二次函数的图像与性质专题讲座

二次函数的图像与性质

一、二次函数的概念：

一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是表达函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

y=ax2+bx+c（a≠0）也叫做二次函数的一般形式。

例1、下列函数中，哪些是二次函数？

（1）y=2x2（2）y=(x+2)(x-2)-(x-1)2

（3）y=

1

1-x2（4）y=x2+2x-3

（5）y=ax2+bx+c

变式1、下列函数中，哪些是二次函数？

（1）y-x2=0（2）y=2x2-(x2+1)（3）y=x2+1 x

例2已知函数y=(m2-4)x2+(m2-3m+2)x-m-1

（1）当m为何值时，y是x的二次函数；

（2）当m为何值时，y是x的一次函数。

（4）y=x2

变式2m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？是以x为自变量的一次函数？

二、二次函数y=ax2的图像与性质：

（1）开口方向:

（2）对称轴：

（3）增减性：当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大.（4）顶点：__________.

（5）最值：a_______函数有最值，a_______函数有最值.

例3在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）y=3x2;（2）y=-3x2;（3）y=1

3

x2.

变式3（1）函数y=2

3

x2的开口，对称轴是，顶点坐标是；1

（2）函数y=-x2的开口，对称轴是，顶点坐标是．

4

例4已知y=(k+2)x k2+k-4是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．

变式4（1）已知抛物线y=kx k2+k-10中，当x>0时，y随x的增大而增大．则k=.（2）已知函数y=(k2+k)x k2-2k-1是二次函数，它的图象开口，当x时，y随x的增大而增大．

（3）四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2则a、b、c、d的大小关系为

三、函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的图象：

例5、通过配方，确定抛物线y=-2x2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图

变式5、利用配方法，把下列函数写成y=a(x-h)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）y=-x2+6x+1（2）y=2x2-3x+4

（3）y=-x2+nx（4）y=x2+px+q

例6、已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，求a的值．

变式6、已知二次函数y=8x2-(k-1)x+k-7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．

例7、已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-1

2

x2向上平移2个单位长度，再向右平移1

个单位长度得到的抛物线。

（1）求出a,h,k的值；

1

（2）在同一直角坐标系中，画出y=a(x-h)2+k与y=-x2的图象；

2

（3）函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是_________，对称轴是__________，当x_________时，y随x的增大而增大；

变式7.1、把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2，求b、c的值．

变式7.2、将抛物线y=-x2+2x+5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．

四、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定其a,b,c的符号

例8、（1）二次函数y=ax2-bx+c图象如下，则求a,b,c取值范围

（2）已知y=ax2+bx+c的图象如下，

则：a____0，b___0，c___0

a+b+c____0，a-b+c_____0，2a+b____0

b2-4ac____0，4a+2b+c0

变式8、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)，（m≠1的实数）其中正确的结论有（）。

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

（

例9、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，

下列结论：①abc>0②2a+b<0③4a-2b+c<0④a+c>0

其中正确结论的个数为（）

A、4个

B、3个

C、2个

D、1个

变式9、1）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列关系式中错误的是（）.

A．abc>0

D.2a+b<0

B．a+b+c>0C．a-b+c>0

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a0，b0，c0（填“＞”或“＜”“＝”）

（3）抛物线y=ax2+b x+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>

1

2；④b<1．其中正确的结论是（）

（A）①②（B）②③（C）②④（D）③④

（4）如图已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列式子成立的是（）.

A．abc>0

D．2c>3b

B．a+b+c<0C．b>a+c

例10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，并设

M=a+b+c-a-b+c+2a+b-2a-b，则（）.

A．M＞0B．M=0C．M＜0D．不能确定M为正，为负或为0变式10、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示，记

p=a-b+c+2a+b,q=a+b+c+2a-b，则（）

A．p＞q B．p=q C．p＜q D．p、q大小关系不能确定

五、二次函数与其他函数关系

例11、在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b(a≠0,b≠0)的图象的大致位置是()