——通过例题分析说明： 内力——截面法 ∑ F x = 0 外力：集中力F、分布力q
FN 应力 σ = A
内力、截面变化 内力、截面、材料变化
变形
FN ∆L = ∫ dx EA
目标：计算任意变截面直杆、任意外力作用 下的 FN 、σ、∆L 基本思想：化整为零，积零成整
五、弯曲变形（Bending deformation） 五、弯曲变形（Bending deformation）
1. 挠度与转角
梁平面弯曲
A w y
θ θ
F B x
挠度(deflection)——横截面形心（轴上点）的横向 线位移 w 转角 ——横截面相对原位置的角位移θ (angle of rotation) 横截面形心的纵向线位移 ——小量，可略去
梁的刚度分析
挠曲线： y f x 任一点的斜率与转角之间的关系为： 由于： 极其微小
dy tg dx
tg
dy f ' x dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程 y f x 。
C ， A EIZ
（5） （6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。 例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图： （1）求支反力
（4）求结果：
x=0时， x=L/2时，
1 PL2 PL2 A y EI Z 16 16EI Z
' A
PL3 yC 48EI Z
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中 点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并 求梁上最大挠度值。
Me
A
1 M x K x x EI Z
又：
1 x
(b)
1 y
y
3 2 2
1 M x y x EIZ
1 y M x x 1 EIZ
——挠曲线近似微分方程 (9-3)
梁挠曲的近似微分方程完美版PPT
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
– 这一理论认为，最大伸长线应变ε1达到单向 拉伸的极限值ε1jx ，材料就发生脆性断裂；
即： 或： σ1-ν（ σ2 + σ3 ）/E = σb/E；
σr1＝ σ1≤[σ]，
ε =ε ；或： σ -ν（ σ + σ ）/E = σ /E； 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。
r 4 1 2 (1 2 ) 2 (2 3 ) 2 (3 1 ) 2
式中： σr4是按第四强度理论计算的相当应力。
– 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果， 因此在工程中得到广泛的应用。
材料力学电子教程
第七章 应力状态
强度理论的适用范围
在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都 会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度理 论。
在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都 会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大切 应力理论，即第四或第三强度理论。
一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。
一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。
σr3 =σ1－ σ3≤[σ] 式中： σr3 称为按第三强度理论计算的相当应力
– 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出 现塑性变形的现象。但是，由于没有考虑σ2的影 响，故按这一理论设计构件偏于安全。
材料力学电子教程
第七章 应力状态
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生 屈服破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么 应力状态下，只要形状改变比能Ux达到材料在单 向拉伸屈服时的形状改变比能Uxs，材料就发生屈 服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
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边界条件
y
连续条件
11
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
q
A
B EI z
边界条件
Cx
l2
l2
y
连续条件
12
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
F
x
A AABiblioteka 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
B l
边界条件
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
B
A
x
l
边界条件
6
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
C
l
x
y
梁的挠曲线近似微分方程及积分
o
xo
x
d2y dx 2
0
y
d2y dx 2
0
y
梁挠曲线近似微分方程
A
C
B
B
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。 3、积分常数由位移边界条件确定。
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
10
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
F
A
B
a
q
EI z
L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
y 连续条件
14
x
Bx
AC段
CB段
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
C
l
x
y
x
最大转角
Bx
最大挠度
令x=a
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。 转角为零的点在AC段
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例题 5.4
EI z1
EI z 2
x
A
L2
B
L2
C
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
边界条件
y
连续条件
13
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
A
EI z
aB L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件
y
连续条件
11
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
q
A
B EI z
边界条件
Cx
l2
l2
y
连续条件
12
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
积分常数C1、C2由边界条件确定
X
x0 xL
0 0
X
y
x0
0
0
y
例题 5.1
F
x
A AABiblioteka 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
B l
边界条件
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
B
A
x
l
边界条件
6
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
C
l
x
y
梁的挠曲线近似微分方程及积分
o
xo
x
d2y dx 2
0
y
d2y dx 2
0
y
梁挠曲线近似微分方程
A
C
B
B
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分段列出，并相应地分段积分。 3、积分常数由位移边界条件确定。
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
10
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
F
A
B
a
q
EI z
L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
y 连续条件
14
x
Bx
AC段
CB段
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
F b
C
l
x
y
x
最大转角
Bx
最大挠度
令x=a
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。 转角为零的点在AC段
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例题 5.4
EI z1
EI z 2
x
A
L2
B
L2
C
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
边界条件
y
连续条件
13
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
A
EI z
aB L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数 边界条件