第四章平面向量学生版

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人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版)

平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0；（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４　．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量DA u u u r相等的向量；（2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1．如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出（1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出（1）与OC u u u r 相等的向量；（2）OC u u u r 的负向量；（3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1．如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ；（2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________，（3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1．计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上．其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。

平面向量学生版

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的基本概念与线性运算考纲要求：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示；2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义；3. 掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；4. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。

考点梳理：1．向量的有关概念 (1)向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或模)． (2)零向量：________的向量，其方向是任意的． 3)单位向量：长度等于__________的向量．(4) 平行向量：方向________的非零向量．平行向量又叫________．规定：0 与任一向量平行．(5)相等向量：长度________的向量． (6)相反向量：长度________的向量． 2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a ＋b ＝________；(a ＋b)＋c ＝________.(2)减法与________互为逆运算；服从三角形法则． 3．实数与向量的积(1)实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，规定：①长度：|λa|＝________；②方向：当________时，λa 与 a 的方向相同；当________时，λa 与a 的方向相反；当________时，λa ＝0．(2)运算律：设 λ、μ∈R ，则：① λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a ＝________；③λ(a ＋b)＝________． 4．两个向量共线定理向量 b 与 a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得________成立。

基础自测：1．(教材改编题)平面向量a ，b 共线的充要条件是（）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数 1λ、2λ，使1λa ＋2λb ＝02．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ,满足02=+CB AC ,则=OC ( )A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+-C ．OB OA 3132- D ．OB OA 3231+-3．已知向量a 、b ，且b a AB 2+=，b a BC 65+-=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是（）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D讲练互动：考向一向量的有关概念例1给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；=，则b a ±=；③若DC AB =，则ABCD 为平行四边形；④若//，//，则//. 其中不正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式训练:(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；(3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；(4) 已知λ，μ为实数，若b a μλ=，则a 与b 共线。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

暑期班第11讲.平面向量的概念、线性运算与基本定理.学生版

平面向量平面向量的相关概念B 向量加法与减法C 向量的数乘C 向量的线性运算两个向量共线B 平面向量的基本定理A 平面向量的正交分解及其坐标表示B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C 平面向量的基本定理及坐标表示用坐标表示的平面向量共线的条件C 数量积C 数量积的坐标表示C 用数量积表示两个向量的夹角B 平面向量的数量积用数量积判断两个平面向量的垂直关系C 平面向量向量的应用用向量方法解决简单的问题B1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件．3.了解向量的线形运算性质及其几何意义．4.了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件．5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系；6.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系板块一：向量的线性运算（一）知识内容向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．1．向量的概念：⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，AB u u u r终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．⑷ 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或AB u u u r AB u u u r重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．a r b r a r b r说明：共线向量的方向相同或相反，　注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．　⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向0r量平行．⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位O a r O OA a =u u u r rA O 置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．a r OA u u u rA O 2．向量的加法：⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的,a b r r A AB a =u u u r r BC b =u u u r r AC u u u r AC u u u r a r b r和（或和向量），记作，即．a b +r r a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为a rb r AB a =u u u r r AD b =u u u r r A B D AB u u u r AD u u u r邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法ABCD AC a b =+u u u r r r则．② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a+=+r r r r向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r关于：0r 00a a a+=+=r r r r r ⑶ 向量求和的多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点n n n 的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．n 3.向量的减法：⑴ 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．a r a r a -r零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量BA u u u rO OA u u u r O ，或简记“终点向量减始点向量”．OB u u u r⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量4.数乘向量：定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长λa r a λr a λr a a λλ=r r判断正误：已知．λμ∈R ，①；（√）②；（√）()a b a b λλλ+=+r r r r()a a a λμλμ+=+r r r③；（√） ④．（×）()()a a λμλμ=r r()()a b a b λμλμ+=++r r r r 5.向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一a b λ=r r a r b r a r b r 0b ≠r r个实数，使．λa b λ=r r⑵ 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如a r a r 1a r果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．a r 0a u u r 0a a a =r r u u r0a a a=ru u r r （二）典例分析【例1】⑴ 已知的两条对角线交于点，设，，用向量和表示向量，．ABCD □O AB a =u u u r r AD b =u u u r r a r b r BD u u u r AO u u ur ⑵ 已知的两条对角线交于点，设对角线=，=，用，表示，．ABCD □O AC u u u r a r BD u u u r b r a r b rBC u u u r AB u u u r 【例2】设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示、、　．P OABCDE OA a =u u u r r OE b =u u u r r a r b r OB u u u r OC u u u r OD u u u r【例3】如图，、分别是的边、的靠近的三等分点．M N ABC ∆AB AC A 求证：，且∥．13MN BC =MN BC 【例4】⑴已知，则3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=u r r u r r u r r r rm =u r ⑵已知，方向相同，且，，则a rb r 3a =r 7b =r 2a b -=r r【例5】已知矩形中，宽为，长为，，，，试作出向量，并求其ABCD 2AB u u u r a =rBC b =u u u r r AC c =u u u r r a b c ++r r r 长度．【例6】下列命题中正确的有：（）⑴四边形是平行四边形当且仅当；ABCD AB DC =u u u r u u u rCBNMA⑵向量与是两平行向量；AB u u u r BA u u u r⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；AB u u u rCD u u u r A B C D ⑷单位向量不一定都相等；⑸与共线，与共线，则与也共线；a r b r b r c r a r c r⑹平行向量的方向一定相同；【例7】如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两1A 2A 3A 8A O e 81A 2A 8A O 9【例8】（第14届“希望杯”全国数学邀请赛）已知正六边形，在下列表达式：ABCDEF ①；②；③；④中，与等价的有（）BC CD EC ++u u u r u u u r u u u r 2BC DC +u u u r u u u r FE ED +u u u r u u u r 2ED FA -u u u r u u u rAC u u u r A ．个 B ．个 C ．个 D ．个1234【例9】设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，12,e e u r u u r 1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u rA B D 、、求的值．kA 35A【例10】设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则a rb rc r a b +r r c r b c +r r a r．b ac ++=r r r【例11】证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数,,OA OB OC u u u r u u u r u u u rA B C 、、,λμ满足等式，使得．1λμ+=OC OB OA λμ=+u u u r u u u r u u u r【例12】（2007年江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，ABC △O BC O AB AC M N 、若，，则的值为．AB mAM =u u u r u u u u r AC nAN =u u u r u u u rm n +【例13】（2008年全国Ⅰ）在中，，．若点满足，则（）ABC △AB c =u u u r r AC b =u u u r r D 2BD DC =u u u r u u u r AD =u u u rONMCBAA ．B ．C ．D ．2133b c +r r 5233c b-r r 2133b c-r r 1233b c+r r⑵（2009安徽高考卷）在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，ABCD E F CD BC AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R 则．λμ+=【例14】在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，ABCD E F CD BC 1BF a FC a =-1DE bEC b=-若，其中，，则．AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R λμ+=【例15】（2008湖南）设，，，分别是的三边、、上的点，且D E F ABC ∆BC CA AB 2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则与（）AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r BC u u u rA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直板块二：向量的分解与基本定理（一）知识内容1．平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，1e u r 2e u u ra r 存在唯一的一对实数，，使．1a 2a a =r 1122a e a e +u r u u r2．基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作1e u r 2e u u r．叫做向量关于基底的分解式．{}12,e e u r u u r 1122a e a e +u r u u r a r {}12,e e u r u u r说明：⑴ 定理中，是两个不共线向量；1e u r 2e u u r⑵ 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；a r1a 2a ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．<教师备案>⑴ 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点，作，，．O 11OE e =u u u u r u r22OE e =u u u u r u u r OA a =u u u r r 由于与不平行，可以进行如下作图：1e u r 2e u u r过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 2OE 1OE M 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 1OE 2OE N 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和1a 2a 分别有，，所以11OM a e =u u u u r u r 22ON a e =u u u r u u r 1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，x y 12OA xe ye =+u u u r u r u u r 112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r 1e u r 2e u u r1x a -2y a -0不妨设，则，20y a -≠1212x a e e y a -=--u u r ur 由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛1e u r 2e u u r盾，因此，，即，．10x a -=20y a -=1x a =2y a =⑵ 证明，，三点共线或点在线上的方法：A B P 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，A B l O l l P t 使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一OP u u u r {},OA OB u u u r u u u r (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rP 定在上．l 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数P l ，使，t AP t AB =u u u r u u u r ()t OB OA =-u u u r u u u r ∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 设点满足等式，则，即在P (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rAP t AB =u u u r u u u r P 上．l 其中①式可称为直线的向量参数方程式，当时，l 12t =点是的中点，则，这是向量的中点的向量表达式．可推广到M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r AB u u u r中，若为边中点，则有存在．OAB ∆M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r（二）典例分析【例16】已知的两条对角线与交，是任意一点．ABCD □AC BD E O 求证：+++=OA u u u r OB u u u r OC u u u r OD u u u r 4OEu u u r【例17】如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，且ABC ∆214cm D E AB BC ，、交于点，求的面积．::2:1AD DB DE CE ==AE CD P APC ∆【例18】如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若=，ABCD E F 、BC DC 、G DE BF 、AB u u u r a r ADu u u r=，试以，为基底表示、、．b r a r b r DE u u u r BF u u u r CG u u u r 【例19】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．PE CBA【例20】已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是ABCDE M N P Q AB CD BC DE K H 和的中点，求证：平行且等于．MN PQ KH 14AE 【例21】四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用ABCD E F M N BC AD BD AC O MN 向量的方法证明：也是的中点．O EF 【例22】⑴（2008年广东高考）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点ABCD AC BD O E ，OD AE CD ．若，，则（）F AC a =u u u r r BD b =u u u r r AF =u u u rED CBA MNP Q K H60︒45︒EDCAA ．B ．1142a b +r r 2133a b+r r C ．D ．1124a b +r r 1233a b+r r ⑵（2009年湖南高考）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若，则， = ．AD xAB y AC =+u u u r u u u r u u u rx =y 【例23】（2009年天津高考改编）若等边的边长为，平面内一点满足，则，ABC ∆M 1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r MA =u u u r．（用，向量表示）MB =u u u rCB u u u r CA u u u r 家庭作业习题1.根据图示填空：⑴ ；⑵．a b +=r r e b d ++=r r u r 习题2.化简下列各式：⑴ ；⑵ 7()8()a b a b +--r r r r 12(2)(432)6a b c a b c +---+r r r r r r习题3.⑴ 设向量，且点的坐标为，则点的坐标为．(2,3)AB =u u u rA (1,2)B ⑵ 已知，若，则，．(2,3),(1,2)a x b y =-=+r ra b =r r x =y =习题4.⑴ 已知，则与垂直的单位向量的坐标为；(4,2)a =ra r ⑵ 若，则的坐标为_________．(2,1)a =r (3,4)b =-r34a b +r r 月测备选习题1.⑴（2003年河南）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（）ABCD P AC A C AP u u u rA ．，()AB AD λ+u u u r u u u r(01)λ∈，B ．， ()AB BC λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝C ．， ()AB AD λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝D ．，()AB BC λ-u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝⑵已知向量，满足，，，则等于（）a rb r 1a =r 2b =r 2a b -=r r a b +r rA ．BCD 1习题2.已知：四点，，，．求证：四边形是梯形．(5,1)A (3,4)B (1,3)C (5,3)D -ABCD习题3.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点E F ABCD AD CD BE BF AC 和点．求证．（向量法）R T AR RT TC ==TRF E D CB A。

平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

平面向量的运算(学生版)内容

平面向量的运算(讲义)知识点一向量加法的三角形法则已知非零向量”, ⅛,在平面内取任意一点A,作#=α,鼠=b,则向量祀叫做。

与力的和，记作α+"即。

+〃=霜+觉=祀.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角芨法则.注意点：运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连反思感悟向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即AA ∖ + A\A2) + ...... + A n -∖An = AA,t .知识点二向量加法的平行四边形法则1 .以同一点。

为起点的两个已知向量〃"，以0A, 03为邻边作口0AC3,则以。

为起点的向量能(0C 是口04CB 的对角线)就是向量。

与〃的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2 .从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.3 .对于零向量与任意向量规定α+0=0+α=α.注意点：运用向量加法的平行四边形法则作图时.，要强调两个向量起点相同.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系知识点三共线向量的加法与向量加法的运算律1 . 一般地，我们有∣α+b ∣≤∣o ∣+步I ，当且仅当α, b方向相同时等号成立.2 .(加法交换律)α+b=)+出(加法结合律)”+(b+c)=(α+))+c.反思感悟向量加法运算律的意义和应用原则⑴意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. ⑵应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 知识点四向量加法的实际应用反思感悟应用向量解决实际问题的基本步骤⑴表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.⑵运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.⑶还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.知识点五向量的减法运算1 .相反向量：与向量。

平面向量-讲义(学生版)

平面向量
一、平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．（2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量平行于向量，记作 // ．（3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点，且
D.
，则
（）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，
存在唯一的一对实数，，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若、、三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点为线段上靠近点的三等分点，点在，则实数的值为（）．
C. 若
，则
D. 若
，则与的夹角为
，则（）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点为
，则
的值是（）．
的中点，点在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数的值为（）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

专题：平面向量[学生版]

高考专题复习：平面向量【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积、两向量平行、垂直的充要条件.【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，也常会与三角函数相结合，以解答题的形式出现。

例1、(湖北)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11例2、(广东)已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例3、(海南)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（）A. －1B. 1C. －2D. 2点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。

题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1. (09广东)已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。

λ为实数， ()a b λ+∥c ，则λ=（）A ． 14B ．12C ．1D ．2 2.(12广东)若向量(1,2),(3,4)AB BC == ，则AC = ( ) ()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2 ()D (,)22 题型二：平面向量的坐标表示与运算3.已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 为何值（）A 14B －14C －31D 31 题型三：数量积运算、向量求模4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ= ，则a b - 的最大值为 . 5.已知7a = ，2b = ，a 与b 的夹角为60 ，求(3)(5)a b a b -+ = .6.已知2,1,a b == a 与b 的夹角为π3，那么4a b - 等于（） A ．2 B．．6 D ．127.（07广东）若向量,a b 满足||||1a b == ,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= （）A ．12B ．32C.12+ D ．2 题型四：向量平行与垂直性质的应用8.（05广东）已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = .9. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b , 则b = ( )10. 平面向量(2,6)a = , (,1)b m =- , 且a b ⊥ , 则m = .题型五：平面向量在平面几何11. (09广东)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b （） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 12.(06广东)如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = （A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA + 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。

04 平面向量问题(学生版)

专题04 平面向量问题【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．(2022·全国乙文) 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－2，4)，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．(2022·全国甲理) 设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且|a |＝1，|b |＝3，则(2a ＋b )b ＝________．4．(2022·全国甲文) 已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ．记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝( ) A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2n D ．2m ＋3n6．(2022·新高考Ⅰ) 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋t b ，若<a ，c >＝<b ，c >，则t ＝( ) A ．－6 B ．－5 C ．5 D ．67．(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则P A →·PB →的取值范围是( )A ．[－5，3]B ．[－3，5]C ．[－6，4]D ．[－4，6] 【知识总结】 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．向量a 与b 的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .3．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 4．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．利用数量积求夹角设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【常用结论】 1．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD →＝m m ＋n AC →＋n m ＋n AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，其中AD →，AB →，AC →知二可求一．特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．形式1与形式2中AC →与AB →的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 2．极化恒等式三角形模式如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．【同类问题】题型一向量的线性运算1．(2015·全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC →2．(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )C 形式1C形式2BC 图(2)A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，D E 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b5．(多选)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A ．EF →＝12CA →－12BC → B ．BE →＝－12BA →＋12BC → C ．AD →＋BE →＝FC → D ．GA →＋GB →＋GC →＝06．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．89B ．49C ．83D ．439．已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋ μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．233B ．33C ．3D ．2310．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°．若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝__________．题型二平面向量的平行与垂直11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．12．(2018·全国Ⅰ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________． 13．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－3514．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn＝________．15．已知O 为坐标原点，点A (6，3)，若点P 在直线OA 上，且|OP →|＝12|P A →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为_________．16．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 17．(2021·全国乙)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 18．(2020·全国Ⅰ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________． 19．(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．20．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．题型三面向量数量积21．(2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．22．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( )A ．1B ．116C ．14D ．－1223．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．324．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．25．在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC26．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．27．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－128．已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是_____． 29．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]30．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．。

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳1常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 23.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间.例3：已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查.例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值.例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o .如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°；② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |；④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上。

【精品专区】平面向量练习题(学生版)

平面向量练习题一，选择题(每小题5分，共55分.)1. 点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（）A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(-2. 已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且a ∥b ，则x 等于（） A ．3B ．3-C ．31D ．31-3. 64==，m 与n 的夹角是 135，则n m ⋅等于（）A ．12B ．212C ．212-D ．12-4. 有四个式子：(1) 0·a =0;(2) 0·a =0;(3) 0-AB =BA ;(4)｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜;(5)( a ·b )·c ＝a ·(b ·c )其中正确的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个5. 若),12,5(),4,3(==b a 则a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．6563 B ．6533 C ．6533-D ．6563-6. 已知点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于()A ．3B ．31 C ．3- D ．31-7. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为()A ．3B ．6C ．7D ．98. 已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是()A ．5,2==y xB ．25,1-==y x C ．1,1-==y x D ．25,2-==y x9. 若a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)，则( )A. a ⊥bB. a ∥b 码C.( a +b )⊥(a -b )D.( a +b )∥(a -b ) 10. 已知向量｜a ｜=5,且a =(3,x-1),x ∈N,与向量a 垂直的单位向量是( )A.(54，-53) B.(-54，53) C.(-53，54)或(53，-54) D.(54，-53)或(-54，53)11. P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题(每小题6分，共30分.)12. 已知=--B A 、),2,5()4,3(13. a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝ .14. ｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为 .15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝ .16. 已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝ . 17. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 三、解答题(15分)18. 平面向量),,2(),,2(),4,,3(y c x b a ==-=已知a ∥b ，c a ⊥，求c b 、及c b 与夹角。

2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)

《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。

第四单元平面向量

二、向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义) 运算律
(1)加法交换律加法求两个向量
和 ____的运算
三角形 ________法则
b＋a a＋b＝______
(2)加法结合律 (a＋b)＋c＝
a＋(b＋c) ________
___________法则平行四边形
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第24讲
双向固基础
平面向量的概念及其线性运算
定义减去一个向量相当于加上这个向量相反向量的________ 实数λ与向量
三角形 ________法则
向量运算
法则(或几何意义)
运算律 a－b＝ a＋(－b) ________ (1)对向量加法
减法
数乘
a的积是一个 (2)当λ＞0时，λa与a 向量 ______，这相同的方向______；当λ 种运算叫做＜0时，λa与a的方向向量的相反 ______；当λ＝0时，数乘 ______，记 0 λa＝____ λa 作______
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第24讲
双向固基础
平面向量的概念及其线性运算
—— 知识梳理 ——
一、向量的有关概念及表示
名称向量定义表示
大小在平面内，既有______又有用a，b，c，„或 → → 方向 ______的量 AB，BC，„表示大小向量a的______，也就是表
向量的模示向量a的有向线段AB的
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第24讲
双向固基础
平面向量的概念及其线性运算
—— 疑难辨析 ——
1．共线向量 (1)平行向量就是共线向量．( ) (2)相反向量一定是平行向量．( ) (3)①a与λa共线，方向相同．( ) ②两个非零向量平行，这两个向量可以不共线．( ) → → (4)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A，B，C， D四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )

【9】平面向量应用举例--平面几何中的向量方法(学生版)

数学必修4 编号 9 编制人：高一数学备课组班级___组别___ 姓名_______学号________课题：平面向量应用举例-----平面几何中的向量方法【学习目标】1.熟练掌握向量的线性及数量积运算；2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.【重、难点】培养数学建模、数形结合的思想.【知识回顾】1. 两个向量的数量积：. cos |||| θb a ba =⋅2. 平面两向量数量积的坐标表示:.2121y y x x b a +=⋅3. 向量平行与垂直的判定:.0//1221=-⇔y x y x b a.02121=+⇔⊥y y x x b a4. 平面内两点间的距离公式：221221)()(||y y x x AB -+-=5. 求模：a a a ⋅=，22y x a +=，221221)()(y y x x a -+-=【典型例题】例2 在平行四边形ABCD 中，证明：)|||(|2||||2222AD AB BD AC +=+例3 如图，在等腰△ABC 中，E D 、分别是两条腰AC AB ,的中点，若BE CD ⊥，你认为A ∠的大小是否为定值？【小结】DABCABC例4 在平行四边形ABCD 中，F E 、分别为DA CD 、的中点，连接BF BE 、交AC 于点R T ,，求证：R T ,分别为AC 三等分点.【课堂小结】1. 用向量方法解决几何问题的步骤： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2. 几何问题向量化的方法：DABRF E CT。

微专题平面向量(学生版)

微专题平面向量【秒杀总结】结论1：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2(1)DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 2.极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式(1)平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(2)三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2结论3：三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在λ∈R 使OP =(1-λ)OA +λOB ．特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP =12OA+12OB ．结论4：等和线【基本定理】(一)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(二)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；(4)当等和线过O 点时，k =0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；结论5：奔驰定理【奔驰定理】若O 为ΔABC 内任一点，且αOA +βOB +γOC =0 ，则S ΔBOC :S ΔAOC :S ΔAOB =α:β:γ【典型例题】例1.在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =3,BC =10，则AB ⋅AC =____．例2.正三角形内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA ⋅PB 的取值范围是．例3.已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．例4.在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72 C.52,2D.72,2例5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ,CD =13CA+λCB ，则λ=()A.13B.23C.-13D.-23例6.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为1200，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC =xOA +yOB，其中x ,y ∈R ，则x +y 的最大值是__________．【过关测试】一、单选题1.(2023·北京西城·高三统考期末)在△ABC 中，AC =BC =1,∠C =90°．P 为AB 边上的动点，则PB ⋅PC的取值范围是( )A.-14,1B.-18,1C.-14,2D.-18,22.(2023·北京昌平·高三统考期末)已知向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ,b =π4,c -a⋅c -b =0，则c的最大值是( )A.2-1B.5-12C.5+12D.2+13.(2023·广西桂林·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为( )A.34B.1C.43D.44.(2023·全国·高三专题练习)如图，在半径为4的扇形AOB 中，∠AOB =120∘，点P 是AB上的一点，则AP ·BP的最小值为( )A.-8B.-3C.-2D.-45.(2023·全国·高三专题练习)在平面内，定点A ,B ,C ,D 满足|DA |=|DB|=|DC |，DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足|AP |=1，PM =MC ，则|BM |2的最大值是( )A.434B.494C.47+634D.37+23346.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为( )A.0B.1C.3D.57.(2023·全国·高三专题练习)AB 为⊙C ：(x -2)2+(y -4)2=25的一条弦，AB =6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA ⋅PB的取值范围是( )A.[0，100]B.[-12，48]C.[-9，64]D.[-8，72]8.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD =13AB +12AC ，则S △BCDS △ACD =( )A.16B.12C.13D.239.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b ，c 满足a =4，a 在b 方向上的投影为2，c ⋅c -a=-3，则|b -c|的最小值为( )A.3-1B.3+1C.23-2D.23+210.(2023·全国·高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足BE=2EC ，AE ⋅BD =-23，则AF ⋅EF 的最小值为( )A.-23B.-43C.-15275D.-733611.(2023·全国·高三专题练习)P 是ΔABC 所在平面上的一点,满足PA +PB +PC =2AB,若S ΔABC =6,则ΔPAB 的面积为( )A.2B.3C.4D.812.(2023·全国·高三专题练习)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A.3B.22C.5D.2二、多选题13.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，O 为△ABC 内的一点，设AO =λAB +μAC ，则下列说法正确的是( )A.若O 为△ABC 的重心，则λ+μ=23 B.若O 为△ABC 的内心，则λ+μ==25C.若O 为△ABC 的外心，则λ+μ=910 D.若O 为△ABC 的垂心，则λ+μ=1514.(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是互不相等的非零向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，c =xa+ybx ,y ∈R ，记OA =a ，OB =b ，OC =c ，则下列说法正确的是( )A.若a -c⋅b -c =0，则O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上B.若a -c ⋅b -c =0，则c的最大值为2C.若c =1，则a -c ⋅b -c 的最大值为22+1D.若c=1，则x +y 的最小值为-215.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-6616.(2023·全国·高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中∠COD=2π3,OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD ，则下列说法正确的是( )图1 图2A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11217.(2023·全国·高三专题练习)如图，圆О是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM =xBA +yBD(x ，y ∈R )，则2x +y 可以取值为( )A.16B.13C.23D.118.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC=OC ⋅OA，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0三、填空题19.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是_____________.20.(2023·四川南充·统考一模)已知向量a 与b 夹角为锐角，且a =b =2，任意λ∈R ，a -λ⋅b 的最小值为3，若向量c 满足c -a ⋅c -b =0，则c的取值范围为______．21.(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)已知圆O 半径为1，P 、A 、B 是圆O 上不重合的点，则PA ⋅PB的最小值为_____.22.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足|b |⋅|c |=1，若|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c |，则-a2+2b 2+c2的最小值是_____________．23.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 满足：a 与b 的夹角为2π3,c -a⋅c -b =0,a + b =2，记M 是c -a -b的最大值，则M 的最小值是__________．24.(2023·全国·高三专题练习)点M 在△ABC 内部，满足2MA +3MB +4MC =0 ，则S △MAC :S △MAB =____________．。

平面向量基本定理学案(学生版)

南涧县民族中学
高一数学必修四
新授学案
使用时间：
编号:05
学科组长审核:
学校领导审核:
班级：
小组：
姓名：
《平面向量的基本定理》学案
【学法指导】 1.认真阅读学习目标，明确学习目标。
（3）夹角：已知两个
a 和 b ，作 OA a , OB b ，则 AOB 叫做向量
A、 e1 —2 e 2 和 e1 +2 e 2 B 、 e1 与 3 e 2 C、2 e1 +3 e 2 和 - 4 e1 —6 e 2 D、 e1 + e 2 与 e1 2.在矩形 ABCD 中，O 为对角线交点， BC = 5e1 ， DC = 3e 2 ，则 OC 等于（）

）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 1 C. （3e 2 5e1） 2

A. a
B.-4 b
C. c
D. a b
e2
装
课本 P92 第 11 题（画图解答）
讨论二：如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 AB = a ， AD = b ，用 a ，b 表示 MA ， MB ，

订
2.知识预学 .如果 e1 , e 2 是一平面内的两个存在的一对实数 a1 , a 2 使 a = 的向量,那么该平面内的向量 a ,
，则称 a 与 b 垂直，记作

。
【小组讨论】
订
【学习目标】 1.了解平面向量基本定理及其意义。 2.了解两个平面向量夹角和垂直概念。【固学预学】
讨论一：已知向量 e1 ， e 2

平面向量的基本定理及坐标表示(学生版)

平面向量的基本定理及坐标表示(学生版）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知()0,1A -，()0,3B ，则||AB =（）A ．2BC ．4D ．2．已知向量(3,4)a =，(1,2)b =，则2b a -=（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(2,2)D ．(5,6)3．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b r r ，则m =（）A ．1B ．52-C ．25-D ．524．已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（）A ．8(1,)3 B ．138(,)33- C ．134(,)33 D ．134(,)33-- 5．已知基本单位向量()1,0i =，()0,1f =，则34i f -的值为（）A ．1B ．5C ．7D ．256．以下四组向量能作为基底的是（）A ．12(1,2),(2,4)e e ==B ．12(3,1),(1,3)e e =-=-C ．12(2,1),(2,1)e e ==--D ．121(,0),(3,0)2e e == 7．若向量m 与向量()2,1n =-为共线向量，且35m =m 的坐标为( )A ．()6,3-B ．()6,3-C ．()6,3-或()6,3-D ．()6,3--或(6,3)8．已知向量()2,1a =r ，()2,sin 1b α=-r ，()2,cos c α=-r ，若()a b c +r r r P ，则tan α的值为（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．-29．在ABC ∆中，2AB AC AD +=，0AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-10．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE ＝λBA ＋μBD (λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )A ．1B ． 34C ．23D ． 12二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知a ，b 是两个不平行的向量，λ、R μ∈，则0a b λμ+=成立的充要条件是_________. 12．已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________.13．已知向量(,a t t =与()3,2b t =+共线且方向相同，则t =_____. 14．已知向量,a b 满足(1,2),(2,)a b m =-=.若//a b ，则m = _______； ||b =______. 15．已知()()1,3,1,2a b ==-，若0a b λμ+=，则实数λ=__________；μ=__________. 16．如图，在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，且4BP PA =，则x =_______，y =_______.17．在平行四边形ABCD 中1AB e =uu u r u r ，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数轴上有点A (-2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有12AC BC =，延长DC 到点E ，使()(),1,4d C E d E d =，求点E 的坐标.19．已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-.（1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线.20．如图所示，□ABCD 中，AB =a ， AD =b ，23BM BC =，14AN AB =, （1）试用向量a ，b 来表示,DN AM .（2）AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值.21．已知)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a ，R ∈θ ;（1）若)0,2(=+b a ，求θθθcos sin 2sin 2+的值；（2）若)51,0(=-b a ，(,2)θππ∈，求θθcos sin +的值.22．已知直线l 上两个点()()0330A C ，、，，其中O 为坐标原点．（1）若1433OD OA OC =+，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；（2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB mOA nOC =+，则1m n +=。

平面向量的加减法(一) 学生版

A.a -b =0 B a .a +b =2 C.0=-b a D.b a =例2、如图，在Y ABCD 中，设a AB =，b AD =。

（1）填空：_____=+b a ；____=-b a .（2）在图中求作a b -.变式1、在Y ABCD 中，下列关于向量的等式正确的是（）A.0=+CD ABB.BD AD AB =-C.BD AD AB =+D.DA BD AB =+变式2、在△ABC 中，a AB =，b AC =.（1）填空：_____=BC ;(用含有a ，b 的式子来表示）（2）在图中求作：.AC AB +(不需要写出作法，只需写出结论即可，结论用含有a ，b 的式子来表示）变式3、如图，在Y ABCD 中，点E 是BC 边的中点，设a AB =，b BE =.(1) 写出所有与BE 互为相反向量的量：___________________________________________(2) 试图用b a ,表示向量DE ,则DE =__________(3)在图中求作BE BA -，ED EC +.三、【课堂练习】1. 两个非零向量a ，b 互为相反向量，那么下列各式正确的个数是（）①.0=-b a ②.0=+b a ③.b a -= ④.b a =（A).1个（B).2个（C).3个（D).4个2.化简：=++BA BC AB _________3.若,8a ,5,3=+==b b a 则向量a 与向量b 的方向一定（填“相同”或者“相反”）5. 如图，多边形ABCDEF 是正六边形，设a AB =，b BC =.（1）试用向量a ，b 表示向量OE OC OA ,,.（2）在图中求作:BC BA -.(不要求写出作法，只需写出结论即可)6.如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，设a AB =，b BC =.c AD =.（1）填空：BC AB +___DC AD +(填“=”或者“≠”）；（2）填空：=DC _______(用a ，b ，c 的式子表示）；（3）在图中求作AD AB -.（不要求写出作法，只需写出结论即可，结论用a ，b ，c 的式子表示）四、【家庭作业】1、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，在图中指出下列几个向量的和.(1)DA AC BD ++(2)EB BC AB ++(3)CD BC AB ++(4)CA BC AB ++\2、如图，已知向量a AB =，b AD =，∠DAB=120°，且,3==b a 求b a +，b a -.3、如图，P 是线段AB 的分点，且21=PB AP ,下列各式正确的是（ B ） A.PA PB 2= B.AB PB 32= C.BA PB 32= D.PA PB 3-=签字确认学员教师班主任。